|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Решение иррациональных уравнений |
Коврик для запекания, силиконовый "Пекарь". 
Крючки с поводками Mikado SSH Fudo "SB Chinu", №4BN, поводок 0,22 мм. 
Забавная пачка "5000 дублей". Министерство образования и науки РФ. МОУ “Ульканская средняя общеобразовательная школа №2”. ТЕМА: Решение иррациональных уравнений. Реферат выполнен: Верхошанской Светланой Александровной, ученица 9”Г” класса. Руководитель: Высоцкая Лидия Степановна, учитель математики. Улькан 2005 СОДЕРЖАНИЕ: Глава I. Историческая справка . .2 Глава II §1. Решение иррациональных уравнений . .3 §2. Преобразование иррациональных выражений . .5 §3. Уравнения с радикалом третьей степени .6 §4. Введение нового неизвестного . 7 Литература 9Историческая справка об иррациональных уравнениях. “Источником алгебраических иррациональностей является двузначность или многозначность задачи; ибо было бы невозможно выразить одним и тем же вычислением многие значения, удовлетворяющие одной и той же задаче, иначе, чем при помощи корней ; они же разве только в частных случаях могут быть сведены к рациональностям”. (Лейбниц Г.) Одной из конкретных причин появления математических теорий явилось открытие иррациональностей. Вначале это произошло в пределах геометрических изысканий в виде установления факта несоизмеримости двух отрезков прямой. Значение этого открытия в математике трудно переоценить. В математику, едва ли не впервые, вошла сложная теоретическая абстракция, не имеющая аналога в донаучном общечеловеческом опыте. Вероятно, самой первой иррациональностью, открытой древнегреческими математиками, было число . Можно с определённой уверенностью считать, что исходным пунктом этого открытия были попытки найти общую меру с помощью алгоритма попеременного вычитания, известного сейчас как алгоритм Евклида. Возможно также, что некоторую роль сыграла задача математической теории музыки: деление октава, приводящее к пропорции 1:п=п:2. Не последнюю роль сыграл и характерный для пифагорейской школы общий интерес к теоретико-числовым проблемам. Древние математики нашли довольно быстро логически строгое доказательство иррациональности числа путём сведения этого доказательства к формальному противоречию. Пусть , где m и – взаимно простые числа. Тогда m2=2 2, откуда следует, что т2 чётное и, следовательно, п2 чётное. Чётно, следовательно и п. Получающееся противоречие (п не может быть одновременно и чётным и нечётным) указывает на неверность посылки, что число рационально. Для исследования вновь открываемых квадратичных иррациональностей сразу же оказалось необходимым разрабатывать теорию делимости чисел. В самом деле, пусть , где p и g - взаимно просты, а п является произведением только первых степеней сомножителей отсюда р2=пg2. Если – простой делитель п, то р2 (а значит, и р) делится на . Следовательно, р2 делится на 2. Но в п содержится только первая степень . Значит g2 (равно как и g) делится на . Но этот результат формально противоречит предположению, что р и g взаимно просты. Вслед за иррациональностью числа были открыты многие другие иррациональности. Так, Архит (около 428-365 до н.э.) доказал иррациональность чисел вида . Теодор из Кирены (V в. до н.э.) установил иррациональность квадратного корня из чисел 3,5,6, ,17, которые не являются полным квадратом.
