Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ)

Фонарь садовый «Тюльпан».
Дачные фонари на солнечных батареях были сделаны с использованием технологии аккумулирования солнечной энергии. Уличные светильники для
106 руб
Раздел: Уличное освещение
Забавная пачка денег "100 долларов".
Купюры в пачке выглядят совсем как настоящие, к тому же и банковской лентой перехвачены... Но вглядитесь внимательней, и Вы увидите
60 руб
Раздел: Прочее
Брелок LED "Лампочка" классическая.
Брелок работает в двух автоматических режимах и горит в разных цветовых гаммах. Материал: металл, акрил. Для работы нужны 3 батарейки
131 руб
Раздел: Металлические брелоки

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 1.Перемещения Пусть X - множество всех точек прямой или трехмерного пространства . Обозначим через d(P, Q) расстояние между точками P и Q множества X. Отображение f: X ( X f(P) = ( называется перемещением, если для всех P и Q d(P, Q) = d((, (). Примеры. 1. Пусть в выбрана правая декартова прямоугольная система координат (x, y) с началом О. Поворот плоскости на угол ( вокруг точки О задается формулами ( = . Очевидно, поворот является перемещением плоскости. Отметим, что (О) =О, то есть точка О остается неподвижной при повороте. Аналогично, в на угол ( вокруг оси, заданной единичным вектором ( и точкой О. Легко проверить, что это перемещение задается формулой: ( =Rcos( (R(()si ( ((1-cos()(R(() . Все точки оси поворота являются неподвижными. 2. Перемещением будет и параллельный перенос на вектор v , Очевидно, ( = R v . Неподвижных точек перенос не имеет. 3. Пусть l некоторая прямая в относительно этой прямой является перемещением. Если в декартовой прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид y = g((/2) x , то отражение задается формулой : ( = R . Аналогично, если ( некоторая плоскость в относительно этой плоскости будет перемещением. Если единичный вектор нормали к плоскости ( , проходящей через начало координат, то ( = R - 2(R( ) . Переносы и отражения (примеры 2 и 3) можно рассматривать и в . 4. Композиция U(V (последовательное выполнение ) двух перемещений U и V снова будет перемещением: (U(V)(P) = U(V(P)). Например, = ( - тождественное перемещение. 2. Связь с линейными операторами. Теорема 1 Пусть f: X ( X - перемещение, A, B, C, D - точки X, f(A) = ( и т.д. Если AB = CD (как свободные векторы), то (( = (( .Доказательство. Достаточно проверить, что в условиях теоремы четырехугольник (((( является параллелограммом. Пусть О точка пересечения диагоналей AD и BC. Принадлежность точки О отрезку АD равносильно равенству: d(A, O) d(O, D) = d(A, D). Поскольку для образов этих точек имеет место аналогичное равенство d(( , () d((, () = d(( , () , мы видим, что ( лежит на отрезке (( и делит его пополам, поскольку d(( , () = d(A ,O) = 1/2 d(A ,D) = 1/2 d(( , () . Аналогично, ( лежит на (( и делит его пополам. Следовательно, (((( - параллелограмм. Из теоремы 1 следует, что если - пространство свободных векторов, то для всякого перемещения f: X ( X определено отображение: f : V ( V. Отметим, что если О - некоторая фиксированная точка X, то для любой точки P точка f(P) получается из ( переносом на вектор f (OP). Отсюда вытекает, что перемещение f однозначно определяется отображением f и точкой ( . Теорема 2. Отображение f является линейным оператором в V и сохраняет скалярное произведение. Доказательство. Свойство f (u v) = f (u) f (v) следует из определения сложения векторов : если u = AB , v = BC , то u v = AC. Так как при перемещении любой треугольник ABC переходит в равный треугольник, то сохраняются не только длины, но и углы между векторами, а значит и скалярное произведение. Наконец, использую сохранение скалярного произведения, имеем: =0. Следовательно, f ((v) = (f (v) , то есть отображение f линейно.

