Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений

Брелок LED "Лампочка" классическая.
Брелок работает в двух автоматических режимах и горит в разных цветовых гаммах. Материал: металл, акрил. Для работы нужны 3 батарейки
131 руб
Раздел: Металлические брелоки
Ночник-проектор "Звездное небо, планеты", черный.
Оригинальный светильник-ночник-проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фанариков); 2) Три
350 руб
Раздел: Ночники
Чашка "Неваляшка".
Ваши дети во время приёма пищи вечно проливают что-то на ковёр и пол, пачкают руки, а Вы потом тратите уйму времени на выведение пятен с
222 руб
Раздел: Тарелки

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ СУМСКИЙ ГОСУДАСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ кафедра информатики КУРСОВАЯ РАБОТА ПО КУРСУ: Численные методы на тему: «Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений» Сумы, 2006 Содержание 1. Методы решения систем нелинейных уравнений. Общая информация 2. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений 2.1 Метод простых итераций 2.2 Преобразование Эйткена 2.3 Метод Ньютона 2.3.1 Модификации метода Ньютона 2.3.2 Квазиньютоновские методы 2.4 Другие итерационные методы решения систем нелинейных уравнений 2.4.1 Метод Пикара 2.4.2 Метод градиентного спуска 2.4.3 Метод релаксаций 3. Реализация итерационных методов программно и с помощью математического пакета Maple 3.1 Метод простых итераций 3.2 Метод градиентного спуска 3.3 Метод Ньютона 3.4 Модифицированный метод Ньютона Выводы Список использованной литературы 1. Методы решения нелинейных уравнений. Общая информация. Пусть нам дана система уравнений, где - некоторые нелинейные операторы:  (1.1) Она может быть также представлена в матричном виде:  (1.1) Где   Её решением называется такое значение , для котрого Очень распространенной является вычислительная задача нахождения некоторых или всех решений системы (1.1) из нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений с неизвестными. Обозначим через Х вектор-столбец (х1, х2,., х ) и запишем систему уравнений в виде формулы (1.2): F(Х) = 0, где F = (f1, f2,., f ) . Подобные системы уравнений могут возникать непосредственно, например, при конструировании физических систем, или опосредованно. Так, к примеру, при решении задачи минимизации некоторой функции G(х) часто необходимо определить те точки, в которых градиент этой функции равен нулю. Полагая F = grad G, получаем нелинейную систему. В отличие от систем линейных алгебраических уравнений, для решения которых могут применяться как прямые (или точные), так и итерационные (или приближенные) методы, решение систем нелинейных уравнений можно получить только приближенными, итерационными методами. Они позволяют получать последовательность приближений . Если итерационный процесс сходится, то граничное значение  является решением данной системы уравнений. Для полноты представления о методах нахождения решения системы необходимо разъяснить такое понятие, как &quo ;скорость сходимости&quo ;. Если для последовательности x , сходящейся к пределу х , верна формула (k - положительное действительное число), то k называется скоростью сходимости данной последовательности. 2. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений 2.1 Метод простых итераций Метод простых итераций (последовательных приближений) является одним из основных в вычислительной математике и применяется для решения широкого класса уравнений. Приведём описание и обоснование этого метода для систем нелинейных уравнений вида fi(x1,x2,.x ) = 0, i=1,2,. ; Приведём систему уравнений к специальному виду:  (2.1) Или в векторном виде . (2.2) Причем переход к этой системе должен быть только при условии, что  является сжимающим отображением. Используя некоторое начальное приближение X(0)= (x1(0),x2(0),.x

