|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева |
Фонарь желаний бумажный, оранжевый. 
Ночник-проектор "Звездное небо и планеты", фиолетовый. 
Карабин, 6x60 мм. МИНИСТЕКРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ХИМИКОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ КУРСОВАЯ РАБОТА на тему “Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева”Студента 2-го курса: Полякова Е.В. Научный руководитель: Куприна Л.А. Днепропетровск 2000г.Содержание. 1. Общая постановка и анализ задания. 1.1. Введение 1.2. Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа 1.3 Формула трапеций и средних прямоугольников 1.4. Общая формула Симпсона (параболическая формула) 1.5. Квадратурная формула Чебышева 2 . Решение контрольного примера 3. Описание программы I egral. pas. Алгоритм. 4. Заключение и выводы.5. Список литературы.6. Листинг программы. Вывод на экран.1. Общая постановка и анализ задачи. 1.1. Введение.Требуется найти определенный интеграл I = по квадратурной формуле Чебышева. Рассмотрим, что представляет из себя вообще квадратурная формула, и как можно с ее помощью вычислить приближенно интеграл. Известно, типа численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y= Рис. 1. Криволинейная трапеция.Если f(x) непрерывна на отрезке , и известна ее первообразная F(x), то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по, известной всем, формуле Ньютона - Лейбница = F(b) - F(a) где F’(x) = f(x) Однако во многих случаях F(x) не может быть найдена, или первообразная получается очень сложной для вычисления. Кроме того, функция часто задается таблично. Поэтому большое значение приобретает приближенное и в первую очередь численное интегрирование. Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла по заданным или вычисленным значениям подинтегральной функции f(x) в некоторых точках ( узлах ) отрезка . Численное определение однократного интеграла называется механической квадратурой, а соответствующие формулы численного интегрирования - квадратурными . Заменяя подинтегральную функцию каким-либо интерполционным многочленом, мы получим квадратурные формулы вида где xk - выбранные узлы интерполяции; Ak - коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но не от вида функции (k=0,1,2,., ). R - остаточный член, или погрешность квадратурной формулы. Отбрасывая остаточный член R, мы совершаем погрешность усечения. При расчете к ней добавляются еще различные погрешности округления. Разобьем отрезок интегрирования на равных частей системой точек xi= xo i.h; ( i = 0,1,2,., ) xo= a; x = b; h= (b-a)/ ; и вычислим подинтегральную функцию в полученных узлах yi= f(xi) ; ( i = 0,1,2,., )1.2. Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома ЛагранжаПусть для y=f(x) известны в 1 точках X0,X1,X2.X промежутка соответствующие значения f(xi)=yi (i=0,1,2. ). Требуется приближенно найти По заданным значениям Yi построим полином Лагранжа. Заменим f(x) полиномом L (x). Тогда где R (f) – ошибка квадратурной формулы. Отсюда, воспользовавшись выражением для L (x), получаем приближенную квадратурную формулу: Для вычисления коэффициентов Аi заметим что: 1.к