Следствие Отображение евклидова пространства V, обладающее свойством является линейным оператором и сохраняет скалярное произведение. Как известно, оператор в конечномерном пространстве определяется своей матрицей. Матрица A оператора, сохраняющего скалярное произведение, называется ортогональной и имеет следующие свойства: Матрица А невырождена, более того de (A) = 1. Операторы с определителем 1 сохраняют ориентацию пространства, а с определителем (- 1. 1) меняют ее на противоположную. 2. Все собственные значения A - комплексные числа по модулю равные 1. Кроме того, известны простейшие формы ортогональных матриц в ортонормированном правом базисе. Эти простейшие формы указаны в следующей таблице: dimV de (A) = 1 Название de (A) = -1 Название 1 ( = (1) Тождест- ( = (-1) Отраже-н венный ие оператор 2 Отраже-н на угол ие ( 3 Зеркаль- на угол ный ( вокруг пово-рот OZ Замечание 1. Учитывая связь между перемещением f и оператором f , можно утверждать, что в подходящей декартовой системе координат имеет место формула: ( = АR v , где А - одна из матриц из таблицы, а v - некоторый вектор. Следовательно, всякое перемещение f имеет обратное (( - v ) = - ортогональна, обратное отображение также является перемещением. Отметим еще, что для всякой ортогональной матрицы P и любого вектора w преобразование ( = PR w является перемещением. Замечание 2. Имеется существенное различие между математическим понятием перемещения и физическим понятием движения. Во втором случае имеется в виду непрерывное во времени изменение положения точки, в то время как в первом фиксируются только ее начальное и конечное положения. Перемещения с de (A) = 1 можно представлять себе и как движения, в то время как при de (A)= -1 такое представление невозможно, если оставаться в пределах исходного пространства X. 3. Классификация перемещений. Напомним, что нам уже известны некоторые перемещения. Перемещениями прямой являются тождественное преобразование I, перенос относительно точки О . Для случая плоскости , а также поворот относительно прямой l . Определим дополнительно скользящее отражение как комбинацию отражения относительно прямой l с переносом на вектор v((l . Наконец, для пространства , а, кроме того поворот вокруг оси, заданной точкой О и единичным направляющим вектором ( на угол ( и отражение относительно плоскости (. Определим дополнительно зеркальный поворот как комбинацию отражения относительно плоскости, заданной точкой О и вектором нормали с поворотом - композицию отражения . относительно плоскости ( и переноса на вектор v(((. Наконец, определим винтовое перемещение и параллельного переноса на вектор h(. Отметим, что некоторые из указанных выше перемещений являются частными случаями других. Например, тождественное перемещение можно рассматривать как перенос на нулевой вектор (или как поворот на нулевой угол), отражение является частным случаем скользящего отражения при v = 0 и т. д. Теорема 3 . Каждое перемещение f в ( = 1, 2, 3 ) суть одно из следующих : 1. = 1 3. = 3 . Доказательство. Как уже отмечалось, можно выбрать такой ортонормированный базис, что перемещение f имеет вид ( = АR v , где v - некоторый вектор.

