Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Ручка "Шприц", желтая.
Необычная ручка в виде шприца. Состоит из пластикового корпуса с нанесением мерной шкалы. Внутри находится жидкость желтого цвета,
31 руб
Раздел: Оригинальные ручки
Фонарь садовый «Тюльпан».
Дачные фонари на солнечных батареях были сделаны с использованием технологии аккумулирования солнечной энергии. Уличные светильники для
106 руб
Раздел: Уличное освещение
Пакеты с замком "Extra зиплок" (гриппер), комплект 100 штук (150x200 мм).
Быстрозакрывающиеся пакеты с замком "зиплок" предназначены для упаковки мелких предметов, фотографий, медицинских препаратов и
148 руб
Раздел: Гермоупаковка

Система линейных алгебраических уравнений Понятие системы линейных алгебраических уравнений Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Системой линейных алгебраических уравнений (далее – СЛАУ), содержащей m уравнений и неизвестных, называется система вида: где числа aij называются коэффициентами системы, числа bi – свободными членами, aij и bi (i=1, , m; b=1, , ) представляют собой некоторые известные числа, а x1, , x – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Подлежат нахождению числа x . Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме: AX=B. Здесь А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей; – вектор-столбец из неизвестных xj. – вектор-столбец из свободных членов bi.Произведение матриц А Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х ( штук). Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов Решение системы линейных алгебраических уравнений Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство. Решением системы называется значений неизвестных х1=c1, x2=c2, , x =c , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбцаСистема уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением. Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот. Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием. Примерами эквивалентных преобразований могут служить следующие преобразования: перестановка местами двух уравнений системы, перестановка местами двух неизвестных вместе с коэффициентами у всех уравнений, умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число. Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:Однородная система всегда совместна, так как x1=x2=x3= =x =0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным. Метод исключения Гаусса 2.1 Сущность метода исключения Гаусса Классическим методом решения систем линейных алгебраических уравнений является метод последовательного исключения неизвестных – метод Гаусса (его еще называют методом гауссовых исключений).

Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные. Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: прямой и обратный ходы. Прямой ход. На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду. Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид: , где Коэффициенты aii называются главными (ведущими) элементами системы. 1-й шаг. Будем считать, что элемент  (если a11=0, переставим строки матрицы так, чтобы a11 не был равен 0. Это всегда возможно, т. к. в противном случае матрица содержит нулевой столбец, ее определитель равен нулю и система несовместна). Преобразуем систему, исключив неизвестное х1 во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на  и сложим почленно со вторым уравнением системы (или из второго уравнения почленно вычтем первое, умноженное на ). Затем умножим обе части первого уравнения на  и сложим с третьим уравнением системы (или из третьего почленно вычтем первое, помноженное на ). Таким образом, последовательно умножаем первую строку на число и прибавляем к i-й строке, для i=2, 3, , . Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему: Здесь  – новые значения коэффициентов при неизвестных и свободные члены в последних m-1 уравнениях системы, которые определяются формулами:Таким образом, на первом шаге уничтожаются все коэффициенты, лежащие под первым ведущим элементом a110, на втором шаге уничтожаются элементы, лежащие под вторым ведущим элементом а22(1) (если a22(1)0) и т.д. Продолжая этот процесс и дальше, мы, наконец, на (m-1) шаге приведем исходную систему к треугольной системе. Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т.е. равенства вида 0=0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида  то это свидетельствует о несовместности системы. На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается. Обратный ход. На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений.

Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (она в нем всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки. Примечание: на практике удобнее работать не с системой, а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент a11 был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на a11). Примеры решения СЛАУ методом Гаусса В данном разделе на трех различных примерах покажем, как методом Гаусса можно решить СЛАУ. Пример 1. Решить СЛАУ 3-го порядка. Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Для этого домножим их на 2/3 и 1 соответственно и сложим с первой строкой: Теперь обнулим коэффициент при в третьей строке, домножив вторую строку на 6 и вычитая из неё третью: В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма. На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем: из третьего; из второго, подставив полученное ; из первого, подставив полученные и . В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений. Пример 2. Решить неопределенную СЛАУ 4-го порядка: В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы исходная система свелась к ступенчатой, где количество уравнений меньше, чем количество неизвестных:Поэтому общее решение системы: x2=5x4–13x3–3; x1=5x4–8x3–1. Если положить, например, что x3=0, x4=0, то найдем одно из частных решений этой системы x1=-1, x2=-3, x3=0, x4=0. Пример 3. Решить СЛАУ 4-ого порядка. Условие: х1 – 2х2 – х3 х4 = 1 х1 – 8х2 – 2х3 – 3х4 = -2 2х1 2х2 – х3 7х4 = 7 х1 х2 2х3 х4 = 1Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 4х5, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены. 1 -2 -1 1 1 1 -8 -2 -3 -2 2 2 -1 7 7 1 1 2 1 1 Проведём следующие действия: из второй строки вычтем первую строку (cтрока 2 – строка 1); из третьей строки вычтем первую строку, умноженную на 2 (cтрока 3–2 х строка 1) из четвертой строки вычтем первую строку (cтрока 4 – строка 1). Получим: 1 -2 -1 1 1 0 -6 -1 -4 -3 0 6 1 5 5 0 3 3 0 0 Проведём следующие действия: к третьей строке прибавим вторую строку (строка 3 строка 2); четвертую строку поделим на 3 (строка 4 = строка 4 / 3). Получим: 1 -2 -1 1 1 0 -6 -1 -4 -3 0 0 0 1 2 0 1 1 0 0 Проведём следующие действия: четвертую строку поставим на место второй строки; третью строку поставим на место четвертой строки; вторую строку поставим на место третьей строки. Получим: 1 -2 -1 1 1 0 1 1 0 0 0 -6 -1 -4 -3 0 0 0 1 2 К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на 6 (строка 3 6 Ч строка 2). Получим: 1 -2 -1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 5 -4 -3 0 0 0 1 2 Проведём следующие действия: к третьей строке прибавим четвертую, умноженную на 4 (строка3 4Чстрока4); из первой строки вычтем четвертую строку (строка 1 – строка 4); третью строку поделим на 5 (строка 3 = строка 3 / 5).

Рассмотрим их применение в наглядных примерах. На рис. 9.14 представлены примеры на применение функции VectorSumPlot, показывающие расположение векторов на плоскости (первый пример) и в пространстве, а также дающее построение результирующего вектора. Рис. 9.14. Иллюстрация сложения векторов на плоскости и в пространстве Действие функции вычисления кросс-произведения векторов и построение плоскости в которой находятся векторы демонстрирует рис. 9.15. Для визуализации этих понятий используются функции Cross Product Plot и PlanePlot. Рис. 9.15. Визуализация кросс-произведения векторов и построение плоскости векторов Довольно часто используется понятие о проекции вектора на прямую или на плоскость. Эти возможности реализует функция Projection Plot. Примеры ее применения представлены на рис. 9.16. Рис. 9.16. Визуализация проекции вектора на прямую и на плоскость Важное значение имеет визуализация решения систем линейных уравнений. Для этого используется функция LinearSystemPlot. Примеры ее применения для визуализации решения систем из двух и трех уравнений представлены на рис. 9.17. Рис. 9.17

1. Поиски более рационального способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки

2. Поиск решений системы линейных уравнений методом Гаусса

3. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

4. Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

5. Методы экспертных оценок при разработке и принятии управленческих решений

6. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
7. Разработка программного обеспечения для решения уравнений с одной переменной методом Ньютона (касательных)
8. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона

9. Методы и средства цифровой коррекции изображения в оптико-электронных системах визуализации

10. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

11. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

12. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя

13. Стафилококки. Выявление резистентности к метициллину и другим b-лактамным антибиотикам методом скрининга

14. Метод Гаусса

15. Методы интеграции информатики с другими дисциплинами в школьном курсе

16. Метод Гаусса с выбором главной переменной

Ежедневник недатированный "Чемпионат мира по футболу 2018. Эмблема", синий, А5, 176 листов.
Ежедневник недатированный. Формат: А5. Количество листов: 176. Твердый переплет. Термотиснение. Ляссе.
519 руб
Раздел: Канцтовары, хобби
Кепка "Zabivaka", взрослая, размер 58.
Этот обаятельный, улыбчивый символ Чемпионата мира по футболу ещё и сувенир в память о событии мирового масштаба на всю жизнь! Размер: 58.
471 руб
Раздел: Брелоки, магниты, сувениры
Подгузники Huggies Elite Soft, (1), до 5 кг, 27 штук.
Подгузники Huggies Classic обеспечат надежную защиту вашего малыша. Детские подгузники стали еще удобнее. Благодаря дополнительному слою,
384 руб
Раздел: 0-5 кг

17. Метод Гаусса

18. Предмет, метод трудового права, соотношение трудового права с другими отраслями российского права

