Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Элементы планиметрии

Забавная пачка "5000 дублей".
Юмор – настоящее богатство! Купюры в пачке выглядят совсем как настоящие, к тому же и банковской лентой перехвачены... Но вглядитесь
60 руб
Раздел: Прочее
Пакеты с замком "Extra зиплок" (гриппер), комплект 100 штук (150x200 мм).
Быстрозакрывающиеся пакеты с замком "зиплок" предназначены для упаковки мелких предметов, фотографий, медицинских препаратов и
148 руб
Раздел: Гермоупаковка
Забавная пачка денег "100 долларов".
Купюры в пачке выглядят совсем как настоящие, к тому же и банковской лентой перехвачены... Но вглядитесь внимательней, и Вы увидите
60 руб
Раздел: Прочее

Элементы планиметрии Мендель Виктор Васильевич, доцент кафедры геометрии ХГПУ Цель предлагаемого задания – повторить материал по планиметрии для дальнейшего его использования при решении задач по стереометрии, а также применения при решении олимпиадных задач. Предлагаемая разработка состоит из двух блоков. В первом изложены основные геометрические конструкции и связанные с ними факты; основные вычислительные формулы и замечательные теоремы, связанные с геометрией треугольника. Во втором блоке собраны задачи. Начинается этот блок с опорных задач, которые нужно обязательно разобрать. Далее изложены задачи для самостоятельного решения. Они разделены по уровню сложности и по тематике. Некоторые снабжены указаниями к решению. Вам необходимо внимательно прочитать и повторить материал первого блока. Решить опорные задачи (решения этих задач высылать не надо). Затем вы должны решить из задач для самостоятельного решения необходимый минимум (или больше). Минимальное количество задач по каждому разделу указано в начале каждого раздела. Если в школе учится несколько учащихся Заочной краевой физмат школы, им рекомендуется решать различные задачи. Оформление решения: Номер задачи. Краткая запись (текст можно не переписывать). Пояснение всех обозначений (Например: АН – высота из вершины А; ВМ – медиана; l – длина биссектрисы CL и т.п.). Аккуратный чертеж с четкими обозначениями. Решение (с необходимыми короткими комментариями. Например: из того, что треугольник ABC – прямоугольный — следует , из Δ ABC по теореме косинусов выразим сторону BC и т.п.). При оформлении решения допускаются ссылки на материал первого блока. I. Основные геометрические конструкции, вычислительные формулы и теоремы. Основные конструкции. Треугольник с построенными медианами. Медианы пересекаются в одной точке (центроид, центр тяжести) и делятся этой точкой в отношении 2:1 считая от вершины. Медиана разбивает треугольник на два равных по площади треугольника. Медианы разбивают треугольник на шесть равных по площади треугольников. Площади треугольников АМВ, ВСМ и САМ – равны. Если точка М лежит внутри треугольника и обладает свойством 4, то это точка пересечения медиан. Треугольник с построенными высотами. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке (точка пересечения высот, ортоцентр). Если треугольник остроугольный – Н лежит внутри него, если тупоугольный – вне треугольника, если прямоугольный – совпадает с вершиной прямого угла. Треугольник АВС и АНВНС – подобны: . Четырехугольник ВСНВНС вписывается в окружность: &E H;ВСНВ &E H;НВНСВ=180°. Четырехугольник АНСННВ вписывается в окружность: &E H;А &E H;НСННВ=180°. Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами лежат на одной окружности (окружность девяти точек). Треугольник с построенными биссектрисами. Основное свойство биссектрис:  (то же верно и для биссектрисы внешнего угла треугольника). Биссектрисы пересекаются в одной точке L – центре вписаной окружности. Расстояние от точки L до любой стороны треугольника равно r – радиусу вписанной окружности.

