|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Подъем инвариантов классических групп |
Мыло металлическое "Ликвидатор". 
Ручка "Помада". 
Чашка "Неваляшка". Подъем инвариантов классических групп А.Н. Зубков, Омский государственный педагогический университет, кафедра алгебры Пусть G простая алгебраическая группа одного из трех классических типов - B, C, D, над алгебраически замкнутым полем K произвольной характеристики. Группа G=G( ) канонически вложена в GL( ) для подходящего . Рассмотрим диагональное действие группы G на - m экземплярах пространства матриц M( ) сопряжениями. Возникает интересная задача - описать кольцо инвариантов I ,m=KG( ) . В предлагаемой работе будет доказано, что имеет место естественный эпиморфизм , который индуцирован каноническим отображением , где тогда и только тогда, когда , или (для симплектического случая определение другое, здесь зануляются все элементы вне "центрального" -блока). На остальных местах отображение тождественно. Все необходимые сведения о модулях с хорошей фильтрацией (кратко модули с ХФ), можно найти в . Мы будем использовать идею доказательства теоремы 2 из . Пусть . Cлучай B, D. Мы будем предполагать, что . Подходящим образом изменяя базис, мы можем считать, что . Более того, так как действие сопряжениями, то можно полагать даже, что . Пара аффинных G-многообразий (G - произвольная редуктивная группа) называется хорошей, если K и IV - G- модули с ХФ. Здесь IV - это идеал . Пусть W=M( ), V= C(A)=CG(A), где . Наша задача сейчас - показать, что и, что - хорошая пара. Нетрудно проверить, что g-1Ag = E (a-1)(xij), где xij = g1ig1j, g=(gij), E - единичная матрица. Обозначим через M( )r множество матриц ранга , а через S - подпространство симметрических матриц в M( ). Лемма 1. Класс сопряженности V совпадает с , где - это множество всех матриц, удовлетворяющих условиям . Обозначим множество через L Доказательство. Легко проверить непосредственно, что M( )1 совпадает с множеством матриц вида (xiyj), где независимо пробегают все векторы из -мерного векторного пространства E( ). Пусть и лежит в . Тогда xiyj = yixj. Найдутся xi0 и yj0 не равные нулю, ведь . Тогда из xi0yj0 = yi0xj0 следует, что . Далее, если xi =0, тогда xi0yi= yi0xi =0, то есть yi=0 и наоборот. Другими словами, xi =0 тогда и только тогда, когда yi =0. Более того, для ненулевых коэффициентов отношение xi/yi является константой. Обозначим ее . Переходя к параметрам xi'= -1/2xi=yi'= 1/2yi, можно предполагать, что xi=yi для всех i. Подставляя в уравнения определяющие и используя то, что , мы получим, что . Достроим cистему из одного вектора x до ортонормированного базиса пространства E( ) и расположим векторы этого базиса столбцами (причем x - первый) в матрице g. Ясно, что , и g-1Ag = E (a-1)z. Таким образом, . Обратное включение очевидно. Поскольку , то мы можем воспользоваться леммой 1 () и заключить, что , если докажем, что нормальное многообразие. Cдвиг и умножение на (ненулевой) скаляр - гомеоморфизмы, поэтому достаточно показать, что нормально L. Пусть S - единичная сфера в E( ). Из сказанного выше ясно, что отображение из S в L по правилу является доминантным. В частности, мы имеем вложение . Образ этого вложения порожден элементами xixj. Алгебра имеет градуировку , где R0 - подпространство, натянутое на мономы четной степени, а R1 - нечетной.