Если изменить начало координат : R = r u , ( = ( u , получаем: ( = Ar ( , где ( = Au -u v = (A - E)u v .Мы видим, что если число 1 не является собственным значением матрицы А (или, если угодно, оператора f ) , то можно выбрать u так, что в новой системе координат ( = 0 . (Поскольку матрица A - E невырождена). Тем самым утверждение теоремы доказано при =1 и при =2 в случае de (A) = 1 (так как собственные значения i()( 1 при (((( ). В случае матрицы , что приводит к скользящему отражению при (((( получаем ( = . (При (=(( мы приходим к переносу). Наконец, для при (((( можно считать ( = 0 , что приводит к зеркальному повороту и получается скользящее отражение . Замечание. ( о параметрах перемещений) Параметр будем считать изменяющимся mod (( т. е. . Такое же соглашение будем использовать и для винтового перемещения при h > 0. Если же h = 0 , и речь идет о повороте в пространстве, надо учитывать, что (отражение относительно прямой параллельной ( и проходящей через О). Аналогично, . Если при этом ((( это преобразование не зависит от вектора и является отражением относительно точки О. 4 Композиции 1.Теорема 4 Если f и g два перемещения X, а f , g - соответствующие операторы в V, то (f(g) = f g (Символом ( обозначена композиция перемещений). Доказательство. Используем координатную форму записи: f( R) = AR v, g( R) = BR w. Тогда: (f(g)( R) = f( (g( R)) = f( BR w) = A( BR w) v = ( AB)R ( Aw v). Следовательно, (f(g) = AB = f g . Следствие. Композиция двух перемещений с определителями одного знака имеет определитель ( 1); если знаки определителей противоположны, композиция имеет определитель (-1). Вычисление композиции перемещений пространства не вызывает затруднений. Отметим только, что ,где v =2AB. Для случая пространства удобно использовать комплексные числа. Отождествляя их с точками плоскости, получаем удобный способ записи перемещений. Например, поворот z c. Точка О является неподвижной и соответствующее комплексное число с, откуда Отметим, что при ((((( (mod (() . В то же время при ((( = 0 указанная композиция будет переносом на вектор AD, где D = c является скользящим отражением относительно прямой Im(). Если прямая l проходит через точку и ее направляющий вектор (рассматриваемый как комплексное число) имеет аргумент можно записать в виде Композиция двух скользящих отражений относительно пересекающихся прямых будет поворотом. В то же время, если прямые параллельны, композиция - перенос.

Никакой медиум так не восприимчив к чужой мысли или загробному дуновению, как были восприимчивы мы к капле знания, оказавшись один на один с Абсолютом у классной доски и раскаленной Сахарой невежества в голове. Что касается психокинеза, то нас было сорок человек, объединенных духом, и прежде чем удалось бы прочесть эту фразу, кафедру, профессора и классный журнал поглотило бы чрево нижних этажей, если б только напряженная до предела мысль могла поколебать основы материи. В последних фразах стиль у меня изменился, принял какой-то библейский оттенок, ибо, пожалуй, только так можно говорить об этих делах. А может, в стиле Гомера? Ведь древние греки подсмеивались над своими богами, знали их маленькие грешки и слабости. Впрочем, и ветхозаветные евреи, стоило господу отвернуться, уже перешептывались по углам, прогуливались с тельцами, теряли веру в кафедру, то бишь, я хотел сказать, в спасительное пришествие, – я думаю, их души были сродни гимназическим. Исайя или Иезекииль,[30] ухитрились бы изложить даже лекцию по алгебре нумерованными виршами, каждая строчка которых была бы подобна молнии, пронизывающей до мозга костей; я на это не покушаюсь

1. Лекции по Линейной алгебре

2. Контрольная работа по линейной алгебре

3. Линейная Алгебра. Теория групп

4. Основы линейной алгебры на примере балансовой модели

5. Краткие сведения и задачи по курсу векторной и линейной алгебры

6. Вычислительные методы алгебры (лекции)
7. Алгебра матриц. Системы линейных уравнений
8. Лекции "Военная топография"

9. Лекции по "Общим воинским уставам"

10. Лекции по естественной географии

11. Гражданское право (лекции)

12. Краткие лекции по истории политических и правовых учений (к зачету-тестированию)

13. Охрана труда (лекции, Украина)

14. Краткий курс лекций по праву социального обеспечения

15. Конспект лекций по Римскому праву

16. Государство (6 лекций)

Настольная игра "Викторина первоклассника".
В игре вы найдёте 600 вопросов из разных областей знаний: математики, языкознания, культуры и искусства, биологии, естествознания и
342 руб
Раздел: Викторины
Подставка под горячее с пробкой "FIFA 2018".
Подставка под горячее с пробкой + окантовка. Диаметр: 16 см. Материал: керамика.
346 руб
Раздел: Кружки, посуда
Набор детской посуды "Принцесса", 3 предмета.
Набор посуды для детей включает в себя три предмета: суповую тарелку, обеденную тарелку и кружку. Набор упакован в красочную, подарочную
397 руб
Раздел: Наборы для кормления

17. Лекции по экологии

18. История отечественной культуры (лекции)

19. Лекции по культурологии

20. Русский символизм: лекция из курса д-ра Валюлис

21. Устные высказывания и их особенности (беседа, лекция, доклад, диспут, дискуссия)

22. Лекции по роману Ф.М. Достоевского "Преступление и наказание"
23. Конспекты лекций по языкознанию
24. Курс лекций и семинаров "История России: 1861-1995 гг."

