|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули |
Забавная пачка "5000 дублей". 
Забавная пачка денег "100 долларов". 
Коврик для запекания, силиконовый "Пекарь". Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули Цель работы: хотя уравнения с модулями ученики начинают изучать уже с 6-го – 7-го класса, где они проходят самые азы уравнений с модулями. Я выбрал именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досканального исследования. Я хочу получить более широкие знания о модуле числа, различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины. 1. Введение: Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово(омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, програмировании и других точных науках. В архитектуре-это исходная еденица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов. В технике-это термин, применяемый в различных облостях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п. Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению. 2. Понятия и определения Чтобы глубоко изучать данную тему, необходимо познакомиться с простейшими определениями, которые мне будут необходимы: Уравнение-это равенство, сродержащее переменные. Уравнение с модулем-это уравнение, содержащие переменную под знаком абсолютной величины(под знаком модуля).Например: x =1 Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет. В математике модуль имеет несколько значений, но в моей исследовательской работе я возьму лишь одно: Модуль-абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой. 3. Доказательство теорем Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля: Из определения следует, что для любого действительного числа a, Теорема 1. Абсолютная величина действительного числа равна большему из двух чисел a или -a. Доказательство 1. Если число a положительно, то -a отрицательно, т. е. -a &l ; 0 &l ; a. Отсюда следует, что -a &l ; a. Например, число 5 положительно, тогда -5 - отрицательно и -5 &l ; 0 &l ; 5, отсюда -5 &l ; 5. В этом случае a = a, т. е. a совпадает с большим из двух чисел a и - a. 2. Если a отрицательно, тогда -a положительно и a &l ; - a, т. е. большим числом является -a. По определению, в этом случае, a = -a - снова, равно большему из двух чисел -a и a. Следствие 1. Из теоремы следует, что -a = a . В самом деле, как , так и равны большему из чисел -a и a, а значит равны между собой. Следствие 2. Для любого действительного числа a справедливы неравенства Умножая второе равенство на -1 (при этом знак неравенства изменится на противоположный), мы получим следующие неравенства: справедливые для любого действительного числа a. Объединяя последние два неравенства в одно, получаем: Теорема 2. Абсолютная величина любого действительного числа a равна арифметическому квадратному корню из В самом деле, если то, по определению модуля числа, будем иметь С другой стороны, при значит a = Если a &l ; 0, тогда a = -a и и в этом случае a = Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять a на Геометрически a означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число a, до начала отсчета.
Если то на координатной прямой существует две точки a и -a, равноудаленной от нуля, модули которых равны. Если a = 0, то на координатной прямой a изображается точкой 0 (см. рис.) Рис 4.Способы решения уравнений, содержащих модуль. Для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основыватся на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа. Мы решим несколько примеров одним и тем же способом и посмотрим, какой из способов окажется проще для решения уравнений, содержащих модуль. Пример 1. Решитм аналитически и графически уравнение x - 2 = 3. Решение Аналитическое решение 1-й способ Рассуждать будем, исходя из определения модуля. Если выражение, находящееся под модулем неотрицательно, т. е. x - 2 0, тогда оно "выйдет" из под знака модуля со знаком "плюс" и уравнение примет вид: x - 2 = 3. Если значения выражения под знаком модуля отрицательно, тогда, по определению, оно будет равно: или x - 2=-3 Таким образом, получаем, либо x - 2 = 3, либо x - 2 = -3. Решая полученные уравнения, находим: Ответ: Теперь можно сделать вывод: если модуль некоторого выражения равен действительному положительному числу a, тогда выражение под модулем равно либо a, либо . Графическое решение Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль является графический способ. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций. В случае, если графики пересекутся, точки пересечений данных графиков будут являтся корнями нашего уравнения. В случае, если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Этот способ, вероятно, реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построениии графиков, не всегда я вляются точными. Другой способ решения уравнений, содержащих модуль- это способ разбиения числовой прямой на промежутки. В этом случае нам нужно разбить числовую прямую так, что по определению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будет снять. Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данное уравнение и сделать вывод, относительно получившихся корней(удовлетворяют они нашему промежутку или нет). Корни, удовлетворяющие промежутки и дадут окончательный ответ. 2-й способ Установим, при каких значениях x, модуль равен нулю: Получим два промежутка, на каждом из которых решим уравнение (см. рис. 9): Рис. 9 Получим две смешанных системы: (1) (2) Решим каждую систему: (1) (удовлетворяет данному промежутку) (2) (удовлетворяет данному промежутку) Ответ: Графическое решение Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций и Для построения графика функции , построим график функции - это прямая, пересекающая ось OX в точке (2; 0), а ось OY в точке а затем часть прямой, лежащую ниже оси OX зеркально отразить в оси OX. Графиком функции является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку (0; 3) на оси OY (см. рис. 10). Рис. 10 Абсциссы точек пересечения графиков функций дадут решения уравнения.
