Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Решение иррациональных уравнений

Коврик для запекания, силиконовый "Пекарь".
Коврик "Пекарь", сделанный из силикона, поможет Вам готовить вкусную и красивую выпечку. Благодаря материалу коврика, выпечка не
202 руб
Раздел: Коврики силиконовые для выпечки
Крючки с поводками Mikado SSH Fudo "SB Chinu", №4BN, поводок 0,22 мм.
Качественные Японские крючки с лопаткой. Крючки с поводками – готовы к ловле. Высшего качества, исключительно острые японские крючки,
58 руб
Раздел: Размер от №1 до №10
Забавная пачка "5000 дублей".
Юмор – настоящее богатство! Купюры в пачке выглядят совсем как настоящие, к тому же и банковской лентой перехвачены... Но вглядитесь
60 руб
Раздел: Прочее

Министерство образования и науки РФ. МОУ “Ульканская средняя общеобразовательная школа №2”. ТЕМА: Решение иррациональных уравнений. Реферат выполнен: Верхошанской Светланой Александровной, ученица 9”Г” класса. Руководитель: Высоцкая Лидия Степановна, учитель математики. Улькан 2005 СОДЕРЖАНИЕ: Глава I. Историческая справка . .2 Глава II §1. Решение иррациональных уравнений . .3 §2. Преобразование иррациональных выражений . .5 §3. Уравнения с радикалом третьей степени .6 §4. Введение нового неизвестного . 7 Литература 9Историческая справка об иррациональных уравнениях. “Источником алгебраических иррациональностей является двузначность или многозначность задачи; ибо было бы невозможно выразить одним и тем же вычислением многие значения, удовлетворяющие одной и той же задаче, иначе, чем при помощи корней ; они же разве только в частных случаях могут быть сведены к рациональностям”. (Лейбниц Г.) Одной из конкретных причин появления математических теорий явилось открытие иррациональностей. Вначале это произошло в пределах геометрических изысканий в виде установления факта несоизмеримости двух отрезков прямой. Значение этого открытия в математике трудно переоценить. В математику, едва ли не впервые, вошла сложная теоретическая абстракция, не имеющая аналога в донаучном общечеловеческом опыте. Вероятно, самой первой иррациональностью, открытой древнегреческими математиками, было число . Можно с определённой уверенностью считать, что исходным пунктом этого открытия были попытки найти общую меру с помощью алгоритма попеременного вычитания, известного сейчас как алгоритм Евклида. Возможно также, что некоторую роль сыграла задача математической теории музыки: деление октава, приводящее к пропорции 1:п=п:2. Не последнюю роль сыграл и характерный для пифагорейской школы общий интерес к теоретико-числовым проблемам. Древние математики нашли довольно быстро логически строгое доказательство иррациональности числа путём сведения этого доказательства к формальному противоречию. Пусть , где m и – взаимно простые числа. Тогда m2=2 2, откуда следует, что т2 чётное и, следовательно, п2 чётное. Чётно, следовательно и п. Получающееся противоречие (п не может быть одновременно и чётным и нечётным) указывает на неверность посылки, что число рационально. Для исследования вновь открываемых квадратичных иррациональностей сразу же оказалось необходимым разрабатывать теорию делимости чисел. В самом деле, пусть , где p и g - взаимно просты, а п является произведением только первых степеней сомножителей отсюда р2=пg2. Если – простой делитель п, то р2 (а значит, и р) делится на . Следовательно, р2 делится на 2. Но в п содержится только первая степень . Значит g2 (равно как и g) делится на . Но этот результат формально противоречит предположению, что р и g взаимно просты. Вслед за иррациональностью числа были открыты многие другие иррациональности. Так, Архит (около 428-365 до н.э.) доказал иррациональность чисел вида . Теодор из Кирены (V в. до н.э.) установил иррациональность квадратного корня из чисел 3,5,6, ,17, которые не являются полным квадратом.