25. Лекции по курсу Истории Отечества

26. Краткий конспект лекций по Теории тестирования аппаратных и программных средств

27. Лекции по курсу "Периферийные устройства компьютеров"

28. Лекции по курсу "Информатика"

29. Лекции по теории проектирования баз данных (БД)

30. Исследования устойчивости и качества процессов управления линейных стационарных САУ

31. Критерии устойчивости линейных систем

32. Лабораторная работа №5 по "Основам теории систем" (Транспортные задачи линейного программирования)

Стенд "Календарь природы". С карточками чисел, дней недели, месяцев и бланком дневника наблюдений.
Календарь природы — важный инструмент ознакомления детей с окружающим миром. Ежедневный учет явлений природы развивает у детей
546 руб
Раздел: Демонстрационные рамки, планшеты, таблички
Вертикальный накопитель, пластиковый, черный, ширина 240 мм, 4 отделения, органайзер.
Изготовлен из полистирола. Многосекционный поддон с 4 отделениями (шириной по 40 мм каждое) для бумаг формата А4 и вместительным
445 руб
Раздел: Подставки, лотки для бумаг, футляры
Глобус Луны диаметром 320 мм, с подсветкой.
Диаметр: 320 мм. Масштаб: 1:40000000. Материал подставки: пластик. Цвет подставки: черный. Мощность: 220 V, переключатель на шнуре; может
1338 руб
Раздел: Глобусы

33. Лабораторная работа №3 по "Основам теории систем" (Теория двойственности в задачах линейного программирования)

34. Управление техническими системами (лекции)

35. Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике

36. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

37. Шпаргалка по геометрии и алгебре

38. Решение оптимизационной задачи линейного программирования
39. Методы решения систем линейных неравенств
40. Решение задач линейного программирования

41. Лекции (1-18) по мат. анализу 1 семестр

42. Решение задачи линейного программирования

43. Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ)

44. Лекции по Методике математики в начальных классах (4-5 семестры)

45. Травма - лекция по общей хирургии

46. Лекции по теории преступности

47. Лекции по уголовному праву (общая часть)

48. Лекции по Концепциям Современного Естествознания (КСЕ)

Сиденье для ванны (светло-голубое).
Выдерживает нагрузку до 200 кг. Располагается практически на уровне ванны, а не вставляется внутрь, что особенно важно для удобства людей
604 руб
Раздел: Горки, приспособления для купания
Набор детской складной мебели Ника "Маленькая принцесса".
В комплект входит стол и стул с мягким сиденьем и спинкой. Подходит для кормления, игр и обучения. Поверхность столешницы ламинированная с
1358 руб
Раздел: Наборы детской мебели
Микрофон-караоке "Чунга-чанга".
Новые оригинальные микрофоны-караоке для будущих звезд сцены! В каждом микрофоне – 12 популярных песенок В. Шаинского, Е. Крылатова, М.
301 руб
Раздел: Микрофоны

49. Схемы по лекциям по Педагогике и Психологии высшей школы

50. Конспект лекций по разделу "Политическая власть"

51. Лекции по материаловедению

52. Конспект лекций по предмету Горячая Штамповка

53. Лекции по Физической оптике чл.-кор Курбатова Л.П.

