|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Дифференциальные уравнения |
Ручка "Помада". 
Забавная пачка "5000 дублей". Введение. Исследование поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными. Рассмотрим следующий пример из области рекламного дела. При организации продажи нового товара торговым предприятиям зачастую приходится прибегать к услугам рекламы. Для того, чтобы последняя была успешной и современной, необходимо знать закон распространения информации о новом товаре среди ее потенциальных покупателей. Найдем вид указанной закономерности при следующих предположениях относительно рассматриваемого процесса. Пусть – общее число потенциальных покупателей нового товара, x( ) – число покупателей, знающих к моменту времени о поступлении в продажу нового товара, – число покупателей еще не имеющих информации о товаре. Предположим, что информация о товаре распространяется среди покупателей посредством их общения между собой. Будем считать, что в течение достаточно малого промежутка времени возможна встреча лишь двух покупателей, и вероятность этой встречи считаем равной P. Вероятность того, что при встрече покупатель, знающий о товаре, встретиться с покупателем, еще не имеющем информации о товаре, равна ( -x)/ . Тогда скорость изменения величины x( ) в момент равняется px( -x)/ систематическому ожиданию числа покупателей впервые узнавших о товаре. Таким образом, получаем уравнение . Данное уравнение содержит величину x и ее производную , т.е. является дифференциальным. Решая полученное уравнение, найдем вид зависимости величины x от : , где параметр A подбирается, исходя из условия x=x0 в некоторый момент = 0. Например, если при =0 величина x(0)=( (( - доля покупателей, обладающих информацией о товаре к началу рассматриваемого процесса), то . На рис. 1 показан график искомой функции x=x( ). В экономической литературе график известен как логистическая кривая. Отметим, что логистическая кривая дает также представление о процессе распространения технологических новшеств, эпидемий и даже слухов. В качестве второго примера рассмотрим задачу представления в виде уравнения однопараметрического семейства кривых, обладающих некоторым общим свойством. Пусть однопараметрическое семейство кривых задается уравнением Ф(X,Y,C)=0, где C – параметр. Составим дифференциальное уравнение, которое описывает общее свойство присущее всем кривым данного семейства. Предположим, что отдельная кривая семейства заданных функций y=f(x,c). Тогда подставляя ее в общее уравнение семейства получаем тождество . Предполагая дифференцируемость функции Ф(X,Y,C) и дифференцируя Ф(x,f(x,c),c) по x, получаем . Рассматривая последнее вместе с уравнением Ф(x,y,c)=0, т.е. рассматривая систему , и исключая в ней параметр C, в результате получим дифференциальной уравнение , описывающее свойство присущее всем кривым семейства. Например, пусть семейство кривых представляет семейство гипербол xy=c. Дифференцируя данное уравнение по x, получаем .
Так как при этом автоматически произошло исключение параметра c, то последнее уравнение, являясь дифференциальным, представляет семейство вышеуказанных гипербол.1. Основные понятия и определения. Определение. Уравнение, связывающее функцию y, ее аргумент x и ее производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Обыкновенное дифференциальное уравнение символически можно записать в виде . Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например: А) является дифференциальным уравнением 1-го порядка; Б) является дифференциальным уравнением 2-го порядка; В) является дифференциальным уравнением -го порядка. Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество. Например, пусть дано дифференциальной уравнение . Тогда любая функция вида y=c1si x c2cosx, где c1, c2 – произвольные постоянные, является решением этого уравнения. Действительно, дифференцируя уравнение y=c1si x c2cosx дважды по x получаем и y в левую часть исходного дифференциального уравнения получаем . Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Поэтому само решение называют еще интегралом уравнения. Как правило, дифференциальному уравнению отвечает множество решений (смотрите вышеприведенный пример), задаваемых семейством функций y=f(x,c) в явном виде или Ф(x,y,c)=0 в неявном виде. В этих уравнениях с-параметр семейства. Таких параметров, вообще говоря, может быть несколько. В общем случае обыкновенному дифференциальному уравнению -го порядка отвечает семейство решений, содержащих параметров. Определение. Общим решением дифференциального уравнения -го порядка называется функция y=f(x, c1, c2, , c ), зависящая от аргумента x и произвольных постоянных c1, c2, , c , которая будучи подставлена в уравнение обращает его в тождество. Отметим, что эта функция может задаваться и неявным образом, тогда она представляется уравнением Ф(x , y,c1, c2, , c )=0. Общее решение дифференциального уравнения называется также общим интегралом. Чтобы из общего уравнения выделить некоторое конкретное частное решение дифференциального уравнения, необходимо задать значения для параметров c1, c2 , , c . Обычно значения этих произвольных постоянных c1, c2 , , c определяются заданием начальных условий: y(x0)=y0, . Эти начальные условия дают соответственно уравнений , решая которые относительно c1, c2 , , c находят значения этих постоянных. Например, для дифференциального уравнения 1-го порядка общее решение имеет вид y=f(x,c). Тогда начальное условие y(x0)=y0 выделяет из всего семейства интегральных кривых кривую, проходящую через точку M(x0,y0). 2. Геометрическая интерпретация. Геометрическое представление решения дифференциального уравнения рассмотрим на примере уравнения 1-го порядка вида . В плоскости введем декартову систему координат с осями x и y. Каждой точке M(x,y) плоскости поставим в соответствие вектор , отложенный от точки M. Таким образом дифференциальное уравнение порождает в плоскости XOY поле направлений (естественно, указанное поле существует только в области определения функции f(x,y)).
