Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Алгебра матриц

Фонарь желаний бумажный, оранжевый.
В комплекте: фонарик, горелка. Оформление упаковки - 100% полностью на русском языке. Форма купола "перевёрнутая груша" как у
87 руб
Раздел: Небесные фонарики
Ручка "Шприц", желтая.
Необычная ручка в виде шприца. Состоит из пластикового корпуса с нанесением мерной шкалы. Внутри находится жидкость желтого цвета,
31 руб
Раздел: Оригинальные ручки
Наклейки для поощрения "Смайлики 2".
Набор для поощрения на самоклеящейся бумаге. Формат 95х160 мм.
19 руб
Раздел: Наклейки для оценивания, поощрения

Алгебра матриц Основные понятия Определение. Прямоугольная таблица из m строк и столбцов, заполненная некоторыми математическими объектами, называется  – матрицей. Мы будем рассматривать числовые матрицы. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Для обозначения матрицы, как правило, используются круглые скобки. При записи, в общем виде элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, из которых первый указывает номер строки, а второй – номер столбца матрицы. Например, матрица . . В сокращенной записи: А=(аij); где аij - действительные числа, i=1,2, m; j=1,2, , (кратко  , . ). Произведение  называют размером матрицы. Матрица называется квадратной порядка , если число ее строк равно числу столбцов и равно :  Упорядоченный набор элементов а11,а22, ,а называется главной диагональю, в свою очередь, а1 ,а2, -1, ,а 1 – побочной диагональю матрицы. Квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют условию:          называется диагональной, т.е. диагональная матрица имеет вид:                Диагональная матрица порядка называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны 1. Матрица любого размера называется нулевой или нуль матрицей, если все ее элементы равны нулю. Единичная матрица обозначается буквой Е, нулевая – О. Матрицы имеют вид: .            ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ Определение. Суммой матриц А=(аij) и B=(bij) одинаковых размеров  называется матрица С=(сij) тех же размеров, такая что cij=aij bij для всех i и j. . Таким образом, чтобы сложить матрицы А и В, надо сложить их элементы, стоящие на одинаковых местах. Например, A B =  = C Определение. Произведение матрицы А на число l называется матрица         lА=(l аij), получаемая умножением всех элементов матрицы А на число l. Например, если  и l=5,   то Разность матриц А и В можно определить равенством А-В=А (-1)В. Рассмотренные операции называются линейными. Отметим некоторые свойства операций. Пусть А,В,С – матрицы одинакового размера; a,b - действительные числа. А В = В А – коммутативность сложения. (А В) С = А (В С) – ассоциативность сложения. Матрица О, состоящая из нулей, играет роль нуля: А О=А. Для любой матицы А существует противоположная –А, элементы которой отличаются от элементов А знаком, при этом А ( -А)=О. a(bА) = (ab)А = (aА)b.          6. (a b)А = aА bА.             7.   a(А В) = aА aВ.         8.  1 А = А.          9.   0 А = 0. Умножение матриц В матричной алгебре важную роль играет операция умножения матриц, это весьма своеобразная операция. Определение. Произведением матрицы А=(аij)  размера  и прямоугольной матрицы B=(bij)  размера   называется прямоугольная матрица С=(сij) размера , такая что cij=ai1 b1j ai2 b2j aik bkj;  , . Таким образом, элемент произведения матриц А и В, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений элементов i-ой строки первой матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца второй матрицы В т.е.  . Произведение С=АВ определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Это условие, а также размеры матриц можно представить схемой: Очевидно, что операция умножения квадратных матриц всегда определена.

