|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Интеграл и его свойства |
Горшок торфяной для цветов. 
Ночник-проектор "Звездное небо и планеты", фиолетовый. 
Мыло металлическое "Ликвидатор". Теоретические вопросы 1. Понятие первообразной функции. Теорема о первообразных. Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f’(x) или дифференциала df=f’(x)dx функции f(x). В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f(x) требуется найти такую функцию F(x), что F’(х)=f(x) или dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx. Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д. Определение. Функция F(x), , называется первообразной для функции f(x) на множестве Х, если она дифференцируема для любого и F’(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx. Теорема. Любая непрерывная на отрезке функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x). Теорема. Если F1(x) и F2(x) – две различные первообразные одной и той же функции f(x) на множестве х , то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т. е. F2(x)=F1x) C, где С – постоянная. 2. Неопределенный интеграл, его свойства. Определение. Совокупность F(x) C всех первообразных функции f(x) на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается: - (1) В формуле (1) f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, а С – постоянной интегрирования. Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения. 1. Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: . 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: 3. Постоянный множитель а (а?0) можно выносить за знак неопределенного интеграла: 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций: 5. Если F(x) – первообразная функции f(x), то: 6 (инвариантность формул интегрирования). Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной: где u – дифференцируемая функция. 3. Таблица неопределенных интегралов. Приведем основные правила интегрирования функций. I. VI. Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим, что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может обозначать как независимую переменную (u=x), так и функцию от независимой переменной (u=u(x)).) 1. 4. 10. (a?0). 15. ( u < a ).18. Интегралы 1 – 17 называют табличными. Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей. 4. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование подстановкой (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл , который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что в интеграле переменную х заменяют переменной по формуле x=?( ), откуда dx=?’( )d .
Теорема. Пусть функция x=?( ) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула: - (2) Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференциала произведения двух функций. Пусть u(x) и v(x) – две дифференцируемые функции переменной х. Тогда: d(uv)=udv vdu. – (3) Интегрируя обе части равенства (3), получаем: - (4) Соотношение (4) называется формулой интегрирования по частям. С помощью этой формулы отыскание интеграла . Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы (4) более прост для вычисления, нежели исходный. В формуле (4) отсутствует произвольная постоянная С, так как в правой части этой формулы стоит неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную. Приведем некоторые часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям. I. Интегралы вида (P (x) – многочлен степени , k – некоторое число). Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить u=P (x) и применить формулу (4) раз. II. Интегралы вида (P (x) – многочлен степени относительно х). Их можно найти по частым, принимая за u функцию, являющуюся множителем при P (x). III. Интегралы вида (a, b – числа). Они вычисляются двукратным интегрированием по частям. 5. Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби. Рациональной дробью R(x) называется дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, т. Е. всякая дробь вида: Если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе ( ?m), то дробь называется неправильной. Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе ( ?m), то дробь называется правильной. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби (это представление достигается путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов): где R(x) – многочлен-частное (целая часть) дроби ; P (x) – остаток (многочлен степени < m). 6. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование простейших дробей. Простейшей дробью называется правильная рациональная дробь одного из следующих четырех типов: 1) ( ?2). Здесь А, a, p, q, M, – действительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней, т. е. p2/4-q < 0. Простейшие дроби первого и второго типов интегрируются непосредственно с помощью основных правил интегрального исчисления: Интеграл от простейшей дроби третьего типа приводится к табличным интегралам путем выделения в числителе дифференциала знаменателя и приведения знаменателя к сумме квадратов: Интегрирование рациональных дробей. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби. Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа простейших рациональных дробей первого – четвертого типов. Для разложения на простейшие дроби необходимо разложить знаменатель Qm(x) на линейные и квадратные множители, для чего надо решить уравнение: - (5) Теорема.