оэффициенты Ai при данном расположении узлов не зависит от выбора функции f(x); 2.для полинома степени последняя формула точная. Пологая y=xK (k=0,1,2., ), получим линейную систему из 1 уравнений: (k=0,1,., ), из которой можно определить коэффициенты А0,А1,.,А .Определитель системы есть определитель Вандермонда Заметим, что при применении этого метода фактическое построение полинома Лагранжа L (x) является излишним. Простой метод подсчета погрешности квадратурных формул разработан С.М. Никольским. Теперь рассмотрим несколько простейших квадратурных формул :1.3 Формула трапеций и средних прямоугольников. Заменим дугу АВ стягивающей ее хордой, получим прямолинейную трапецию аАВb, площадь которой примем за приближенное значение интеграла y 0 a b x рис 1.3.1 Криволинейная трапеция Рис. 1.3.3. Метод средних прямоугольников. По методам трапеций и средних прямоугольников соответственно интеграл равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая- либо малая величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине. Соответственно получаем формулы площадей — для метода трапеций: .1.4. Общая формула Симпсона (параболическая формула) Пусть =2m есть четное число и yi=f(xi) (i=0,1,2. ) - значения функции y=f(x) для равноотстоящих точек а=x0,x1, . ,x =b с шагом Применив формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку длины 2h и введя обозначения (1=y1 y2 . y2m-1 (2=y2 y4 . y2m получим обобщенную формулу Симпсона: Остаточный член формулы Симпсона в общем виде: где (k I (x2к-2,x2к) 1.5. Квадратурная формула ЧебышеваРассмотрим квадратурную формулу вида: функцию f(x) будем исать в виде когда f(x) многочлен вида f(x)=ao a1x . a x . Проинтегрировав, преобразовав и подставив значения многочлена в . . . . . . . . . . . . . . .f(x )=a0 a1x a2x 2 a3x 3 . a x получим формулу Чебышева. Значения х1,х2,.,х для различных приведены в таблице 3.Таблица 3 – Значения х1,х2,.,х для различных . I i i i 2 1;2 ( 0,577350 6 1;6 ( 0,866247 3 1;3 ( 0,707107 2;5 ( 0,422519 2 0 3;4 ( 0,266635 4 1;4 ( 0,794654 7 1;7 ( 0,883862 2;3 ( 0,187592 2;6 ( 0,529657 5 1;5 ( 0,832498 3;5 ( 0,321912 2;4 ( 0,374541 4 0 3 0 2. Решение контрольного примера i xi yi 1 0,131489 0,131118 2 0,490985 0,471494 3 0,785 0,706825 4 0,509015 0,487317 5 0,868511 0,763367 x1= (/4 (/4 1=(/4 (/4(-0,832498)=0,131489x2= (/4 (/4 2=(/4 (/4(-0,374341)=0,490985x3= (/4 (/4 3=(/4 (/4 0=0,785x4=1- x2=1-0,490985 = 0,509015x5=1- x1=1-0,131489=0,868511y1=si (x1) = si (0,131489)=0,131118y2=si (x2) = si (0,490985)=0,471494y3=si (x3) = si (0,785)=0,706825y4=si (x4) = si (0,509015)=0,487317y5=si (x5) = si (0,868511)=0,763367 I = ==(/10 2,560121=0,8038779.3. Описание программы I egral. pas. Алгоритм.Процедура VVOD - заполняет массив, содержащий в себе аргументы xiПроцедура FORM - используя массив, содержащий аргументы xi заполняет массив yiПроцедура CHEB - используя массивы xi и yi, высчитывает по квадратурной формуле Чебышева приближенное значение интеграла.
Процедура ABL - это подпрограмма, осуществляющая вывод таблицы узлов (аргумент - функция)При запуске программы нужно ввести границы интегрирования. После ввода границ интегрирования используется процедура VVOD, а затем высчитывается и выводиться на экран шаг табулирования функции h. После этого используем процедуры FORM и CHEB . Получив результат, выводим таблицу ( процедура ABL ) и интеграл. 4. Заключение и выводы. Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов с помощью квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает нам точного значения, а только приближенное. Чтобы максимально приблизиться к достоверному значению интеграла нужно уметь правильно выбрать метод и формулу, по которой будет вестись расчет. Так же очень важно то, какой будет взят шаг интегрирования. Хотя численные методы и не дают очень точного значения интеграла, но они очень важны, так как не всегда можно решить задачу интегрирования аналитическим способом. 5.Список литературы:1. Ракитин Т.А., Первушин В.А. “Практическое руководство по численным методам с приложением программ на языке Basic“ 2. Крылов В.И. “Приближенные вычисления интегралов“ - М. : Физмат. 