|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Способы решения систем линейных уравнений |
Ночник-проектор "Звездное небо, планеты", черный. 
Ручка "Помада". 
Мыло металлическое "Ликвидатор". Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается. Поэтому первая глава моего реферата посвящена теме матриц и определителей. В ней я рассматривала различные действия над матрицами, свойства определителей, метод Гаусса вычисления ранга матрицы, а так же некоторые другие теоретические вопросы. Во второй главе непосредственно рассматриваются системы линейных уравнений и некоторые методы их решения: правило Крамера, метод Гаусса, а так же теорема Кронекера – Капелли. И в той и в другой главах приведены примеры, которые составляют практическую часть моего реферата. Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике. Для достижения любой цели необходимо выполнить какие-то определенные задачи. Мне нужно выполнить следующие задачи: исследовать литературу по темам матриц, определителей и систем линейных уравнений; изучить современное состояние данного вопроса; отобрать и классифицировать исследуемый материал; а также провести практическую часть работы. Давайте рассмотрим некоторые примеры важнейших моментов этой работы. Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными: a11x1 a12x2 a1 x = b1 ; a21x1 a22x2 a2 x = b2 ; a 1x1 a 2x2 a x = b ; a). Если (((, то система (1) имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера: x1=, где определитель -го порядка (i ( i=1,2,., ) получается из определителя системы путем замены i-го столбца свободными членами b1 , b2 ,., b . б). Если (((, то система (1) либо имеет бесконечное множество решений , либо несовместна ,т.е. решений нет. Например: решить систему уравнений Так как определитель не равен нулю, система уравнений может быть решена по формулам Крамера. Найдем определители ?x , ?y: .Практическое значение правила Крамера для решения системы линейных уравнений с п неизвестными невелико, так как при его применении приходится вычислять п 1 определителей -го порядка: (, (x1, (x2, ,(x . Более удобным является так называемый метод Гаусса. Он применим и в более общем случае системы линейных уравнений, т. е. когда число уравнений не совпадает с числом неизвестных. Итак, пусть дана система, содержащая m линейных уравнений с п неизвестными: а11х1 а12х2 а1 х = b1; а21х1 а22х2 а2 х = b2;. аm1х1 аm2х2 аm х = bm Метод Гаусса решения системы (19) заключается в последовательном исключении переменных. Например: Решить методом Гаусса систему уравнений x1 – 2x2 x3 x4 = –1; 3x1 2x2 – 3x3 – 4x4 = 2; 2x1 – x2 2x3 – 3x4 = 9; x1 3x2 – 3x3 – x4 = –1.Р е ш е н и е. Составим матрицу В и преобразуем ее. Для удобства вычислений отделим вертикальной чертой столбец, состоящий из свободных членов: 1 –2 1 1 –1 B = 3 2 –3 –4 2 . 2 –1 2 –3 9 1 3 –3 –1 –1 Умножим первую строку матрицы В последовательно на 3, 2 и 1 и вычтем соответственно из второй, третьей и четвертой строк.
Получим матрицу, эквивалентную исходной: 1 –2 1 1 –1 0 8 –6 –7 5 0 3 0 –5 11 0 5 –4 –2 0Третью строку матрицы умножим на 3 и вычтем ее из второй строки. Затем новую вторую строку умножим на 3 и на 5 и вычтем из третьей и четвертой строк. Получим матрицу, эквивалентную исходной: 1 –2 1 1 –1 0 –1 –6 8 –28 0 0 –1 0 –3 0 0 0 19 –19Из коэффициентов последней матрицы составим систему, равносильную исходной: x1 – 2x2 x3 x4 = –1; - X2 – 6x3 8x4 = –28; – x3 = –3; 19x4 = –19.Решим полученную систему методом подстановки, двигаясь последовательно от последнего уравнения к первому. Из четвертого уравнения x4 = –1, из третьего х3 = 3. Подставив значения х3 и x4 во второе уравнение, найдем x2 = 2. Подставив значения x2, x3, x4 в первое уравнение, найдем x1 = 1. Теорема совместности Кронекера – Капелли звучит следующим образом: Для того, чтобы система неоднородных линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу её основной матрицы. Рассмотрим следующий пример: Рассмотрим систему 5x1 – x2 2x3 x4 = 7; 2x1 x2 – 4x3 – 2x4 = 1; x1 – 3x2 6x3 – 5x4 = 0.Ранг основной матрицы этой системы равен 2, так как сцществует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, например 5 –1 = 7, 2 1 а все миноры третьего порядка равны нулю. Ранг расширенной матрицы этой системы равен 3, так как существует отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы, например 5 –1 7 2 1 1 = –35. 1 –3 0 Согласно критерию Кронекера – Капелли система несовместна, т.е. не имеет решений. В процессе работы я узнала много нового: какие действия можно выполнять над матрицами, какой путь решения систем линейных уравнений наиболее простой и быстрый, а так же многие другие теоретические вопросы и провела практические исследования, приводя примеры в тексте. Тема решения систем линейных уравнений предлагается на вступительных экзаменах в различные математические вузы, на выпускных экзаменах, поэтому умение их решать очень важно. Реферат может использоваться как учащимися, так и преподавателями в процессе факультативных занятий, как пособие для самостоятельного изучения по теме „Способы решения систем линейных уравнений ”, а также в качестве дополнительного материала.
