|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием |
Брелок LED "Лампочка" классическая. 
Ручка "Помада". 
Фонарь садовый «Тюльпан». Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием С.А. Клоков, Омский государственный университет, кафедра математического анализа 1. Введение. Обозначения. Постановка задачи Пусть - стационарная (в узком смысле) последовательность случайных величин (с.в.), , - -алгебры, порожденные семействами , . Говорят, что удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания (РСП), если коэффициент перемешивания стремится к нулю при . Как обычно, через обозначим дисперсию суммы , а через - нормальную с.в. с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Символы и обозначают сходимость по распределению и равенство распределений с.в., · - норму в L2, 1(A) - индикатор множества A. Через обозначим срезку , через - дисперсию суммы . Вместе с последовательностью будет рассматриваться последовательность таких с.в., что и независимы. В случае, если функции f и g связаны соотношением , где co s - абсолютная константа, будем писать , а если и , то . Будем считать известными определения правильно меняющихся и медленно меняющихся функций (см., например, ). Говорят, что последовательность с.в. притягивается к нормальному закону, если при некотором выборе нормирующих констант A и имеет место соотношение , . В случае, если с.в. имеют конечные вторые моменты, дисперсия суммы и говорят, что к последовательности применима центральная предельная теорема (ЦПТ). Первые предельные теоремы для слабо зависимых величин были доказаны И.А. Ибрагимовым в начале 60-х годов. Условие РСП дает возможность доказывать результаты о сходимости к нормальному закону без каких-либо предположений о скорости перемешивания (стремления к нулю). В этом случае будем говорить, что справедливо строгое притяжение к нормальному закону. В доказана Теорема 1. Пусть - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, , для некоторого и . Тогда к последовательности применима ЦПТ. Для последовательности независимых одинаково распределенных с.в. ЦПТ справедлива, если потребовать существование лишь вторых моментов. Исходя из этого, в высказана Гипотеза (Ибрагимов, 1965). Пусть - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, и . Тогда к последовательности применима ЦПТ. Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных с.в., не имеющих вторых моментов. Тогда распределение принадлежит области притяжения нормального закона тогда и только тогда, когда функция является ММФ. Иосифеску сформулировал следующее предположение. Гипотеза (Ибрагимов-Иосифеску). Пусть - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП с , и H(x) - ММФ. Тогда притягивается к нормальному закону. Гипотезы Ибрагимова и Ибрагимова-Иосифеску не доказаны и не опровергнуты до сих пор. Хорошо известны два достаточных условия для медленного изменения H(x): существование конечного второго момента () и правильное изменение хвоста распределения одного слагаемого ( - ПМФ порядка -2). В работе доказана Теорема 2. Пусть - стационарная последовательность с.в
., удовлетворяющая условию РСП, причем . Пусть , выполнено соотношение (1) где h(x) - ММФ. Тогда притягивается к нормальному закону. В настоящей работе показано, что теорема 2 остается справедливой, если на функцию h(x) из (1) наложить более слабое ограничение, чем медленное изменение. В монографии Е.Сенеты предложено обобщение понятия ММФ. Функция h(x) называется SO-меняющейся , если существуют такие положительные постоянные C1 и C2, что для всех выполнено (2) Очевидно, что ММФ h(x) удовлетворяет (2), но не наоборот. Примерами SO-меняющихся функций могут служить любые функции, отделенные от нуля и от бесконечности. Таким образом, введенное расширение класса ММФ является нетривиальным. Основным результатом работы является обобщение теоремы 2: Теорема 3. Пусть - стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, и выполнено соотношение (3) где h(x) - SO-меняющаяся функция. Тогда притягивается к нормальному закону. Обобщение результата M. Пелиграда стало возможным благодаря уточнению доказательства теоремы 2, данного в работе . 