|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Изучение теоремы Безу для решения уравнений n-й степени при n>2 |
Брелок LED "Лампочка" классическая. 
Чашка "Неваляшка". 
Карабин, 6x60 мм. Городская открытая научно-практическая конференция школьников и студентов Тема: «ИЗУЧЕНИЕ ТЕОРЕМЫ БЕЗУ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ -Й СТЕПЕНИ, ПРИ &g ;2» Выполнила: Научный руководитель: 2007 Оглавление Введение Этьен Безу Теорема Безу Доказательство теоремы 6 Следствия из теоремы: Следствие 1 Следствие 2 Следствие 3 Следствие 4 Следствие 5 Следствие 6 Следствие 7 Применение теоремы Заключение Источники Введение Трудно решать уравнения третьей степени и выше. Разложение левой части уравнения на множители, если правая часть равна нулю, - самый распространенный метод решения самых различных уравнений. Здесь нет общих рецептов. Многое зависит от умения, сообразительности, наблюдательности и опыта. Но такие уравнения не всегда можно разложить на множители. Одним из методов, которые помогли мне решать уравнения высоких степеней, является теорема Безу. Цель моей работы: изучение теоремы Безу. Для выполнения поставленной цели предполагалось выполнить следующие задачи: ознакомиться с биографией Этьена Безу; проанализировать определение и доказательство теоремы; обозначить и доказать следствия из теоремы Безу; показать конкретные примеры применения теоремы. Этьен Безу Этьен Безу - французский математик, член Парижской Академии Наук (с 1758 года). Родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года. С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе. Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К. Маклореном) о том, что две кривые порядка m и пересекаются не более чем в m точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шести томный “Курс математики “, который Безу писал пять лет с 1764 по 1769 год. Также, он развил метод неопределённых множителей: в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе. Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры, о которой будет говориться ниже. Теорема Безу При делении многочлена -й степени относительно x на двучлен x-a остаток равен значению делимого при x=a. (Буква a может обозначать любое действительное или мнимое число, т.е. любое комплексное число.) Прежде чем доказывать теорему, сделаю два пояснения. Мы знаем, что существуют такие алгебраические выражения, которые теряют смысл при некоторых отдельных значениях входящих в него букв. Например, 1/x теряет смысл при x=0; выражение 1/(x2-25) теряет смысл при x=5 и при x=-5. Заметим, что многочлен любой целой положительной степени никогда не теряет смысла. При всяком значении переменной он принимает определенное значение. Произведение двух множителей, из которых один обращается в нуль, а другой принимает определенное значение, всегда равно нулю.
Если же один множитель обращается в нуль, а другой теряет смысл, то о таком произведении нельзя говорить, что оно равно нулю. О таком произведении ничего определенного сказать нельзя. В каждом отдельном случае необходимо особое исследование. Рассмотрю произведение (1-x) . При x=1 первый множитель обращается в нуль, а второй теряет смысл. Нельзя утверждать, что это произведение при x=1 равно нулю. Lim = Lim =1/2. x→1 x→1 Итак, при x=1 само произведение (1-x) смысла не имеет. Но его предел имеет смысл, а именно равен Ѕ, а не нулю, как это ошибочно можно было предположить. Доказательство теоремы Безу Пусть f(x) обозначает собой произвольный многочлен -й степени относительно переменной x и пусть при его делении на двучлен (x-a) получилось в частном q(x), а в остатке R. Очевидно, что q(x) будет некоторый многочлен ( -1)-й степени относительно x, а остаток R будет величиной постоянной, т.е. не зависящей от x. Если бы остаток R был многочленом хотя бы первой степени относительно x, то это означало бы, что деление не выполнено. Итак, R от x не зависит. По определению деления (делимое равно произведению делителя на частное плюс остаток) получаю тождество f(x) =(x-a)q(x) R. Это равенство справедливо при всяком значении x, значит, оно справедливо и при x=a. Подставляя в левую и правую части равенство вместо переменной x число a, получаю: f(a)=(a-a)q(a) R. (1) Здесь символ f(a) обозначает собой уже не f(x), т.е. не многочлен относительно x, а значение этого многочлена при x=a. q(a) обозначает значение q(x) при x=a. Остаток R остался таким, каким он был раньше, так как R от x не зависит. Произведение (a-a)q(a) равно нулю, так как множитель (a-a) равен нулю, а множитель q(a) есть определенное число. (Многочлен q(x) ни при каком определенном значении x не теряет смысла.) Поэтому из равенства (1) получим: f(a)=R, что и требовалось доказать. Следствия из теоремы Следствие 1. Остаток от деления полинома f(x) на двучлен (ax b) равен значению этого полинома при x=-b/a, т.е. R=f(-b/a). Доказательство: Согласно правилу деления многочленов: f(x)= (ax b) q(x) R. При x=-b/a: f(-b/a)=(a(-b/a) b)q(-b/a) R=R. Значит, R=f(-b/a), что и требовалось доказать. Следствие 2: Если число a является корнем многочлена f(x), то этот многочлен делится на (x-a) без остатка. Доказательство: По теореме Безу остаток от деления многочлена f(x) на (x-a) равен f(a), а по условию a является корнем f(x), а это значит, что f(a)=0, что и требовалось доказать. Из данного следствия теоремы Безу видно, что задача решения уравнения f(x)=0 равносильна задаче выделения делителей многочлена f, имеющих первую степень (линейных делителей). Следствие 3: Если многочлен f(x) имеет попарно различные корни a1, a2 , ,a ,то он делится на произведение (x-a1) (x-a ) без остатка. Доказательство: Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней. При =1 утверждение доказано в следствии 2. Пусть оно уже доказано для случая, когда число корней равно k, это значит, что f(x) делится без остатка на (x-a1)(x-a2) (x-ak), где a1, a2, , ak - его корни. Пусть f(x) имеет (k 1) попарно различных корней.