54. Техника Безопасности (лекции)
55. Лекции по пассажирским перевозкам
56. Курс лекций по ораторскому искусству

57. Зигмунд Фрейд - Введение в психоанализ (лекции)

58. Разработка программно-методического комплекса для анализа линейных эквивалентных схем в частотной области /для числа узлов <=500/

59. Комплексное моделирование электрических и тепловых характеристик линейного стабилизатора напряжений

60. Лекции по твердотельной электронике

61. Cкремблирование и дескремблирование линейного сигнала

62. Расчет переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами

63. Билеты и лекции по ДКБ

64. Линейный ускоритель

Гарнитура беспроводная "FreeMotion B680", чёрная.
Технические характеристики: Питание: Li-Ion аккумулятор. Тип подключения: беспроводной Bluetooth. Тип наушников:
670 руб
Раздел: Гарнитуры и трубки
Футбольный мяч "Moscow", 23 см.
Размер: 5 (23 см). Плотность материала: 350 грамм. Материал: TPU+EVA.
729 руб
Раздел: Игрушки, фигурки
Набор цветных карандашей "Progresso", 24 штуки.
Цветные монолитные карандаши в лаковой оболочке. Бездревесные цветные карандаши "Progresso" имеют прочное лаковое покрытие,
793 руб
Раздел: 13-24 цвета

65. Лекции по физике за 2 семестр

66. Тепловые процессы (из конспекта лекций 2000г.)

67. Общая Физика (лекции по физике за II семестр СПбГЭТУ "ЛЭТИ")

68. Лекции по физкультуре (ОГУ)

69. Лекции по философии (Орел, 2003г.)

70. Химия радиоматериалов, лекции Кораблевой А.А. (ГУАП)
71. Лекции по курсу «Финансы, кредит, денежное обращение» (2004г.)
72. Курс лекций по аудиту

73. Лекции по аудиту

74. Лекции по маркетингу

75. Лекции по квалиметрии

76. Экономика и менеджмент средств массовой информации (курс лекций)

77. Курс лекций по менеджменту

78. Лекции по ценообразованию

79. Лекции по IT экономике

80. Конспект лекций по курсу ЭММ (Экономико-математические методы и модели)

Машинка "Бибикар (Bibicar)" с полиуретановыми колесами (салатово-оранжевая).
Оснащена улучшенными колесами, выполненными из высококачественного полиуретана. Теперь езда на этой удивительной машинке стала еще более
2650 руб
Раздел: Каталки
Набор детской посуды "Фея".
Набор посуды детский "Фея". В комплекте 3 предмета: - тарелка суповая диаметром 15 см, - тарелка обеденная диаметром 17,5 см, -
387 руб
Раздел: Наборы для кормления
Сушилка для посуды P&C "Лилия", двухъярусная.
Наша уникальная двухъярусная сушилка позволит сушить или хранить большое количество посуды, при этом сэкономит полезную площадь на столе
511 руб
Раздел: Настольные

81. Лекции по экономической теории

82. Лекции по экономическому анализу

83. Курс лекций по истории Отечества - основа для докладов и выступлений

84. Лекции по Культуре

85. Курс лекций по культурологии

86. Лекции
87. Лекции по курсу Культурология
88. Русский символизм: лекция из курса др.Валюлис

89. Лекции по логистике

90. Курс лекций по маркетингу

91. Системы линейных уравнений

92. Алгебра матриц

93. Решение систем линейных алгебраических уравнений

94. Контрольные билеты по алгебре

95. Векторная алгебра

96. Алгебра и Начало анализа

Качели детские подвесные "Вятушка С".
Предназначены для развлечения, отдыха и физического развития детей в возрасте от 3 лет. Допустимая нагрузка до 30 кг. Материал: металл,
613 руб
Раздел: Качели
Игра настольная "Тише, не будите спящего папу".
Шшшш! Тише! Не разбудите папу! Кто может устоять перед вкусным шоколадным тортом? Не дети в любом случае! Пока папа спал и храпел в
1458 руб
Раздел: Игры на ловкость
Аппарат для приготовления домашнего творога и сыра "Нежное лакомство".
Сладкая творожная запеканка, мягкий пряный сыр, чесночная паста на бутерброды — сколько вкуснятины можно приготовить из домашнего творога
464 руб
Раздел: Прочее

97. Задача линейного программирования

98. Конспект лекций по дискретной математике

99. Лекции по Математическому анализу


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.