Тогда решением дифференциального уравнения будет такая кривая, которая в каждой точке касается вектора поля направляющей. Действительно, пусть y=h(x) уравнение указанной выше кривой. Тогда в каждой точке кривой касательная к ней имеет направление, где ( - угол наклона касательной к оси x. Из ) и равенства абсцисс векторов , выполняющееся в точках кривой y=h(x). Последнее означает, что y=h(x) является решением уравнения . И обратно, если y=h(x) решение дифференциального уравнения . Последнее соотношение означает, в каждой точке кривой y=h(x) направление ее касательной поля направлений, т.е. в каждой точке кривая y=h(x) касается вектора поля направлений. В качестве иллюстрации возьмем уравнение . Для построения поля направлений удобно использовать метод изоклин. Изоклина это линия в каждой точке которой вектор поля направлений одинаков. Таким образом, изоклины даются уравнением f(x,y)=(, и каждой точке изоклины соответствует вектор . Для рассматриваемого дифференциального уравнения изоклины задаются уравнением или y=-(x. Как видно, изоклинами являются прямые, проходящие через точку начала координат. На рис. 2 изображены изоклины отвечающие значениям , черточками изображены направления векторов в таких изоклин. Из рис. 2 видно, что интегральные кривые уравнения напоминают гиперболы. Действительно, как будет показано ниже, общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид yx=c, т.е. задает семейство гипербол. Параметрам c>0 отвечают гиперболы I и III координатных узлов, значениям c Разнося переменные в разные стороны, записываем уравнение в виде . Интегрирование левой и правой частей уравнения, дает общее решение вида , где постоянная взята в виде l c,c>0. Далее несложно преобразовать данное уравнение к виду уже не имеет ограничений на знак. Как видно получилось семейство гипербол. Пусть из данного семейства интегральных кривых (гипербол) необходимо выделить кривую (решение) проходящую через точку M(1,1), т.е. выделить решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1. Для этого в общее решение уравнения подставим значения x=1, y=1, и найдем, отвечающее искомой кривой, значение постоянной . Следовательно, искомое частное решение определяется уравнением Yx=1 или , приведенное в параграфе 3. Разрешая его относительно y/, получаем два уравнения y/=1 и y/=-1 или . Оба являются с разделяющимися переменными и приводятся к виду dy=dx и dx=- dx. Интегрирование левых и правых частей уравнений дает следующие их общие решения y=x c и y=-x c. Пример 4. Следующим уравнением возьмем уарвнение из примера в параграфе 4. Разрешая его относительно y/ получаем . Найдем интегралы от левой и правой частей уравнения: . Приравнивая интегралы и заменяя две постоянных на одну получаем следующий вид общего решения уравнения . Возводя в квадрат обе части данного уравнения, получаем окончательный вид общего решения (x-c)2 y2=1. Пример 5. Решить дифференциальное уравнение . Разрешая уравнение относительно y/, видим, что оно является уравнением с разделяющимися переменными . Разнося переменные по разные стороны уравнения получаем .