19. Метод Жордана Гаусса

20. Численное интегрирование методом Гаусса

21. Испытания РЭСИ на безотказность. Метод последовательных испытаний

22. Матрицы, Метод Гаусса
23. Метод наименьших квадратов в случае интегральной и дискретной нормы Гаусса
24. Исследование природных ресурсов планеты с помощью космических методов

25. Исследование клеточного цикла методом проточной цитометрии

26. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ГЕНЕТИКИ

27. Методы психогенетики

28. Обзор методов и способов измерения физико-механических параметров рыбы

29. Новейшие методы селекции: клеточная инженерия, генная инженерия, хромосомная инженерия

30. Зажигательные смеси, состав, средства применения и доставки, вызываемые повреждения, методы лечения и защиты

31. Методы и модели демографических процессов

32. Гидрохимический, атмохический и биогеохимический методы поисков

Магниты "Junior", 34 мм, белые,.
Диаметр: 34 мм. Сила: 1,3 кг. Материал: цельный ферритный магнит. Количество: 10 штук. Цвет: белый.
352 руб
Раздел: Магниты канцелярские
Бумага чертежная "Mega Engineer", А1, 5 листов, 200 г/м2.
Бумага чертежная (ватман) предназначена для всех видов чертежных и графических работ. Используется для работы карандашом, линером,
333 руб
Раздел: Прочая
Гель "Meine Liebe" для стирки цветных тканей, 800 миллилитров.
Эффективно удаляет грязь, сохраняя цвет вещей, предохраняя одежду от выцветания. Содержит натуральные смягчители, поэтому ткани становятся
315 руб
Раздел: Гели, концентраты

33. Добыча золота методами геотехнологии

34. Государственное регулирование экономики: формы и методы

35. Сущность, методы и формы государственного регулирования внешнеэкономической деятельности Российской Федерации

36. Нелегальная миграция в России и методы борьбы с ней

37. Предмет и метод гражданского права

38. Предмет, метод и система гражданского процессуального права /Украина/
39. Корпорация BBC. Формы и методы государственного контроля вещания
40. Формы и методы выхода предприятий на внешний рынок

41. Финансовый контроль: формы, методы, органы

42. Эффективные методы изучения иностранных языков

43. Метод действенного анализа в режиссуре театра, кино и телевидения

44. Соцреализм как метод искусства

45. Дидактические возможности отдельных методов обучения на уроках литературы в старших классах

46. Методы изучения музыкальных произведений крупной формы в старших классах общеобразовательной школы

47. Цивилизационные методы в изучении истории

48. Методы компьютерной обработки статистических данных

Ручки шариковые "Replay. Пиши-стирай", 4 штуки, 1 мм.
Шариковая ручка со стираемыми чернилами. Исправления делаются просто, и поэтому она идеальна для использования в школе. Стирательная
307 руб
Раздел: Цветные
Эжектор концентрат Dr.Klaus от муравьёв других насекомых, 1 л.
Концентрированное средство Dr.Klaus "Insect Super" используется для уничтожения муравьев, клещей, блох, тараканов и других
674 руб
Раздел: От тараканов и прочих насекомых
Рюкзак школьный "Pixie Crew" с силиконовой панелью для картинок (Тролли).
Повседневные вещи кажутся скучными и однотонными, а тебе хочется выглядеть стильно и быть не как все? "Pixie Crew" сделает твою
2082 руб
Раздел: Без наполнения

49. Решение транспортной задачи методом потенциалов

50. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

51. Оценка методов и средств обеспечения безошибочности передачи данных в сетях

52. Обзор возможных методов защиты

53. Метод деформируемого многогранника

54. Сравнение эффективности методов сортировки массивов: Метод прямого выбора и метод сортировки с помощью дерева
55. Методы прогнозирования основанные на нейронных сетях
56. Модифицированный симплекс-метод с мультипликативным представлением матриц

57. Методы приобретения знаний в интеллектуальных системах

58. Билеты, решения и методичка по Информатике (2.0)

59. Вычисление определённого интеграла с помощью метода трапеций на компьютере

60. Интегрирование методом Симпсона

61. Защита цифровой информации методами стеганографии

62. Компьютерный файлово-загрузочный полиморфный стелс-вирус ONEHALF 3544, особенности алгоритма и методы борьбы с ним

63. Система поддержки принятия маркетинговых решений в торговом предприятии на основе методов Data Mining

64. Применение метода частотных диаграмм к исследованиям устойчивости систем с логическими алгоритмами управления