2. Вспомогательные результаты Из (2) очевидным образом следует Лемма 1. Пусть h(x) - SO-меняющаяся функция. Тогда для любого фиксированного и для любой функции достаточно медленно. Определим последовательность соотношением . Лемма 2. Пусть выполнено (3). Тогда а) для любого x0 или достаточно медленно; б) если целое число k фиксировано или целочисленная последовательность достаточно медленно, то . Доказательство. Из определения a легко выводится, что (4) Из (4) и леммы 1 следует, что (5) Пункт а) доказан. Теперь докажем б). Пусть D0 - некоторая константа. Из (4) и леммы 1, аналогично (5), выводим для любого фиксированного k или достаточно медленно, что . Выбором достаточно большой константы можно добиться, что , откуда следует, что . Выбирая достаточно малую константу D = D2, получим, что . Таким образом, . Лемма 3. Пусть - схема серий с.в. с конечными вторыми моментами, в каждой серии с.в. образуют стационарную последовательность, удовлетворяющую условию РСП с одним и тем же коэффициентом перемешивания причем . Пусть ,j ,. Тогда (6) Доказательство. Первое неравенство в (6) доказано в предложении 3.3 из . Лемма 4. Для любого фиксированного k или достаточно медленно выполнено соотношение . Доказательство. Схема доказательства приведена в . Лемма 5. Пусть k = k( ) - целочисленная последовательность, достаточно медленно стремящаяся к бесконечности, и имеет место (3). Тогда (7) где при . Доказательство. Для проведения оценки (7) используются идеи M. Пелиграда, предложенные в . В силу пункта б) леммы 2 существует такая константа C0, что . Пусть - такая числовая последовательность, что и z = o(Ck1/2). Тогда, имея в виду пункт а) леммы 2, легко видеть, что для (8) Из (8) выводим где 0 - некоторая константа. Пользуясь пунктом а) леммы 2, нетрудно вычислить, что при . 3 Доказательство основного результата В работе А.Г. Гриня введено понятие универсальной нормирующей последовательности (УНП) .
Там же доказана 4. Пусть - стационарная последовательность, удовлетворяющая условию РСП. Для того чтобы притягивалась к нормальному закону, достаточно, а если , и необходимо, чтобы при любом . Пусть k = k( ) - целочисленная последовательность, стремящаяся к бесконечности столь медленно, что одновременно справедливы леммы 2, 4, 5. Тогда, имея в виду еще и лемму 3, получаем (9) Вместе с определением УНП (9) означает, что и a 2 = o(b 2). Пусть последовательность q = q( ) стремится к бесконечности столь медленно, что a 2 = o(q-1b 2). Пользуясь пунктом а) леммы 2, имеем для любого при . Согласно теореме 4, последовательность притягивается к нормальному закону. Теорема доказана. Список литературы Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965. 524 с. Гринь А.Г. Об областях притяжения для сумм зависимых величин // Теория вероятн. и ее применен. 1990. Т. 35. 2. С. 255-270. Peligrad M. A i varia ce pri ciple for -mixi g seque ces. - A . Probab. 1985. V. 13. 4. Р. 1304-1313. Peligrad M. O Ibragimov-Iosifescu co jec ure for -mixi g seque ces // S ochas ic Processes a d heir Applica io s. 1990. V. 35. P. 293-308. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М.: Наука, 1985. 142 с.
Презренное и ничтожное, мимо которого он проходит всякий день, не возросло бы перед ним в такой страшной, почти карикатурной силе... Нет, несправедливы те, которые говорят, будто возмущает смех. Возмущает только то, что мрачно, а смех светел. Многое бы возмутило человека, быв представлено в наготе своей; но, озаренное силою смеха, несет оно уже примиренье в душу... Что признавалось пустым, может явиться потом вооруженное строгим значеньем. Во глубине холодного смеха могут отыскаться горячие искры вечной могучей любви. И почему знать - может быть, будет признано потом всеми, что в силу тех же законов, почему гордый и сильный человек является ничтожным и слабым в несчастии, а слабый возрастает, как исполин, среди бед, - в силу тех же самых законов, кто льет часто душевные, глубокие слезы, тот, кажется,более всех смеется на свете!.." Эта мысль перекликается с известным афоризмом "Мертвых душ" о "внешнем смехе" и "невидимых миру слезах". ТОЛСТОЙ Александр Петрович (1801-1873), граф, генерал-лейтенант, один из ближайших друзей Гоголя в 1840-1850-е годы
1. Нормальный закон распределения
2. Теорема сложения вероятностей. Закон равномерной плотности вероятностей
3. Закон последовательности напластования горных пород
4. Вивчення законів нормального розподілу Релея
5. Стационарная модель Вселенной
11. Учение Платона о государстве и законах
12. Понятие договора найма по Закону о договорных и внедоговорных обязанностях
13. Историко-правовой анализ Закона СССР "о разграничении полномочий между СССР и субъектами федерации"
14. Конституция - основной закон государства
15. Конституция, как Основной Закон РФ
16. Анализ Закона РФ N1992-1 "О налоге на добавленную стоимость"
Вешалка для одежды напольная, раздвижная ТД-00013, 1600x430x1550 мм. 