(0)) построим итерационный процесс X(k 1) =  (X(k)). Расчёты продолжаются до выполнения условия . Тогда решением системы уравнений является неподвижная точка отображения . Проведём обоснование метода в некоторой норме  пространства . Приведём теорему о сходимости, выполнение условий которой приводит к нахождению решения системы. Теорема (о сходимости). Пусть 1). Вектор-функция Ф(х) определена в области ; 2). Для  выполняется условие 3). Справедливо неравенство Тогда в итерационном процессе: 1.   2. , где  – решение системы уравнений; 3. , Замечание. Неравенство условия 2) есть условие Липшица для вектор -функции Ф(х) в области S с константой (условие сжатия). Оно показывает, что Ф является оператором сжатия в области S, т. е. для уравнения (2.2) действует принцип сжатых отображений. Утверждения теоремы означают, что уравнение (2.2) имеет решение  в области S, и последовательные приближения  сходятся к этому решению со скоростью геометрической последовательности со знаменателем q. Доказательство. Поскольку , то для приближения  в силу предположения 3) имеем . Это значит, что . Покажем, что , k=2,3, причём для соседних приближений выполняется неравенство  (2.3) Будем рассуждать по индукции. При утверждение справедливо, т.к.  и . Допустим, что приближения принадлежат S, и неравенство (2.3) выполнено для . Поскольку , то для  с учётом условия 2) теоремы имеем . По индуктивному предположению . Следовательно, , т.е. неравенство (2.3) справедливо для . Покажем, что . Учитывая свойство (2.3) при , получаем Итак, , и первое утверждение теоремы доказано. Покажем, что последовательность является сходящейся. С этой целью проверим признак сходимости Коши (покажем, что последовательность  является фундаментальной). По аналогии с предыдущим для любых р=1,2, имеем Поскольку , то , поэтому для  найдётся такой номер , что для  будет Это означает выполнение признака Коши, что гарантирует сходимость последовательности . Обозначим . Утверждение 2) теоремы доказано. Для доказательства последнего утверждения воспользуемся полученным выше неравенством   Перейдём здесь к пределу при . Учитывая непрерывность функции  и тот факт, что , получаем требуемый результат – утверждение 3). Замечание 2. В условиях теоремы решение  уравнения (2.2) в области S является единственным. Действительно, пусть имеются два решения , причём . Тогда , Получили противоречие, что и требовалось доказать. Обсудим условие 2) доказанной теоремы. Рассмотрим уравнение (2.2) в покомпонентной записи и предположим, что функции  непрерывно-дифференцируемы в области S (т.е. существуют и непрерывны в S частные производные ). Теперь выясним достаточное условие выполнения неравенства 2) в этом случае. Образуем матрицу Якоби системы функций . Далее, будем использовать обобщенную теорему о среднем (обобщение на случай вектор- функции формулы конечных приращений Лагранжа) Здесь матричная норма согласована с векторной, ,  – точка отрезка, соединяющего х, у. Поскольку S – выпуклое множество, то . Предположим, что имеет место оценка , причём . (2.4) Тогда согласно предыдущему выполняется условие 2) теоремы .

Таким образом, в случае дифференцируемости условие (2.4) на матрицу Якоби  гарантирует условие сжатия для вектор- функции 2.2 Преобразование Эйткена Поскольку сходимость метода простых итераций линейная, то она довольно медленна. Поэтому полезно уточнять результат процессом Эйткена по трём последним итерациям, чтобы увеличить точность найденного решения и ускорить процесс его нахождения. Идею преобразования Эйткена поясним на простом примере. Погрешность найденных значений на каждой итерации равна,. если   найдем предел x через три значения последних приближений xk. . т. е. Построим теперь процесс: , тогда э то итерационный процесс для уравнения:  (А) Рассмотрим порядок сходимости этого процесса   Теперь из (А). Мы рассматривали процесс простых итераций – процесс первого порядка, а получили процесс 2 –го порядка. & bsp; Легко показать, что если процесс имеет порядок, то схема Эйткена имеет порядок (2r-1). Более того, если процесс. не сходится, то итерационный процесс при выборе начального приближения так, чтобы,. будет сходиться. 2.3 Метод Ньютона Основная идея метода Ньютона состоит в выделении из уравнений линейных частей, которые являются главными при малых приращениях аргументов. Это позволяет свести исходную задачу к решению последовательности линейных систем. Рассмотрим систему уравнений   в предположении, что  – непрерывно-дифференцируемые функции. Полагая , прейдём к векторной записи  (3.1) Опишем общий шаг метода. Пусть уже получено приближение  проведём линеаризацию вектор-функции  в окрестности точки  - разложим функцию  в ряд Тейлора, оставив только два первых члена в силу малости отклонения приближения  от корня: . Здесь – матрица Якоби для вектор-функции . Очередное приближение  определяется как решение линейной системы , т.е. Если матрица Якоби  не вырожденна, то решение системы линейной системы можно записать в явном виде, что приводит к стандартной формуле метода Ньютона  (3.2) Таким образом, в основе метода Ньютона лежит идея линеаризации вектор-функции  в окрестности каждого приближения (на каждой итерации), что позволяет свести решение системы (3.1) к последовательному решению линейных систем. Через уже известное приближение  к корню  можно записать, что , где . Тогда после линеаризации получим систему уравнений, линейную относительно . Таким образом, на каждом шаге мы будем находить приращения , и новое приближение к решению по формулам:  – система линейных уравнений Рассмотрим вопрос о сходимости метода Ньютона. Точное условие сходимости метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений имеет довольно сложный вид. можно отметить очевидный результат: в достаточно малой окрестности корня итерации сходятся, если матрица Якоби невырожденная, причём сходимость квадратичная. Приведём ряд теорем, выполнение условий которых должно обеспечивать сходимость метода Ньютона. Пусть в пространстве  выбрана некоторая векторная норма  и согласованная с ней матричная норма . Теорема (о сходимости). Пусть вектор-функция  определена и непрерывно-дифференцируема в области   где  – решение уравнения (3.1), 2) для всех  существует обратная матрица , причём 3)для всех 4) Тогда метод Ньютона (3.2