По предположению индукции a1, a2, ak, , (ak 1) являются корнями многочлена, а, значит, многочлен делится на произведение (x-a1) (x-ak), откуда выходит, что f(x)=(x-a1) (x-ak)q(x). При этом (ak 1) – корень многочлена f(x), т.е. f(ak 1) = 0. Значит, подставляя вместо x (ak 1), получаем верное равенство: f(ak 1)=(ak 1-a1) (ak 1-ak)q(ak 1)=0. Но (ak 1) отлично от чисел a1, , ak, и потому ни одно из чисел (ak 1-a1), , (ak 1-ak) не равно 0. Следовательно, нулю равно q(ak 1), т.е. (ak 1) – корень многочлена q(x). А из следствия 2 выходит, что q(x) делится на (x-ak 1) без остатка. q(x)=(x-ak 1)q1(x), и потому Это и означает, что f(x) делится на (x-a1) (x-ak 1) без остатка. Итак, доказано, что теорема верна при k=1, а из её справедливости при =k вытекает, что она верна и при =k 1. Таким образом, теорема верна при любом числе корней, что и требовалось доказать. Следствие 4: Многочлен степени имеет не более различных корней. Доказательство: Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен f(x) степени имел бы более корней - k (a1, a2,., a k - его корни), тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он бы делился на произведение (x-a1).(x-a k), имеющее степень ( k), что невозможно. Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно, и многочлен степени не может иметь более, чем корней, что и требовалось доказать. Следствие 5: Для любого многочлена f(x) и числа a разность (f(x)-f(a)) делится без остатка на двучлен (x-a). Доказательство: Пусть f(x) - данный многочлен степени , a - любое число. Многочлен f(x) можно представить в виде: f(x)=(x-a)q(x) R, где q(x) - многочлен, частное при делении f(x) на (x-a), R - остаток от деления f(x) на (x-a). Причём по теореме Безу: R=f(a), т.е. f(x)=(x-a)q(x) f(a). Отсюда f(x)-f(a)=(x-a)q(x), а это и означает делимость без остатка (f(x)-f(a)) на (x-a), что и требовалось доказать. Следствие 6: Число a является корнем многочлена f(x) степени не ниже первой только тогда, когда f(x) делится на (x-a) без остатка. Доказательство: Чтобы доказать данную теорему требуется рассмотреть необходимость и достаточность сформулированного условия. 1. Необходимость. Пусть a - корень многочлена f(x), тогда по следствию 2 f(x) делится на (x-a) без остатка. Таким образом делимость f(x) на (x-a) является необходимым условием для того, чтобы a являлось корнем f(x), т.к. является следствием из этого. 2. Достаточность. Пусть многочлен f(x) делится без остатка на (x-a), тогда R=0, где R - остаток от деления f(x) на (x-a), но по теореме Безу R=f(a), откуда выходит, что f(a)=0, а это означает, что a является корнем f(x). Таким образом, делимость f(x) на (x-a) является и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем f(x). Делимость f(x) на (x-a) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем f(x), что и требовалось доказать. Следствие 7: Многочлен, не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит. Доказательство: Воспользуемся методом от противного: предположим, что не имеющий корней многочлен f(x) при разложении на множители содержит линейный множитель (x–a): f(x)=(x–a)q(x), тогда бы он делился на (x–a), но по следствию 6 a являлось бы корнем f(x), а по условию он действительных корней не содержит.
