Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

О некоторых трудностях, возникающих при решении геометрических задач

Ручка "Помада".
Шариковая ручка в виде тюбика помады. Расцветка корпуса в ассортименте, без возможности выбора!
25 руб
Раздел: Оригинальные ручки
Горшок торфяной для цветов.
Рекомендуются для выращивания крупной рассады различных овощных и цветочных, а также для укоренения саженцев декоративных, плодовых и
7 руб
Раздел: Горшки, ящики для рассады
Мыло металлическое "Ликвидатор".
Мыло для рук «Ликвидатор» уничтожает стойкие и трудно выводимые запахи за счёт особой реакции металла с вызывающими их элементами.
197 руб
Раздел: Ванная

О некоторых трудностях, возникающих при решении геометрических задач В.Ф.Чаплыгин Анализ результатов приемных экзаменов в университет, опыт работы со школьниками, слушателями подготовительных отделений, студентами-математиками, готовящими себя к педагогической деятельности, дают основания сделать вывод о том, что при решении текстовых задач учащиеся испытывают значительно больше трудностей, чем при решении уравнений и неравенств. Это отчасти объясняется тем, что для решения уравнений, неравенств или их систем можно использовать некоторый набор известных алгоритмов и приемов, так как сама задача уже формализована, математизирована. А для текстовой задачи математическую модель учащийся должен составить самостоятельно. И поэтому эти задачи, в том числе геометрические, о которых пойдет речь, требуют существенно больших логических усилий. Мы коснемся здесь, в основном, задач на вычисление. Решение более или менее серьезной задачи требует, во-первых, тщательного ее анализа. Учащийся должен ясно осознать, что же ему известно, как связаны между собой данные величины, какие следствия из них можно получить, что необходимо найти в задаче и что требуется для этого знать. Анализ при этом может носить не только однонаправленный характер (от данных величин к искомым или наоборот), но и встречный, когда движение совершается в двух противоположных направлениях. Трудным моментом является выбор метода, который приведет к решению задачи наикратчайшим путем. Он, как правило, не однозначен и почти каждая задача допускает не одно решение (имеется в виду не результат, а процесс). Рассуждения, используемые для решения, могут быть чисто геометрические или позаимствованные из алгебры или тригонометрии. К сожалению, приходится констатировать слабые знания учащимися простейших утверждений, фактов, формул. Они затрудняются в измерении углов, связанных с окружностью (вписанных, центральных, составленных хордой и касательной, образованных хордами, пересекающимися внутри окружности, или секущими, исходящими из одной точки вне окружности), не знают свойств касательных и секущих, вписанных и описанных многоугольников, теорем синусов и косинусов, связь значений тригонометрических функций с отношениями сторон прямоугольного треугольника. Хорошо известно, что немаловажную роль в решении геометрических задач имеет чертеж. Если он выполнен верно, то поможет в правильном выборе решения, если ошибочен, то может навести на ложный путь. Говоря об этом, мы не призываем к тому, чтобы включать в курс школьной геометрии как можно больше теорем (на все случаи жизни), а предлагаем создавать комплексы задач, сгруппированных по принципу общих идей или методов решения. Решая задачу, следует обращать внимание учащихся на моменты, помогающие правильно выбрать способ решения, прививать вкус к таким задачам, вселять веру в их творческие возможности, развивать логические способности и интуицию. Приведем примеры задач, которые нам представляются интересными. Первые три задачи используют подобие. Задача 1. Прямоугольный треугольник АВС с катетами АС=3, ВС=2 вписан в квадрат. Известно, что вершина А совпадает с вершиной квадрата, а вершины В и С лежат на сторонах квадрата, не содержащих точку А.