Примеры. Найдем произведения матриц АВ и ВА, если они существуют. 1.  , .                                                       2.  , .                                                       Таким образом, коммутативный (переместительный) закон умножения матриц, вообще говоря, не выполняется, т.е.  В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А  -го порядка на единичную матрицу Е такого же порядка, т.е. 3. , . Для этих матриц произведение как АВ ,так и ВА не существует. ,        Получим , ВА – не существует. Свойства умножения матриц. Пусть А,В,С – матрицы соответствующих размеров (т.е. произведения матриц определены), l - действительное число. Тогда на основании определений операций и свойств действительных чисел имеют место следующие свойства: (АВ)С = А(ВС) – ассоциативность. (А В)С = АС ВС – дистрибутивность. А(В С) = АВ АС – дистрибутивность. l(АВ) = (lА)В = А(lВ). ЕА = АЕ = А, для квадратных матриц единичная матрица Е играет роль единицы. Приведем пример доказательства лишь одного свойства. Докажем, например, свойство 3. Пусть для А=(аij), B=(bij), C=(cij) произведения матриц определены. Найдем элемент i-ой строки и j-го столбца матрицы А(В С). Это будет число аi1(b1j c1j) аi2(b2j c2j) аi (b j c j) = (аi1b1j ai2b2j ai b j) (аi1c1j ai2c2j ai c j). Первая сумма в правой части равенства равна элементу из i-ой строки и j-го столбца матрицы АВ, а вторая сумма равна элементу из i-ой строки и j-го столбца матрицы АС. Рассуждение верно при любых i и  j, то свойство 3 доказано. Упражнение 1. Проверьте свойство ассоциативности 1 для матриц: , , . Упражнение 2. Проверьте свойство дистрибутивности 2 для матриц: , , . Упражнение 3. Найти матрицу А3, если . Вырожденные и невырожденные матрицы Определение. Матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если определитель матрицы отличен от нуля. Пример. ,  = 16-15 = 1  0; А – невырожденная матрица.                 ,  = 12-12 = 0;  А – вырожденная матрица. Теорема. Произведение матриц есть вырожденная матрица тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей есть вырожденная матрица. Необходимость. Пусть АВ – вырожденная матрица, т.е. =0. Тогда, в силу того, что определитель произведения матриц равен произведению определителей перемножаемых матриц, имеем  Это значит, что хотя бы одна из матриц А или В является вырожденной. Достаточность. Пусть в произведении АВ матрица А вырожденная, т.е. =0. Найдем , т.к. =0; итак, =0; АВ - вырожденная матрица. Замечание. Доказанная теорема справедлива для любого числа множителей. Обратная матрица Определение. Квадратная матрица В называется обратной по отношению к матрице А такого же размера, если АВ = ВА = Е.          (1) Пример. , .                 В – матрица обратная к А. Теорема. Если  для данной матрицы обратная существует, то она определяется однозначно. Предположим, что для матрицы А существуют матрицы Х и У, такие, что АХ = ХА = Е        (2) АУ = УА = Е       (3) Умножая одно из равенств, например, АХ = Е слева на У, получим У(АХ) = УЕ. В силу ассоциативности умножения имеем (УА)Х = УЕ.

Поскольку УА = Е, то ЕХ = УЕ, т.е.      Х = У. Теорема доказана. Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица А-1 существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А невырожденная. Необходимость. Пусть для матрицы А существует обратная А-1, т.е.                        А  А-1 = А-1А = Е. Тогда, ½А А-1½= т.е. ½А½0 и ½А-1½0;       А – невырожденная. Достаточность. Пусть дана невырожденная матрица порядка , так что ее определитель 0. Рассмотри матрицу, составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы А: , ее называют присоединенной к матрице А. Следует обратить внимание на то, что алгебраические дополнения к элементам i-ой строки матрицы А стоят в i-ом столбце матрицы А , для . Найдем произведения матриц АА и А А. Обозначим АА через С, тогда по определению произведения матриц имеем: Сij = аi1А 1j а i2А 2j а i А j; i = 1, : j = 1, . При i = j получим сумму произведений элементов i - ой строки на алгебраические дополнения этой же строки, такая сумма равняется значению определителя. Таким образом Сij = А = D - это элементы главной диагонали матрицы С. При i  j, т.е. для элементов Сij  вне главной диагонали матрицы С, имеем сумму произведений всех элементов некоторой строки на алгебраические дополнения другой строки, такая сумма равняется нулю. Итак,  = АА Аналогично доказывается, что произведение А на А равно той же матрице С. Таким образом, имеем А А = АА = С. Отсюда следует, что Поэтому, если в качестве обратной матрицы взять , то  Итак, обратная матрица существует и имеет вид: . Пример. Найдем матрицу, обратную к данной: Находим D = А = -1 ¹ 0, А существует. Далее находим алгебраические дополнения элементов матрицы А: А =  = 0 ; А =  = -1; А =  = 3; А =  = -3; А =  = 3; А =  = -4; А =  = 1; А =  = -1; А =  = 1; А = Список литературы