3. Демидович и Марон “Основы вычислительной математики“ 4. Копченова и Марон “Вычислительная математика в примерах и задачах”5. Вольвачев А.Н., Крисевич В.С. Программирование на языке Паскаль для ПЭВМ ЕС. Минск.: 1989 г. 6. Зуев Е.А. Язык программирования urbo Pascal. М.1992 г. 7. Скляров В.А. Знакомьтесь: Паскаль. М. 1988 г. 6. Листинг программы. Программа написана на языке ubro Pascal 7.0 для MS-DOS. Ниже приведен ее листинг: program i egral;uses cr ;co s =5; k=-0.832498; l=-0.374541; z=0.0; ype aa=array of real;var x,y:aa; a,b,h,ich:real;{ заполнение х-сов в массив х }procedure vvod(var a,b:real;var c:aa); var i:i eger; :aa; Begi :=k;for i:=1 o -1 do c:=1 - c }procedure form(var x:aa; var y:aa); var i:i eger; Begi for i:=1 o do y); {функция} e d; { процедура для расчета интеграла по квадратурной формуле Чебышева }procedure cheb(var y:aa;var ich:real); var i:i eger; Begi ich:=0; for i:=1 o do ich:=ich y h; e d;{ процедура вывода таблицы}procedure abl; var i:i eger; Begi wri el (' '); wri el (' i x y '); wri el (' '); wri el (' 1 ',k:9:6,' ',x:9:6,' '); wri el (' 2 ',l:9:6,' ',x:9:6,' '); wri el (' 3 ',z:9:6,' ',x:9:6,' '); wri el (' 4 ',l:9:6,' ',x:9:6,' ');wri el (' 5 ',k:9:6,' ',x:9:6,' '); wri el (' '); e d; Begi clrscr; wri el (' П Р О Г Р А М М А Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я'); wri el (' О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г О И Н Т Е Г Р А Л А '); wri el ; wri el ('Введите границы интегрирования a,b:'); readl (a,b); vvod(a,b,x); h:=(b-a)/ ; wri el ('h=',h:9:6); form(x,y); cheb(y,ich); abl; wri el ('I=',ich:8:6);e d.Вывод результата : П Р О Г Р А М М А Д Л Я В Ы Ч И С Л Е Н И Я О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г О И Н Т Е Г Р А Л А Введите границы интегрирования a,b: 0 1.5708 h= 0.314160 i x y 1 -0.832498 0.131556 0.131177 2 -0.374541 0.491235 0.471716 3 0.000000 0.785400 0.707108 4 -0.374541 0.508765 0.487099 5 -0.832498 0.868444 0.763325 I=0.804383----------------------- y-f(x)BA
Использование этого способа позволяет получить более точные результаты вычисления влияния факторов по сравнению со способами цепной подстановки, абсолютных и относительных разниц и избежать неоднозначной оценки влияния: в данном случае результаты не зависят от местоположения факторов в модели, а дополнительный прирост результативного показателя, возникающий из-за взаимодействия факторов, распределяется между ними поровну. Для распределения дополнительного прироста недостаточно взять его часть, соответствующую количеству факторов, т.Pк. факторы могут действовать в разных направлениях. Поэтому изменение результативного показателя измеряется на бесконечно малых отрезках времени, т.Pе. производится суммирование приращения результата, определяемого как частные произведения, умноженные на приращения факторов на бесконечно малых промежутках. Операция вычисления определенного интеграла решается с помощью ПЭВМ и сводится к построению подынтегральных выражений, которые зависят от вида функции или модели факторной системы
1. Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников
2. Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников
3. Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)
4. Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла
5. Вычисление определенных интегралов. Квадратурные формулы
9. Лев Троцкий
10. Лев Давидович Троцкий и IV интернационал
11. Языки и технология программирования. Начальный курс /Pascal/
12. Особенности создания математических формул в Web
13. Отчет по практике по Turbo Pascal
14. Массивы в языках Pascal и Basic
16. Разработка игровой программы на языке программирования Turbo Pascal
Набор дошкольника №2 (в коробке). 
Перчатки Paclan, латексные, 100 штук, размер L. 