Теэтет (410-369 до н.э.) дал одну из первых классификаций иррациональностей. С появлением иррациональностей в древнегреческой математике возникли серьёзные трудности как в теоретико-числовом, так и в геометрическом плане. Решение иррациональных уравнений. Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными. Таково, например, уравнение . При решении иррациональных уравнений полученные решения требуют проверки, потому, например, что неверное равенство при возведении в квадрат может дать верное равенство. В самом деле, неверное равенство при возведении в квадрат даёт верное равенство 12= (-1)2, 1=1. Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные переходы. Пример 1. Решим уравнение . Возведём обе части этого уравнения в квадрат и получим , откуда следует, что , т.е. . Проверим, что полученные числа являются решениями уравнения. Действительно, при подстановке их в данное уравнение получаются верные равенства: и Следовательно, x=3 или x=-3 – решение данного уравнения. Пример 2. Решим уравнение . Возведя в квадрат обе части уравнения, получим . После преобразований приходим к квадратному уравнению , корни которого и . Проверим, являются ли найденные числа решениями данного уравнения. При подстановке в него числа 4 получим верное равенство , т.е. 4 - решение данного уравнения. При подстановке же числа 1 получаем в правой части -1, а в левой части число 1. Следовательно, 1 не является решением уравнения; говорят, что это посторонний корень, полученный в результате принятого способа решения. Ответ: . Пример 3. Решим уравнение . Возведём обе части этого уравнения в квадрат: , откуда получаем уравнение , корни которого и . Сразу ясно, что число -1 не является корнем данного уравнения, т.к. обе части его не определены при . При подстановке в уравнение числа 2 получаем верное равенство , следовательно, решением данного уравнения является только число 2. Пример 4. Решим уравнение . Возведя в квадрат обе части этого уравнения, получаем , , . Подстановкой убеждаемся, что число 5 не является корнем данного уравнения. Поэтому уравнение не имеет решений. Пример 5. Решим уравнение . По определению - это такое неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Другими словами, уравнение равносильно системе: Решая первое уравнение системы, равносильное уравнению , получим корни 11 и 6, но условие выполняется только для . Поэтому данное уравнение имеет один корень . Пример 6. Решим уравнение . В отличие от рассмотренных ранее примеров данное иррациональное уравнение содержит не квадратный корень, а корень третьей степени. Поэтому для того, чтобы “избавиться от радикала”, надо возвести обе части уравнения не в квадрат, а в куб: . После преобразований получаем: Итак, , . Пример 7. Решим систему уравнений: Положив и , приходим к системе Разложим левую часть второго уравнения на множители: - и подставим в него из первого уравнения . Тогда получим систему, равносильную второй: Подставляя во второе уравнение значение v, найденное из первого , приходим к уравнению , т.е
. . Полученное квадратное уравнение имеет два корня: и . Соответствующие значения v таковы: и . Переходя к переменным х и у, получаем: , т.е. , , , . Преобразование иррациональных выражений. Если знаменатель дроби содержит иррациональное выражение, то часто целесообразно избавиться от последнего. Рассмотрим некоторые типичные случаи: Пример: При непосредственном возведении в квадрат обеих частей уравнения уравнение должно быть сначала преобразовано так, чтобы в одной части стояли только радикалы, а в другой – остальные члены исходного уравнения. Так поступают, если радикалов в уравнении два. Если же их три, то два из них оставляют в одной части уравнения, а третий переносят в другую. Затем обе части уравнения возводят в квадрат и проводятся необходимые преобразования (приведение подобных и т.п.). Далее все члены уравнения, не содержащие радикалов, снова переносятся в одну сторону уравнения, а оставшийся радикал (теперь он будет только один!) – в другую. Полученное уравнение вновь возводят в квадрат, и в итоге получается уравнение, не содержащее радикалов. Пример. Введение новой переменной: . Решение: Обозначим , тогда Уравнение примет вид: Возведём его в квадрат: Это уравнение так же возводим в квадрат: Проверка: полученные значения мы должны проверить в уравнении (1), так как именно оно возводилось в квадрат. Проверка показывает, что - посторонний корень, а - действительно корень уравнения (1). Отсюда получим: Ответ: 0;-1. Уравнения с радикалом третьей степени. При решении уравнений, содержащих радикалы 3-й степени, бывает полезно пользоваться сложением тождествами: Пример 1. . Возведём обе части этого уравнения в 3-ю степень и воспользуемся выше приведённым тождеством: Заметим, что выражение стоящее в скобках равно 1, что следует из первоначального уравнения. Учитывая это и приводя подобные члены, получим: Раскроем скобки, приведём подобные члены и решим квадратное уравнение. Его корни и . Если считать (по определению), что корень нечётной степени можно извлекать и из отрицательных чисел, то оба полученных числа являются решениями исходного уравнения. Ответ: . Решение 2 Возведём две новые переменные и , тогда , . Заметим, что . В итоге получим систему уравнений: Используя первоначальные уравнения системы, преобразуем вторые, заменив первую скобку единицей, а вторую подставим вместо неизвестного у выражение , также полученное из первого . Приведём подобные члены, раскрыв предварительно скобки и решив полученное квадратное уравнение. Его корни и . Вернёмся теперь к начальной подстановке и получим искомые решения: Введение нового неизвестного. Решив эти уравнения, найдём радикалы более высоких степеней, но наиболее часто использовавшийся способ их решения – введение нового(новых) неизвестного. Пример 2. Обозначим , тогда а) Уравнение примет вид: Корень не удовлетворяет условию Ответ: 76. Методы решения иррациональных уравнений. Методы решения иррациональных уравнений, как правило основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо равносильно исходному, либо является его следствием.
