Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами

Горшок торфяной для цветов.
Рекомендуются для выращивания крупной рассады различных овощных и цветочных, а также для укоренения саженцев декоративных, плодовых и
7 руб
Раздел: Горшки, ящики для рассады
Гуашь "Классика", 12 цветов.
Гуашевые краски изготавливаются на основе натуральных компонентов и высококачестсвенных пигментов с добавлением консервантов, не
170 руб
Раздел: 7 и более цветов
Забавная пачка "5000 дублей".
Юмор – настоящее богатство! Купюры в пачке выглядят совсем как настоящие, к тому же и банковской лентой перехвачены... Но вглядитесь
60 руб
Раздел: Прочее

Дисциплина: &quo ;Высшая математика&quo ; Тема: &quo ;Решение матричных уравнений: Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами&quo ; 1. Базовые действия над матрицамиОпределение 1. Две матрица называются равными, если они имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают. Определение 2. Суммой двух матриц () и () одинаковых порядков называется матрица () того же порядка, элементы которой равны . На письме это действие может быть записано так: . Операция сложения обладает, очевидно, обычными свойствами: перестановочным ; сочетательным . Определение 3. Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой равны . Умножение матрицы на число может быть записано: или . Эта операция обладает следующими свойствами: сочетательным относительно числового множителя ; распределительным относительно суммы матриц ; распределительным относительно суммы чисел . После первых двух действий необходимо отметить, что вычитание матриц производится аналогично сложению, а деление матрицы на число может быть определено как умножение на обратное число. Определение 4. Произведением матрицы (), имеющей порядок , на матрицу (), имеющую порядок , называется матрица (), имеющая порядок , элементы которой равны , где . Записывается это действие так . Из сказанного выше следует, что для нахождения элемента , в произведении необходимо попарно перемножить все соответствующие элементы -ой строки матрицы на элементы -го столбца матрицы , а затем все это сложить. Из определения также следует, что для умножения двух матриц необходимо, чтобы число столбцов матрицы было равно числу строк матрицы . Отсюда следует, что одновременно произведение и существует только лишь в том случае, когда число столбцов равно числу строк , а число столбцов равно числу строк . В этом случае и будут квадратными матрицами, но разных порядков. Чтобы оба произведения были одинакового порядка, необходимо, чтобы и были квадратными матрицами одинакового порядка. Произведение матриц имеет свойства: сочетательное ; распределительное . Перестановочным свойством в общем случае произведение матриц не обладает. Оно выполняется лишь в некоторых случаях. Среди квадратных матриц необходимо выделить важный класс диагональных матриц. Определение 5. Диагональной называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные вне главной диагонали, равны 0:. В том случае, если , то для любой квадратной матрицы порядка справедливо . Действительно, для получаем . Для - . Отсюда, . Среди диагональных матриц с равными друг другу элементами особое место занимают две матрицы: единичная и нулевая. У единичной матрицы , обозначается она - , у нулевой , обозначается она - . Как было показано , . Перемножив эти матрицы, можно убедиться, что ; . Таким образом, матрицы и выполняют ту же роль, что и 1 и 0 среди чисел. Вообще нулевой называют любую матрицу, элементы которой равны нулю.2. Обратная матрицаКроме действий над матрицами как сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу есть также операция делении на матрицу. Она эквивалентна умножению на обратную матрицу.