Блюдо для блинов "Спелая смородина", 24,5x28x3 см.
Блюдо для блинов. Размер: 24,5x28x3 см. Материал: фарфор.
619 руб
Раздел: Прочее
Игра логическая "IQ-Колечки".
Сможете ли вы найти недостающее звено? Расставьте все детали головоломки на игровом поле. Будь внимателен! Звеньев деталей 36, а свободных
680 руб
Раздел: Игры логические
Кепка "Zabivaka", детская, размер 52.
Этот обаятельный, улыбчивый символ Чемпионата мира по футболу ещё и сувенир в память о событии мирового масштаба на всю жизнь! Размер: 52.
471 руб
Раздел: Брелоки, магниты, сувениры

65. Лабораторная работа №2 по "Основам теории систем" (Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Варианты разрешимости задач линейного программирования)

66. Численные методы. Двойной интеграл по формуле Симпсона

67. Численные методы

68. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка

69. "Комплект" заданий по численным методам

70. Аксиоматический метод. Логическое строение геометрии
71. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера
72. Сетевые методы в планировании

73. Вычисление интеграла фукции f (x) (методом Симпсона WinWord)

74. НАХОЖДЕНИЕ ВСЕХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ (БИСЕКЦИИ) И МЕТОДОМ ХОРД И КАСАТЕЛЬНЫХ С УКАЗАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ И УЧЕТОМ ВОЗМОЖНОЙ КРАТНОСТИ КОРНЕЙ

75. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

76. Построение графика функции различными методами (самостоятельная работа учащихся)

77. Краткая методичка по логике

78. Методы решения систем линейных неравенств

79. Вычисление двойных интегралов методом ячеек

80. Методы обучения математике в 10 -11 класах

Точилка механическая.
Точилка механическая. Большой контейнер для стружки. Не скользит по поверхности. Материал корпуса: пластик. Цвет представлен в
569 руб
Раздел: Точилки
Кружка "Кот", микс.
Керамическая кружка с ложкой и деревянной крышкой в комплекте сделана в оригинальной крафтовой манере, имитирующей ручную лепку. Бока
434 руб
Раздел: Кружки
Игра с липучками "Мама и малыш".
Потерялись малыши, где же их мамы? Собираем пары, ищем следы животных и соединяем в одну картинку на липучках. Увлекательные задания
497 руб
Раздел: Прочее

81. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом

82. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

83. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

84. Методы расчета электрических полей

85. Метод Алексея Юрьевича Виноградова для решения краевых задач

86. Формула Алексея Юрьевича Виноградова для начала вычислений по методу прогонки Годунова для краевых условий любой сложности
87. Электрографический метод - метод регистрации и анализа биоэлектрических процессов человека и животных
88. Механические и хирургические методы контрацепции

89. Карл Леонгард: методы диагностики личности

90. Хламидиоз. Методы определения/диагностики

91. Предмет, метод, содержание cудебной медицины

92. Методы оценки кровопотери в акушерстве

93. Метод Фолля

94. Некоторые методы лечения переломов длинных трубчатых костей

95. Ретроспективный cанитарно – эпидемиологический анализ по определению связи между заболеваемостью населения ОКИ и факторами внешней среды по эпидемиологически значимым объектам (с использованием статистического метода ранговой корреляции ) за 2000 –2002 г

96. Сравнительная характеристика методов лабораторной диагностики трихомоноза

Спиннер трехлучевой "Цветомузыка", с bluetooth (белый).
Компактная стильная игрушка для взрослых и детей, предназначенная для вращения на пальцах. Состоит из подшипников, благодаря которым
465 руб
Раздел: Спиннеры
Набор из 100 шариков.
Набор цветных шариков это веселая забава для вашего малыша. Он с удовольствием будет резвиться в манеже или бассейне с ними. Эта игрушка
962 руб
Раздел: Шары для бассейна
Сейф-книга СС0081/1 "Alparaisa. Три богатыря", 21х13х5 см.
Размеры: 21х13х5 см. Бокс-сейф в виде книги для хранения мелких ценных вещей. Встроенный замок, запирающийся на ключ. Ключ - 2 штуки.
616 руб
Раздел: Шкатулки сувенирные

97. Продвинутые методы Ганемана. LМ-потенции: теория и практика

98. Воспалительные заболевания женских половых органов неспецифической этиологии, клиника, диагностика, методы лечения

99. Предмет, понятие, метод и система криминологии

100. Характеристики методов расследования преступлений, связанных с квалифицированным вымогательством


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.