Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Двойной интеграл в механике и геометрии

Гуашь "Классика", 12 цветов.
Гуашевые краски изготавливаются на основе натуральных компонентов и высококачестсвенных пигментов с добавлением консервантов, не
170 руб
Раздел: 7 и более цветов
Чашка "Неваляшка".
Ваши дети во время приёма пищи вечно проливают что-то на ковёр и пол, пачкают руки, а Вы потом тратите уйму времени на выведение пятен с
222 руб
Раздел: Тарелки
Забавная пачка денег "100 долларов".
Купюры в пачке выглядят совсем как настоящие, к тому же и банковской лентой перехвачены... Но вглядитесь внимательней, и Вы увидите
60 руб
Раздел: Прочее

Министерство общего и профессионального образования Р.Ф. Иркутский государственный технический университет. Кафедра высшей математики.     Реферат.   Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии.                 Выполнила: студентка группы ТЭ-97-1 Мелкоступова С.С. Проверил преподаватель кафедры высшей математики Седых Е.И.                 Иркутск 1998.           Содержание. 1.Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл. 2. Вычисление двойных интегралов. a) примеры. 3.Приложения двойных интегралов к задачам механики. а) масса плоской пластинки переменной плотности. б) статические моменты и центр тяжести пластинки. в) моменты инерции пластинки. 4.Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов. а) Объём. б) Вычисление площади плоской области. 5.Вычисление площади поверхности. а) Примеры.                                             1.Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл. Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное плоскостью Oxy, поверхностью, с которой любая прямая, параллельная оси Oz, пересекается не более чем в одной точке, и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz. Область D, высекаемая в плоскости Oxy цилиндрической поверхностью, называется основанием цилиндрического тела (см. рис.1). В частных случаях боковая цилиндрическая поверхность может и отсутствовать; примером тому служит тело, ограниченное плоскостью Oxy и верхней полусферой . Рис. 1 Обычно тело можно составить из некоторого числа цилиндрических тел и определить искомый объект как сумму объёмов цилиндрических тел, составляющих это тело. Прежде всего напомним два принципа, из которых мы исходим при определении объёма тела: если разбить тело на части, то его объём будет равен сумме объёмов всех частей; объём прямого цилиндра, т.е. цилиндрического тела, ограниченного плоскостью, параллельной плоскости Oxy, равен площади основания, умноженной на высоту тела. Пусть есть уравнение поверхности, ограничивающей цилиндрическое тело. Будем считать функцию непрерывной в области D и сначала предположим, что поверхность целиком лежит над плоскостью Oxy, т.е. что всюду в области D. Рис. 2 Обозначим искомый объем цилиндрического тела через V, Разобьем основание цилиндрического тела - область D - на некоторое число областей произвольной формы; будем называть их частичными областями. Пронумеровав частичные области в каком-нибудь порядке, обозначим их через а их площади - через . Через границу каждой частичной области проведем цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz. Эти цилиндрические поверхности разрежут поверхность на кусков, соответствующих частичным областям. Таким образом, цилиндрическое тело окажется разбитым на частичных цилиндрических тел (см.рис.2). Выберем в каждой частичной области произвольную точку и заменим соответствующее частичное цилиндрическое тело прямым цилиндром с тем же основанием и высотой, равной . В результате получим -ступенчатое тело, объем которого равен Принимая объем V данного цилиндрического тела приближенно равным объему построенного -ступенчатого тела, будем считать, что V тем точнее выражает V, чем больше и чем меньше каждая из частичных областей.

