Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Некоторые вопросы геометрии вырожденных треугольников

Чашка "Неваляшка".
Ваши дети во время приёма пищи вечно проливают что-то на ковёр и пол, пачкают руки, а Вы потом тратите уйму времени на выведение пятен с
222 руб
Раздел: Тарелки
Карабин, 6x60 мм.
Размеры: 6x60 мм. Материал: металл. Упаковка: блистер.
44 руб
Раздел: Карабины для ошейников и поводков
Забавная пачка денег "100 долларов".
Купюры в пачке выглядят совсем как настоящие, к тому же и банковской лентой перехвачены... Но вглядитесь внимательней, и Вы увидите
60 руб
Раздел: Прочее

Некоторые вопросы геометрии вырожденных треугольников. Казакова Г.Г. , доцент кафедры геометрии ХГПУ Рисунок 1. Центроид треугольника Применение методов векторной алгебры позволяет выявлять те особые свойства фигур, которые могут ускользнуть от нас при их наглядно-геометрическом рассмотрении, и при этом не потерять геометрическую наглядность изучаемого факта (как это часто бывает при применении метода координат). Остановимся на некоторых фактах, связанных с геометрией треугольника, которые позднее будут применены к вырожденным треугольникам, что позволит получить интересные результаты. Договоримся об обозначениях: точки будем обозначать заглавными буками обычным шрифтом (например: А, B)  , а радиус-векторы точек (и обычные векторы) - жирным курсивом (например A, G, BC, b). 1. Центроид треугольника. Точка G пересечения медиан треугольника АВС называется его центроидом. Выразим радиус-вектор G центроида через радиус-векторы A, B, C вершин треугольника при любом выборе начала векторов - точки О. По свойству медиан треугольника CG:GM=2 (смотри рис.1), следовательно G=(C 2M)/3, где М - середина стороны АВ, т.е. M=(A B)/2. Итак,  G=(A B C)/3  (1) Верно и обратное: если точки А, В и С не коллинеарны и имеет место условие (1), то точка G есть центроид треугольника АВС. В самом деле, пусть точка М - середина отрезка АВ, т. е. при любом выборе начала векторов О имеем M=(A B)/2. Тогда из равенства (1) получим G=(C 2M)/3, т.е. G делит медиану СМ в отношении 2:1 и потому является центроидом треугольника АВС. 2. Ортоцентр треугольника. Прямая Эйлера. Если за начало векторов взять центр О описанной вокруг треугольника АВС окружности, то радиус-вектор ортоцентра Н (точки пересечения высот) этого треугольника равен  H = A B C (2)   Рисунок 2. Ортоцентр треугольника В самом деле, векторы A B и H-C (смотри рис.2) коллинеарны, значит, A B = l(H-C). По этой же причине B C = m(H-A). После почленного вычитания этих равенств получаем: A-C = (l - m)H - lC mA или (1 - m)A (l - 1)C (m - l)H = 0 и при этом сумма коэффициентов (1 - m) (l - 1) (m - l) = 0. Выполнение двух этих условий возможно только в двух случаях: либо когда точки А, С и Н коллинеарны (это невозможно по условию), либо когда (1 - m) = (l - 1) = (m - l) = 0. Значит, имеет место последнее: m = l = 1 и тогда H = A B C. Так как при любом выборе начала векторов точки О G=(A B C)/3 то в данном случае G = H/3, т. е. точки О, G и Н коллинеарны и OG : GH = 1:2. Прямая OGH называется прямой Эйлера для треугольника АВС. Теорема 1: Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон и середин сторон, лежат на окружности, описанной вокруг этого треугольника. Рисунок 3. Доказательство: Примем центр описанной окружности за начало радиус - векторов точек. Если точка Е1 симметрична Н относительно середины стороны ВС (смотри рис.3), то : (B C)/2 = (H E1)/2, или E1 = B C - H = -A, т.е. точки A и E1 диаметрально противоположные и E12 =A2 =R2. Пусть прямая АН пересекает прямую ВС в точке К, а окружность - в точке Н1. Если ОД перпендикулярна ВС и ОF перпендикулярна АК, то: K = D F, D = (В C)/2, F = (A H1)/2 и, значит, K = (B C А H1)/2 = (H H1)/2 , т.е