Рассмотрим, что же это такое. Определение 1. Матрица , удовлетворяющая вместе с матрицей равенствам , где - единичная матрица, называется обратной к и обозначается . Поскольку и обладают в произведении перестановочным свойством, то обе матрицы должны быть квадратными и одного порядка. Прежде чем рассматривать вопрос о существовании обратной матрицы, введем некоторые понятия. Определение 2. Если определитель квадратной матрицы отличен от нуля, то матрица называется невырожденной. В противном случае она называется вырожденной. Определение 3. Пусть дана квадратная матрица .Матрицей союзной или присоединенной к матрице называется матрица,где алгебраические дополнения элементов данной матрицы. Необходимо обратить внимание на то, что в матрице алгебраические дополнения к элементам -ой строки расположены в -ом столбце. Теорема 1. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, то есть . Теорема 2. Матрица имеет обратную только в том случае, если она невырожденная. Доказательство. Пусть для матрицы существует обратная , тогда . Отсюда следует, что , иначе единицы справа быть не может. Теорема 3. У каждой невырожденной матрицы существует единственная обратная . Доказательство. Пусть имеет две обратные матрицы и . Тогда и .Теорема 4. У каждой невырожденной квадратной матрицы существует обратная, равная . Докажем эту теорему, вычисляя . Очевидно, что мы должны получить при этом матрицу , элементы которой находятся по формуле.В полученном выражении, если , то . Действительно, похоже на выражение для вычисления величины определителя. При этом элементы -ой строки умножаются на алгебраические дополнения -го столбца. Но так как эти дополнения содержат в себе -ую строку, то получается, что мы вычисляем определитель с двумя одинаковыми строками. Значит, он равен нулю. Итак, если , то . Если же , то полученное выражение в точности соответствует формуле для вычисления определителя. Значит, Но определяет диагональные элементы. Значит, в полученной матрице по главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы - нули. Это единичная матрица . Следовательно, и . Отсюда следует правило вычисления обратной матрицы: 1. находим (он должен быть не равен нулю); 2. транспонируем матрицу ; 3. заменяем каждый элемент транспонированной матрицы его алгебраическим дополнением; 4. делим каждый полученный элемент на .3. Решение матричных уравненийПонятие обратной матрицы дает возможность решать матричные уравнения. Пусть имеется уравнение вида , где , , , - некоторые матрицы, причем - неизвестная. Для нахождения , прежде всего, необходимо перенести вправо: . Затем, пользуясь тем, что , умножим равенство на : .При решении подобных уравнений необходимо учитывать, с какой стороны стоит множитель при . Если уравнение имеет вид , то .Если же уравнение имеет множители при с обеих сторон (), то . 4. Базисный минор и ранг матрицыВведя понятие линейной комбинации строк и столбцов матрицы, как это было сделано у векторов, можно ввести понятие их линейной зависимости и независимости. Определение 1. Строки , ,., называются линейно зависимыми, если существуют числа , не все равные нулю, такие что справедливо равенство .

Здесь 0 - нулевая строка. Определение 2. Строки называются линейно независимыми, если их линейная комбинация обращается в ноль лишь при условии, что . В этом случае линейная комбинация называется тривиальной. Так же как и у векторов имеется соответствующая теорема. Теорема 1. Для того чтобы строки были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из них была линейной комбинацией остальных. Доказательство проводится так же, как и в 4 (там это разбито на две теоремы). Теорема 2. Если в систему строк матрицы входит нулевая строка, то эти строки линейно зависимы. Доказательство. Действительно, нулевая строка представляет собой тривиальную линейную комбинацию любых строк. Но тогда мы сразу переходим к теореме 1. Рассмотрим теперь понятие базисного минора. Пусть имеется произвольная матрица порядка : .Определение 3. Минором -го порядка матрицы называется определитель -го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых строк и столбцов матрицы . Определение 4. В матрице , порядка , минор порядка называется базисным, если он не равен нулю, а все остальные миноры порядка равны нулю или миноров порядка вообще нет, то есть совпадает с меньшим из чисел или . Очевидно, что в матрице может быть несколько базисных миноров, но все они должны быть одного порядка. Определение 5. Рангом матрицы называется порядок базисного минора. Обозначается ранг матрицы - . Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными. Теорема 3. (Теорема о базисном миноре). Базисные строки и столбцы линейно независимы. Любая другая строка или столбец матрицы являются линейной комбинацией базисных строк или столбцов. Доказательство проведем для строк. Покажем вначале, что базисные строки линейно независимы. Если бы они были линейно зависимы, то одна из этих строк была бы линейной комбинацией остальных. Тогда на основании свойств определителя эту комбинацию можно вычесть из указанной строки и получить на ее месте ноли. Но если вся строка состоит из нолей, то минор равен нулю, что противоречит теореме. Докажем вторую часть этой теоремы. Рассмотрим любой минор -го порядка, включающий в себя базисный. Расположим базисный минор в левом верхнем углу: .По определению данный минор равен нулю. Раскроем его по последнему столбцу:.Здесь , разделим на него все равенство: Из полученного выражения следует, что -ая строка является линейной комбинацией базисных строк. Отсюда можно сделать вывод, что число линейно независимых строк или столбцов равно рангу матрицы. Это свойство используется для практического вычисления . Литература Александров В.В., Потапов М.К., Пасиченко П.И., Потапов М.К. Александров В.В., Потапов М. К и др. Алгебра, тригонометрия и элементарные функции. Учебник. М: Высшая школа, 2001. - 736с. Тоом А., Гельфанд И., Львовский С. Тригонометрия. МЦМНО, 2003. - 200с. Баврин И.И. Высшая математика - 1980 г. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун Матричные вычисления. - М.: Мир, 1999. Беллман Р. Введение в теорию матриц. - М.: Мир, 1969. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц (2-е издание). - М.: Наука, 1966. Ланкастер П. Теория матриц. - М.: Наука, 1973.

