![]() |
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
![]() |
Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции |
Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции. Пример №1. Исследовать функции arcsi (1/x) и arccos(1/y) и построить их графики. Решение: Рассмотрим 1-ю функцию y = arcsi (1/x) Д(f): 1/x ≤ 1 , x ≥ 1 , ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; ∞ ) Функция нечетная ( f(x) убывает на пр. ) Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є , но из условия cosec(y)=x следует si (y)=1/x, откуда y=arcsi (1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x) Д(f): ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; ∞ ) Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2). Решение: Д(f): f(x) возрастает на пр. Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x). Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2 f(z) убывает на пр. от π2 до 0. Пример №4. Исследовать функцию y=arc g(1/(x2-1)) Решение: Д(f): ( - ∞ ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; ∞ ) Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках: [ 0 ; 1 ) и ( 1 ; ∞ ) X 0 &l ; x &l ; 1 &l ; x &l ; ∞ u=1/(x2-1) -1 ↘ ∞ - ∞ ↘ 0 y=arc g(u) - π/4 ↘ π/2 - π/2 ↘ 0 Тригонометрические операции над аркфункциями Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение. В силу определения аркфункций: si (arcsi (x)) = x , cos(arccos(x)) = x (справедливо только для x є ) g(arc g(x)) = x ,c g(arcc g(x)) = x (справедливо при любых x ) Графическое различие между функциями, заданными формулами: Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями. Аргумент функция arcsi (x) arccos(x) arc g(x) arcc g(x) si si (arcsi (x))=x cos x g x 1 / x c g 1 / x x Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже: Т.к. cos2x si 2x = 1 и φ = arcsi (x) Перед радикалом следует взять знак “ ”, т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный. Значит, имеем Из тождества следует: Имеем Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул. Пример №1. Преобразовать выражение Решение: Применяем формулу , имеем: Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств: Пример №3. Пользуясь Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества: Пример №5. Положив в формулах ,и , получим: , Пример №6. Преобразуем Положив в формуле , Получим: Перед радикалами взят знак “ ”, т.к. дуга принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная. Соотношения между аркфункциями Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг. Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества: Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента.
Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов). Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности. Пусть, например, рассматривается дуга α, заключенная в интервале (-π/2; π/2). Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга имеет синус, равный si α θ заключена, так же как и α, в интервале (-π/2; π/2), ρледовательно Аналогично можно дугу α представить в виде арктангенса: А если бы дуга α была заключена в интервале ( 0 ; π ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса: Так, например: Аналогично: Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней). Выражение через арктангенс. Пусть , тогда Дуга , по определению арктангенса, имеет тангенс, равный и расположена в интервале (-π/2; π/2). Дуга имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-π/2; π/2). Следовательно, (1) (в интервале ( -1 : 1 ) Выражение через арксинус. Т.к. , то (2) в интервале Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства следует тождество (3) Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например, Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции. Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку от π/2 до π и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку. Так, например, дуга не может быть значением арксинуса. В этом случае Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях. Выражение арксинуса через арккосинус. Пусть , если , то . Дуга имеет косинус, равный , а поэтому При это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае , а для функции имеем: так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень , т.е. число неотрицательное. Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке: Х>0X&l ;0 При отрицательных значениях Х имеем Х&l ;0, а при положительных X>0, и Таким образом, имеем окончательно: если ,(4) , если График функции Область определения есть сегмент ; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом: , Аналогично установим, что при имеем: , если же , то Таким образом: Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения при имеем: Если же х&l ;0, то Итак, (6) Выражение арккосинуса через арктангенс. Если , то При имеем: Итак, (7) Выражение арктангенса через арккотангенс.
(8) При x>0 равенство (8) легко установить; если же x&l ;0, то . Выражение арксинуса через арккотангенс. (9) Выражение арккотангенса через арксинус. (10) Выражение арккотангенса через арктангенс. (11) Примеры: Пример №1. Исследовать функцию Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим: На чертеже изображен график данной функции Пример №2. Исследовать функцию Решение: Первое слагаемое определено для значений , второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4). Т.к. , то получаем , откуда: на сегменте Пример №3. Исследовать функцию Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4). Приняв во внимание равенство получим: Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями. При преобразовании выражений вида следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений: Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен si x; и Областью определения функции служит интервал , так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента содержится на сегменте . При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х. Так, например, при х=π/6 имеем: но при х=5π/6 В силу периодичности синуса функция arcsi x также является периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте величиной 2π. Если значение х принадлежит сегменту то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла. Если значение х принадлежит сегменту , то в этом случае дуга π-х принадлежит сегменту ; и, так как , то имеем y=π-υ; в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=π-υ. Если значение х принадлежит сегменту , то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим: y=х-2π Если значение х принадлежит сегменту , то y=-π-υ Если значение х принадлежит сегменту , то y=х 2π Вообще, если , то y=х-2πk и если , то y=(π-х) 2πk График функции представлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев. Рассмотрим функцию Согласно определению арккосинуса, имеем: cos y = cos x, где Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2π. Если значение Х принадлежит сегменту , то y = x. Если х принадлежит сегменту , то дуга 2π-х принадлежит сегменту и , поэтому: Следовательно, на сегменте имеем y = 2π - x Если х принадлежит сегменту , то y = x - 2π Если х принадлежит сегменту , то y = 4π – x Вообще, если , то y = x - 2πk Если же , то y = -x πk Графиком функции является ломаная линия Формулы сложения Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию.