. Н1 симметрична точке Н относительно прямой ВС. Для точек Н2 и Н3 доказательство аналогично. Теорема 2: Во всяком треугольнике середины сторон, основания высот и три точки, делящие пополам отрезки высот от вершин до ортоцентра, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек треугольника. Доказательство: За начало векторов примем центр О описанной около треугольника окружности (смотри рис.4). Обозначим через Оi середины сторон, через Нi основания высот, через Кi середины отрезков высот от ортоцентра до вершины (i =1, 2 ,3). Если L - середина отрезка ОН, то L = H/2 = (A B C)/2, LO1 = O1 - L = (B C)/2 -(A B C)/2 = -A/2, LK1 = K1 - L = (A H)/2 - H/2 = A/2. Рисунок 4. Таким образом, точки Оi и Кi (i =1, 2 ,3) симметричны относительно L, т.е. принадлежат окружности с центром L и радиусом, равным половине радиуса R описанной окружности, так как LO12 = LK12 = (±A/2)2 = R2/4. Углы ОiHiKi ( i=1, 2, 3) прямые и опираются на диаметры полученной окружности, а поэтому точки Hi этой окружности принадлежат. В дальнейшем остановимся на применении рассмотренных фактов к вырожденным треугольникам, т.е. таким треугольникам, у которых совпадает две или три вершины. 3. Треугольник с двумя совпавшими вершинами. Если вершины В и С треугольника АВС совпали, то сторона ВС = а будет касательной к описанной около треугольника окружности в этой точке, а длина стороны ВС будет равна нулю. Итак, определить треугольник с двумя совпавшими вершинами (вырожденный треугольник) можно двояко: 1) это хорда АВ окружности с одним двойным концом В; 2) это отрезок АВ и прямая, проходящая через его точку В. В последнем случае описанная около треугольника АВС окружность касается прямой а в точке В, лежащей на ней. Такая окружность - единственная. В полученном треугольнике с двумя совпавшими вершинами величина угла А равна нулю, а углы В и С - смежные, поэтому сумма внутренних углов треугольника равна 1800. Рассмотрим интерпретацию для данного треугольника свойств невырожденного треугольника. Так, при любом выборе начала О векторов G=1/3(A 2B), т.е. центроид G делит отрезок АВ в отношении л=2:1. Ортоцентр Н определится как тоже пересечение высоты АHi ^ а и двойной высоты, проходящей через точку В є С перпендикулярно к АВ. Если за начало векторов принять центр О описанной окружности, то Н = А 2В (рис.5). Итак, векторы G и Н коллинеарны и OG : GH = 1 : 2. Применительно к данному случаю теорема 1 звучит следующим образом: Если АВ - хорда окружности, а - касательная к ней в точке В и перпендикуляры из точки А к прямой а из точки В у прямой АВ пересекаются в точке Н, то точки Е, F и K, симметричные Н соответственно относительно а, В и середины АВ, принадлежат данной окружности (рис.5). Рисунок 5 Для обычного треугольника имеет место теорема Симпсона: ортогональные проекции точки окружности на стороны вписанного в нее треугольника лежат на одной прямой, называемой прямой Симпсона для данного треугольника. Для треугольника вырожденного этот факт тривиален: точки М1 и М2 совпали, а две точки М1 є М2 и М3 всегда определяют прямую линию (рис.6). Однако, так как DММ1В~DММ3А, (они прямоугольные и углы МВМ1 и МАМ3 измеряются половиной дуги М B), то МВ : МА = ММ2 : ММ3 или МВ · ММ3 = МА · ММ2, т.е

. получаем теорему 3: Если АВ - хорда окружности и а - касательная к ней в точке В, то произведение расстояний произвольной точки окружности до точки касания и до хорды равно произведению расстояний этой точки до второго конца хорды и до касательной. Рисунок 7 Теорема 2 (об окружности девяти точек треугольника) для вырожденного треугольника может быть сформулирована так: Если АВ - хорда окружности, а - касательная к ней в точке В и перпендикуляры АH1 к прямой а и FB к прямой АВ пересекаются в точке Н (рис.5), то основания H1 и В этих перпендикуляров и середины отрезков АВ, АН и ВН лежат на одной окружности, радиус которой равен половине радиуса данной окружности. Треугольник с тремя совпавшими вершинами (дважды вырожденный треугольник). Рисунок 6 Такой треугольник можно задать с помощью точки А окружности (рис.7). В этом случае все три стороны совпадают, ибо А=В=С, и являются касательной а к окружности в точке А. Если за начало векторов принять центр О описанной окружности, то G=A и H=3A, т.е. ОАН - прямая Эйлера для вырожденного треугольника и OG:GH=1:2. Точка Н', симметричная Н относительно сторон и середин сторон вырожденного треугольника АВС, лежит на окружности (О,ОА), описанной около этого треугольника. Чтобы выяснить положение прямой Симпсона, обратимся к рис.6. Так как РММ1В = РММ3В = 900 , то точки М1 є М2 и М3 принадлежат окружности диаметра МВ. Следовательно, если А=В, то прямая М1М3 Симпсона будет касательной в точке М1 к окружности диаметра МА=МВ (рис.7). Окружностью девяти точек треугольника АВС является окружность, касающаяся описанной окружности в точке А (основание трех высот, середины трех сторон) и проходящая через середину отрезка НА, т.е. ее радиус равен половине радиуса данной окружности. Список литературы Майоров В.М., Скопец З.А. Векторное решение геометрических задач. М.- Просвещение, 1968. Скопец З.А., Панарин Я.П. Геометрия тетраэдра и его элементов. Ярославль, 1974.