Штора для ванной Рыжий кот "Curtain-Venice". 17. Билеты для проведения контрольных мероприятий по Turbo Pascal для начинающих
18. Тригонометрические формулы (Шпаргалка)
19. Численные методы. Двойной интеграл по формуле Симпсона
20. Все формулы (тригонометрия) (Шпаргалка)
21. Все необходимые формулы по математике (Шпаргалка)
25. Миома матки, кистома левого яичника (история болезни)
26. Крупноочаговый инфаркт миокарда передней стенки левого желудочка
27. Технология аэродинамической трубы для болидов Формулы 1
28. Исследование социально-психологического климата и стратегий поведения в конфликте членов коллектива
29. Секты и методы вовлечения новых членов
30. Подборка основных формул по физике
31. Формулы для решения задач по экономике предприятия
32. Знает ли левая рука, что творит правая
Прыгунки "три в одном" (прыгунки - тарзанка - качели). 
Ранец жесткокаркасный для начальной школы "Динозавр", 17 литров, 34х26х16 см. 
Велосипед трехколесный Moby Kids "Comfort. EVA", цвет: оранжевый. 33. Обработка экономической информации средствами языка Pascal
34. Главные члены двусоставного предложения. Способы выражения подлежащего и сказуемого
35. Лев Толстой в понимании И. А. Бунина
36. Лев Николаевич Толстой (жизнь, творчество)
41. Новые формулы для вычисления планковских единиц
42. Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников
44. Формула Шлетца
45. Формулы по математическому анализу
46. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли
47. Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке
48. История болезни - Онкология (периферический рак левого легкого)
Столик пеленальный "Фея" (цвет: сиреневый). 
Набор мисок с синими крышками, 5 предметов. 
Планшет для пастелей "Сладкие грезы", А3, 18 листов. 49. История болезни - Профессиональные болезни (остаточные явления вибрационной болезни)
50. Формула персонального брендинга
51. Чайковский и члены династии Романовых
52. Простая формула для определения коэффициента трения в смазываемых дисковых вариаторах
53. Основные понятия и формулы
57. Расширенная формула тотального успеха
58. Формулы соуправления классом
59. Разделение церкви на восточную и западную в 1054 г. Папа Лев IX и патриарх Михаил Керуларий
60. Как преодалеть страх введения полового члена во влагалище
61. Способы увеличения мужского полового члена
62. Даосистский метод увеличения полового члена
63. Метод удлинения члена, применяемый индийцами племени Садху
Набор "Учимся считать. Числовой ряд до 20". 
Магнитофончик "Мульти-пульти". 
Папка для чертежей и рисунков, А2. 65. Двенадцать самых длинных мужских членов в мире - готовы ли вы к такой неожиданности?
66. Коэффициент увеличения длины и ширины мужского полового члена
67. Преимущества большого мужского члена
69. Проблема эрекции полового члена мужчины - это проблема женщины...
73. Все формулы школьной физики
77. Прямые инвестиции Японии в странах - членах ес и их влияние на развитие взаимной торговли
78. Синкретичні другорядні члени речення з об
79. Главные члены и минимальная структурная схема
80. "Хитрые" члены предложения (об уточнении, присоединении и пояснении)
Подставка для колец Zoola "Кошка", хром. 
Набор "Магазин мороженого". 
Ручка-стилус шариковая "Супер-папа!". 81. Формула латинского фонетического закона и ее применение
84. Аннинский Лев Александрович
90. Формулы из конспекта лекций
91. Категорія другорядного члена речення
92. Mathcad: от графика к формуле, от расчета на компьютере к расчету в Интернет
93. Редактор формул MS Equation 2.0
94. Курсовая работа программирование на Pascal
96. Розробка та виконання програм на мові pascal.
Ручка-стилус шариковая "Даниил". 
Резак для бумаги с ковриком. 
Фломастеры-кисти "Trendy", 12 цветов. 97. Первоначальные сведения о программировании на языке Pascal
98. Лев Зощенко
99. Романтик революции - Лев Давидович Троцкий
100. Основные физические формулы