Переходя к пределу при мы будем требовать, чтобы не только площадь каждой частичной области стремилась к нулю, но чтобы стремились к нулю все ее размеры. Если назвать диаметром области наибольшее расстояние между точками ее границы (Например, диаметр прямоугольника равен его диагонали, диаметр эллипса—его большой оси. Для круга приведенное определение диаметра равносильно обычному.), то высказанное требование будет означать, что каждый из диаметров частичных областей должен стремиться к нулю; при этом сами области будут стягиваться в точку (Если известно только, что площадь области стремится к нулю, то эта область может и не стягиваться в точку. Например, площадь прямоугольника с постоянным основанием и высотой, стремящейся к нулю, стремится к нулю, а прямоугольник стягивается к своему основанию, т. е. к отрезку). В соответствии со сказанным мы принимаем искомый объем V равным пределу, к которому стремится V при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей (при этом): К отысканию предела подобных сумм для функций двух переменных приводят самые разнообразные задачи, а не только задача об объеме. Рассмотрим этот вопрос в общем виде. Пусть - любая функция двух переменных (не обязательно положительная), непрерывная в некоторой области D, ограниченной замкнутой линией. Разобьем область D на частичные, как указано выше, выберем в каждой частичной области по произвольной точке и составим сумму ( ) где - значение функции в точке ; и , - площадь частичной области. Сумма ( ) называется -й интегральной суммой для функции в области D, соответствующей данному разбиению этой области на частичных областей. Определение. Двойным интегралом от функции по области D называется предел, к которому стремится -я интегральная сумма ( ) при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей. Записывается это так: Читается: “двойной интеграл от на по области D”. Выражение , показывающее вид суммируемых слагаемых, называется подынтегральным выражением; функция называется подынтегральной функцией, - элементом площади, область D - областью интегрирования, наконец, переменные x и у называются переменными интегрирования. Таким образом, можно сказать, что объем цилиндрического тела, ограниченного плоскостью Oxy, поверхностью и цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Oz, выражается двойным интегралом от функции , взятым по области, являющейся основанием цилиндрического тела: . Аналогично теореме существования обыкновенного интеграла имеет место следующая теорема. Теорема существования двойного интеграла. Если функция непрерывна в области D, ограниченной замкнутой линией, то её -я интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей. Этот предел, т.е. двойной интеграл , не зависит от способа разбиения области D на частичные области и от выбора в них точек Pi. Двойной интеграл, разумеется, представляет собой число, зависящее только от подынтегральной функции и области интегрирования и вовсе не зависящее от обозначений переменных интегрирования, так что, например, . Далее мы убедимся а том, что вычисление двойного интеграла может быть произведено посредством двух обыкновенных интегрирований.

    2.Вычисление двойных интегралов.   При вычислении двойного интеграла элемент площади нам удобно представить в ином виде. Будем разбивать область интегрирования D в плоскости Oxy на частичные области посредством двух систем координатных линий: x=co s , y=co s . Этими линиями служат прямые, параллельные соответственно оси Oy и оси Ox, а частичными областями - прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат. Ясно, что площадь каждой частичной области будет равна произведению соответствующих и . Поэтому элемент площади мы запишем в виде т.е. элемент площади в декартовых координатах является произведением дифференциалов независимых переменных. Мы имеем . ( ) При вычислении двойного интеграла ( ) мы будем опираться на тот факт, что он выражает объём V цилиндрического тела с основанием D, ограниченного поверхностью . Напомним, что мы уже занимались задачей об объёме тела, когда рассматривали применения определённого интеграла к задачам геометрии и получили формулу ( ) Рис.3 где S(х) - площадь поперечного сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси абсцисс, а и - уравнения плоскостей, ограничивающих тело. Применим теперь эту формулу к вычислению двойного интеграла Предположим сначала, что область интегрирования D удовлетворяет следующему условию: любая прямая, параллельная оси Ox или Oy, пересекает границу области не более чем в двух точках. Соответствующее цилиндрическое тело изображено на рис.3 Область D заключим внутрь прямоугольника стороны которого касаются границы области в точках А, В, С, Е. Интервал является ортогональной проекцией области D на ось Ох, а интервал - ортогональной проекцией области D на ось Oy. На рис.5 область D показана в плоскости Оху. Точками A и C граница разбивается на две линии: ABC и AEC, каждая из которых пересекается с любой прямой, параллельной оси Oy, в одной точке. Поэтому, их уравнения можно записать в форме, разрешенной относительно y: (ABC), (AEC). Аналогично точками В и Е граница разбивается на линии ВАЕ и ВСЕ, уравнения которых можно записать так: (BAE), (BCE). Рис.5 Рассечем рассматриваемое цилиндрическое тело произвольной плоскостью, параллельной плоскости Oyz, т.е. x=co s , (рис). В сечении мы получим криволинейную трапецию PM R, площадь которой выражается интегралом от функции , рассматриваемой как функция одной переменной у, причем у изменяется от ординаты точки P до ординаты точки R. Точка P есть точка входа прямой х =co s (в плоскости Оху) в область D, а R - точка ее выхода из этой области. Из уравнений линий АВС и АЕС следует, что ординаты этих точек при взятом х соответственно равны и . Следовательно, интеграл дает выражение для площади плоского сечения PM R. Ясно, что величина этого интеграла зависит от выбранного значения х; другими словами, площадь рассматриваемого поперечного сечения является некоторой функцией от х, мы обозначим ее через S(х): Согласно формуле ( ) объем всего тела будет равен интегралу от S(x) в интервале изменения .( При выводе формулы ( ) мы считали, что S( ) есть геометрическая площадь поперечного сечения. Поэтому дальнейшие рассуждения справедливы, строго говоря, лишь для случая .