Элемент однороден относительно этой градуировки, поэтому "наследует" градуировку R. Будем обозначать ее теми же символами. Заметим еще, что K=R0. Ранг якобиана равен 1 по крайней мере на , и . По критерию Серра ( нормально (). Пусть теперь - целый над R0. Так как , то и . Следовательно, , то есть , откуда z1=0. Согласно предложению 6.7 , чтобы доказать, что ( отождествляется с , где ZG(A) - централизатор элемента A, достаточно проверить, что дифференциал сюръективен. Однако . Используя формализм с двойными числами , имеем: . Таким образом, . Отсюда ясно, что образ имеет ту же размерность -1. Итак, . Отметим еще для дальнейшего, что ZG(A) состоит из матриц, у которых правый "нижний" -угол - это произвольная матрица из G( -1), а в первом столбце и первой строке везде стоят нули, кроме начала, где коэффициент равен . По тем же соображениям, что и выше, осталось показать, что (M( ), L) - хорошая пара. Согласно лемме 1.3(a) , можно рассмотреть "башню" и проверить каждый "скачок". Рассмотрим сначала . Мы имеем коммутативную (все морфизмы G-эквивариантны) диаграмму: где вертикальные стрелки - это просто включения. Переходя к координатным алгебрам, мы получим "дуальную" диаграмму: В первой диаграмме горизонтальные стрелки - G-доминантные морфизмы, поэтому во второй - вложения. Отсюда ясно, что можно отождествить с (в принятых выше обозначениях). Здесь I - идеал, порожденный элементом f. Из тех же градуировочных соображений ясно, что . Осталось отметить, что f G-инвариант и, следовательно, G-модуль изоморфен R0. То, что R0 с ХФ, будет следовать из того, что - хорошая пара. Пусть теперь по правилу . Ясно, что -эквивариантное отображение, где K = GL(1) действует по правилу . Напомним, что отображение G-многообразий называется факторным, если сюръективно и . Хорошо известно, что K -факторное отображение . Обозначим через . Покажем, что (U, B) - хорошая пара. Функтор ограничения переводит GL( )-модули с ХФ в G-модули с ХФ. Алгебра изоморфна как -модуль (Kl - это одномерный K -модуль с весом l). Хорошо известно, что GL( )-модуль Sk(E( )) с ХФ -модуль с ХФ. Заметим, что достаточно доказывать наличие ХФ только относительно G. Представим алгебру K в виде . Отождествление происходит по правилу , где - стандартный базис E( ), а f1,f2 - E(2). Cогласно , имеет -фильтрацию c факторами , где - функтор Шура, пробегает все разбиения с . Нетрудно заметить, что идеал, порожденный xiyj-xjyi, совпадает с той частью фильтрации, где . Поскольку без кручения , то . В частности, IB с ХФ как G-модуль, а значит, и как -модуль. В итоге многообразия U, B, Z удовлетворяют условиям предложения 1.4(a) из . А это значит в частности, что - хорошая пара. Осталось заметить, что (M( ), M( )1) - хорошая GL( )-пара по . Согласно сказанному выше, это также хорошая G-пара. В частности, хорошей G-парой будет , что и требуется. Случай C. Здесь доказательство аналогично ортогональному случаю. Мы только вкратце повторим основные моменты, указав отличие от рассмотренного выше. Матрица A остается той же самой. При этом у элементов группы ZG(A) первые и последние строки и столбцы нулевые, кроме элементов на диагонали, которые взаимно обратны и пробегают K .