Указанные свойства лежат в основе обычной техники У. многозначных чисел.   Дальнейшее обобщение понятия У. связано с возможностью рассматривать числа как операторы в совокупности векторов на плоскости. Например, комплексному числу r (cosj + i sin j) соответствует оператор растяжения всех векторов в r раз и поворота их на угол j вокруг начала координат. При этом У. комплексных чисел отвечает У. соответствующих операторов, т. е. результатом У. будет оператор, получающийся последовательным применением двух данных операторов. Такое определение У. операторов переносится и на другие виды операторов, которые уже нельзя выразить при помощи чисел (например, линейные преобразования). Это приводит к операциям У. матриц, кватернионов, рассматриваемых как операторы поворота и растяжения в трёхмерном пространстве, ядер интегральных операторов и т.д. При таких обобщениях могут оказаться невыполненными некоторые из перечисленных выше свойств У., чаще всего – свойство коммутативности (некоммутативная алгебра). Изучение общих свойств операции У. входит в задачи общей алгебры, в частности теории групп и колец

1. Особенности вычисления определителя матрицы

2. Алгебра матриц. Системы линейных уравнений

3. Матрицы и определители

4. Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

5. Матрицы и определители

6. Многопроцессорный вычислительный комплекс на основе коммутационной матрицы с симметричной обработкой заданий всеми процессорами
7. Программа, которая упорядочивает элементы чётных строк матрицы по возрастанию, а нечётных – по убыванию
8. О преобразовании дифференциальных систем уравнений в случае сингулярных пучков матриц

9. Разработка метода формирования маршрутных матриц однородной замкнутой экспонециальной сети массового обслуживания

10. Матрица: Философия

11. Сетевые матрицы как организационный инструмент менеджмента

12. Десятичные матрицы поиска

13. Рекламная матрица, или Как создать продающую рекламу

14. Матрица анализа слабых и сильных сторон

15. Профильная матрица конкурентов

16. Матрица анализа внешних стратегических факторов

Ранец "Generic. Wild Horse".
Размер: 37х27х21 см. Раскладной школьный ранец обязательно привлечет внимание вашего ребенка. Ранец выполнен из современного легкого и
2567 руб
Раздел: Без наполнения
Качели детские подвесные "Классик С".
Подвесные качели "Классик С" - это веселый домашний аттракцион для самых маленьких детей. Качели подвешиваются с помощью прочных
450 руб
Раздел: Качели
Стержень для роллеров, синие чернила, F.
Стержень для роллера Parker с чернилами синего цвета, толщина линии — 0,5 мм, длина стержня — 112 мм, длина шарика — 0,8 мм. Цвет чернил:
343 руб
Раздел: Стержни для ручек

17. Разработка метода формирования маршрутных матриц однородной замкнутой экспоненциальной сети массового обслуживания

18. Ментальная матрица власти и тело государственного сознания в китайской традиции

19. ЛИСП-реализация операций над матрицами

20. Составление программы на алгоритмическом языке, выполняющей указанные преобразования с матрицами

