|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Дифференциальные уравнения гиперболического типа |
Браслет светоотражающий, самофиксирующийся, желтый. 
Забавная пачка "5000 дублей". Курсовая работа студента гр. МТ-31 Нургалиев А. Инновационный евразийский университет Павлодар 2007 год. 1. Введение. Многие задачи математической физике приводят к дифференциальным уравнениям с частными производными. В настоящей курсовой работе рассмотрены одни из основных уравнений гиперболического типа: 4-го и наиболее часто встречающегося 2-го порядка. Рассмотрено простейшее уравнение гиперболического типа – волновое уравнение. К исследованию этого уравнения приводят рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т. д. Приведена формула Даламбера для решения краевых задач, а также её физическая интерпретация. Большое число задач о колебаниях стержней, пластин и т.д. приводит к уравнениям более высокого порядка. В качестве примера на уравнения 4-го порядка рассмотрена задача о собственных колебаниях камертона. 2. Метод распространяющихся волн. 2.1. Вывод уравнения колебаний струны. В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины l в начальный момент направлена по отрезку оси 0x от 0 до l. Предположим, что концы струны закреплены в точках x=0 и x=l. Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения – говорят, струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени. Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси 0x и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией u(x, ) которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент . Так как мы рассматриваем малые отклонения точек струны в плоскости (x,u), то будем предполагать, что длина элемента струны M1M2 равняется ее проекции на ось 0x, т.е. M1M2=x2-x1. Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через . Рассмотрим элемент струны MM’. На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы . Пусть касательные образуют осью 0x углы и . Тогда проекция на ось 0u сил, действующих на элемент MM’, будет равна . Так как угол мал, то можно положить , и мы будем иметь: (здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему в квадратных скобках). Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть масса элемента струны будет . Ускорение элемента равно . Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь: Сокращая на и обозначая , получаем уравнение движения (1) Это и есть волновое уравнение – уравнение колебания струны.
Для полного определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно. Искомая функция u(x, ) должна удовлетворять еще граничным условия, указывающим, что делается на концах струны (x=0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент ( =0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями: 2.2. Формула Даламбера. Изучение методов построения решений краевых задач для уравнений гиперболического типа начнем с задачи с начальными условиями для неограниченной струны: (2) (3) Преобразуем это уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик распадается на два уравнения: , , интегралами которых являются прямые , . Вводя новые переменные , , уравнение колебания струны преобразуем к виду: . (4) Найдем общий интеграл последнего уравнения. Очевидно, для всякого решения уравнения (4) , где - некоторая функция только переменного . Интегрируя это равенство по при фиксированном , получим , (5) где и являются функциями только переменных и .Обратно, каковы бы ни были дважды дифференцируемые функции и , функция , определяемая формулой (5), представляет собой решение уравнения (4). Так как всякое решение уравнения (4)может быть представлено в виде (5) при соответствующем выборе и , то формула (5) является общим интегралом этого уравнения. Следовательно, функция (6) является общим интегралом уравнения (2). Допустим, что решение рассматриваемой задачи существует; тогда оно дается формулой (6). Определим функции и таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия: (7) . (8) Интегрируя второе равенство, получим: где и C – постоянные. Из равенства находим: (9) Таким образом, мы определили функции и через заданные функции и , причем равенства (9) должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (6) найденные значения и , получим: или , (10) Формулу (10), называемую формулой Даламбера, мы получили, предполагая существование решения поставленной задачи. Эта формула доказывает единственность решения. В самом деле, если бы существовало второе решение задачи (2) – (3), то оно представлялось бы формулой (10) и совпадало бы с первым решением. Нетрудно проверить, что формула (10) удовлетворяет (в предположении двукратной дифференцируемости функции и однократной дифференцируемости функции ) уравнению и начальным условиям. Таким образом, изложенный метод доказывает как единственность, так и существование решения поставленной задачи. 2.2.2.Физический интерпретация. Функция , определяемая формулой (10), представляет собой процесс распространения начального отклонения и начальной скорости. Если фиксировать , то функция дает профиль струны в момент , фиксируя , получим функцию , дающую процесс движения точки . Предположим, что наблюдатель, находившийся в точке x=0 в момент =0, движется со скоростью a в положительном направлении. Введем систему координат, связанную с наблюдателем, полагая , . В этой подвижной системе координат функция будет определятся формулой и наблюдатель все время будет видеть тот же профиль, что и в начальный момент.