Замечание! Точки LA, LB и LC в общем случае не являются! точками касания сторон треугольника и вписанной окружности. Треугольник с построенными серединными перпендикулярами. Серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке О – центре описанной окружности. Точка О равноудалена от вершин: ОА=ОВ=ОС=R – радиус описанной окружности. (см. рис. 5) . Теорема синусов: . Точка О лежит: внутри остроугольного треугольника; на середине гипотенузы прямоугольного треугольника; вне тупоугольного треугольника. Связь между серединными перпендикулярами и высотами: высоты треугольника НАНВНС (см. рис.2) лежат на серединных перпендикулярах треугольника АВС. Треугольник с построенными средними линиями. средняя линия – отрезок, соединяющий середины 2-х сторон треугольника. Средняя линия МАМВ параллельна стороне АВ и равна половине ее длины. Средние линии образуют треугольник, подобный данному. Коэффициент подобия – 1/2, площади относятся как 1:4. Про описанную окружность треугольника МАМВМС смотри 1.2 №6. Про его высоты смотри 1.4 № 4. Углы, вписанные в окружность. Угол, вершина которого лежит на данной окружности, а стороны ее пересекают, называется вписанным. Градусная мера дуги ВС окружности есть градусная мера центрального угла ВОС, опирающегося на эту дугу. Угол ВАС равен половине угла ВОС (мера вписанного угла равна половине меры дуги, на которую этот угол опирается). Сумма противоположных углов вписанного 4-х угольника равна 180º. Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги равных окружностей (или одной окружности) – равны. Будем говорить, что отрезок АВ виден из точки М под углом γ, если &E H;АМВ=γ. Если одна из сторон выпуклого многоугольника видна из всех оставшихся вершин под одним и тем же углом, то вокруг этого многоугольника можно описать окружность (обратное также верно). Угол, вершина которого лежит вне окружности, а стороны пересекают эту окружность. &E H;СМD=1/2& imes;(&E H;СОD-&E H;AOB) – угол равен полуразности мер дуг, которые он вырезает из окружности. Треугольники АМВ и СМD – подобны: ; &E H;МАВ=&E H;МDС, &E H;МВА=&E H;МСD. Свойство отрезков секущих: МА·МС=МВ·МD=МТ2=МО2-R2 (M – отрезок касательной, МО – расстояние от М до центра О, R – радиус окружности). Угол, вершина которого лежит внутри окружности.  – угол равен полусумме мер дуг, которые он вырезает из окружности. Треугольники МВС и МАD подобны: &E H;МВС=&E H;МАD; &E H;МСВ=&E H;МDА (т.к. опираются на равные дуги). МА:МВ=МС:МD=ВС:АD. Свойство отрезков секущих: МА·МС=МВ·МD= =R2-МО2. Выпуклый многоугольник, описанный вокруг окружности. Многоугольник описан вокруг окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Центр вписанной окружности равноудален от сторон многоугольника. Если внутри выпуклого многоугольника есть точка, равноудаленная от всех его сторон, то в этот многоугольник вписывается окружность с центром в данной точке. В выпуклый 4-х угольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: a c=b d. Радиус r вписаной окружности многоугольника вычисляется по формуле , где S – площадь, а P – периметр многоугольника.

Теоремы Вариньона. Середины сторон 4-х угольника являются вершинами параллелограмма (рис. 11). Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон и середины диагоналей 4-х угольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Если 4-х угольник из п.2 – выпуклый, то площадь параллелограмма M PQ равна половине площади ABCD. Свойства хорд. Прямая, проходящая через середины двух параллельных хорд окружности проходит через центр этой окружности. Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности. Параллельные хорды AB и CD (рис. 12) высекают на окружности равные дуги AD и BC. Равные хорды одной (или двух равных) окружности стягивают равные дуги. Угол между хордой АВ и касательной в точке А равен половине меры дуги АВ. Линия центров двух окружностей. Линия центров – прямая, проходящая через центры двух окружностей. Общие внешние (внутренние) касательные двух окружностей пересекаются в точках, лежащих на линии центров. Если две окружности касаются, то точка касания лежит на линии центров. Основные вычислительные формулы. Теорема косинусов: Площадь треугольника: – стороны треугольника, – углы,– высота, – полупериметр,  – радиус описаной окружности,  – радиус вписаной окружности. Площадь выпуклого четырехугольника: , и  – диагонали,  – угол между ними. 2.4. Площадь выпуклого многоугольника с периметром, описанного вокруг окружности радиуса : . 2.5.Формула Герона для вычисления площади треугольника: , где . 2.6.Длина отрезков, на которые делят стороны треугольника точки касания вписаной окружности:, , 2.7.Теорема Птолемея: во вписаном 4-х угольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон: . 2.8.Площадь трапеции: , и  – основания,  – высота трапеции. 2.9.Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг многоугольника, нужно найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника, вершинами которого служат три каких-либо вершины данного многоугольника. 3. Некоторые замечательные теоремы планиметрии. 3.1. Теорема Менелая. Точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда . 3.2.Теорема Чевы. Прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда . 3.3.Теорема Пифагора. 3.4. Некоторые свойства прямоугольного треугольника:  – радиус вписаной окружности  – радиус описаной окружности  – высота из вершины прямого угла II. Задачи. Опорные задачи. Представленные ниже опорные задачи, являются упражнениями для закрепления материала, изложенного методических рекомендациях. Эти задачи необходимо прорешать, но высылать их решения не следует. Найдите неизвестные стороны треугольника АВС, если дано: а) а=4, в=6, g=30° б) а=4, в=6, b=60° в) а=5, a=30°, b=120° Стороны параллелограмма а и в, угол между ними g. Найдите длины его диагоналей. Вычислите длину медианы mа, проведенную из вершины А треугольника АВС, если а) АВ=с, АС=в, &E H;А=a б) АВ=с, АС=в, ВС=а Указание: Достройте треугольник до параллелограмма и используйте формулы, полученные в задаче 1.2. Вокруг окружности описана равнобочная трапеция, средняя линия которой равна m. Найдите длины боковых сторон.