Найти площадь квадрата. В силу равенства отмеченных углов (рис.1) треугольник ACD подобен треугольнику CBE . Пусть AD=x, тогда DC=. Так как AD2 DC2=AC2, то x2 =9, x2=. Таким образом, площадь квадрата равна . Задача 2. На сторонах BC и CD квадрата ABCD выбраны соответственно точки E и F так, что и К - точка пересечения отрезков BF и AE. Найти отношение КЕ:АК. Из подобия треугольников (рис.2) AKB, BKE и ABE следует . Перемножив равенства и , получим . Эту задачу можно решить с помощью гомотетии или теоремы Фалеса, но, на наш взгляд, предложенное решение предпочтительнее. Задача 3. Диаметр окружности с центром О лежит на стороне AD четырехугольника ABCD, при этом АО=ОD. Три остальные стороны АВ, ВС и СD касаются этой окружности. Найти AD, если АВ =а и CD=b. Пусть в треугольнике АВО (рис.3)  ВАО= ,  АВО= ,  ВОА= и, следовательно,    = . Так как ВО - биссектриса угла СВА, то  СВО= . Если Р и Q - точки касания, то  APO= DQO (они прямоугольные, ОР=ОQ, AO=OD)   QDO= PAO= . Сумма углов четырехугольника ABCD равна 2 , поэтому  С=2 –2 –2 . А так как СО - биссектриса, то  DCO= –(  )= . Таким образом, треугольники АОВ и DCO подобны и . Отсюда получаем равенства АО· OD=AB· CD=ab  АО=OD= и AD=2. А в следующих двух задачах учащиеся должны вспомнить свойства вписанных и описанных четырехугольников. Задача 4. На стороне ВС параллелограмма ABCD выбрана такая точка Е, что =2. Известно, что трапеция AECD обладает следующими свойствами: 1) в нее можно вписать окружность; 2) около нее можно описать окружность. Найти величину угла BAD. В силу свойств, которыми обладает трапеция AECD (рис.4), она равнобокая (АЕ=CD) и 2АЕ=ЕС AD. Пусть ВС=3а, тогда BE=2a, EC=a  2AE=EC AD=4a  CD=АЕ=2a. Таким образом,  BEA - равносторонний   ABC=60   BAD=120 . Далеко не все учащиеся могут доказать, почему трапеция, около которой можно описать окружность, является равнобокой. Задача 5.Сумма углов при основании ВС трапеции ABCD равна . Найти величину , если известно, что =10 и в трапецию ABCD можно вписать окружность. Пусть CF  AB (рис.5), тогда CF=AB и в силу условия задачи следует, что  FCD=. По теореме косинусов FD2=FC2 СD2-2FC· СDcos  (AD–BC)2=AB2 СD2– AB· СD. (1) Так как в трапецию ABCD можно вписать окружность, то AD BC=AB CD  (AD BC)2=(AB СD)2. (2) Разделив равенство (1) на равенство (2), получим . Разделив далее числитель и знаменатель левой дроби на произведение AD· BC, а правой части - на AB· СD, получим . Откуда, положив = , и учитывая, что =10, имеем =7. В этой задаче при неудачном выборе решения оно может оказаться очень громоздким. Весьма поучительно, на наш взгляд, решение следующей задачи. Задача 6. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведена биссектриса CL и медиана СМ. Найти площадь треугольника АВС, если LM=a, CM=b.