С 2002 года сотрудники фирмы ведут сайт gpgpu.org, пытающийся систематизировать все результаты в этой области. nVidia продает ряд продуктов для нужд киноиндустрии, на деле доказывая нешуточность идеи. Каковы результаты этой активности? Судя по публикациям, GPU удается найти применение в самых различных областях высокопроизводительных вычислений, включая высококачественный рендеринг, трассировку лучей, обработку изображений и сигналов, машинное зрение, компрессию, поиск и сортировку, биоинформатику, решение систем линейных уравнений, моделирование физических эффектов. Достигаемое ускорение колеблется от случая к случаю, но типично составляет несколько крат по сравнению с расчетом на центральном процессоре. Вы спросите, отчего же CPU так катастрофически проигрывают, если они изготовляются на таких же, если не на лучших полупроводниковых фабриках, содержат сопоставимое число транзисторов[Буквально одно сравнение high-end-продуктов в подтверждение: 376 млн. транзисторов в двухъядерном Intel Pentium EE 955 против 384 млн. в ATI Radeon X1900XTX], а их рабочие частоты в разы выше, чем у GPU? GPU против СPU Одно арифметическое устройство, оперирующее числами с плавающей точкой, при современном технологическом процессе производства чипов занимает на кристалле меньше одного квадратного миллиметра[Эти и последующие числа раздела взяты из книги «GPU Gems 2»]

1. Разработка программы поиска решения системы дифференциальных уравнений двумя методами: Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона

2. Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом

3. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

4. Решение систем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)

5. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом

6. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом
7. Система патетических показателей и методов изучения концентрации
8. Решение задач линейного программирования симплекс методом

9. Решение задачи линейного программирования симплексным методом

10. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом

11. Решения задачи планирования производства симплекс методом

12. МЕТОДЫ ДИАГНОСТИКИ ИНФЕКЦИОННЫХ БОЛЕЗНЕЙ (КЛИНИЧЕСКИЙ И ЭПИЗООТОЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОДЫ)

13. Амортизация основных фондов: методы амортизации, сопоставительный расчет амортизационных отчислений различными методами

14. Метод лінгвістичної географії. Зіставний метод. Структурний метод у лінгвістичних дослідженнях

15. Решение математических задач средствами Excel

16. Классификация дисперсных систем по агрегатному состоянию. Особенности каждой системы

Глобус физический, диаметр 210 мм.
Диаметр: 210 мм. Масштаб:1: 60000000. Материал подставки: пластик. Цвет подставки: чёрный. Размер коробки: 216х216х246 мм. Шар выполнен из
362 руб
Раздел: Глобусы
Подарочная расчёска для волос "Дашенька".
Стильная детская расчёска дарит радость и комфорт. Этот практичный аксессуар по достоинству оценят как маленькие модницы, так юные
372 руб
Раздел: Расчески, щетки для волос
Средство для мытья посуды Finish "Power Powder", (лимон), порошкообразное, 2,5 кг.
Порошок предназначен для мытья посуды в посудомоечных машинах. Он имеет в составе компонент "Stain Soaker" с эффектом
666 руб
Раздел: Для посудомоечных машин

17. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

18. Метод касательных решения нелинейных уравнений

19. Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона

20. Метод касательных. Решения нелинейных уравнений. Паскаль 7.0

21. Поиск решений системы линейных уравнений методом Гаусса

22. Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена
23. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
24. Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей

25. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

26. Система поддержки принятия маркетинговых решений в торговом предприятии на основе методов Data Mining

27. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка

28. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана

29. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

30. Система поддержки принятия маркетинговых решений в торговом предприятии на основе методов Data Mining

31. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка

32. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

Деревянная игрушка "Металлофон".
Каждая нота на металлофоне имеет свой цвет. Ударяя по разным пластинкам палочкой, ребенок извлекает разные звуки, складывает их в ритмы и
339 руб
Раздел: Ксилофоны, металлофоны
Глобус Земли, физико-политический, рельефный с подсветкой, 250 мм.
Глобус Земли физико-политический, с подсветкой, работает от сети. На карту глобуса нанесены страны мира, названия городов и другая
908 руб
Раздел: Глобусы
Средство для умягчения воды Calgon "2 в 1" (1,6 кг).
Эффективно смягчает воду и предотвращает образование накипи, защищая все важные детали вашей стиральной машины. С Calgon ваша стиральная
573 руб
Раздел: Для очистки стиральных машин

33. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

34. Решение задачи методами линейного, целочисленного, нелинейного и динамического программирования.

35. Методы решения уравнений в странах древнего мира

36. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

37. Нахождение корней уравнения методом Ньютона (ЛИСП-реализация)

38. Методы и анализ нелинейного режима работы системы ЧАП. Метод фазовой плоскости
39. Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений
40. Методы решения алгебраических уравнений

41. Поиски более рационального способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки

42. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

43. Методы путевого анализа и их применение к системам одновременных уравнений

44. Предмет, метод и система гражданского процессуального права /Украина/

45. Методы приобретения знаний в интеллектуальных системах

46. Билеты, решения и методичка по Информатике (2.0)

47. Анализ криптостойкости методов защиты информации в операционных системах Microsoft Window 9x

48. Лабораторная работа №7 по "Основам теории систем" (Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ)

Комплект чехлов "Карапуз" для колясок с поворотными колесами.
Чехлы для колясок с поворотными колесами. Изготовлены из водонепроницаемой ткани. Диаметр передних поворотных колес 25 см, задних 32 см.
323 руб
Раздел: Чехлы для колес
Набор детской посуды "Тачки. Дисней", 3 предмета.
Детский набор посуды "Тачки" сочетает в себе изысканный дизайн с максимальной функциональностью. Предметы набора выполнены из
447 руб
Раздел: Наборы для кормления
Доска магнитно-маркерная, А3, 342x484 мм.
Размер: 342x484 мм. Белое лаковое покрытие. Материал рамки: МДФ. Размер внутри рамки: 302х444 мм. Для формата А3. В комплекте: магниты и
405 руб
Раздел: Доски магнитно-маркерные

49. Решение задач - методы спуска

50. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

51. Методы решения систем линейных неравенств

52. Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)

53. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов

54. Решение задач на построение сечений в многогранниках методом следов
55. Проблемы и методы принятия решений
56. Методы экспертных оценок при разработке и принятии управленческих решений

57. Модели и методы принятия решений

58. Анализ инвестиционной ситуации. Принятие решений по инвестиционным проектам. Методы оценки эффективности инвестиционных проектов

59. Методология и методы принятия решения

60. Экспериментальные методы исследования в системе исторических наук

61. Вычисление интеграла методом Ньютона-Котеса (теория и программа на Паскале)

62. Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса

63. Методы квантования систем с нелинейной геометрией фазового пространства

64. Новый, высокоточный метод диагностики инфекций мочеполовой системы

Органический солнцезащитный крем Mommy care для тела, 100 мл, арт. MC_1115.
Органический солнцезащитный крем для тела идеален даже для городских условий, а такие натуральные компоненты, как ромашка, кунжутное
1140 руб
Раздел: Солнцезащитная косметика
Гирлянда электрическая, 1200 см (белая).
Гирлянда состоит из белых мини ламп, которые будут мигать в 8 режимах. Питание от бытовой электросети 220 В. Длина гирлянды: 1200
472 руб
Раздел: Гирлянды с мини-лампами
Бумага крафт, без печати (10 листов).
Размер: 100x70 см. Плотность бумаги 70 г/кв.м.
495 руб
Раздел: Однотонная, голография

65. Сердечно сосудистая система, нетрадиционные методы лечения по Лазареву, диагностика

66. Математические модели и методы обоснования управленческих решений и сферы их применения в практике управления

67. Модели и методы принятия решения

68. Управленческие ситуации и методы их решения

69. Эвристические методы решения творческих задач

70. Кинезиология как Метод решения психологических проблем
71. Типология современных методов применения средств ИКТ в системе общего образования
72. Решение задач транспортного типа методом потенциалов

73. Методы анализа управленческих решений

74. Сравнительная характеристика методов принятия решений относительно инвестиционных программ

75. Применение новейших экономико-математических методов для решения задач

76. Расчет ВНП двумя методами. Система национальных счетов

77. Выбор методов и моделей принятия решений в управлении инвестиционным процессом на региональном уровне

78. Решение геоэкологических проблем с помощью нестандартных геофизических методов

79. Критерии принятия инвестиционных решений и методы оценки инвестиционных проектов

80. Excel 7.0 (методичка)

Магнитная "Азбука" (106 элементов).
Мягкая магнитная "Азбука" - это набор наиболее употребляемых букв, цифр и знаков. Благодаря этому набору Вы не только
939 руб
Раздел: Буквы на магнитах
Противомоскитная сетка, 100х220 см, белая.
Материал изготовления: полиэстер 100%, плотность 58 гр/кв. метр. В комплект входят кнопки и двусторонний скотч для крепления к дверному
425 руб
Раздел: Сетки противомоскитные
Набор строительных деталей для конструктора "Геометрик".
Во время игры ребёнок знакомиться с вариантами расположения строительных форм, учиться различать и называть детали. Используется для
463 руб
Раздел: Блочные конструкторы

81. Метод касательных (метод Ньютона)

82. Методы поиска технических решений

83. Модели и методы решения проблемы выбора в условиях неопределенности

84. Сбалансированная Система Показателей- как метод реализации стратегии

85. Классификация методов разработки и принятия управленческих решений

86. Понятие, предмет, метод и система отрасли административного права, его источники, соотношение с другими отраслями права
87. Калькулирование себестоимости продукции по системе "Стандарт-костинг". Связь с традиционными методами учета затрат
88. Понятие, предмет, метод, система и задачи уголовного права

89. Поняття, предмет, метод, система, джерела, суб’єкти і зміст правовідносин по праву соціального забезпечення

90. Предмет, метод, джерела та система фінансового права

91. Предмет, метод, система, источники финансового права

92. Интерполяция функции одной переменной методом Ньютона

93. Методы поиска информации в сети интернет. Информационно-поисковые системы

94. Нахождение корней уравнения методом простой итерации (ЛИСП-реализация)

95. Разработка программы решения системы линейных уравнений

96. Решение прикладных задач методом дихотомии

Балерины. 5 часов активной игры. Более 400 наклеек!. Пратт Леони
Все девчонки очень любят наряжаться! А еще они с удовольствием поют и танцуют. Им нравится путешествовать, узнавать что-то новое и вообще
334 руб
Раздел: Альбомы, коллекции наклеек
Настольная игра "Кортекс. Битва умов".
Сможете отличить ракушку от клубники на ощупь? А помочь коту догнать мышь и не заплутать в лабиринте? Детская версия игры Кортекс: Битва
914 руб
Раздел: Карточные игры
Карандаши восковые, 20 цветов, выкручивающийся стержень.
Восковые карандаши отличаются необыкновенной яркостью и стойкостью цвета, легко смешиваются, создавая огромное количество оттенков. Очень
301 руб
Раздел: Восковые

97. Решение системы линейных уравнений

98. Решение экономических задач программными методами

99. Симплекс метод решения задачи линейного программирования

100. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы дифференциальных уравнений


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.