Здесь ему принадлежит огромное число открытий: классический способ решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами, метод вариации произвольных постоянных, выяснение основных свойств уравнения Риккати, интегрирование линейных уравнений с переменными коэффициентами с помощью бесконечных рядов, критерии особых решений, учение об интегрирующем множителе, различные приближённые методы и ряд приёмов решения уравнений с частными производными. Значит. часть этих результатов Э. собрал в своём «Интегральном исчислении».   Э. обогатил также дифференциальное и интегральное исчисление в узком смысле слова (например, учение о замене переменных, теорема об однородных функциях, понятие двойного интеграла и вычисление многих специальных интегралов). В «Дифференциальном исчислении» Э. высказал и подкрепил примерами убеждение в целесообразности применения расходящихся рядов и предложил методы обобщённого суммирования рядов, предвосхитив идеи современной строгой теории расходящихся рядов, созданной на рубеже 19 и 20 вв. Кроме того, Э. получил в теории рядов множество конкретных результатов. Он открыл т. н. формулу суммирования Эйлера — Маклорена, предложил преобразование рядов, носящее его имя, определил суммы громадного количества рядов и ввёл в математику новые важные типы рядов (например, тригонометрические ряды)

1. Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии

2. Высшая математика, интегралы (шпаргалка)

3. Шпаргалки по высшей математике

4. Шпаргалка по высшей математике

5. Высшая математика

6. Высшая математика
7. Высшая математика
8. Высшая математика

9. Высшая математика

10. Высшая математика

11. Основы высшей математики

12. Ответы на экзаменационные билеты по высшей математики

13. Высшая математика в экономике

14. Высшая математика. Матрица

15. Разработка программы расчета определенного интеграла по формуле Буля по схеме двойного пересчета с заданной точностью

16. Двойной интеграл в полярных координатах

Набор для уборки Vileda "Ultramat": швабра со сборной ручкой+ведро с отжимом.
Набор предназначен для влажной уборки всех типов напольных покрытий. Швабра отжимается в специальной воронке на ведре, благодаря чему руки
2210 руб
Раздел: Швабры и наборы
Таблетки для посудомоечной машины "Clean&Fresh", 5 in1 (giga).
Таблетки для посудомоечной машины «Clean&Fresh» – чистота и свежесть Вашей посуды в каждой таблетке! Великолепно очищает посуду
1122 руб
Раздел: Для посудомоечных машин
Антипригарный чехол для гладильной доски "Paterra", размер L-XL, 146x55 см.
Эффект двустороннего глажения. Чехол имеет хлопковую основу с особой антипригарной пропиткой из силикона, которая исключает пригорание
891 руб
Раздел: Чехлы для гладильной доски

17. Двойной интеграл в полярных координатах

18. Двойные звёзды

19. Реферат по научной монографии А.Н. Троицкого «Александр I и Наполеон» Москва, «Высшая школа»1994 г.