Теэтет (410-369 до н.э.) дал одну из первых классификаций иррациональностей. С появлением иррациональностей в древнегреческой математике возникли серьёзные трудности как в теоретико-числовом, так и в геометрическом плане. Решение иррациональных уравнений. Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными. Таково, например, уравнение . При решении иррациональных уравнений полученные решения требуют проверки, потому, например, что неверное равенство при возведении в квадрат может дать верное равенство. В самом деле, неверное равенство при возведении в квадрат даёт верное равенство 12= (-1)2, 1=1. Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные переходы. Пример 1. Решим уравнение . Возведём обе части этого уравнения в квадрат и получим , откуда следует, что , т.е. . Проверим, что полученные числа являются решениями уравнения. Действительно, при подстановке их в данное уравнение получаются верные равенства: и Следовательно, x=3 или x=-3 – решение данного уравнения. Пример 2. Решим уравнение . Возведя в квадрат обе части уравнения, получим . После преобразований приходим к квадратному уравнению , корни которого и . Проверим, являются ли найденные числа решениями данного уравнения. При подстановке в него числа 4 получим верное равенство , т.е. 4 - решение данного уравнения. При подстановке же числа 1 получаем в правой части -1, а в левой части число 1. Следовательно, 1 не является решением уравнения; говорят, что это посторонний корень, полученный в результате принятого способа решения. Ответ: . Пример 3. Решим уравнение . Возведём обе части этого уравнения в квадрат: , откуда получаем уравнение , корни которого и . Сразу ясно, что число -1 не является корнем данного уравнения, т.к. обе части его не определены при . При подстановке в уравнение числа 2 получаем верное равенство , следовательно, решением данного уравнения является только число 2. Пример 4. Решим уравнение . Возведя в квадрат обе части этого уравнения, получаем , , . Подстановкой убеждаемся, что число 5 не является корнем данного уравнения. Поэтому уравнение не имеет решений. Пример 5. Решим уравнение . По определению - это такое неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Другими словами, уравнение равносильно системе: Решая первое уравнение системы, равносильное уравнению , получим корни 11 и 6, но условие выполняется только для . Поэтому данное уравнение имеет один корень . Пример 6. Решим уравнение . В отличие от рассмотренных ранее примеров данное иррациональное уравнение содержит не квадратный корень, а корень третьей степени. Поэтому для того, чтобы “избавиться от радикала”, надо возвести обе части уравнения не в квадрат, а в куб: . После преобразований получаем: Итак, , . Пример 7. Решим систему уравнений: Положив и , приходим к системе Разложим левую часть второго уравнения на множители: - и подставим в него из первого уравнения . Тогда получим систему, равносильную второй: Подставляя во второе уравнение значение v, найденное из первого , приходим к уравнению , т.е