Металлическая клетка-корона, белая, 16,5x21,5 см. 
Музыкальный центр "Парк развлечений". 17. Комментарий к Федеральному закону "Об информации, информатизации и защите информации"
18. Отличия законов о рекламе и закона о защите прав потребителя
19. Законы XII таблиц - памятник рабовладельческого права (Контрольная)
20. Наследование по закону согласно римскому частному праву
21. Законотворчество и механизм реализации законов
25. Лессинг: «О законах временных и пространственных видов искусств»
26. Политика сильной власти Александра Гамильтона
29. Исследования устойчивости и качества процессов управления линейных стационарных САУ
30. Оценивание параметров и проверка гипотез о нормальном распределении (WinWord, Excel)
32. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
Фонтан декоративный с подсветкой "У колодца", 17,5x13x25,5 см. 
Точилка электрическая "Power TX", 2 отверстия. 
Детский велосипед Jaguar трехколесный (цвет: оранжевый). 33. Расчистка и обрезка нормальных и деформированных копыт и копытец у животных
35. Прокурорский надзор за исполнением законов
36. Проблемы укрепления законности и правопорядка
37. Обратная сила закона. Теория и практика применения на примере преступлений против собственности
41. Законы и категории диалектики в педагогической практике
43. Психологический смысл психофизических законов
46. Второй Закон Термодинамики
47. Законы термодинамики и термодинамические параметры систем
48. Законы сохранения в механике
Коробка подарочная "Милые вещицы". 
Таблетки для посудомоечных машин "Babyline", для всей семьи, 25 штук. 
Музыкальный коврик "На ферме". 49. Аналитическое выражение второго закона термодинамики. Энтропия
50. Основные законы материалистической диалектики
51. Сравнение основных законов мышления в формальной логике
52. Диалектика: принципы, законы, категории
53. Законы формальной логики в аспекте категории закона
58. Структура организации, влияние на нее законов теории организации
59. Федеральный закон о бюджете на 2000 год
60. Сущность и функции денег. Закон денежного обращения. Инфляция
61. Общая и предельная полезность. Законы Госсена
63. Законы Хаммурапи
64. Положение воинов по законам царя Хаммурапи
Рюкзак для средней школы, джинсовый "Скай", 46x34x18 см. 
Солнцезащитная рулонная шторка для автомобиля Altabebe, арт. AL7030. 
Статуэтка "Маленькая леди", 10 см. 65. Свод Законов Российской империи 1825 г.
66. Закон Ленца
67. Характеристика идей в "Слове о законе и благодати"
68. Слово о законе и благодати
69. Катерина и Лариса: кто сильнее (Пьесы "г А.Н. Островского "Гроза" и "Бесприданница")
73. Законы логики
74. Основные законы правильного мышления
75. Нормальные Алгоритмы Маркова. Построение алгоритмов из алгоритмов.
76. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
77. Относительность закона Хаббла
78. Закон Хаббла
Антимоскитная сетка "Лето" для дверного проема, 2.1x1.0 м. 
Доска пробковая, с алюминиевой рамой, 60x45 см. 
Глобус Зоогеографический с подсветкой, диаметр 250 мм. 81. Закон всемирного тяготения
82. Законы Кеплера
83. Закон Хаббла
84. Закон всемирного тяготения
85. Притяжение и движение тел в пространстве
89. Нормальный ангиогенез сосудов почки
90. Переливание крови: основные действия и последовательность их выполнения
91. Острый инфаркт миокарда: достационарное и стационарное лечение
92. Закон про зовнішньоекономічну діяьність України
94. Закон соответствия уровня потребления уровню выживания
95. Десять основных законов вещей и времени
96. Закон Брэгга
Беговел "Funny Wheels Basic" (цвет: желтый). 
Фоторамка на 4 фотографии С34-009 "Alparaisa", 55,5x18 см (белый). 
Кран башенный. 98. Закон Ома
99. Феномен жизни и законы неживой природы