Прямая графика функции y=3 пересеклась с графиком функции y= x – 2 в точках с координатами (-1; 3) и (5; 3), следовательно решениями уравнения будут абсциссы точек: x=-1, x=5 Ответ: Пример 2. Решитм аналитически и графически уравнение 1 x = 0.5. Решение: Аналитическое решение Преобразуем уравнение: 1 x = 0.5 x =0.5-1 x =-0.5 Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как, по определению, модуль всегда неотрицателен. Ответ: решений нет. Графическое решение Преобразуем уравнение: : 1 x = 0.5 x =0.5-1 x =-0.5 Графиком функции являются лучи - биссектрисы 1-го и 2-го координатных углов. Графиком функции является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку -0,5 на оси OY. Рис. 11 Графики не пересекаются, значит уравнение не имеет решений (см. рис. 11). Ответ: нет решений. Пример 3. Решите аналитически и графически уравнение -x 2 = 2x 1. Решение: Аналитическое решение 1-й способ Прежде следует установить область допустимых значений переменной. Возникает естественный вопрос, почему в предыдущих примерах не было необходимости делать этого, а сейчас она возникла. Дело в том, что в этом примере в левой части уравнения модуль некоторого выражения, а в правой части не число, а выражение с переменной, - именно это важное обстоятельство отличает данный пример от предыдущих. Поскольку в левой части - модуль, а в правой части, выражение, содержащее переменную, необходимо потребовать, чтобы это выражение было неотрицательным, т. е. Таким образом, область допустимых значений модуля Теперь можно рассуждать также, как и в примере 1, когда в правой части равенства находилось положительной число. Получим две смешанных системы: (1) и (2) Решим каждую систему: (1) входит в промежуток и является корнем уравнения. (2) x = -3 не входит в промежуток и не является корнем уравнения. Ответ: 2-й способ Установим, при каких значениях x модуль в левой части уравнения обращается в нуль: Получим два промежутка, на каждом из которых решим данное уравнение (см. рис. 12): Рис. 12 В результате будем иметь совокупность смешанных систем: Решая полученные системы, находим: (1) входит в промежуток и является корнем уравнения. (2) не входит в промежуток и x=-3 не является корнем уравнения Ответ: 4.1.Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их модулями и квадратами этих чисел. Помимо приведенных мною выше способов существует определенная равносильность, между числами и модулями данных чисел, а также между квадратами и модулями данных чисел: a = b a=b или a=-b a2=b2 a=b или a=-b (1) Отсюда в свою очередь получим, что a = b a2=b2 (2) Пример 4. Решим уравнение x 1 = 2x – 5 двумя различными способами. 1.Учитывая соотношение (1), получим: x 1=2x – 5 или x 1=-2x 5 x – 2x=-5 – 1 x 2x=5 – 1 -x=-6 (:1) 3x=4 x=6 x=11/3 Корень первого уравнения x=6, корень второго уравнения x=11/3 Таким образом корни исходного уравнения x1=6, x2=11/3 2. В силу соотношения (2), получим (x 1)2=(2x – 5)2, или x2 2x 1=4x2 – 20x 25 x2 – 4x2 2x 1 20x – 25=0 -3x2 22x – 24=0 (:-1) 3x2 – 22x 24=0 D/4=121-3 24=121 – 72=49>0 уравнение имеет 2 различных корня.
Применяется при топографической съемке и других работах. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ - уравнение, содержащее тригонометрические функции неизвестного аргумента, напр.: 3sinx-8cosx =7. ТРИГОНОМЕТРИЯ (от греч. trigonon - треугольник и ...метрия) - раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. ТРИДАКНЫ - род моллюсков класса двустворчатых, 5 видов, в тропических морях Индийского и Тихого ок. среди коралловых рифов. Раковина гигантской тридакны длиной до 1,4 м, весит до 250 кг. Съедобны. Раковины используются как строительный материал, для изготовления домашней утвари и пр. Из-за бесконтрольного лова численность сокращается. ТРИДЕНТСКИЙ СОБОР (Триентский собор) - вселенский собор католической церкви, заседал в 1545-47, 1551-52, 1562-63 в г. Тренто (лат. Tridentum, нем. Trient), в 1547-49 в Болонье. Закрепил догматы католицизма, подтвердил верховенство римских пап над церковными соборами, усилил гонения на еретиков, ввел строгую церковную цензуру. Решения Тридентского собора стали программой Контрреформации
1. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модуль
2. Методика обучения решению сюжетных задач в курсе математики 5-6 классов
3. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
4. Линейное программирование: решение задач графическим способом
5. Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений
9. Решение смешанной задачи для уравнения
10. Способ устойчивого решения неустойчивых задач и его алгоритм
11. Описание работы графической системы VGA
14. Решение транспортной задачи методом потенциалов
15. Решение математических задач в среде Excel
16. Решение оптимизационной задачи линейного программирования
Набор цветных карандашей "Noris Club", 36 цветов. 