Для параллельного переноса: х' = х + а y' = у + b. II. Для центральной симметрии: x' = 2x0 – x y' = 2y0 – y. III. Для поворота: х' = х ? cos? – у sin? y' = х ? sin? + у ? cos?. IV. Для осевой симметрии (уравнение прямой ах + by + с = 0): 78. Докажите, что если точки А, В, С лежат на одной прямой, а точки А1, В1, С1 – на другой, и АВ1||А1В, ВС1||В1С, то АС1||А1С (теорема Паппа). (3) 79. Выведите координатные формулы инверсии: Глава 2 Практикум по решению задач § 1. Использование формул планиметрии и тригонометрии Решение наибольшего числа задач по планиметрии предполагает знание формул планиметрии и тригонометрии. Это прежде всего задачи на решение треугольников, нахождение различных линейных элементов в геометрических фигурах (длин медиан, биссектрис, радиусов окружностей и т. д.), определение углов. 1.1. Задачи на треугольник При решении вычислительных задач на треугольник нужно знать следующие формулы (рис. 125): Рис. 125. где a, b, с – стороны треугольника; ?, ?, ? – противолежащие им углы; r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей; ha, ma, la – высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне а; S – площадь треугольника; – полупериметр треугольника

1. Трудовой договор (контракт): понятие, стороны, содержание, порядок его заключения

2. Сущность общения : его функции, стороны, виды, формы, барьеры

3. Особенности оценки стоимости имущества, арестованного на основании судебного решения для его продажи в рамках исполнительного производства

4. Основания применения условного осуждения и его содержание

5. Понятие трудового договора, его стороны и содержание

6. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника
7. Увеселительные сады и вокзалы в России до середины XIX века
8. Жан Батист Валлен Деламот и его творчество

9. Солнце и его строение

10. Марс и его спутники

11. Эпифиз и его гормональные функции

12. Трудовые ресурсы, их численность, характеристика развития угольной промышленности, Центральный экономический район, его отрасли специализации промышленности

13. Инженерно-геологические изыскания для определения характеристик грунтов и оснований

14. Бюджет и его устройство

15. Государственный бюджет России, проблемы преодоления его дефицита

16. Рынок земли в современной Российской экономике и перспективы его развития при сложившейся экономической ситуации

"Счеты" - деревянная игрушка.
Эти забавные и яркие счеты изготовлены из экологически чистого материала древесины. Игра с ними прекрасно развивает мелкую моторику и
342 руб
Раздел: Счетные наборы, веера
Мантоварка алюминиевая, 3 сетки, 6 л.
Мантоварка, алюминиевая, 3-х уровневая. Размеры: длина - 28 см, ширина - 29 см. Мантоварка имеет 3 съемные сетки. Пригодна для
1019 руб
Раздел: Скороварки, пароварки, мантоварки
Набор цветных карандашей "Noris Club", 36 цветов.
Детские цветные карандаши в картонной коробке. Серия «Noris Club» предназначена для использования детьми. Специальное защитное белое
566 руб
Раздел: Более 24 цветов

17. Аппарат государственной власти и его структура

18. Государственный служащий и его административно-правовой статус. Классификация государственных служащих

19. Основания признания сделки недействительной

20. Договор подряда и его виды

21. Лизинг и его правовое регулирование

22. Основания возникновения обязательств
23. Основания для пересмотра по вновь открывшимся обстоятельствам решений судов по гражданским делам
24. Основания постановки граждан на учёт нуждающихся в улучшении жилищных условий