Методы решения систем линейных уравнений средствами пакета LinearAlgebra Конечной целью большинства матричных операций является решение систем линейных уравнений. Для этого пакет LinearAlgebra предлагает ряд методов и средств их реализации. Основными методами решения являются следующие: • обращением матрицы коэффициентов уравнений и решением вида Х=А-1*В; • применением метода LU-декомпозиции (method='LU'); • применением метода QR-декомпозиции (method='QР'); • применением метода декомпозиция Холесского (method='Cholesky'); • метод обратной подстановки (method='subs'). Решение с применением обращения матрицы коэффициентов левой части системы уравнений А уже не раз рассматривалось и вполне очевидно. В связи с этим отметим особенности решения систем линейных уравнений другими методами. Любопытно отметить, что указание метода может быть сделано и без его заключения в одинарные кавычки. 6.3.4. Решение системы линейных уравнений методом LU-декомпозиции Зададим матрицу А левой части системы уравнений и вектор свободных членов В: > restart; with(LinearAlgebra): UseHardwareFloats := false: > A:=<<4|.24|-.08>,<.09|3|-.15>,<.041-.08|4>>; B:=<8, 9, 20>; Прямое решение этим методом выполняется одной из двух команд, отличающихся формой записи: > х := LinearSolve(А, В, method= 'LU'); х := LinearSolve(<А|B>, method='LU'); Проверим решение данной системы уравнений: > А.х-В; В данном случае решение точно (в пределах точности вычислений по умолчанию)

1. Периферийное устройство ПЭВМ, Характеристика этапов подготовки и решения задач на ПЭВМ в любой системе программирования. Электронная почта, особенности применения

2. Разработка концепции информационной системы для поддержки принятия управленческих решений в области маркетинга региона

3. Система информационной поддержки процессов принятия решений в сельскохозяйственном производстве

4. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка

5. Лабораторные работы по ЭММ (системы уравнений межотраслевого баланса; оптимизационная модель межотраслевого баланса)

6. Уравнения и способы их решения
7. План урока алгебры. Тема: Значения тригонометрических функций. Решение простейших тригонометрических уравнений.
8. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

9. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений

10. Решение систем дифференциальных уравнений

11. Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа

12. Заболевания дыхательной системы. заболевания сердечно-сосудистой системы

13. Основные понятия, предмет и система дисциплины "Правоохранительные органы"

14. Операционный менеджмент как система. Управление персоналом в системе операционного менеджмента

15. Система Качества как часть Системы Управления

16. Состояние и основные направления реформирования налоговой системы в РФ, анализ системы налогообложения на предприятии