Основные направления математических исследований: алгебра, математическая логика, дифференциальные уравнения, геометрия, топология, функциональный анализ. Проведены исследования различных неклассических логик и высказываний (А. В. Кузнецов и др.). Развиты теории радикалов колец и алгебр, радикалов в категориях, структурная теория колец и группоидов, аддитивная теория алгебраических систем, теория квазигрупп (В. А. Андрунакиевич, В. И. Арнаутов, В. Д. Белоусов, Ю. М. Рябухин и др.). Изучены алгебраические инварианты дифференциальных уравнений, вопросы устойчивости по Пуассону, свойства минимальных множеств и различные обобщения динамических систем (К. С. Сибирский, Б. А. Щербаков и др.). Проведены исследования по математическим вопросам кристаллографии, свойствам выпуклости множеств, теории графов и некоторым вопросам общей топологии (А. М. Заморзаев, И. И. Паровиченко, П. С. Солтан и др.). Рассмотрены вопросы теории несамосопряжённых операторов и интегральных уравнений. Выполнен ряд работ по автоматизации программирования, применению математических методов и ЭВМ в вопросах механики и оптимального развития производства.   Технические науки

1. Некоторые вопросы анализа деловых проблем

2. Некоторые вопросы практики вексельного обращения

3. Польско-советские отношения в оценках Берлина в 30-е годы. Некоторые вопросы

4. Некоторые вопросы дальнейшего изучения лирики Ф.И. Тютчева

5. Некоторые вопросы взаимодействия национальных музыкальных культур (восток - запад)

6. Некоторые вопросы общего подхода к проблеме соотношения гражданского и налогового права
7. Некоторые вопросы ответственности за земельные преступления и иные правонарушения
8. Некоторые вопросы проведения судебной реформы в Сибири в 60-е - 80-е гг. XIX в.

9. Некоторые вопросы организации физического воспитания в педагогическом вузе

10. Некоторые вопросы оценки стратегий экономического поведения человека на рынке труда

11. Некоторые вопросы квалификации убийств, совершенных при отягчающих обстоятельствах

12. Некоторые вопросы ликвидации коммерческих банков

13. Некоторые вопросы стратиграфии терригенных меловых отложений северной части Воронежской антеклизы

14. Некоторые вопросы оценки кредитоспособности предприятий-заемщиков

15. Некоторые вопросы правовой природы ЦБ РФ

16. Некоторые вопросы виктимологии предпринимательства

Набор мебели "Счастливые друзья", PT-00314.
В наборе: мебель для ванной, аксессуары. Материал: пластмасса. Возраст: 3+.
582 руб
Раздел: Ванные комнаты
Микрофон "Пой со мной! Любимые песенки малышей".
Этот микрофончик светится под музыку, а на каждой его кнопочке записано 5 весёлых песенок, включая «Песню Львёнка и Черепахи»,
314 руб
Раздел: Микрофоны
Стиральный порошок Ушастый нянь, 9000 г.
Стиральный порошок "Ушастый нянь" создан специально для новорожденных детей. Активные добавки, которые входят в состав порошка,
999 руб
Раздел: Для стирки детских вещей

17. Некоторые вопросы экологии и топонимики природных объектов РСО-Алания

18. Некоторые вопросы квалификации убийства

19. Некоторые вопросы уголовного процесса

20. Решение некоторых вопросов семейного права

21. Некоторые вопросы международного частного права

22. Некоторые вопросы основ менеджмента
23. О некоторых вопросах ввоза в республику Беларусь товаров для переработки
24. Некоторые вопросы государственной экономической политики

25. Некоторые вопросы структурной перестройки экономики Украины

26. План урока геометрии. Тема: Свойство медиан треугольника

27. О некоторых проблемных вопросах налогового законодательства, некомпетентности и зловредности некоторых юристов