Правильную рациональную дробь , можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей: - (6) (A1, A2, , Ak, B1, B2, , B1, M1, 1, M2, M2, , Ms, s – некоторые действительные числа). Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в следующем. Пусть дано разложение правильной рациональной дроби по формуле (6) на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Приведем простейшие дроби к общему знаменателю Qm(x) и приравняем многочлен, получившийся в числителе, многочлену P (x). Метод частных значений. При нахождении неопределенных коэффициентов вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х, можно дать переменной х несколько частных значений (по числу неопределенных коэффициентов) и получить таким образом систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Особенно выгодно применять этот метод в случае, корни знаменателя рациональной дроби просты и действительны. Тогда оказывается удобным последовательно полагать равным каждому из корней знаменателя. Правило интегрирования рациональных дробей. Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо выполнить следующие действия: 1) если рассматриваемая рациональная дробь - неправильная (k?m), представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби: где < m; R(x) – многочлен; 2) если рассматриваемая рациональная дробь - правильная ( < m), представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей по формуле (6); 3) интеграл от рациональной дроби представить в виде суммы интегралов от целой части и от соответствующих простейших дробей и вычислить эти интегралы. 7. Интегрирование выражений, содержащие тригонометрические функции. Интегралы вида Универсальная подстановка. Будем рассматривать интегралы вида: - (7) при условии, что они не являются табличными. Вычислить их можно различными методами, изложенными ранее. Иногда бывает достаточно преобразовать подынтегральное выражение, использовав тригонометрические формулы, применить методы «подведения» множителя под знак дифференциала, замены переменной или интегрирования по частям. Для вычисления интеграла вида (7) существует общая универсальная схема вычисления, основанная на универсальной тригонометрической подстановке (m, є Z, m ? 0, ? 0). Если хотя бы одно из чисел m и – нечетное, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы si 2x cos2x=1 оставшуюся четную степень через конфункцию, приходим к табличному интегралу. Интегралы вида , ( є , > 1). Эти интегралы вычисляются подстановками gx= и c gx= соответсвенно. Если = gx, то x=arc g , . Последний интеграл при ? 2 является интегралом от неправильной рациональной дроби, которая вычисляется по правилу интегрирования рациональных дробей. Аналогично если =c gx, то x=arcc g , (m, є R). Они вычисляются путем разложения подынтегральной функции на слагаемые по формулам: 8. Интегрирование иррациональных выражений. Интегралы вида (m1, 1, m2, 2, - целые числа). В этих интегралах подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования и радикалов от х.
Fiat justitia, pereat mundus (правосудие должно совершиться, хотя бы погиб мир); мир может погибнуть, только бы jus, только бы право сохраняло свое значение, - изречение юриспруденции, справедливости; но в этом выражении, характерном для правосудия, нет, без всякого сомнения, ни искры доброты и даже мудрости; ибо не человек существует для справедливости и для правосудия, но правосудие для человека. Поэтому, если я представляю себе могущество бога, могущество, которое, если захочет, может меня уничтожить, или представляю себе справедливость бога в смысле только что приведенного изречения, то я представляю себе в виде бога совсем другое существо, я в самом деле имею совсем другого бога, чем если бы я представлял себе только его доброту. Поэтому совсем не так велико различие между политеизмом и монотеизмом, как это кажется. И в едином боге ввиду множества и разнообразия его свойств имеется много богов. Различие не больше того, которое существует между словом собирательным и коллективным. Или, вернее, оно таково: при политеизме бог - открыто, очевидно - есть только собирательное слово; при монотеизме же отпадают чувственные признаки, исчезает видимость политеизма; но существо, сама вещь остается
1. Решение уравнений в целых числах
2. Шпаргалка по Гражданскому Праву РФ (часть первая и вторая)
3. Общая часть Уголовного Кодекса РФ (Шпаргалка)
4. Шпаргалки по уголовному праву (особенная часть)
5. Загрязнение атмосферы и решение этой проблемы на примере Санкт-Петербурга
9. Целая и дробная части действительного числа
10. Выявление проблем, выработка рационального решения и его реализация
11. Пример решения задачи по механике
12. Критерии выделения частей речи
15. Учетная политика для целей бухгалтерского учета на примере ООО "ТЕМПЕРА"
16. Примеры решения задач по правоведению
Настольная игра "Имаджинариум. Детство". 
Набор ручек капиллярных STABILO point 88, 6 ручек. 