25. Международный туризм и его роль в развитии экономики Киргизской Республики

26. Судебник 1550 года, его историческое значение

27. Соборное Уложение 1649 г. и его значение

28. Монголо-татарское иго и его последствия

29. М.М.Богословский и его методология по изучению истории России

30. "К. Менгер: Основания политтической экономии"

31. Парламент Великобритании и его основные характеристики. Функции палат

32. Референдум и его социальная функция

Детский музыкальный горшок "Disney. Winnie&Friend" (белый).
Горшок имеет анатомическую форму и произведен из качественного и безопасного пластика, отличается эргономичностью. Горшок оформлен
498 руб
Раздел: Горшки обычные
Горшок эмалированный с крышкой (с рисунком), 3 л.
Объем: 3 литра. Материал: эмаль. Дизайн деколи товара в ассортименте, без возможности выбора.
575 руб
Раздел: Горшки обычные
Органайзер для украшений "Little dress" (черный).
У вас много украшений? И все они, хранясь в коробке, частенько путаются между собой, теряются или гнутся? На помощь в решении проблемы
990 руб
Раздел: Подставки для украшений

33. Референдумы и его формы

34. Федеральное Собрание - парламент России как высший представительный орган, его место в системе органов государства

35. Международный комитет красного креста и его роль в установлении гуманитарных норм международных конфликтов

36. Устав муниципального образования и его роль в М.С.У.

37. Понятие налога, налогового права, его система, их функции

38. Общество с ограниченной ответственностью, создание и его реорганизация
39. Римское право, его значение в истории правового развития человечества и в современной юриспруденции
40. Страховой рынок и его развитие в РФ

41. Медицинское страхование в России, проблемы его развития

42. Проблемы сочетания представительного и прямого правления

43. Государство, его основные признаки и формы правления

44. Трудовой договор (контракт): понятие, стороны и содержание

45. Право граждан на отпуск и гарантия его реализации

46. Трудовые правоотношения: понятие, содержание, основания возникновения, изменения и прекращения

47. Основания возникновения, изменения и прекращения трудовых правоотношений

48. Основания возникновения трудовых правоотношений

Маркер выделитель текста Edding "E-345/6S", 6 цветов 1-5 мм.
Для выделения слов или текста в книгах, брошюрах, письмах и т.п. Практически для любой бумаги для копирования и факсов. Высокая
361 руб
Раздел: Текстовыделители
Кружка-хамелеон "Чеширский кот".
Вам нравятся необычные вещи? Любите удивляться и удивлять всех вокруг? Кружка-хамелеон "Чеширский кот" будет поднимать
304 руб
Раздел: Кружки
Насос ножной Phantom.
Количество цилиндров: 2. Суммарный рабочий объем цилиндров: 0,55 литра. Длина шланга: 0,55 м.
698 руб
Раздел: Насосы, компрессоры автомобильные

49. Биография Вильяма Шекспира (Shakespeare William), подробный обзор его творчества. Сюжет и содержание произведения "Ромео и Джульетта"

50. Continuity and change in Stravinskiy`s ballets. Стравинский и его балеты

51. Томас Гейнсборо и его творчество

52. Лермонтов в искусстве его времени

53. Китайский фарфор и центры его производства

54. Человек и его потребности. Любовь
55. Миф и его аспекты
56. Образ автора и его роль в романе А.С. Пушкина "Евгений Онегин"

57. Биография Александра Дюма. Характеристика его романа "Учитель фехтования"

58. "Герой нашего времени" М.Ю. Лермонтова. Нравственно психологический роман (его особенности)

59. Дьявол и его свита в романе М.А. Булгакова "Мастер и Маргарита"

60. И.А. Гончаров и его "Обыкновенная история"

61. Путь среди революций (Блок-лирик и его современники)

62. Перевод. Искусство перевода и его проблемы

63. Симеон Полоцкий и его культурно-просветительская деятельность

64. Объективная обусловленность восприятия звукосимволичных слов языка и связь фонетической формы слова с его семантическим содержанием и денотатом

Ручка шариковая "Excellence", золото.
Новая подарочная шариковая ручка имеет необычный дизайн, который притягивает взгляд. Металлический миниатюрный корпус полностью усыпан
444 руб
Раздел: Металлические ручки
Набор детской посуды "Собачка", 3 предмета.
Набор посуды детский "Собачка". В комплекте 3 предмета: - тарелка суповая диаметром 15 см, - тарелка обеденная диаметром 19
318 руб
Раздел: Наборы для кормления
Защитный детский бальзам от ветра и холода "Weleda" с календулой, 30 мл.
Защитный бальзам от ветра и холода с календулой Weleda разработан, чтобы уберечь нежную кожу ребенка от погодных воздействий. Он может
520 руб
Раздел: Крем детский