Кроме того, "серединный" -квадрат лежит в G( -2)=Sp -2(K). Далее, легко проверить, что класс сопряженности C(A) совпадает с E (a-1)L, где . В частности, он уже замкнут. Проверка того, что отождествляется с факторным совершенно аналогична. Здесь , образ Lie(G) состоит из матриц того же вида, что и в ортогональном случае, только коэффициенты первой строки и первого столбца никак не связаны друг с другом и поэтому размерность образа тоже равна 2 -2. Наконец, (M( ), L) - очевидно хорошая пара. Достаточно рассмотреть башню и использовать то, что r(x)-1 - G-инвариант! Заметим еще, что в симплектическом случае характеристика поля произвольна. Пусть теперь G - любая группа типа B, D, C. Дословно повторяя доказательство теоремы 2 из , мы получим эпиморфизм , индуцированный (на остальных общих матрицах отображение тождественно). Разбив матрицы из M( ) на блоки в соответствии с блочным "строением" группы ZG(A), мы видим, что пространство M( ) изоморфно (так как ZG(A)-многообразие) в ортогональном случае и в симплектическом. Здесь K и K4 тривиальные модули, а на E -1 (соответственно на E -2) ZG(A) действует как G( -1) (G( -2)) c точностью до умножения на скаляр. Отсюда ясно, что каноническое отображение (), даст эпиморфизм (). Пусть R ,m - Q-алгебра, порожденная следами от всевозможных произведений общих матриц, или транспонированных к ним (в случае C - симплектически транспонированных). Лемма 2. Суперпозиция описанных выше отображений - это просто и затем - каноническое на остальных матрицах. Доказательство. К сожалению, размеры статьи, допустимые в данном журнале, не позволяют нам привести полное доказательство. Поэтому мы просто отметим здесь, что I ,m порождается элементами из После этого утверждение леммы очевидно, ведь произведение матрицы A на матрицы Xi( ), у которых приравнены нулю коэффициенты левого верхнего "угла" (или "окаймления" в случае C), дает тот же результат, что и произведение единичной матрицы. В силу сделанного выше замечания о порождающих I ,m специализация отображает I ,m 1 в I ,m. Отсюда уже легко получается основная теорема. Теорема. Каноническое отображение алгебры K ( в случае C) индуцирует эпиморфизм колец инвариантов. Список литературы Aki K., Buchsbaum D.A., Weyma J. Shur fu c ors a d Shur complexes// Adv. i Ma h. Vol.44. P.207-278 (1982). Борель А. Линейные алгебраические группы. M.: Мир., 1972. De Co ci i C., Procesi C. A charac eris ic free approach o i varia heory// Adv. i Ma h. 1976. Vol.21. P. 330-354. Do ki S. he ormali y of co jugacy classes of ma rices// I v. Ma h., Vol.101. P.717-736 (1990). Do ki S. I varia s of several ma rices// I ve . Ma h. Vol.110. P.389-401 (1993). Gro e dick A., Dieudo e J. Eleme s de geome rie algebriques// I s . Hau es E udes Sci.Publ.Ma h. 4. 1960-1967. Grossha s F. Observable subgroups a d Hilber 's four ee h problem// Am.J. Ma h. 95. P.229-253 (1973). Humphreys J.E. Li ear algebraic groups/ Spri ger Verlag. 1975. Zubkov A. . E domorphisms of e sor produc s of ex erior powers a d Procesi hypo hesis// Commu . i Algebra. 22(15). 6385-6399 (1994).
С другой стороны, массовое сознание рассматривается как достаточно самостоятельный феномен. Тогда это сознание вполне определенного социального носителя («массы»). Оно сосуществует в обществе наряду с сознанием классических групп. Возникает оно как отражение, переживание и осознание действующих в значительных социальных масштабах обстоятельств, в том или ином отношении общих для членов разных социальных групп, оказывающихся тем самым в сходных жизненных условиях и уравнивающих их в том или ином плане. Согласно данной логике, массовое сознание оказывается более глубинным образованием, отражением действительности «первичного порядка», которое лишь потом обретает необходимые психологические признаки социальной определенности. О тотальном, в рамках всего общества, массовом сознании можно говорить, лишь подразумевая какое-то конкретное явление, всеобъемлюще захватывающее практически всех членов общества и приводящее их в том или ином измерении сознания к некоему «общему знаменателю». Пример такого рода демонстрирует проведенный в свое время К
3. Римское частное право классического периода
4. Синонимия немецкого языка. Синонимический ряд и тематическая группа
5. Теория и методика преподавания классического танца
9. Творчество группы "Мельница"
10. Классическое рабство и античная экономика
11. Примеры баз данных (Студенческая группа)
12. Три знаменитые классические задачи древности
13. Кодеин - вещество (алкалоид) из группы опиатов
14. Преступная группа: криминалистические проблемы
15. Дети "группы риска" как социально-педагогическая проблема
16. Характеристика основных групп веществ пищевых продуктов
Ручка "Автомат", 12 штук, в коробке. 
Гель для купания младенцев "Bubchen", 400 мл. 