28. О некоторых общих вопросах разработки истории психологии

29. Краткое описание происхождения птиц и описание некоторых птиц кайнозойской эры

30. О вопросе клонирования в современном естествознании

31. Организационно-технические вопросы обучения по темам безопасной эксплуатации радиационно-опасных объектов

32. Контрольные вопросы для самопроверки (темы: "Предмет и задачи экономической географии" и другие)

Подгузники Merries для новорожденных, 0-5 кг, экономичная упаковка, 90 штук.
Большая экономичная упаковка мягких и тонких подгузников для новорожденных. Подгузники пропускают воздух, позволяя коже малыша дышать.
1374 руб
Раздел: 0-5 кг
Форма для выпечки на 9 ячеек "Паровозик", 21,5x29x4,5 см (силикон).
Форма для выпечки на 9 ячеек "Паровозик". Силиконовые формы изготовлены из специального силиконового материала, благодаря
333 руб
Раздел: Формы и формочки для выпечки
Мозаика для малышей Игродром "Кнопик", 10 трафаретов.
Настольная игра "Кнопик" из серии "Игродром" предлагает ребенку с интересом и пользой провести время. Комплект
701 руб
Раздел: Пластмассовая

33. Основные вопросы реструктуризации государственного долга РФ

34. Вопросы и ответы к междисциплинарному экзамену (государственное и муниципальное управление)

35. Экзаменационные вопросы по гражданскому процессуальному праву

36. Некоторые особенности регулирования обязательственных отношений по статутному праву Великого княжества Литовского

37. Ответы на экзаменационные вопросы по истории

38. Государственное преступление или вопрос строительства оборонительных рубежей под Казанью 1941 – 1942 гг. (Казанский обвод)
39. Вопрос об открытии второго фронта. Тегеранская конференция
40. Выборы: декларации и действительность (Некоторые проблемы избирательного права в современной России)

41. Шпаргалка по международному частному праву (Вопросы к экзамену по МЧП)

42. Анализ налоговой системы России. Некоторые аспекты

43. Физическое лицо – предприниматель: вопросы правового регулирования в РФ

44. Вопросы коммерческой тайны

45. Задачи по семейному праву /условие-вопрос-решение/

46. Основы права (вопросы к зачету)

47. Вопросы обеспечения прав человека в деятельности Службы судебных приставов

48. Категории рода и одушевленности-неодушевленности и их выражение в некоторых языках мира

Сортер-матрешка "Волшебный куб".
Деревянный сортер-матрешка представляет собой развивающий комплекс для детишек возрастом от 3 лет. Игра состоит из 5 кубов различной
568 руб
Раздел: Сортеры, логические игрушки
Пазл-ваза "Поющие птицы в летнем саду", 160 элементов.
Ваза-пазл – это трехмерный пазл в виде вазы. Оригинальный дизайн; идеальная сцепка деталей; специальная колба для воды;
587 руб
Раздел: Прочие
Набор детской посуды "Ангел".
Набор посуды детский "Ангел". В комплекте 3 предмета: - тарелка суповая диаметром 15 см, - тарелка обеденная диаметром 17,5
397 руб
Раздел: Наборы для кормления

49. Ответы на вопросы к зачету по курсу культурологии

50. О некоторых проблемах современной английской лексикографии

51. Женский вопрос в романе "Война и мир"

52. Некоторые черты полководческого почерка Жукова

53. Аграрный вопрос в политике РСДРП

54. Актуальные вопросы истории ВОВ
55. Ялтинская конференция 1945 года и обсуждение на ней вопроса о зонах оккупации Германии и управлении большим Берлином
56. Вопросы компьютерной безопасности (антивирусы)

57. Вопросы на тему "Windows, Excel & Word" с тестами, иллюстрациями и пояснениями

58. Чем отличается папка Мой компьютер и программа Проводник? Как настроить рабочий стол? (и другие ответы на вопросы)

59. Геометрия

60. Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии

61. Математическая кунсткамера /кое-что из истории геометрии/

62. Формулы и шпоры 10-11 кл. (информатика, геометрия, тригонометрия ...) (Шпаргалка)

63. Геометрия Лобачевского

64. Шпаргалка по геометрии и алгебре

Полка для ванной (сиденье) (белый).
Материал: пластик. Длина: 680 мм. Ширина: 310 мм. Высота: 40 мм. Выдерживает вес до 100 кг.
451 руб
Раздел: Решетки, сиденья для ванны
Ручки гелевые "Lipari", 30 цветов.
Набор ручек гелевых. В наборе: 30 цветов (0,5 мм - 4 штуки, 0,8 мм - 6 штук, неон - 6 штук, флуоресцентные - 6 штук, металлик 1 мм - 8
311 руб
Раздел: Цветные
Подарочный набор "Покер", арт. 42449.
Подарочный набор "Покер" безусловно будет тем самым неизбитым презентом, произведённым из дерева. Регулярно удалять пыль сухой,
1292 руб
Раздел: VIP-игровые наборы

65. Ответы для програмированного контроля по начертательной геометрии...