Так, например, анализ перенял от А. её символику, без которой он не мог бы и возникнуть. Во многих случаях изучение многочленов, как более простых функций, пролагало пути для общей теории функций. Наконец, через всю дальнейшую историю математики проходит тенденция сводить изучение более сложных функций к многочленам или рядам многочленов: простейший пример — Тейлора ряд . С другой стороны, А. нередко пользуется идеей непрерывности, а представление о бесконечном числе объектов стало господствующим в А. последнего времени, но уже в новом, специфическом виде (см. ниже — Современное состояние алгебры). Если приравнять многочлен нулю (или вообще какому-либо определённому числу), мы получим алгебраическое уравнение. Исторически первой задачей А. было решение таких уравнений, т. е. нахождение их корней — тех значений неизвестной величины х, при которых многочлен равен нулю. С древних времён известно решение квадратного уравнения х2 + px + q =0 в виде формулы: Алгебраическое решение уравнения 3-й и 4-й степеней было найдено в 16 в
1. Процесс принятия решений. Интуитивная и рациональная технология принятия решений
2. Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств
3. Применение графиков в решении уравнений
4. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
5. Краткие сведения о электронных таблицах. Решение уравнения
9. Решение уравнений в целых числах
10. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
11. Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом
12. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами
13. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
14. Метод касательных решения нелинейных уравнений
15. Решение систем линейных алгебраических уравнений
16. Решение смешанной задачи для уравнения
Аптечка "Скорая помощь" большая. 
Сетка москитная, 1х30 метров, в рулоне, белая. 
Пелёнка-кокон "Карапуз" на липучке. 17. Построение приближенного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля
18. Приближенное решение уравнений
19. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
20. Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром
21. Способы решения систем линейных уравнений
25. Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона
27. Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки
28. Решение системы нелинейных уравнений
30. Методы решения уравнений, содержащих параметр
31. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
32. Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром
Магнит "FIFA 2018. Забивака с флагом". 
Подарочный набор "Покер", арт. 42443. 
Мягкая магнитная мозаика, 145 элементов, 5 цветов. 33. Численное решение модельного уравнения
35. Итерационные методы решения нелинейных уравнений
36. Поиск решений системы линейных уравнений методом Гаусса
41. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона
42. Решение системы линейных уравнений
43. Решение уравнений средствами Excel
47. Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка
48. Графическое решение уравнений
Набор для составления букета из мягких игрушек "LOVE", 3 зайки. 
Именная кружка с надписью "Любимая бабушка". 
Ящик с крышкой Darel Box на колесах, 61x40x31 см. 49. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
50. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений
51. Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений
52. Решение дифференциального уравнения первого порядка
53. Решение дифференциальных уравнений
57. Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка
58. Решение уравнений с параметрами
59. Формулы, возможно неизвестные, для решений уравнения Пифагора
60. Методы решения алгебраических уравнений
62. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
63. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
Мультиплеер с огоньками "Новогодний хоровод". 
Подгузники-трусики для мальчиков Huggies DryNights, 4-7 лет, 10 штук. 
Глобус физический на подставке из пластика диаметром 250 мм. 66. Теорема Безу
67. Применение теоремы Эйлера к некоторым задачам
68. Применение подобия к решению задач
69. Применение новейших экономико-математических методов для решения задач
74. Применение технологии знаково-контекстного обучения во время изложения дифференциальных уравнений
75. Принятие управленческого решения по применению метода Assessment Center для оценки персонала
76. Методы путевого анализа и их применение к системам одновременных уравнений
77. Применение линейного программирования для решения экономических задач (оптимизация прибыли)
79. Деятельность международных организаций ООН в решении глобальной продовольственной проблемы
80. Основания для пересмотра по вновь открывшимся обстоятельствам решений судов по гражданским делам
Трос буксировочный 12 тонн, 2 петли, сумка на молнии. 
Складная силиконовая вставка для горшка Potette Plus, голубая. 
Чернильный картридж Parker для перьевой ручки. Темно-синий (5 штук). 83. Решение задач по курсу "семейное право"
84. Культура, природа, человек. Проблемы и пути их решения
85. Решение транспортной задачи методом потенциалов
89. 10 задач с решениями программированием на Паскале
90. Системы принятия решений, оптимизация в Excel и базы данных Access
93. Корень n-ой степени и его свойства. Иррациональные уравнения. Степень с рациональными показателем
94. Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу
95. Дифференцированные уравнения
96. Теорема Пифагора и способы ее доказательства
Лото пластиковое. Орнаменты. Комплект из трех игр. 
Пазл "Динозавры" (35 элементов). 
Насадка для зубных щеток "Oral-B (Орал-би). Kids Stages Cars Miki Princess", 2 штуки. 98. Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов
99. Синтез оптимальных уравнений