Следовательно, функция представляет неизменный профиль f(x), перемещающийся вправо (в положительном направлении оси x) со скоростью a (распространяющуюся или бегущую волну). Функция f(x a ) представляет, очевидно, волну, распространяющуюся налево (в отрицательном направлении оси x) со скоростью a. Таким образом, общее решение (10) задачи Коши для бесконечной струны есть суперпозиция двух волн , одна из которых распространяется направо со скоростью a, а вторая – налево с той же скоростью. При этом , где . Для выяснения характера решения (10) удобно пользоваться плоскостью состояний (x, ) или «фазовой плоскостью». Прямые x-a =co s и x a =co s являются характеристиками уравнения (2). Функция вдоль характеристики x-a =co s сохраняет постоянное значение, функция постоянна вдоль характеристики x a =co s . Предположим, что f(x) отлична от нуля только в интервале и равна нулю вне этого интервала. Проведем характеристики и через точки и ; они разбивают полуплоскость (x, >0) на три области I, II, и III (рис. 3, а). Функция отлична от нуля только в области II, где и характеристики и представляют передний и задний фронты распространяющейся направо волны. Рассмотрим теперь некоторую фиксированную точку и приведем из нее обе характеристики и , которые пересекут ось x в точках , =0 и , =0. Значение функции в точке равно , т. е. определяется значениями функций и в точках и , являющихся вершинами треугольника MPQ (рис. 3, б), образованного двумя характеристиками и осью x. Этот треугольник называется характеристическим треугольником точки . Из формулы (10) видно, что отклонение точки струны в момент зависит только от значений начального отклонения в вершинах P(x0-a 0,0) и Q(x0 a 0,0) характеристического треугольника MPQ и от значений начальной скорости на стороне PQ. Это становится особенно ясным, если формулу (10) записать в виде (11) Начальные данные, заданные вне PQ, не оказывают влияния на значения в точке . Если начальные условия заданы не на всей бесконечной прямой, а на отрезке , то они однозначно определяют решение внутри характеристического треугольника, основанием которого является отрезок . 2.2.3. Пример. Решение (10) можно представить в виде суммы , где (12) . (13) Если начальная скорость равна нулю (), то отклонение есть сумма левой и правой бегущих волн, причем начальная форма обеих волн определяется функцией , равной половине начального отклонения. Если же , то представляет возмущение струны, создаваемое начальной скоростью. Рассмотрим распространение начального отклонения, заданного в виде равнобедренного треугольника. Такой начальный профиль можно получить, если оттянуть струну в середине отрезка . На рис. 4 даны последовательные положения струны через промежутки времени . Наглядное представление о характере процесса распространения можно получить с помощью фазовой плоскости (x, ). Проведем характеристики через точки и ; они разобьют полуплоскость на шесть областей (рис. 5). Отклонение в любой точке (x, ) дается формулой (12). Поэтому в областях I, III, V отклонение равно нулю, так как характеристический треугольник любой точки из этих областей не имеет общих точек с отрезком , на котором заданы начальные условия.
Нобелевская премия (1917). ПОНТОРМО (Pontormo) (наст. фам. Карруччи - Carrucci) Якопо (1494-1557), итальянский живописец. Представитель флорентийской школы, один из основоположников маньеризма ("Положение во гроб", 1526-28). ПОНТРЯГИН Лев Семенович (1908-88) - российский математик, академик АН СССР (1958), Герой Социалистического Труда (1969). В 13 лет потерял зрение. Труды по топологии, теории непрерывных групп, дифференциальным уравнениям, фундаментальные труды по математической теории оптимальных процессов, в которой создал научную школу. Ленинская премия (1962), Государственная премия СССР (1941, 1975). ПОНЧО (исп. poncho) - 1) короткий плащ из прямоугольного куска ткани с отверстием для головы посередине, традиционная одежда населения Латинской Америки. 2) Сшитая или вязаная накидка такого покроя. ПОНЫРИ - поселок городского типа в Российской Федерации, Курская обл. Железнодорожная станция. 5,1 тыс. жителей (1993). Пенько- и маслозаводы, кирпичный завод. Историко-мемориальный музей Курской битвы 1943. ПОНЯТИЕ - 1) в философии - форма мышления, отражающая существенные свойства, связи и отношения предметов и явлений
1. Методы и алгоритмы компьютерного решения дифференциальных уравнений
2. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
3. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
4. Построение аналоговой ЭВМ для решения дифференциального уравнения шестого порядка
9. Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия
10. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
12. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
13. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта
14. Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем
15. Классификации гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных
16. Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка
Коврик для ванной "Бусинка" противоскользящий, 34,5х76 см. 