Набор дошкольника №2 (в коробке).
Этот набор станет замечательным подарком для Вашего малыша. Набор включает в себя пластиковую парту, которая станет для ребенка прекрасным
2326 руб
Раздел: Наборы детской мебели
Перчатки Paclan, латексные, 100 штук, размер L.
Основная составляющая перчаток – натуральный латекс. Высокие барьерные качества. Высокие тактильные качестваМожно использоваться для мытья
433 руб
Раздел: Перчатки
Штора для ванной Рыжий кот "Curtain-Venice".
Штора для ванной изготовлена из 100% полиэстера с тефлоновой пропиткой. Материал ценится за свою устойчивость ко всевозможным
450 руб
Раздел: Занавески

17. Основные понятия и категории экономической теории, их место в системе производственных отношений

18. Информация, информационные системы и экономические информационные системы: основные понятия и взаимосвязь

19. Управление: основные понятия, система управления, ее признаки, принципы организации деятельности

20. Вегетативная нервная система: анатомия и симпатическая система

21. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

22. Решение системы нелинейных уравнений
23. Разработка программы поиска решения системы дифференциальных уравнений двумя методами: Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона
24. Решение системы линейных уравнений

25. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

26. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы алгебраических уравнений

27. Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка

28. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

29. Системы принятия решений, оптимизация в Excel и базы данных Access

30. Проект создания системы поддержки принятия решений оперативно-дежурной службы милиции

31. Система поддержки принятия маркетинговых решений в торговом предприятии на основе методов Data Mining

32. Системы поддержки и принятия решений

Каталка-автомобиль "Sokol" (с ручкой).
Каталка-автомобиль "Sokol" рекомендуется для малышей, которые пока еще неуверенно сидят и часто падают. Эта модель каталки
2249 руб
Раздел: Каталки
Пазл "Арктика", 75 элементов.
Яркий красочный пазл познакомит ребенка с удивительным миром животных Северного полюса. Это и белые медведи, и морские котики, и белый
548 руб
Раздел: Пазлы (54-99 элементов)
Подгузники-трусики "Pampers. Pants. Джамбо", Maxi (9-15 кг), 52 штуки.
Для активных и любознательных мальчиков и девочек так важен комфорт, поэтому Pampers разработал универсальные подгузники-трусики Pampers
1117 руб
Раздел: Более 11 кг

33. Об оценке эффективности системы менеджмента качества в решении экономических проблем предприятий в регионе

34. Система принятия верных решений

35. Система управления базой данных объектов гражданской обороны для принятия решений в чрезвычайной ситуации (Диплом)

36. Принятие решений в экологической геоинформационной системе на основе нечеткой модели классификации

37. Системы IVR: проблемы и решения

38. Система переработки информации и ее связь с принятием решений
39. Принятие решений в системе административно-государственного управления
40. Программное обеспечение системы принятия решений адаптивного робота

41. Экспертная система для решения задачи о коммивояжере

42. Использование директ-костинга в системе оперативного контроллинга как инструмента финансового анализа и обоснования управленческих решений на предприятии

43. Выработка решений в системе "человек-машина"

44. Гибкая риск-ориентируемая система принятия кредитного решения в процесах розничного кредитирования

45. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

46. Краткие сведения о электронных таблицах. Решение уравнения

47. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя

48. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

Игра настольная "Шакал".
Стратегическая игра для 2-4 игроков, главная задача которой — найти клад на острове и доставить его на свой корабль. Секрет механики
1290 руб
Раздел: Классические игры
Спиннер трехлучевой "Цветомузыка", с bluetooth (белый).
Компактная стильная игрушка для взрослых и детей, предназначенная для вращения на пальцах. Состоит из подшипников, благодаря которым
465 руб
Раздел: Спиннеры
Набор из 100 шариков.
Набор цветных шариков это веселая забава для вашего малыша. Он с удовольствием будет резвиться в манеже или бассейне с ними. Эта игрушка
962 руб
Раздел: Шары для бассейна

49. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана

50. Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

51. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

52. Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом

53. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами

54. Системы линейных уравнений
55. Метод касательных решения нелинейных уравнений
56. Применение графиков в решении уравнений