Фигурки "FIFA 2018. Забивака. Celebrating", 3 штуки, 6 см. 18. Социально-психологические особенности больших и малых групп
19. Психология малой группы: теоретические и прикладные аспекты
20. Общие проблемы малой группы в социальной психологии
25. Сократ и Платон: фундамент классической философии
26. Классические системы гадания
27. Немецкая классическая философия
28. Немецкая классическая философия. Философские взгляды И. Канта
29. Проблема равновесия рыночной системы во взглядах классической школы
30. Характеристика основных групп веществ пищевых продуктов
31. Холдинг компании и финансово-промышленные группы в России и за рубежом
32. Менеджерский анализ фирмы (Промышленная группа "Петросоюз")
Шкатулка РТО, 33.5x18x14 см (арт. 3649-RT-59). 
Кружка фарфоровая "FIFA 2018. Забивака. Вперед!", 380 мл. 
Вешалка для одежды напольная, раздвижная ТД-00012, 1450x430x1550 мм. 33. Финансово-Промышленные Группы
34. Финансово-промышленные группы
35. Финансово-промышленные группы и их роль в формировании рыночной экономики
36. Финансово-промышленные группы: опыт их формирования и функционирования
37. Агропромышленная депутатская группа (АПГ)
41. Промышленный подъем начала ХХ века
42. Классическая древнегреческая культура
43. Этническая группа духовных русских христиан (молокан) в Армении
44. Костюм Древней Греции классического периода
45. Чацкий С. Юрского и О. Меньшикова как инвариант культурного героя современности
47. Классические традиции в творчестве А. Ахматовой
48. Литературные группы 20-х гг.
Кружка фарфоровая "FIFA 2018. Забивака. Вперед!", 240 мл. 
Чехлы для коляски с поворотными колесами Bambola, 4 штуки. 
Пенал школьный "Мышка", цвет малиновый. 49. Лексико-грамматические группы имен существительных
50. Общие проблемы малой группы в психологии
51. Линейная Алгебра. Теория групп
52. Теория групп — наука о совершенстве
53. Внутренние функции на комплексных полугруппах Ли над группой SU(p,q)
57. Классическая школа менеджмента
58. Управление неформальными группами
59. Команда: как создать непобедимую группу единомышленников
60. Классическая философия качества
61. Древняя церковнопевческая традиция сквозь призму русской музыкальной классической школы
63. Становление классического джаза
64. Моя любимая группа “Deep Purple”
Папка-сумка "Тролли", А4. 
Фигурка декоративная "Колокольчик", 6x10 см. 
Батут. 65. Классическая физика и теория относительности
66. Классические основания квантовой механики
67. Классическая наука: летопись открытий
68. Пестициды группы хлорфеноксикарбоновых кислот
69. Классическая электродинамика
73. Опыт работы подростковых психоаналитических групп
74. Особенности малой социальной группы детей дошкольного возраста
76. Организация индивидуального сопровождения детей группы риска
77. Развитие речи в ясельной группе
78. Группы давления и элиты как выразители социально-политических интересов, как субъекты политики
80. Как воздействовать на малые группы людей
Маркеры для доски, 12 цветов. 
Форма для выпечки 6 ячеек "Домик", 6,5x6,5 см/26x6 см. 
Автомобильный ароматизатор Deliss "Comfort ", морской аромат. 82. Некоторые признаки приближения группы с преэдипальными пациентами к невротической фазе развития
84. Влияние группы, огруппление мышления (на примере социально-религиозной группы Свидетели Иеговы)
85. М.К. Мамардашвили о принципах классической рациональности
89. Межличностные отношения в рабочих группах
90. Особенности работы терапевтических групп в традиции ТА
91. Психология преступных групп: состав, направленность структура и особенности взаимоотношений
92. Конфликтность и сплоченность как характеристика групп
93. Межполовые и возрастные особенности самооценки в школьных возрастных группах
94. Конфликтность и сплоченность как характеристика групп
95. Интернет-форум как виртуальный аналог психодинамической группы
96. Социально-психологические феномены и динамические процессы в малой группе: общая характеристика
Качели подвесные детские. 
Трехколесный велосипед Funny Jaguar Lexus Racer Trike (цвет: синий). 
Пленка пищевая, полиэтиленовая, 30 см х 300 метров. 97. Исследования малых групп в зарубежной социальной психологии
98. История классической мифологии
99. Идея реинкарнации в китайской классической литературе