Полотенце вафельное "Райский уголок", банное, пляжное, 100х150 см. 19. Семейства решений с постоянной четной частью
20. Актуальность решения проблем бедности (на примере г. Иркутска)
25. Цели организации, порядок формирования и реализации в организации (на примере ООО "ТехносилаИнвест")
27. Местные налоги в формировании доходной части бюджета (на примере г. Аркалык)
28. Примеры решения задач по реакциям электролиза
30. Примеры решения задач по статистике
31. Градостроительство феодального Китая на примере Пекина
32. Техническое обслуживание летательных аппаратов (шпаргалки)
Защитный барьер для детской кровати "Polini kids", белый. 
Фоторамка (коллаж) на 6 фото (10x15 см), 45x2x37 см. 
Форма разъемная Regent "Easy" круглая, 26x7 см. 36. Шпаргалки по ботанической географии
37. Влияние физических нагрузок на опорно-двигательный аппарат на примере плавания
41. Планирование обеспечения горючим воинской части в мирное время
42. Шпаргалки к экзамену по ОБЖ (Брянск)
43. Внешнеэкономические связи России на примере Северо-Западного и Дальневосточного регионов
44. География: 9 класс (Шпаргалка)
46. Территориальные особенности демографического кризиса в России (на примере Самарской области)
47. Шпаргалка для сдачи экзаменов по экономической и социальной географии мира
48. Экономико-географическая характеристика страны на примере Испании
Крикет "Зоопарк". 
Сменный фильтр "Аквафор В-100-6" (2 штуки). 
Бейдж с рулеткой, 54x85 мм. 49. Роль высших растений в почвообразовании (шпаргалка)
52. Методы выделения мономинеральных фракций
53. Зарубежный опыт государственного регулирования рыночной экономики на примере Франции (Доклад)
57. Порядок исчисления налога на прибыль организаций торговли на примере ЗАО «…»
58. Административное право (шпаргалка)
59. Административная юстиция (шпаргалка)
60. Шпаргалки по бухгалтерскому учёту и аудиту в банках
61. Шпаргалка по банковскому праву
62. Гражданское право (Шпаргалка)
63. Гражданское право (экзаменационная шпаргалка)
64. Шпаргалка по гражданскому праву
Аэратор для вина "Сомелье". 
Ножницы для школьного возраста. 
Мягкая магнитная мозаика "Забавные животные", 4+, 5 цветов. 65. Шпаргалки по гражданскому праву
66. Шпаргалка по гражданскому процессу
67. Шпаргалка к Гос Экзамену по Гражданскому Процессу (по ГПК РФ)
68. Жилищное Право РФ (Шпаргалка)
69. Земельное право (шпаргалка)
73. История мирового развития в XX веке на примере Великобритании, США и Японии
74. История России (шпаргалка)
75. Шпаргалки по истории отечественного гос и права 18-19 века
76. Шпаргалки по истории политических учений
77. Краткие лекции и шпаргалка по конституционному праву зарубежных стран
78. Шпаргалка по теории и истории кооперативного движения
79. Конституционное право (Шпаргалка)
80. Субъекты конституционного права на примере Конституции Российской Федерации. Перспективы развития
Шарики пластиковые, цветные, 80 штук, диаметр 85 мм. 
Коробка подарочная "Милые вещицы". 
Таблетки для посудомоечных машин "Babyline", для всей семьи, 25 штук. 81. Шпаргалки к госэкзамену по экономике и праву
82. Шпаргалка по международному праву
83. Шпаргалка по международному частному праву (Вопросы к экзамену по МЧП)
84. Шпаргалка по международному частному праву (2005г.)
85. Муниципальное право (Шпаргалка)
89. Таможенные пошлины и сборы и их роль в формировании доходной части бюджета РФ
91. Цели, задачи и функции прокуратуры Украины
92. Неправомерное завладение автомобилем или иным транспортным средством без цели хищения
93. Римська держава Ё цивЁльне право (шпаргалка)
95. Основные понятия в римском праве (шпаргалка)
96. Задачи по семейному праву /условие-вопрос-решение/
Ручка перьевая "Golden Prestige", синяя, 0,8 мм, корпус хром/золото. 
Поильник-непроливайка "Малыши и малышки", со сменным носиком (с 4 месяцев), 150 мл. 
Чехол стеганый сменный "Нордтекс" (для подушки 50х70 см), на молнии. 97. Сущность и цели перестрахования
98. Лекции (часть) по теории государства и права
99. Теория государства и права (Шпаргалка)
100. Шпаргалка по теории государства и права