21. Алгоритмы поиска кратчайших покрытий булевых матриц

22. Використання матриці витрат для оцінки ефекту масштабу або охоплення
23. Матрица выбора направлений развития, как средство стратегического планирования
24. Алгебраические группы матриц

25. Власні значення і власні вектори матриці

26. Изучение матриц

27. Матрицы графов

28. Матрицы, Метод Гаусса

29. Решение матриц

30. Матрицы

31. SWOT-анализ и построение матрицы McKinsey на примере ОАО

32. Матрица, разработанная ведущей консалтинговой компанией "Бостон консалтинг групп"

Набор детской складной мебели Ника "Азбука".
В набор входят складные стол и стул с пластмассовым сиденьем, поможет малышу привыкнуть к занятиям в школе. Рисунки, изображенные на
1128 руб
Раздел: Наборы детской мебели
Комплект постельного белья Карапуз "Угадай, кто?" (бязь, 3 предмета).
Комплект постельного белья из российской бязи. В упаковке комплект из 3 предметов, размеры: - пододеяльник: 110x140 см; - наволочка: 40x60
396 руб
Раздел: Для новорожденных
Набор кастрюль "Mayer & Boch" из нержавеющей стали (12 предметов).
Этот набор кастрюль предназначен для здорового и экологичного приготовления пищи. Он изготовлен из высококачественной нержавеющей стали,
2460 руб
Раздел: Наборы кастрюль

33. Разработка матрицы ответственности и полномочий в системе качества предприятия

34. Технологический процесс сборки матрицы штампа холодной объемной штамповки корпуса внутреннего шарнира ВАЗ 2108

35. Водень в шаруватих матрицях

36. Особенности сорбционных свойств полимер-полимерных композитов, полученных полимеризацией метилметакрилaта в матрице изотактического полипропилена

37. Управление потоками данных в параллельных алгоритмах вычислительной линейной алгебры

38. Формулы по алгебре, тригонометрии, электродинамике (Шпаргалка)
39. Шпаргалка по геометрии и алгебре
40. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)

41. Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ)

42. Методические основы уровневой дифференциации при обучении алгебре в классах с углубленным изучением математики

43. Задачи линейной алгебры

44. Алгебра Дж. Буля и ее применение в теории и практике информатики

45. Векторная алгебра

46. Алгебра и Начало анализа

47. Лекции по Линейной алгебре

48. Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ)

Ящик почтовый с замком, тёмно-зелёный.
Ящик почтовый с замком. Материал: пластик. Длина: 385 мм. Ширина: 310 мм. Высота: 80 мм.
505 руб
Раздел: Прочее
Мебель для кукол "Спальня Конфетти".
Спальня "Конфетти" - это игровой набор, состоящий из пуфика, кровати и трюмо. Мебель собирается по схеме. При сборке не забудьте
565 руб
Раздел: Спальни, кроватки
Трехколесный велосипед Funny Jaguar Lexus Trike Original Volt (цвет: синий).
Трехколесный велосипед подходит для детей от 1 года. Велосипед Volt заряжает своей энергией, зовет в дорогу. Характеристики: - удобное
2400 руб
Раздел: Трехколесные

49. Минимизация функций алгебры логики

50. * Алгебры и их применение

51. Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

52. План урока алгебры. Тема: Значения тригонометрических функций. Решение простейших тригонометрических уравнений.

53. Арифметика и алгебра

54. Булева алгебра
55. Булева алгебра
56. Основы линейной алгебры на примере балансовой модели

57. Подсказка по алгебре

58. Векторная алгебра

59. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для использования матричной алгебры в расчетах электротехнических систем

60. Основные аксиомы и тождества алгебры логики. Аналитическая форма представления булевых функций