Обратные тригонометрические функции Обра'тные тригонометри'ческие фу'нкции, аркфункции, круговые функции, решают следующую задачу: найти дугу (число) по заданному значению её тригонометрической функции. Шести основным тригонометрическим функциям соответствуют шесть О. т. ф.: 1) Arc sin х («арксинус x») — функция, обратная sin х; 2) Arc cos x («арккосинус x») — функция, обратная cos х; 3) Arc tg x («арктангенс x») — функция, обратная tg х; 4) Arc ctg x («арккотангенс x») — функция, обратная ctg x; 5) Arc sec x («арксеканс x») — функция, обратная sec x; 6) Arc cosec x («арккосеканс x») — функция, обратная cosec x. Согласно этим определениям, например, х = Arc sin a есть любое решение уравнения sin х = a, т.е. sin Arc sin a = a. Функции Arc sin x и Arc cos x определены (в действительной области) для |х| £ 1, функции Arc tg х и Arc ctg х — для всех действительных х, а функции Arc sec х и Arc cosec х:—для |х| ³ 1; две последние функции малоупотребительны. Так как тригонометрические функции периодические, то обратные к ним функции являются многозначными функциями
2. Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции
3. Построение графиков и поверхностей
4. Расчет затрат на технологические инновации в Excel. Построение графиков и диаграмм
5. Исследование элементарных функций
9. Создание круговой диаграммы с помощью модуля GD::Graph
10. Создание компьютерной графики при помощи OpenGL
11. Исследование функций и построение их графиков
12. Построение модели бизнес-плана парикмахерской с помощью имитационной модели
17. Определения положения объектов на местности при помощи приборов нивелира и теодолита
18. Принцип построения налога на добавленную стоимость
19. Правовая охрана товарных знаков
20. Экономические преобразования в Италии после второй мировой войны
21. Реформы и государственные преобразования в России во второй половине 19 века
25. Великий график Добужинский М.В.
26. Тема деревни в произведениях "Пелагея" Ф.А. Абрамова и "Знак беды" В.В. Быкова
27. Разделительные знаки при приложении
28. Роль Бориса Николаевича Ельцинa в демократических преобразованиях в России
29. Военная и экономическая помощь СССР Китаю в годы японо-китайской войны 1937–1945
30. Реформы и государственные преобразования в России во второй половине XIX века
31. Старая пластинка: Что такое цифровой звук и реставрация звука с помощью цифровой обработки
32. Построение локальной компьютерной сети масштаба малого предприятия на основе сетевой ОС Linux
34. Дистанционное образование с помощью Internet
35. Удалённый доступ к частной сети через Интернет с помощь технологии VPN
36. Телекоммуникационные компьютерные сети: эволюция и основные принципы построения
37. Возможности графических карт. 3D графика
42. Синтез голографического изображения с помощью компьютера
43. Цифровая обработка графики
44. Построение информационной и даталогической моделей данных
45. Вычисление определённого интеграла с помощью метода трапеций на компьютере
46. Обучающая программа "Графика" программированию в графическом режиме на языке turbo-pascal 7.x
47. Пример создания БД "Материалы" с помощью Access
48. Разработка программы рисования линий с помощью мыши
49. Панельное представление многоугольников (Компьютерная Графика OpenGL)
50. ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММ СРЕДСТВАМИ WORD И EXCEL
51. "Семейный бюджет" (расчет с помощью программы Microsoft Excel 97)
52. Создание текстовых документов с помощью MS Word
53. Создание баннеров с помощью программы Adobe PhotoShop 7.0
57. Структура исчисления предикатов построение логического вывода
58. Решение задач на построение сечений многогранников
60. Оказание первой медицинской помощи при автомобильных катастрофах
61. Лечение и реабилитация инвалидов с помощью верховой езды
62. Дневник практики на подстанции скорой помощи
63. Неотложная помощь при тяжелых инфекциях
64. Кровотечения, их классификация и первая медицинская помощь при них
66. Перечень и сущность дефектов оказания медицинской помощи
67. Кровотечения. Первая медицинская помощь
68. Построение, разработка версий и планирование расследования
69. Мониторинг загрязнения водной среды реки Херота с помощью методов биоиндикации
73. Энергосбережение материального склада при помощи ветроэнергетической установки с вертикальным валом
74. Методика измерения перемещений при помощи лазерных интерферометров
75. Исследование методов охлаждения садки колпаковой печи с помощью математического моделирования
78. Построение ГМССБ и развитие радиосвязи на морском флоте
79. Психолого-педагогическая помощь трудным подросткам на уроках музыки и внеклассных занятий
80. Проектирование модуля АФАР
82. Методы размещения и трассировки печатных плат на примере модуля памяти
83. Модуль управления кодовым замком
85. Разделительные знаки при приложении
89. Материальная структура Вселенной и элементарных частиц
90. Моделирование в физике элементарных частиц
91. Прикладное плавание. Оказание первой помощи пострадавшему на воде
92. Проблемы построения искусственного интеллекта
94. Товарный знак и его использование в целях рекламы
95. ТИПЫ ОРГАНИЗАЦИЙ, ПОСТРОЕНИЕ ОРГАНИЗАЦИИ
96. Технико-экономические показатели "Модуля УТ для пропорциональной команды"
97. Финансирование с помощью краткосрочного долга
98. Построение экономической модели с использованием симплекс-метода
100. Основные пути преобразования в российской переходной экономики