Пусть АС=х и ВС=у , где х>y (рис.6), тогда х2 у2=4b2, и по свойству биссектрисы  LB=AB= и, следовательно, ML=MB–LB=b–=. Таким образом, приходим к системе . Решая это уравнение относительно ху, находим S ABC= =. Следует обратить внимание учащихся на то, что из полученной системы уравнений искать значения переменных х и · у совершенно излишне. Задача 7. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, проведенная к нему высота - 12 см. Вершины треугольника служат центрами кругов, каждый из которых касается двух других внешним образом. Найти радиусы кругов, которые касаются трех указанных кругов внешним и внутренним образом. Пусть e, f, d, k, h - точки касания, радиус окружности с центром в точке О1 равен r, а с центром в точке О2 - R (рис.7). Так как AD=5, АВ=13, то BE=8, BО1=8 r, AО1=5 r, О1D=4–r. Из прямоугольного треугольника AO1D (5 r)2=25 (4–r)2, 18r=16, r=. ВО2=R–8, О2D=12–(R–8)=20–R, О2A=R–5, и, следовательно, из прямоугольного треугольника АО2D имеем (R–5)2=(20–R)2 25  R==13. Здесь следует напомнить учащимся, что прямая, проходящая через центры двух касающихся окружностей, проходит через точку их касания. В заключение приведем одну задачу на доказательство, которая требует от учащихся достаточно высокой логической культуры. Задача 8. Докажите, что треугольник является равнобедренным в том и только в том случае, когда равны биссектрисы двух внутренних углов. Если в треугольнике АВС (рис.6) АВ=ВС, то углы А и С равны и равны треугольники ВАЕ и ВСD, так как  В - общий и  ВАЕ= ВСD, следовательно, АЕ=СD. Докажем справедливость обратного утверждения. Пусть биссектрисы AE и CD углов А и С треугольника АВС равны. Докажем, что  А= С. S АВС=S ВАЕ S ЕАС  АВ· АС· si А=АВ· АЕ· si АЕ· АС· si  2· АВ· АСcos=(АВ АС)АЕ  АЕ=. Разделив числитель и знаменатель дроби на произведение АВ· АС и обозначив АВ=с, АС=b, ВС=a, получим , аналогично, биссектриса . Если допустить, что  А  С, например,  А&l ; С, то сos>cos и а&l ;c  >  AE>CD, получили противоречие. Приведенные в статье задачи предлагались на вступительных экзаменах в различных вузах России, в том числе, в Ярославском госуниверситете. Список литературы Пойа Д., Как решать задачу, М.: Учпедгиз,1961,207 с. Смирнов Е.И., Технология наглядно-модельного обучения математике, Ярославль,1997,323с. Чаплыгин В.Ф., Чаплыгина Н.Б., Задачи вступительных экзаменов по математике, Ярославль, 1991,140с. Чаплыгин В.Ф., Чаплыгина Н.Б., Задачи вступительных экзаменов по алгебре и геометрии, Ярославль, 1999,112с. Сборник задач по математике для поступающих в вузы (под ред. Прилепко А.И.), М.: Высшая школа,1989,271с. Зафиевский А.В., Вступительные экзамены по математике в 1998году, Ярославль, 1999,36с. Лидский В.Б., Овсянников Л.В., Тулайков А.Н., Шабунин М.Н., Задачи по элементарной математике, М.: Физматгиз, 1960, 463с.

Ведь "кокни" живет "одним ежедневным" и потому умирает, так и не поняв, зачем жил, и почему умирает. При этом, сколько бы "кокни" не учился, его пониманию остается недоступным уже из школьного опыта всех людей вытекающий вывод: трудности в решении назревших задач жизни всегда закономерно, неизбежно, неотвратимо возникают, когда плохо усвоен предшествующий материал. Сам В.Шекспир из книг Гомера понял одну очень важную вещь: связывать будущее с прошлым в голове можно именно потому, что такая связь существует в окружающей нас действительности и всю ее пронизывает, составляя основу ее существования. В каждом миге бытия и бытия людей всегда взаимосвязанно сосуществуют элементы прошлого, настоящего и будущего. "Простейший пример -- музыка, в каждый данный момент в музыкальном произведении наличествует прошлое звучание и предугадывается будущее". Такую поразительную мысль высказал в конце ХХ века академик Д.С.Лихачев. Поразительную во многих отношениях. Прежде всего, конечно, в отношении непонимания слов академика теми, кому они были адресованы

1. Методика обучения решению сюжетных задач в курсе математики 5-6 классов

2. Несколько способов решения одной геометрической задачи

3. Пути повышения эффективности обучения решению задач

4. Решение обратных задач теплопроводности для элементов конструкций простой геометрическо формы

5. Использование моделирования в обучении решению задач в 5 классе

6. Методика обучения решению задач на построение сечений многогранников в 10-11 классах
7. Обучение школьников решению логических задач на уроках информатики с использованием информационно–коммуникационных технологий
8. Преодоление трудностей в обучении учащихся начальных классов с использованием методов театральной педагогики

9. Обучение детей дошкольного возраста решению арифметических задач

10. По решению прикладных задач на языке FRED

11. Графы. решение практических задач с использованием графов (С++)

12. Решение оптимизационной задачи линейного программирования

13. Метод Алексея Юрьевича Виноградова для решения краевых задач

14. Приёмы преодоления трудностей в процессе допроса и диагностики неискренности допрашиваемого.