61. Абелевы универсальные алгебры

62. Алгебра и начало анализа

63. Доказательство Великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры

64. Конгруэнции Фраттини универсальных алгебр

Закаточная машинка «Лес».
Машинка закаточная с полуавтоматическим перемещением закаточного ролика предназначена для домашнего консервирования и герметичной укупорки
541 руб
Раздел: Консервирование
Игра со звонком "Путаница".
Увлекательная игра для всей семьи. 6 любимых сказок 32 карточки, герои сказок продолжают нас удивлять. Простые правила, яркие иллюстрации,
715 руб
Раздел: Карточные игры
Ступка с пестиком "Mayer & Boch", 250 мл.
Ступка с пестиком изготовлена из прочного мрамора с восковым покрытием. Ступка станет незаменимой вещью для приготовления свежемолотых
616 руб
Раздел: Измельчители, приспособления для резки

65. Линейная алгебра и математическое программирование

66. Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр

67. Векторная алгебра и аналитическая геометрия

68. Методика преподавания темы "Тригонометрические функции" в курсе алгебры и начал анализа

69. Зачет как одна из форм контроля знаний учащихся по алгебре в 8 классе

70. Великобритания (расширенный вариант реферата 9490)
71. Реферат о Пугачеве
72. Реферат перевода с английского языка из книги “A History of England” by Keith Feiling

73. Реферат по книге Фернана Броделя

74. Субъект преступления ("подновлённая" версия реферата 6762)

75. Психология труда (Обзорный реферат по психологии труда)

76. Несколько рефератов по Исламу

77. "Камю", "Сартр", "Шопенгауэр", "Ясперс", "Фромм" (Рефераты, доклады по философии)

78. Реферат по информационным системам управления

79. Семь чудес света - древний мир, средние века и наше время (история цивилизации, реферат)

80. реферат

Ящик почтовый с замком, коричневый.
Ящик почтовый с замком. Материал: пластик. Длина: 385 мм. Ширина: 310 мм. Высота: 80 мм.
490 руб
Раздел: Прочее
Настольная игра "Запретный Остров. Приключения для смелых!".
Запретный остров – это семейная кооперативная игра, в которой игроки действуют совместно против игры. Вашей команде дерзких искателей
1215 руб
Раздел: Карточные игры
Лоток на 3 отделения, черный.
Применяется для сортировки и временного хранения документов, писем, счетов и другой документации. Неразборный. Количество секций:
352 руб
Раздел: Подставки, лотки для бумаг, футляры

81. Обзорный реферат по творчеству Ф.И. Тютчева

82. Определители

83. Методика изучения числовых систем

84. Исследование предельных процессов для числовых последовательностей с применением графических калькуляторов

85. Реферат - Физиология (Транспорт веществ через биологические мембраны)

86. США и Канада в АТР: набор рефератов
87. Как написать хороший реферат?
88. Сборник рефератов о конфликтах

89. Сборник рефератов о конфликтах

90. Реферат по экскурсоведению

91. Реферат по экологии

92. Реферат о прочитаной на немецком языке литературы

93. Реферат для выпускных экзаменов

94. Реферат по ОБЖ, Тема: СПИД

95. Реферат о США

96. Реферат по делопроизводству с вопросами: Подготовка документов к архивному хранению, Правила оформления реквизитов №№16, 19, 20, 22, Контракты (договоры)

Свеча "Gardex Family" репеллентная от комаров.
Свеча обеспечивает защиту от комаров на открытом воздухе и в жилых помещениях в течение всего времени горения (до 30 часов) за счет
355 руб
Раздел: Спираль
Рюкзак для дошкольников "Тролли".
Рюкзачок "Тролли" детский, дошкольный, 1 отделение на завязках с верхних клапаном на липучке, 1 внутренний кармашек, узкие
465 руб
Раздел: Без наполнения
Плакат электронный "Говорящий Букваренок".
Многим детям понравится представленная оригинальная обучающая игра ''Говорящий Букваренок'', ведь она имеет несколько
429 руб
Раздел: Электронные и звуковые плакаты

97. Арифметические типы данных. Числовые константы и переменные

98. Семантика и структура фразеологизмов с числовым компонентом

99. Прямой метод вращения векового определителя


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.