57. Методы решения уравнений в странах древнего мира

58. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

59. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных

60. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

61. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

62. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

63. Взаимосвязь размерностей и единство числовых значений фундаментальных физических констант в системе размерностей – LT

64. Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

Горка детская (большая).
Предназначена для игры на свежем воздухе или в игровой комнате. Игрушка выполнена из качественного материала. Цвета яркие и
5278 руб
Раздел: Горки
Набор детской складной мебели "Маленькая принцесса".
Комплект складной. Подходит для кормления, игр и обучения. Поверхность столешницы ламинированная с нанесением ярких познавательных
1795 руб
Раздел: Наборы детской мебели
Коробка картонная для цветов с люверсами и ручками "Лайм", 30x30x20 см.
Коробка картонная для цветов с люверсами и ручками. Размер: 30x30x20 см.
493 руб
Раздел: Коробки

65. Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

66. Применение свойств функций для решения уравнений

67. Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах

68. Решение дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией

69. Применение графиков в решении уравнений

70. Методы решения уравнений, содержащих параметр
71. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
72. Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

73. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта

74. Метод касательных. Решения нелинейных уравнений. Паскаль 7.0

75. Автоматизация решения систем линейных алгебраических уравнений

76. Методы и алгоритмы компьютерного решения дифференциальных уравнений

77. Разработка программного обеспечения для решения уравнений с одной переменной методом Ньютона (касательных)

78. Решение дифференциальных уравнений в среде MathCAD

79. Решение систем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)

80. Решение уравнений средствами Excel

Портфель "Megapolis", А4, 12 отделений, серый.
Используется для хранения и транспортировки большого колличества документов, сгруппированных по темам. Закрывается на надёжный пластиковый
517 руб
Раздел: Папки-портфели, папки с наполнением
Шкатулка-фолиант "Девочка с котенком", 26x17x5 см.
Шкатулка-фолиант выполнена в виде старой книги. Обложка шкатулки выполнена из текстиля. Такая шкатулка послужит оригинальным, а главное,
651 руб
Раздел: Шкатулки сувенирные
Мешок для обуви "Sweets", 2 отделения, светоотражающая полоса, розовый.
Количество отделений - 2. Материал - полиэстер. Размер - 370x470 мм. Цвет - розовый/рисунок. Светоотражающий элемент - есть.
316 руб
Раздел: Сумки для обуви

81. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения дифференциального уравнения n-го порядка

82. Алгоритм решения Диофантовых уравнений

83. Графическое решение уравнений

84. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

85. Решение алгебраического уравнения n-ой степени

86. Решение дифференциальных уравнений
87. Решение иррациональных уравнений
88. Решение произвольных систем линейных уравнений

89. Решение уравнений с параметрами

90. Системы линейных уравнений

91. Методы решения алгебраических уравнений

92. Методы решения систем линейных уравнений

93. Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

94. 10 способов решения квадратных уравнений

95. Методы оптимизации при решении уравнений

96. Сравнительный анализ методики ознакомления с равенствами, неравенствами, уравнениями в традиционной школе и системе развивающего обучения

Набор контейнеров для хранения грудного молока и детского питания "Happy Baby", 6 штук.
Специальные контейнеры для хранения молока и питания позволяют сохранять ценные питательные элементы сцеженного грудного молока, в том
350 руб
Раздел: Молокоотсосы, аксессуары
Менажница (5 секций) "Садовая ягода".
Менажница (5 секций). Диаметр: 24,5 см. Высота: 2,5 см. Материал: керамика.
397 руб
Раздел: Менажницы
Набор "Сделай слайм" (с разноцветными бусами, пенопластовые шариками, блёстки).
Набор для изготовления слайма - это уникальный набор для создания оригинальной игрушки своими руками! Из компонентов набора можно сделать
575 руб
Раздел: Лизуны, мялки, жвачки для рук

97. Методы путевого анализа и их применение к системам одновременных уравнений

98. Спутниковые системы навигации GPS и Глонасс

99. В поисках системы мира


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.