. . Полученное квадратное уравнение имеет два корня: и . Соответствующие значения v таковы: и . Переходя к переменным х и у, получаем: , т.е. , , , . Преобразование иррациональных выражений. Если знаменатель дроби содержит иррациональное выражение, то часто целесообразно избавиться от последнего. Рассмотрим некоторые типичные случаи: Пример: При непосредственном возведении в квадрат обеих частей уравнения уравнение должно быть сначала преобразовано так, чтобы в одной части стояли только радикалы, а в другой – остальные члены исходного уравнения. Так поступают, если радикалов в уравнении два. Если же их три, то два из них оставляют в одной части уравнения, а третий переносят в другую. Затем обе части уравнения возводят в квадрат и проводятся необходимые преобразования (приведение подобных и т.п.). Далее все члены уравнения, не содержащие радикалов, снова переносятся в одну сторону уравнения, а оставшийся радикал (теперь он будет только один!) – в другую. Полученное уравнение вновь возводят в квадрат, и в итоге получается уравнение, не содержащее радикалов. Пример. Введение новой переменной: . Решение: Обозначим , тогда Уравнение примет вид: Возведём его в квадрат: Это уравнение так же возводим в квадрат: Проверка: полученные значения мы должны проверить в уравнении (1), так как именно оно возводилось в квадрат. Проверка показывает, что - посторонний корень, а - действительно корень уравнения (1). Отсюда получим: Ответ: 0;-1. Уравнения с радикалом третьей степени. При решении уравнений, содержащих радикалы 3-й степени, бывает полезно пользоваться сложением тождествами: Пример 1. . Возведём обе части этого уравнения в 3-ю степень и воспользуемся выше приведённым тождеством: Заметим, что выражение стоящее в скобках равно 1, что следует из первоначального уравнения. Учитывая это и приводя подобные члены, получим: Раскроем скобки, приведём подобные члены и решим квадратное уравнение. Его корни и . Если считать (по определению), что корень нечётной степени можно извлекать и из отрицательных чисел, то оба полученных числа являются решениями исходного уравнения. Ответ: . Решение 2 Возведём две новые переменные и , тогда , . Заметим, что . В итоге получим систему уравнений: Используя первоначальные уравнения системы, преобразуем вторые, заменив первую скобку единицей, а вторую подставим вместо неизвестного у выражение , также полученное из первого . Приведём подобные члены, раскрыв предварительно скобки и решив полученное квадратное уравнение. Его корни и . Вернёмся теперь к начальной подстановке и получим искомые решения: Введение нового неизвестного. Решив эти уравнения, найдём радикалы более высоких степеней, но наиболее часто использовавшийся способ их решения – введение нового(новых) неизвестного. Пример 2. Обозначим , тогда а) Уравнение примет вид: Корень не удовлетворяет условию Ответ: 76. Методы решения иррациональных уравнений. Методы решения иррациональных уравнений, как правило основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо равносильно исходному, либо является его следствием.

И среди великих людей никого не видел и не слышал, кто бы доверял предсказаниям". Низами Арузи, придворный поэт, сам нередко выступавший как астролог, заключает приведенный рассказ следующим трезвым суждением: "Хотя предсказание по звездам -признанное искусство, уповать на него не следует, А астрологу надлежит далеко в этой вере не идти и каждое предсказание, кое он делает, поручать судьбе". В Исфахане, при дворе Малик-шаха, Омар Хайям продолжает занятия математикой. В конце 1677 года он завершает геометрический труд "Трактат об истолковании трудных положений Евклида". Математические сочинения Омара Хайяма -- их сохранилось до наших дней два (первое мы упоминали выше -- алгебраический трактат, написанный еще в шестидесятые годы) -- содержали теоретические выводы чрезвычайной важности. Впервые в истории математических дисциплин Хайям дал полную классификацию всех видов уравнений -линейных, квадратных и кубических (всего двадцать пять видов) и разработал систематическую теорию решения кубических уравнений. Именно Омару Хайяму принадлежит заслуга первой постановки вопроса о связях геометрии с алгеброй

1. Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически

2. Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

3. Методы решения систем линейных неравенств

4. «Остров Утопия» Т.Мора и «Город Солнца» Т.Кампанеллы как попытки решения проблемы социального неравенства

5. Возможности деятельности специалиста по социальной работе в решении проблемы одиночества пожилых людей (на примере отделения социального обслуживания на дому граждан пожилого возраста и инвалидов МУ КЦСОН "Гармония" г. Устюжна)

6. Решение иррациональных уравнений
7. Решение иррациональных неравенств
8. Иррациональные уравнения

9. Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром

10. Иррациональные уравнения

11. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций на элективном курсе по математике в старших классах общеобразовательной школы

12. Рациональное и иррациональное в творчестве Габриэля Гарсия Маркеса

13. Разработка программного обеспечения решения нелинейных уравнений

14. Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

15. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя

16. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

Перчатки виниловые одноразовые, размер S, 100 шт..
Виниловые одноразовые перчатки применяются во время разных видов работ: в пищевой сфере, косметологии, при уборке. Перчатки мягкие и
305 руб
Раздел: Перчатки
Дневник "My Life Story" (бежевый).
Дневник, который запечатлеет Всю историю Вашей жизни. В него Вы можете записать все, что не хотите забыть, все важные моменты Вашей жизни,
2850 руб
Раздел: Прочее
Настольная игра "Ticket to Ride: Европа".
Эта увлекательная игра предлагает захватывающее путешествие из дождливого Эдинбурга в солнечный Константинополь. В настольной игре «Ticket
2990 руб
Раздел: Классические игры

17. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модуль

18. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

19. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

20. Загрязнение атмосферы и решение этой проблемы на примере Санкт-Петербурга

21. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

22. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка
23. Применение графиков в решении уравнений
24. Решение смешанной задачи для уравнения

25. Методы решения уравнений в странах древнего мира

26. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

27. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных

28. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

29. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

30. Способы решения систем линейных уравнений

31. Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики

32. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули

Этикетка самоклеящаяся, А4, 24 этикетки, 70х37 мм, белая, 100 листов.
Размер этикетки: 70х37 мм. 24 этикетки на листе А4 формата. Плотность бумаги: 70 г/м2. Верхнее и нижнее поле (отступ от края листа до
660 руб
Раздел: Бейджи, держатели, этикетки
Мозаика с прозрачным полем, 40 мм, 70 деталей.
Мозаика с прозрачным полем – отличный подарок для маленьких фантазеров. Из красочных деталек-ромбиков ваш ребенок сможет собирать любые
438 руб
Раздел: Пластмассовая
Водный игровой центр "Пляж".
Надувной игровой центр "Дельфин" представляет собой детский надувной игровой комплекс с бассейном, фонтаном и разноцветными
1644 руб
Раздел: Батуты, надувные центры

33. Линейные уравнения и неравенства

34. Проблема иррациональных чисел

35. Иррациональное потребительское поведение

36. Волновое уравнение не имеет единственного решения

37. Пример решения задачи по механике

38. Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах
39. Вакханалия. Греки и иррациональное
40. Современные проблемы развития малого бизнеса в России и пути их решения на примере Краснодарского края

41. Решение дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией

42. Решение нелинейных уравнений

43. Методы решения уравнений в странах древнего мира

44. Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

45. Метод касательных решения нелинейных уравнений

46. Численное решение модельного уравнения

47. Феноменологическое обоснование формы линейного элемента шварцшильдова решения уравнений гравитационного поля ОТО

48. Российские иррациональные идеи

Логическая игра "IQ-Фокус", арт. SG 422 RU.
Сфокусируйтесь на центральной части игрового поля, чтобы решить 120 заданий этой IQ-головоломки. Заполните сетку 10 разноцветными деталями
512 руб
Раздел: Игры логические
Пенал "Jungle" с наполнением.
Пенал на 1 отделение укоплектован необходимыми школьными принадлежностями. В комплекте пенала в помощь и на радость школьники найдут
1079 руб
Раздел: С наполнением
Кружка "Peter Rabbit".
Красивая кружка серии "Peter Rabbit" из меламина с изображением кролика из сказки. Удобная, легкая, противоударная. На дне
594 руб
Раздел: Кружки, стаканы, чашки

49. Примеры решения задач по правоведению

50. Автоматизация решения систем линейных алгебраических уравнений

51. Методы и алгоритмы компьютерного решения дифференциальных уравнений

52. Построение аналоговой ЭВМ для решения дифференциального уравнения шестого порядка

53. Разработка программного обеспечения для решения уравнений с одной переменной методом Ньютона (касательных)

54. Разработка программы поиска решения системы дифференциальных уравнений двумя методами: Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона
55. Решение дифференциальных уравнений в среде MathCAD
56. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

57. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона

58. Решение системы линейных уравнений

59. Решение уравнений средствами Excel

60. Численное решение системы линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу

61. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения дифференциального уравнения n-го порядка

62. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы дифференциальных уравнений

63. Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка

64. Графическое решение уравнений

Лупа с креплением на голову и подсветкой (увеличение: 1,8-х - 4,8-х кратное).
Лупа с креплением на голову, обладающая регулировкой степени увеличения.
462 руб
Раздел: Лупы
Говорящий плакат "Первые знания".
С помощью этого говорящего плаката ваш ребенок изучит буквы и цифры! Нажимай на мультяшек и слушай любимые песенки. Выбери игру -
445 руб
Раздел: Электронные и звуковые плакаты
Автокружка с подогревом USB 12 V (450 мл).
Подключается к стандартному автомобильному прикуривателю и разъему USB. Сохраняет жидкость теплой, пока подключена к прикуривателю или
660 руб
Раздел: Прочее