Набор фруктов. 
Игрушка-подушка "Жираф", 32 см. 17. Метод Алексея Юрьевича Виноградова для решения краевых задач
18. Решение обратных задач теплопроводности для элементов конструкций простой геометрической формы
19. Маркетинг: решение исследовательских задач
21. Решение транспортной задачи
25. Работа над речью слабослышащих учащихся на уроках развития речи в младших классах
26. Нечеткая логика при решении криминологических задач
27. Алгоритм решения обратной задачи вихретокового контроля (ВТК)
28. Принятие проектных решений в задачах производственного и операционного менеджмента
29. Решение многокритериальной задачи линейного програмирования
31. Использование языка программирования Visual Basic для решения математических задач
32. Математическое моделирование при решении экологических задач
Пазл "Собака", 697 элементов. 
Чайный набор 2 предмета "Вавилон", 210 мл. 
Этажерка для обуви, узкая, 4 полки. 33. Примеры задач и их решение по уголовному процессу
34. Использование информатики для решения экономических задач
35. Основные принципы решения транспортной задачи
36. Принципы разработки алгоритмов и программ для решения прикладных задач
41. Средства языка программирования Паскаль для решения математических задач
42. Аналитический метод в решении планиметрических задач
43. Методы решения краевых задач, в том числе "жестких" краевых задач
44. Выполнение ветеринарных мероприятий, направленных на решение основной задачи ветеринарии
45. Методы решения логистических задач
46. Обучение школьников решению составных задач
47. Обучение детей дошкольного возраста решению арифметических задач
48. Методы решения логических задач
Настольная игра "Четыре времени года". 
Настольная игра "Чудовище Джио-Джанги". 
Аспиратор нозальный Pigeon с футляром. 49. Эвристические методы решения творческих задач
50. Решение обратных задач динамики
51. Решение статистических задач
52. Использование электронных таблиц MS EXCEL для решения экономических задач. Финансовый анализ в Excel
53. Оптимизационные методы решения экономических задач
57. Применение линейного программирования для решения экономических задач (оптимизация прибыли)
58. Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически
59. Уравнения и способы их решения
60. Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный
61. Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром
62. Решение систем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)
63. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
64. Графическое решение уравнений
Шары Ньютона "Эврика", большие. 
Рюкзак школьный, цвет темно-синий (арт. RB-861-2/2). 
Диско-шар, средний. 65. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений
66. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
67. Пути и способы повышения устойчивости работы РЭА
68. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
69. Краткие сведения о электронных таблицах. Решение уравнения
73. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
74. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
75. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
76. Несколько способов решения одной геометрической задачи
77. Социально-экономические проблемы НТР и способы их решения
78. Самоменеджмент как способ повышения эффективности работы руководителя
80. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка
Автокружка с подогревом USB 12 V (450 мл). 
Ручка-стилус шариковая "Даниил". 
Резак для бумаги с ковриком. 81. Линейное программирование: постановка задач и графическое решение
82. Об алгебраических уравнениях высших степеней
83. Приближенное решение уравнений
84. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
85. Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром
89. Способы оценки выполненной работы
90. Волновое уравнение не имеет единственного решения
91. Исследование способов повышения эффективности работы гусеничного движителя
93. Расчетно-Графическая работа ППД КД213А
94. Расчетно-Графическая работа ППД КД213А
96. Расчетно-графическая работа по физике
Заварочный чайник "Mayer & Boch", 1,5 л. 
Набор детской складной мебели Ника "Фиксики. Азбука". 
Набор цветных карандашей Stilnovo, 24 цвета. 97. Расчетно-графическая работа по физике
98. Способы и порядок проведения работ по обеззараживанию
99. Пути и способы повышения устойчивости работы РЭА
100. Расчетно-графическая работа