И среди великих людей никого не видел и не слышал, кто бы доверял предсказаниям". Низами Арузи, придворный поэт, сам нередко выступавший как астролог, заключает приведенный рассказ следующим трезвым суждением: "Хотя предсказание по звездам -признанное искусство, уповать на него не следует, А астрологу надлежит далеко в этой вере не идти и каждое предсказание, кое он делает, поручать судьбе". В Исфахане, при дворе Малик-шаха, Омар Хайям продолжает занятия математикой. В конце 1677 года он завершает геометрический труд "Трактат об истолковании трудных положений Евклида". Математические сочинения Омара Хайяма -- их сохранилось до наших дней два (первое мы упоминали выше -- алгебраический трактат, написанный еще в шестидесятые годы) -- содержали теоретические выводы чрезвычайной важности. Впервые в истории математических дисциплин Хайям дал полную классификацию всех видов уравнений -линейных, квадратных и кубических (всего двадцать пять видов) и разработал систематическую теорию решения кубических уравнений. Именно Омару Хайяму принадлежит заслуга первой постановки вопроса о связях геометрии с алгеброй
1. Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически
2. Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)
3. Методы решения систем линейных неравенств
9. Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром
12. Рациональное и иррациональное в творчестве Габриэля Гарсия Маркеса
13. Разработка программного обеспечения решения нелинейных уравнений
14. Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
15. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя
16. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
Перчатки виниловые одноразовые, размер S, 100 шт.. 
Дневник "My Life Story" (бежевый). 
Настольная игра "Ticket to Ride: Европа". 17. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модуль
18. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
19. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
20. Загрязнение атмосферы и решение этой проблемы на примере Санкт-Петербурга
21. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
25. Методы решения уравнений в странах древнего мира
26. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
27. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
28. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
29. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
30. Способы решения систем линейных уравнений
31. Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики
32. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули
Этикетка самоклеящаяся, А4, 24 этикетки, 70х37 мм, белая, 100 листов. 
Мозаика с прозрачным полем, 40 мм, 70 деталей. 
Водный игровой центр "Пляж". 33. Линейные уравнения и неравенства
34. Проблема иррациональных чисел
35. Иррациональное потребительское поведение
36. Волновое уравнение не имеет единственного решения
37. Пример решения задачи по механике
41. Решение дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией
42. Решение нелинейных уравнений
43. Методы решения уравнений в странах древнего мира
44. Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений
45. Метод касательных решения нелинейных уравнений
46. Численное решение модельного уравнения
48. Российские иррациональные идеи
Логическая игра "IQ-Фокус", арт. SG 422 RU. 
Пенал "Jungle" с наполнением. 
Кружка "Peter Rabbit". 49. Примеры решения задач по правоведению
50. Автоматизация решения систем линейных алгебраических уравнений
51. Методы и алгоритмы компьютерного решения дифференциальных уравнений
52. Построение аналоговой ЭВМ для решения дифференциального уравнения шестого порядка
57. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона
58. Решение системы линейных уравнений
59. Решение уравнений средствами Excel
63. Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка
64. Графическое решение уравнений
Лупа с креплением на голову и подсветкой (увеличение: 1,8-х - 4,8-х кратное). 
Говорящий плакат "Первые знания". 
Автокружка с подогревом USB 12 V (450 мл). 65. Изучение теоремы Безу для решения уравнений n-й степени при n>2
66. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
67. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений
68. Решение алгебраического уравнения n-ой степени
69. Решение дифференциальных уравнений
73. Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка
74. Решение уравнений с параметрами
75. Методы решения алгебраических уравнений
76. Методы решения систем линейных уравнений
77. Показательно-степенные уравнения и неравенства
78. Применение неравенств при решении олимпиадных задач
79. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
80. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
Обложки для переплета, А4, пластик, 150 мкм, прозрачные, 100 шт.. 
Отделитель косточек вишни "Mayer & Boch", 1,5 л, механический (арт. 25985). 
Сковорода-сотейник алюминиевая с антипригарным покрытием "Alpenkok" AK-1007/28N "Brown Marble", 28. 81. Актуальность решения проблем бедности (на примере г. Иркутска)
83. Решения конфликтных ситуаций (на примере ООО "Атлант")
84. Управленческое решение на примере розничной торговли
89. Примеры решения задач по статистике
91. Градостроительство феодального Китая на примере Пекина
92. Биотехнология. Вклад в решение глобальных проблем человечества
94. Внешнеэкономические связи России на примере Северо-Западного и Дальневосточного регионов
95. Экономико-географическая характеристика страны на примере Испании
96. Деятельность международных организаций ООН в решении глобальной продовольственной проблемы
Муфта для коляски Bambola (шерстяной мех + плащевка + кнопки), темно-синяя. 
Матрас в приставную колыбельку Bambola "Mini soft-8" (45x90x8 см). 
Контейнер герметичный глубокий, 5000 мл. 98. Зарубежный опыт государственного регулирования рыночной экономики на примере Франции (Доклад)
99. Финансирование железнодорожного транспорта на примере Тюменского отделения дороги