65. Изучение теоремы Безу для решения уравнений n-й степени при n>2

66. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

67. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

68. Решение алгебраического уравнения n-ой степени

69. Решение дифференциальных уравнений

70. Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными
71. Решение одного нелинейного уравнения
72. Решение произвольных систем линейных уравнений

73. Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка

74. Решение уравнений с параметрами

75. Методы решения алгебраических уравнений

76. Методы решения систем линейных уравнений

77. Показательно-степенные уравнения и неравенства

78. Применение неравенств при решении олимпиадных задач

79. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

80. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Обложки для переплета, А4, пластик, 150 мкм, прозрачные, 100 шт..
Прозрачные обложки для переплета из прочного, износостойкого пластика. Обложки придадут документам эстетичный внешний вид и защитят от
511 руб
Раздел: Прочее
Отделитель косточек вишни "Mayer & Boch", 1,5 л, механический (арт. 25985).
Когда вам захочется приготовить вишневый пирог или варенья вишневое без косточек, вы стараетесь выделить больше времени, так как оно уйдет
477 руб
Раздел: Прочее
Сковорода-сотейник алюминиевая с антипригарным покрытием "Alpenkok" AK-1007/28N "Brown Marble", 28.
Диаметр: 28 см. Высота: 7,5 см. Толщина дна: 4 мм. Сковорода-сотейник из литого алюминия. Высококачественное внутреннее антипригарное
856 руб
Раздел: Сковороды с антипригарным покрытием

81. Актуальность решения проблем бедности (на примере г. Иркутска)

82. Использование ERP-решений в конкурентном бизнесе (на примере сферы сервисного обслуживания и аренды оборудования)

83. Решения конфликтных ситуаций (на примере ООО "Атлант")

84. Управленческое решение на примере розничной торговли

85. Сравнительный анализ методики ознакомления с равенствами, неравенствами, уравнениями в традиционной школе и системе развивающего обучения

86. Роль женских общественных организаций в решении социальных проблем в Российской Федерации (на примере Алтайского края)
87. Иррациональность философии постмодернизма
88. Примеры решения задач по реакциям электролиза

89. Примеры решения задач по статистике

90. Финансовое состояние предприятия: анализ, проблемы и пути их решения на примере ООО "Сарапульского молочного комбината"

91. Градостроительство феодального Китая на примере Пекина

92. Биотехнология. Вклад в решение глобальных проблем человечества

93. Разработка основных биотехнологических процессов производства и системы управления качеством липидных косметических препаратов (на примере тоников для проблемной кожи)

94. Внешнеэкономические связи России на примере Северо-Западного и Дальневосточного регионов

95. Экономико-географическая характеристика страны на примере Испании

96. Деятельность международных организаций ООН в решении глобальной продовольственной проблемы

Муфта для коляски Bambola (шерстяной мех + плащевка + кнопки), темно-синяя.
Муфта на ручку коляски очень легко одевается и защищает Ваши руки от холода. Ткань муфты водоотталкивающая, она утеплена мехом и небольшим
489 руб
Раздел: Муфты на ручку
Матрас в приставную колыбельку Bambola "Mini soft-8" (45x90x8 см).
Состав: - латексированная кокосовая плита; - микрофибра - съемный чехол. Размеры: 45x90x8 см.
883 руб
Раздел: Матрацы до 120 см
Контейнер герметичный глубокий, 5000 мл.
Контейнер герметичный глубокий. Материал: пластик. Объем: 5000 мл. Размеры: 28х20х15 см.
314 руб
Раздел: Штучно

97. Изменение географической оболочки при добыче полезных ископаемых на примере Рускеальской мраморной ломки

98. Зарубежный опыт государственного регулирования рыночной экономики на примере Франции (Доклад)

99. Финансирование железнодорожного транспорта на примере Тюменского отделения дороги


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.