20. Осаждение двойного покрытия медь-никель

21. Счета бухгалтерского учета и двойная запись

22. Двойная трогедия
23. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
24. Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

25. Геометрия пространства двойной планетной системы: Земля - Луна

26. Двойное гражданство и безгражданство и их правовые последствия

27. Двойная мораль

28. Изучение двойного лучепреломления наведённое ультразвуком

29. Принцип двойной записи на счетах бухгалтерского учета.

30. Сущность и значение системы счетов и двойной записи

31. Некоторые приложения определенного интеграла в математике

32. Проблема двойного гражданства

Цветные карандаши "Color Peps", трехгранные, 18 цветов.
Яркие, насыщенные цвета, трехгранная форма для удобного захвата, прочный, легко затачиваемый корпус из древесины американской липы.
359 руб
Раздел: 13-24 цвета
Грызунок на прищепке "Сердечко".
Грызунок сделан из безопасного пищевого силикона, он выполняет роль прорезывателя для зубов. Бусины грызунка достаточно мягкие и очень
392 руб
Раздел: Силиконовые
Набор для проведения опытов по выработке электричества "Маленький гений".
Сейчас уже невозможно представить жизнь человечества без электричества. Для обеспечения людей электричеством работают огромные
452 руб
Раздел: Физические опыты

33. Двойное оплодотворение

34. Двойная запись операций по бухгалтерским счетам

35. Методы бухгалтерского учета: документация, инвентаризация, счета и двойная запись

36. Ренесанс и возникновение двойной бухгалтерии

37. Счета и двойная запись в бухгалтерском учёте

38. Институт двойного гражданства
39. Правовые средства избежания двойного налогообложения
40. Анализ диаграмм состояния двойных сплавов

41. Пьер Симон Лаплас. Возникновение небесной механики

42. Разноспоровость у высших растений

43. Физиология высшей нервной деятельности

44. Роль высших растений в почвообразовании (шпаргалка)

45. Реферат о Пугачеве

46. Федеральное Собрание - парламент России как высший представительный орган, его место в системе органов государства

47. Правительство РФ - высший орган государственной власти

48. История математики

Портфель "Megapolis", А4, 12 отделений, серый.
Используется для хранения и транспортировки большого колличества документов, сгруппированных по темам. Закрывается на надёжный пластиковый
517 руб
Раздел: Папки-портфели, папки с наполнением
Шкатулка-фолиант "Девочка с котенком", 26x17x5 см.
Шкатулка-фолиант выполнена в виде старой книги. Обложка шкатулки выполнена из текстиля. Такая шкатулка послужит оригинальным, а главное,
651 руб
Раздел: Шкатулки сувенирные
Мешок для обуви "Sweets", 2 отделения, светоотражающая полоса, розовый.
Количество отделений - 2. Материал - полиэстер. Размер - 370x470 мм. Цвет - розовый/рисунок. Светоотражающий элемент - есть.
316 руб
Раздел: Сумки для обуви

49. Математика в Элладе. Фалес Милетский

50. Реферат перевода с английского языка из книги “A History of England” by Keith Feiling

51. Математик И.Г. Петровский

52. Реферат по книге Фернана Броделя

53. Информационные системы в высших заведениях

54. Вычисление определённого интеграла с помощью метода трапеций на компьютере
55. Что же такое математика ?
56. Три кризиса в развитии математики

57. Математика

58. Математика для института

59. Дискретная математика: "Графы"

60. Расчетно-графическая работа по специальным главам математики

61. Философские проблемы математики

62. Выдающиеся личности в математике

63. Шпаргалки по математике (логарифмы, тригонометрия) (Шпаргалка)

64. Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

Набор фруктов.
Фрукты выглядят почти как настоящие. Их в наборе 8 штук - ананас (длина 12 см), гроздь винограда (10 см), лимон (8 см), груша (длина 9
537 руб
Раздел: Продукты
Игрушка-подушка "Жираф", 32 см.
Главное достоинство подушки-это осязательный массаж, приятный, полезный и антидепрессивный. Внешний материал-гладкий, эластичный и прочный
1009 руб
Раздел: Антистрессы
Карандаши цветные "Kores", 24 цвета, с точилкой.
Двусторонние цветные карандаши имеют насыщенные цвета. Трехгранная форма корпуса снижает усталость и придает дополнительный комфорт.
311 руб
Раздел: 13-24 цвета

65. Математика

66. Опыт использования ЭВМ на уроках математики

67. Великий математик России Николай Иванович Лобачевский

68. Замечательные кривые в математике. Прямая, окружность, циклоида, кривая кратчайшего спуска, спираль Архимеда, лемниската, Т. Барианшона, Т. Паскаля

69. Сравнения высших степеней(Конгруенції вищих степенів )

70. Дискретная математика (Конспекты 15 лекций)
71. Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения
72. Интеграл и его свойства

73. Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)

74. История математики

75. Формулы по математике (11 кл.)

76. История математики

77. Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ)

78. Пьер Симон Лаплас. Возникновение небесной механики

79. Известные математики (Софья Васильевна Ковалвская)

80. Лекции по Методике математики в начальных классах (4-5 семестры)

Пленка пищевая, полиэтиленовая, 30 см х 300 метров.
Пищевая пленка производится из экологически безопасного полиэтилена. Может быть использована для упаковки любых товаров, хорошо
349 руб
Раздел: Плёнка пищевая
Блокнот. Егор Крид.
Black Star представляет: эксклюзивные официальные блокноты по топовым артистам Лейбла! Каждый блокнот включает: — море фотографий из
344 руб
Раздел: Прочие
Кольцедержатель "Дерево с оленем", большой, черный.
Стильный аксессуар в виде фигурки оленя с ветвящимися рогами – держатель для украшений, - выполнен из прочного пластика двух классических
494 руб
Раздел: Подставки для украшений

81. Геометрический материал на уроках математики (наглядность)

82. Теория графов. Методические указания по подготовке к контрольным работам по дисциплине «Дискретная математика»

83. Роль математики в современном естествознании

84. Шпаргалки по физиологии высшей нервной деятельности

85. Математика в педиатрии

86. Проблемы русской национальной школы и изучения русской математики
87. Теории обучения в высшей школе
88. Роль высшего образования в воспроизводстве рабочей силы

89. Развитие познавательной активности учащихся на уроках математики

90. Использование проблемных ситуаций на уроках математики в развитии творческого мышления младших школьников

91. Развитие самостоятельности школьников при обучении математики

92. Схемы по лекциям по Педагогике и Психологии высшей школы

93. Методические основы уровневой дифференциации при обучении алгебре в классах с углубленным изучением математики

94. Развитие творческих способностей учащихся в процессе обучения математике

95. Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов

96. Геометрический материал на уроках математики (наглядность)

Таблетки бесфосфатные для посудомоечных машин "Vaily", 30 штук.
Экологически безопасные для Вас и Вашего дома. Подходят для детской посуды. Специальная формула на основе органических компонентов. Не
430 руб
Раздел: Для посудомоечных машин
Швабра для пола "Бахрома".
Использование швабры позволяет очистить любые поверхности от пыли и грязи, даже без использования химических средств. Благодаря насадке
328 руб
Раздел: Швабры и наборы
Подушка для сидения "Подушка-сидушка про", с "памятью".
С помощью нашей подушки для сидения "с памятью" "Подушка-сидушка про" Вы гарантированно сможете улучшить свою осанку и
872 руб
Раздел: Полезные мелочи

97. Новые информационные технологии обучения в математике

98. Реферат по технологии приготовления пищи "Венгерская кухня"

99. Реконструкция схемы управления процессом абсорбции в производстве высших алифатических аминов

100. Дневник прохождения производственной практики по специальности "Техник-механик"


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.