Рассмотрим их применение в наглядных примерах. На рис. 9.14 представлены примеры на применение функции VectorSumPlot, показывающие расположение векторов на плоскости (первый пример) и в пространстве, а также дающее построение результирующего вектора. Рис. 9.14. Иллюстрация сложения векторов на плоскости и в пространстве Действие функции вычисления кросс-произведения векторов и построение плоскости в которой находятся векторы демонстрирует рис. 9.15. Для визуализации этих понятий используются функции Cross Product Plot и PlanePlot. Рис. 9.15. Визуализация кросс-произведения векторов и построение плоскости векторов Довольно часто используется понятие о проекции вектора на прямую или на плоскость. Эти возможности реализует функция Projection Plot. Примеры ее применения представлены на рис. 9.16. Рис. 9.16. Визуализация проекции вектора на прямую и на плоскость Важное значение имеет визуализация решения систем линейных уравнений. Для этого используется функция LinearSystemPlot. Примеры ее применения для визуализации решения систем из двух и трех уравнений представлены на рис. 9.17. Рис. 9.17
1. Решение системы нелинейных уравнений
4. Поиск решений системы линейных уравнений методом Гаусса
5. Решение системы линейных уравнений
9. Решение одного нелинейного уравнения
10. Решение задач нелинейного программирования
11. Методы решения систем линейных уравнений
13. Окружение и локализация корня нелинейной функции действительной переменной
14. Окружение и локализация корня нелинейной функции действительной переменной
16. Системы линейных уравнений
Кондитерский шприц с насадками "Mayer & Boch" (15 предметов). 
Кролик "Bunnies" с магнитами, 9,5 см. 
Глобус "Двойная карта" диаметром 320 мм, с подсветкой. 17. Линейные уравнения и их свойства
18. Разработка программного обеспечения решения нелинейных уравнений
19. Метод касательных решения нелинейных уравнений
20. Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики
21. Решение нелинейных уравнений
25. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений
26. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
28. Системы принятия решений, оптимизация в Excel и базы данных Access
30. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка
32. Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически
Книга-сейф "Морские приключения", 24x16x6 см. 
Набор детской складной мебели Ника "Азбука". 
Комплект постельного белья Карапуз "Угадай, кто?" (бязь, 3 предмета). 33. Решение уравнений в целых числах
34. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
35. Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом
36. Проект создания системы поддержки принятия решений оперативно-дежурной службы милиции
37. Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения
41. Уравнения и способы их решения
42. К решению нелинейных вариационных задач
43. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
44. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
45. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
46. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
47. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули
48. Решение иррациональных уравнений
Рюкзак для средней школы "Неон", 46x34x18 см. 
Доска пробковая "Premium", 60x90, алюминиевая рамка. 
Кресло детское мягкое "Принцесса". 49. Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный
50. Обучаемая система поддержки коллективного решения группы независимых экспертов
51. Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона
52. Системы Поддержки Принятия Решений
53. Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах
57. Применение Информационной Системы «GeoBox» для решения задач автоматизации строительства скважин
58. Принятие решений в экологической геоинформационной системе на основе нечеткой модели классификации
59. Биллинговые системы в решении актуальных потребностей операторов
60. Обработка и анализ информационных потоков: системы поддержки принятия решений
61. Применение графиков в решении уравнений
62. Методы решения уравнений, содержащих параметр
63. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
64. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта
Набор детской складной мебели "Маленькая принцесса". 
Коробка картонная для цветов с люверсами и ручками "Лайм", 30x30x20 см. 
Пробковая доска в деревянной раме MDF, 40x30 см. 65. Система переработки информации и ее связь с принятием решений
66. Принятие решений в системе административно-государственного управления
67. Алгоритмы численного решения задач
68. Обработка информации и принятие решения в системах ближней локации
69. Программное обеспечение системы принятия решений адаптивного робота
74. Алгоритм решения Диофантовых уравнений
75. Графическое решение уравнений
76. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
77. Решение алгебраического уравнения n-ой степени
78. Решение дифференциальных уравнений
79. Решение иррациональных уравнений
80. Решение параболических уравнений
Рюкзак школьный "Multi Pack. Graphic", 40x18x29,5 см. 
Именная кружка с надписью "Любимый папа". 
Глобус с подсветкой "Физико-политический", 320 мм. 81. Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка
82. Решение уравнений с параметрами
83. Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений
84. Методы решения алгебраических уравнений
85. Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений
91. Биотехнология. Вклад в решение глобальных проблем человечества
92. Индия. Проблемы и пути их решения
93. Государственный долг России: проблемы и решения
94. Характер решений Конституционного Суда Российской Федерации
95. Принятие управленческих решений
96. Задачи по семейному праву /условие-вопрос-решение/
Руль электронный "Я тоже рулю". 
Вкладыши "Полянка". 
Давайте вместе поиграем. Игры с логическими блоками Дьенеша. 97. Роль социального партнерства в решении проблем охраны труда
98. Николай II. Время трудных решений
99. Sportster Voice 28.8 Инсталляция & Проблемы и решения