66. Экзанаменационные билеты по геометрии за 11 класс

67. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)

68. Лобачевский и неевклидова геометрия

69. Справочник по геометрии (7-9 класс)

70. Некоторые дополнительные вычислительные методы
71. Экзаменационные билеты по геометрии (9 класс, шпаргалка)
72. Общие вопросы фармакодинамика и фармакокинетики

73. Научно-практический подход к вопросам клиники и диагностики и хирургического лечения ЧМТ

74. Функциональный запор: вопросы диагностики и терапевтические подходы (обзор литературы)

75. Некоторые методы лечения переломов длинных трубчатых костей

76. Некоторые факторы, влияющие на развитие головного мозга

77. Некоторые проблемы преступности на государственных границах РФ /по данным 1994-95 гг./

78. Некоторые особенности расследования преступлений связанных с дорожно-транспортными происшествиями

79. Контрольные вопросы для сдачи Государственного экзамена по криминальному праву

80. Правовые вопросы возбуждения уголовного преследования по просьбе иностранного государства

Этажерка для обуви разборная, 4 полки, 660x280x700 мм.
Модель предназначена для хранения обуви в прихожей. Она придется особенно кстати, если у вас малогабаритная квартира: она займет минимум
1102 руб
Раздел: Полки напольные, стеллажи
Стрейч-пленка для ручной упаковки, вес 1 кг, 17 мкм, 45 см x 140 метров.
Прозрачная стрейч-пленка для ручной упаковки применяется в быту, на производстве, в офисе, магазине. Изготовлена из прочного полиэтилена,
351 руб
Раздел: Плёнка пищевая
Бутылочка для кормления "Avent Classic+", 260 мл (голубая, рисунок: краб), от 1 месяца.
Ограниченная серия -бутылочка для кормления голубая c рисунком (краб), Classic+. Зарекомендовавшая себя серия Classic была улучшена:
403 руб
Раздел: Бутылочки

81. Влияние некоторых антропогенных факторов на численность пушных зверей в окрестностях города Пскова

82. Некоторые результаты исследования горных лиственничных лесов бассейна Верхней Лемвы в 1999-2000 гг.

83. Обобщающее повторение по геометрии /на примере темы "Четырехугольник"/

84. Тест по методике преподавания физики общие и частные вопросы

85. К вопросу о причинах поражений Красной Армии в первый период Великой Отечественной войны

86. СИСТЕМА ИЛИ ВЕРА? К вопросу о движении к цивилизации
87. Конспект лекций и ответы на экзаменационные вопросы по предмету Термическая Обработка
88. Вопросы на экзамен по ДМ (детали машин)

89. Военно-психологические вопросы в сочинениях Джона Б. Уотсона - как основоположника бихевиоризма

90. Тиристоры и некоторые другие ключевые приборы

91. Вопросы религиозного самопознания в творчестве Флоренского П.А.

92. Проблема перенаселённости Земли. История вопроса от Мальтуса до наших дней

93. Вопросы для программированного контроля по курсу "Механика"

94. Вопросы и ответы по физике в ТУСУР (Томск)

95. Вопросы и ответы к экзамену по Физкультуре (МАИ, за 1999г.)

96. Метафизика Канта. Некоторые положения

Контейнер прямоугольный, 1850 мл.
Контейнер прямоугольный объемом 1850 мл. Герметичный. Широкий температурный диапазон использования. Материал: стекло, пластик,
447 руб
Раздел: Штучно
Папка-портфолио для школьника, на 4 кольцах, 20 файлов, 10 вкладышей.
Формат - A4. Размер - 245x320 мм. Наличие файлов - 20. Количество вкладышей - 10. Материал папки - твердый картон. Материал вкладыша -
371 руб
Раздел: Портфолио
Мел белый, 72 штуки.
В наборе: 72 мелка.
536 руб
Раздел: Мел

97. Мои ответы на основные вопросы человеческого бытия, сформированные И. Кантом

98. Критика расизма. О двух сторонах всякого вопроса

99. О вопросе клонирования в современном естествознании


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.