В Великую Отечественную войну в бомбардировочной авиации, командир эскадрильи; 343 боевых вылета. ПЛОТНИКОВ Павел Игоревич (р. 1947) - российский математик, член-корреспондент РАН (1991; член-корреспондент АН СССР с 1990). Труды по теории дифференциальных уравнений с частными производными и механике сплошной среды. ПЛОТНИКОВ Сергей Николаевич (1909-1990) - российский актер, народный артист СССР (1979). С 1941 в Архангельском драматическом театре им. М. В. Ломоносова. Снимался в кино. ПЛОТНОМЕР - прибор для определения плотностей жидкости или газов. Различают плотномеры весовые (напр., пикнометр), статичные (напр., ареометр) и динамичные (эффузиометр). ПЛОТНОРОГИЕ - семейство млекопитающих. В отличие от полорогих, рога состоят из костной ткани и не имеют рогового чехла. То же, что олени. ПЛОТНОСТЬ (?) - масса единичного объема вещества. Величина, обратная удельному объему. Отношение плотности двух веществ называют относительной плотностью (обычно плотность веществ определяют относительно плотности дистиллированной воды)
1. Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка
3. Пример решения задачи по разделу «Переходные процессы»
5. Примеры решения задач по правоведению
9. Примеры решения задач по курсу химии
10. Примеры решения задач по статистике
11. Виды тригонометрических уравнений
14. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
15. Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей
16. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка
Папка для чертежей "Городская площадь", А3. 
Планшетик "Всё обо всём". 
Дополнительный набор "Магнитные истории. Времена года". 17. Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
18. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
19. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
20. Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки
21. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта
25. Решение дифференциальных уравнений
26. Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка
27. Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений
28. Широкозонная система спутниковой дифференциальной навигации (теоретический аспект)
29. Механические колебания в дифференциальных уравнениях
30. О преобразовании дифференциальных систем уравнений в случае сингулярных пучков матриц
31. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях
32. Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов
Машинка "Бибикар (Bibicar)", розовая. 
Автомобиль со звуковым сигналом "Джип-каталка с ручкой", красный. 
Логическая игра "IQ-ХоХо", арт. SG 444 RU. 33. Устойчивость систем дифференциальных уравнений
34. Дифференциальные уравнения неустановившегося движения воздуха по рудничным воздуховодам
35. Численный расчет дифференциальных уравнений
36. Механические колебания в дифференциальных уравнениях
37. Дифференциальные уравнения гиперболического типа
41. Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем
42. Дифференциальные системы, эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом
43. Дифференциальные уравнения
44. Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования
45. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений
46. Матрицы. Дифференциальные уравнения
47. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений
48. Анализ дифференциальных уравнений
Ящик почтовый с замком, коричневый. 
Настольная игра "Запретный Остров. Приключения для смелых!". 
Лоток на 3 отделения, черный. 49. Применение технологии знаково-контекстного обучения во время изложения дифференциальных уравнений
53. Информационно-поисковые системы на примере "Рамблера"
57. Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр)
58. Решение нелинейного уравнения методом касательных
59. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана
60. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модуль
61. Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом
63. Загрязнение атмосферы и решение этой проблемы на примере Санкт-Петербурга
Коврик для ванной "Бусинка" противоскользящий, 34,5х76 см. 
Тетрадь на резинке "Study Up", А5, 120 листов, клетка, фиолетовая. 
Тетрадь на резинке "Study Up", В5, 120 листов, клетка, желтая. 67. Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения
73. Дифференциальная геометрия
74. Решение систем линейных алгебраических уравнений
75. Уравнения и способы их решения
76. Методы решения уравнений в странах древнего мира
77. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
78. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
79. Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром
80. Способы решения систем линейных уравнений
Бумага "Color Copy" А4, белая, 150 листов. 
Солнцезащитные шторки Spiegelburg "Капитан Шарки. Capt'n Sharky". 
Ручка-стилус шариковая сувенирная "Николай". 81. Физика как источник теорем дифференциального исчисления
82. Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)
83. Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств
84. Применение свойств функций для решения уравнений
85. Диагноз и дифференциальный диагноз приобретенных пороков сердца
89. Литература - Терапия (Дифференциальная диагностика выпота в плевральную
90. Литература - Терапия (Дифференциальный диагноз при кардиомегалиях)
91. Хирургия (Дифференциальный диагноз острого аппендицита)
92. Лекции - Терапия (Дифференциальный диагноз при шумах сердца)
93. Лекции - Инфекционные болезни (Дифференциально-диагностические критерии)
94. Обучаемая система поддержки коллективного решения группы независимых экспертов
95. Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона
96. Системы Поддержки Принятия Решений
Пакеты фасовочные "Экстра" в евроупаковке, 24х37 см (1000 штук), 8 мкм. 
Умные кубики. Контуры. 50 игр для развития интеллекта. 
Тетрадь на резинке "Elements", В5, 120 листов, клетка, синяя. 97. Система принятия верных решений
98. Дифференциальная психология
99. Расчёт дифференциального каскада с транзисторным источником тока
Совок большой. 