15. Маркетинг: решение исследовательских задач

16. Решение творческих задач методом блочных альтернативных сетей: объектно-ориентированные представления

Набор "Мимимишки. Кеша и Лисичка" (3 предмета).
Набор с изображениями героев из мультсериала "Ми-ми-мишки" - отличный подарок для вашего ребенка! Подходит для холодных и
454 руб
Раздел: Наборы для кормления
Паста-гель зубная детская "Weleda", 50 мл.
Детский зубной гель с календулой от Weleda разработан специально для детей и обеспечивает естественный уход за молочными зубами,
360 руб
Раздел: Зубные пасты
Качели пластмассовые "Малыш".
В наборе: качели, веревка, пластиковые карабины для регулировки веревок качелей. Материал: пластик. Максимальная нагрузка: 20 кг. Размер:
532 руб
Раздел: Качели

17. Решение транспортной задачи

18. План-конспект урока Математическое моделирование при решении экологических задач

19. Алгоритмы декомпозиции и перебора L-классов для решения некоторых задач размещения

20. Способ устойчивого решения неустойчивых задач и его алгоритм

21. Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах

22. Нечеткая логика при решении криминологических задач
23. Алгоритм решения обратной задачи вихретокового контроля (ВТК)
24. Решение многокритериальной задачи линейного программирования

25. Приемы решения научных задач в русловедении

26. Применение политического дискурс-анализа в решении идеологических задач (На примере медиатизации политических текстов)

27. Использование языка программирования Visual Basic для решения математических задач

28. Математическое моделирование при решении экологических задач

29. Использование Excel для решения статистических задач

30. Использование информационных технологий при решении экономических задач

31. Практикум по решению линейных задач математического программирования

32. Решение краевых задач в среде виртуальной гибридной машины

Статуэтка "Мальчик на лошадке", 10 см.
Материал: фарфор. Регулярно удалять пыль или мыть тёплой водой. Товар не подлежит обязательной сертификации.
436 руб
Раздел: Миниатюры
Точилка "Eagle", синяя.
Работает от батареек 4 батарейки размера АА. Безопасна в использовании. Подходит для карандашей до 8 мм в диаметре. Стальное лезвие. В
325 руб
Раздел: Точилки
Ручка-стилус шариковая "Самый лучший!".
Перед Вами готовый подарок в стильной упаковке — шариковая ручка со стилусом. Она имеет прочный металлический корпус, а надпись нанесена с
415 руб
Раздел: Металлические ручки

33. Решение математических задач средствами Excel

34. Решение прикладных задач методом дихотомии

35. Решение транспортной задачи линейного программирования в среде MS Excel

36. Решение экономических задач программными методами

37. Геометрические задачи на олимпиадах по информатике

38. Решение экономических задач
39. Применение неравенств при решении олимпиадных задач
40. Методы решения логистических задач

41. Актуализация разного типа знаний при решении психологических задач

42. Нейропсихологический подход к проблеме трудностей обучения в школе

43. Эвристические методы решения творческих задач

44. Решение обратных задач динамики

45. Кислотно-каталитические процессы в нефтепереработке и в нефтехимии. Решение обратной задачи кинетики статистическими методами

46. Экономическая теория: решение практических задач

47. Метод потенциалов для решения транспортной задачи в матричной форме. Задача оптимального распределения ресурсов

48. Основы решения эконометрических задач

Форма для выпечки силиконовая "Медвежонок", 26x23,5x4 см.
Форма для выпечки «Медвежонок» изготовлена из пищевого силикона, экологичного, прочного, и пластичного материала. Изделие можно
433 руб
Раздел: Формы и формочки для выпечки
Грязевая фреза для минимоек, для пистолета 375 серии.
Грязевая фреза для мойки высокого давления ЗУБР 70404, предназначен для расширения функциональности моек ЗУБР. Завихренный поток воды под
497 руб
Раздел: Мойки высокого давления
Бумага "Color copy", А4, 220 г/м2, 250 листов.
Формат: А4. Плотность: 220 г/м2. Количество листов: 250. Белизна: 161% CIE.
835 руб
Раздел: Формата А4 и меньше

49. Решение транспортной задачи с правильным балансом

50. Математические методы в решении экономических задач

51. Применение линейного программирования для решения экономических задач (оптимизация прибыли)

52. Обучение общим методам решения задач

53. Методика обучения школьников приемам решения текстовых арифметических задач на основе компетентностного подхода

54. Задачи по семейному праву /условие-вопрос-решение/
55. Периферийное устройство ПЭВМ, Характеристика этапов подготовки и решения задач на ПЭВМ в любой системе программирования. Электронная почта, особенности применения
56. 10 задач с решениями программированием на Паскале

57. Лабораторная работа №7 по "Основам теории систем" (Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ)

58. Лабораторная работа №6 по "Основам теории систем" (Решение задачи о ранце методом ветвей и границ)

59. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана

60. Решение задач линейного программирования

61. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом

62. Решение задач на построение сечений в многогранниках методом следов

63. Задача по травматологии с решением

64. Задачи (с решениями) по сопромату

Рюкзак школьный "Multi Pack. Graphic", 40x18x29,5 см.
Вместительный и удобный школьный рюкзак, отличающийся небольшим весом и наличием твердой спинки. Благодаря прочной каркасной конструкции
3707 руб
Раздел: Без наполнения
Именная кружка с надписью "Любимый папа".
Предлагаем вашему вниманию готовое решения для подарка по любому поводу – именная кружка. Кружка изготовлена из керамики, в нежной
434 руб
Раздел: Кружки
Глобус с подсветкой "Физико-политический", 320 мм.
Невероятно удобный физико-политический глобус с подсветкой отлично подойдет и для домашнего пользования, и как учебный инвентарь в школах.
1068 руб
Раздел: Глобусы

65. Задачи по теории принятия решений

66. Создание программных продуктов для решения задач

67. Линейное программирование: постановка задач и графическое решение

68. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом

69. Решение задач с помощью ортогонального проектирования

70. Применение движений к решению задач
71. О методике решения задач на относительность движения при изучении основ кинематики в 9 классе общеобразовательной школы
72. Пример решения задачи по разделу «Переходные процессы»

73. Практика решения проблемы управления индивидуализированным обучением на базе информационных технологий

74. Структура и динамика процессов решения задач

75. Преодоление барьеров в обучении

76. Структуризация и систематизация сюжетных задач по сложности их решения

77. Решение задач транспортного типа методом потенциалов

78. Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки

79. Электрофизиологические корреляты центральных программ при решении простых моторных задач у лиц с различным профилем асимметрии

80. Решение задач по химии

Карточки Первого Года (20 карточек).
Карточки Первого Года – совершенно новый способ наблюдать, как растет и меняется малыш от месяца к месяцу. Нужно просто заполнить карточку
352 руб
Раздел: Прочее
Карандаши цветные "ColorPics", 36 цветов + точилка.
Ударопрочные цветные карандаши имеют насыщенные цвета. Шестигранная форма корпуса снижает усталость и придает дополнительный комфорт.
313 руб
Раздел: Более 24 цветов
Логическая игра "Следопыт, колобок".
Игра предлагает ребенку 48 различных заданий на развитие логики и мышления. Смысл игры заключается в том, что нужно разложить пазлы особым
1104 руб
Раздел: Игры логические

81. Задачи по экономике с решениями

82. Применение новейших экономико-математических методов для решения задач

83. Опыт применения сейсморазведки ОГТ для решения инженерно-геологических задач

84. Применение спектральной сейсморазведки для решения задач инженерной геологии

85. Решение задачи одномерной упаковки с помощью параллельного генетического алго-ритма

86. Задачи по моделированию с решениями
87. Линейное программирование: решение задач графическим способом
88. Решение задачи о кратчайшем маршруте

89. Построение математических моделей при решении задач оптимизации

90. Трудности заключения мирового соглашения на стадии исполнения решения суда

91. Решение задач по дисциплине "Страхование"

92. Решение задач по управленческому учету

93. Особенности решения задач по трудовому, гражданскому, уголовному праву

94. Примеры решения задач по правоведению

95. Excel: решение задач с подбором параметров

96. Метод программирования и схем ветвей в процессах решения задач дискретной оптимизации

Фляга S.Quire "Птицы" 0,24 л, сталь, серебристый цвет с рисунком.
Фляги S.Quire изготавливаются из высококачественной нержавеющей пищевой стали с применением современных методов производства и
760 руб
Раздел: Фляжки сувенирные
Тарелка Lubby "Веселые животные" с присоской.
Тарелка "Lubby" для кормления незаменима в период, когда Ваш малыш учится есть самостоятельно. Присоска препятствует свободному
345 руб
Раздел: Тарелки
Набор "Грибочки".
Игра используется в качестве пособия в предметной деятельности. В комплект входит деревянная платформа и 15 грибочков разной формы и
571 руб
Раздел: Счетные наборы, веера

97. Подготовка и решение на ПК задач с разветвлением

98. Применение встроенных функций табличного редактора excel для решения прикладных статистических задач

99. Программирование решения задач


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.