Тетрадь на резинке "Study Up", А5, 120 листов, клетка, фиолетовая. 
Тетрадь на резинке "Study Up", В5, 120 листов, клетка, желтая. 17. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера
18. Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов
19. Механические колебания в дифференциальных уравнениях
20. Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом
21. Управление проектом: развертывание систем персонального радиовызова
25. Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов
26. Построение приближенного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля
27. Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром
28. Шпоры по дифференциальным уравнениям
29. Решение иррациональных уравнений
30. Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки
31. Решение нелинейных уравнений
32. Дифференциальные уравнения I и II порядка
Мощный стиральный порошок с ферментами для стирки белого белья "Super Wash", 1 кг. 
Закаточная машинка автомат ТМ "Лось", окрашенная. 
Мат для швабры Vileda "Ultra MaX" для швабры. 33. Метод касательных решения нелинейных уравнений
34. Частные случаи дифференциальных уравнений
35. Метод касательных. Решения нелинейных уравнений. Паскаль 7.0
42. Матрицы. Дифференциальные уравнения
43. Решение иррациональных уравнений
44. Решение параболических уравнений
45. Методы решения алгебраических уравнений
46. 10 способов решения квадратных уравнений
47. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом
Звуковой плакат "Песенки-потешки". 
Костюм карнавальный "Русалка" (детский), рост 122-134 см. 49. Применение технологии знаково-контекстного обучения во время изложения дифференциальных уравнений
50. Влияние граничных условий на критическую температуру неоднородных сверхпроводящих мезоструктур
51. Антикризисное управление в условиях банкротства
53. Типы темпераментов и их психологическая характеристика
57. Способы решения систем линейных уравнений
58. Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)
59. Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром
61. Разработка программы для решения систем линейных уравнений
62. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона
63. Численные методы решения систем линейных уравнений
64. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений
Клей для дерева "Момент Столяр. ПВА Универсальный", 750 грамм. 
Крем для младенцев "Bubchen", 150 мл. 
Пирамидка "Геометрия", 22 элемента. 65. Методы решения систем линейных уравнений
66. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
67. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
68. Основные компоненты систем управления документооборотом. Фрейм: его структура и понятие
69. Получение уравнения переходного процесса по передаточной функции
74. Уравнение Кортевега - де Фриса, солитон, уединенная волна
76. Вычисление корней нелинейного уравнения
78. Проектирование производства и систем управления мини-пекарень
79. Волны в упругой среде. Волновое уравнение
80. Вывод уравнения Шредингера
Мешок для обуви "Kitten", 1 отделение, светоотражающая полоса. 
Чехол с поролоном, антипригарный, для гладильной доски (тефлон). 
Игра "Супер Твистер". 81. Замечательное уравнение кинематики
83. Построение и совершенствование систем управления
89. Уравнения и способы их решения
90. Решение смешанной задачи для уравнения
92. Иррациональные уравнения и неравенства
93. Об алгебраических уравнениях высших степеней
94. Приближенное решение уравнений
95. Рациональные уравнения и неравенства
96. Уравнения математической физики
Набор первоклассника, для девочек, 16 предметов. 
Рапидограф, 0,13 мм. 
Комплект постельного белья евро "Самойловский текстиль. Незабудка", с наволочками 70х70 см. 97. Новое уравнение теплопроводности
98. Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств
99. Линейные уравнения и неравенства
Совок №5. 
Брелок-сердечко. 