65. С. П. Дягилев и его «Русские сезоны»

66. "...Мне не стало хватать его..." (о творчестве В.С. Высоцкого)

67. Традиционализм и его влияние на систему государственного управления Японии

68. Политический портрет Рональна Рейгана /вплоть до избрания его президентом США/

69. С.Ю. Витте и его реформы

70. Архимед и его законы
71. Кутузов и его время
72. П.А. Столыпин и его реформа

73. Петр I, его наружность, привычки, образ жизни и характер

74. Пирогов Н.И. и его время

75. Томас Джефферсон и его роль в американской революции 18 века

76. Джордано Бруно и его философские идеи

77. Военное искусство казацких полковников в Освободительной войне украинского народа середины ХУПв. (Воєнне мистецтво козацьких полковників у Визвольній війні українського народу середини ХУІІ ст.)

78. Александр 2 и его реформы

79. Россия в годы интервенции и гражданской войны (1918-1920гг.). "Белое движение", его состав и цели

80. Кирилло-Мефодьевское братство: программа его деятельности

Светильник Uniel TLI-201, Е27, синий.
Светильники серии Universal подойдут для широкого круга потребителей, умеющих ценить разумное сочетание качества и цены продукции.
379 руб
Раздел: Офисные (для рабочего стола)
Доска магнитно-маркерная, 60x90 см, алюминиевая рамка, полочка.
Доска магнитно-маркерная 60*90 см. Лакированная поверхность для письма сухостираемыми маркерами и прикрепления информации магнитами или
1393 руб
Раздел: Доски магнитно-маркерные
Шезлонг детский "Веселый динозаврик".
В кресле-шезлонге вашему ребенку будет одинаково удобно и кушать, и спать, и бодрствовать. Что бы вы ни делали — работу по дому,
2009 руб
Раздел: Качели, кресла-качалки, шезлонги

81. Даниил Галицкий и его внутренняя и внешняя политика (Данило Галицький - його внутрЁшня та зовнЁшня полЁтика)

82. Крещение Руси. Освещение его в древнерусских летописях

83. Нашествие на Русь с Востока и Запада. Татаро-монгольское иго и его влияние на экономическое и политическое развитие Руси

84. П. Л. Шиллинг и его телеграф

85. Азиатская модель – сильные стороны

86. Основные компоненты систем управления документооборотом. Фрейм: его структура и понятие
87. Интернет и его услуги
88. Устройство компьютера и его основные блоки

89. Полная параллельная поддержка для систем планирования, основанных на случаях

90. АРМ и перспективы его развития

91. Понятие алгоритма, его свойства. Описание алгоритмов с помощью блок схем на языке Turbo Pascal

92. Корень n-ой степени и его свойства. Иррациональные уравнения. Степень с рациональными показателем

93. Замечательные кривые в математике. Прямая, окружность, циклоида, кривая кратчайшего спуска, спираль Архимеда, лемниската, Т. Барианшона, Т. Паскаля

94. Интеграл и его свойства

95. Пособие по планиметрии за 9-й класс

96. Донозологический период эпилепсии у детей, основанная по данным докторской диссертации Миридонова В.Т.

Аэрозоль Gardex "Extreme" от кровососущих насекомых и клещей, 150 мл.
Уникальный продукт с самым широким спектром действия. От всех летающих кровососущих насекомых: комаров, москитов, слепней, мокрецов,
372 руб
Раздел: Аэрозоль, спрей
Шнуровка-бусы "Весна".
Эта простая, но интересная игрушка увлечет малыша! Цель игры - нанизать на шнурок все бусинки и сделать яркие бусы! Ребенку будет
321 руб
Раздел: Деревянные шнуровки
Подгузники-трусики для девочек Huggies DryNights, 8-15 лет, 9 штук.
Деликатная защита на всю ночь для детей от 4х лет, страдающих энурезом. Одноразовые Трусики Хаггис Драйнайтс для девочек 8-15 лет (30 - 47
427 руб
Раздел: Обычные

97. Рак прямой кишки

98. Иммунология. Общие принципы и понятия. Иммунитет, его виды, стимуляторы, индукторы, цитотоксичность, апоптоз, киллинг, адгезия, интегрины, селектины, миграция, хоминг и многое другое

99. Заболевания прямой кишки

100. Крипторхизм и его хирургическое лечение


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.