|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции |
Мыло металлическое "Ликвидатор". 
Браслет светоотражающий, самофиксирующийся, желтый. Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции. Пример №1. Исследовать функции arcsi (1/x) и arccos(1/y) и построить их графики. Решение: Рассмотрим 1-ю функцию y = arcsi (1/x) Д(f): 1/x ≤ 1 , x ≥ 1 , ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; ∞ ) Функция нечетная ( f(x) убывает на пр. ) Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є , но из условия cosec(y)=x следует si (y)=1/x, откуда y=arcsi (1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x) Д(f): ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; ∞ ) Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2). Решение: Д(f): f(x) возрастает на пр. Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x). Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2 f(z) убывает на пр. от π2 до 0. Пример №4. Исследовать функцию y=arc g(1/(x2-1)) Решение: Д(f): ( - ∞ ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; ∞ ) Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках: [ 0 ; 1 ) и ( 1 ; ∞ ) X 0 &l ; x &l ; 1 &l ; x &l ; ∞ u=1/(x2-1) -1 ↘ ∞ - ∞ ↘ 0 y=arc g(u) - π/4 ↘ π/2 - π/2 ↘ 0 Тригонометрические операции над аркфункциями Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение. В силу определения аркфункций: si (arcsi (x)) = x , cos(arccos(x)) = x (справедливо только для x є ) g(arc g(x)) = x ,c g(arcc g(x)) = x (справедливо при любых x ) Графическое различие между функциями, заданными формулами: Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями. Аргумент функция arcsi (x) arccos(x) arc g(x) arcc g(x) si si (arcsi (x))=x cos x g x 1 / x c g 1 / x x Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже: Т.к. cos2x si 2x = 1 и φ = arcsi (x) Перед радикалом следует взять знак “ ”, т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный. Значит, имеем Из тождества следует: Имеем Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул. Пример №1. Преобразовать выражение Решение: Применяем формулу , имеем: Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств: Пример №3. Пользуясь Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества: Пример №5. Положив в формулах ,и , получим: , Пример №6. Преобразуем Положив в формуле , Получим: Перед радикалами взят знак “ ”, т.к. дуга принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная. Соотношения между аркфункциями Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг. Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества: Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента.
Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов). Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности. Пусть, например, рассматривается дуга α, заключенная в интервале (-π/2; π/2). Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга имеет синус, равный si α θ заключена, так же как и α, в интервале (-π/2; π/2), ρледовательно Аналогично можно дугу α представить в виде арктангенса: А если бы дуга α была заключена в интервале ( 0 ; π ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса: Так, например: Аналогично: Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней). Выражение через арктангенс. Пусть , тогда Дуга , по определению арктангенса, имеет тангенс, равный и расположена в интервале (-π/2; π/2). Дуга имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-π/2; π/2). Следовательно, (1) (в интервале ( -1 : 1 ) Выражение через арксинус. Т.к. , то (2) в интервале Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства следует тождество (3) Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например, Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции. Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку от π/2 до π и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку. Так, например, дуга не может быть значением арксинуса. В этом случае Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях. Выражение арксинуса через арккосинус. Пусть , если , то . Дуга имеет косинус, равный , а поэтому При это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае , а для функции имеем: так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень , т.е. число неотрицательное. Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке: Х>0X&l ;0 При отрицательных значениях Х имеем Х&l ;0, а при положительных X>0, и Таким образом, имеем окончательно: если ,(4) , если График функции Область определения есть сегмент ; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом: , Аналогично установим, что при имеем: , если же , то Таким образом: Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения при имеем: Если же х&l ;0, то Итак, (6) Выражение арккосинуса через арктангенс. Если , то При имеем: Итак, (7) Выражение арктангенса через арккотангенс.
(8) При x>0 равенство (8) легко установить; если же x&l ;0, то . Выражение арксинуса через арккотангенс. (9) Выражение арккотангенса через арксинус. (10) Выражение арккотангенса через арктангенс. (11) Примеры: Пример №1. Исследовать функцию Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим: На чертеже изображен график данной функции Пример №2. Исследовать функцию Решение: Первое слагаемое определено для значений , второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4). Т.к. , то получаем , откуда: на сегменте Пример №3. Исследовать функцию Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4). Приняв во внимание равенство получим: Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями. При преобразовании выражений вида следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений: Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен si x; и Областью определения функции служит интервал , так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента содержится на сегменте . При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х. Так, например, при х=π/6 имеем: но при х=5π/6 В силу периодичности синуса функция arcsi x также является периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте величиной 2π. Если значение х принадлежит сегменту то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла. Если значение х принадлежит сегменту , то в этом случае дуга π-х принадлежит сегменту ; и, так как , то имеем y=π-υ; в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=π-υ. Если значение х принадлежит сегменту , то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим: y=х-2π Если значение х принадлежит сегменту , то y=-π-υ Если значение х принадлежит сегменту , то y=х 2π Вообще, если , то y=х-2πk и если , то y=(π-х) 2πk График функции представлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев. Рассмотрим функцию Согласно определению арккосинуса, имеем: cos y = cos x, где Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2π. Если значение Х принадлежит сегменту , то y = x. Если х принадлежит сегменту , то дуга 2π-х принадлежит сегменту и , поэтому: Следовательно, на сегменте имеем y = 2π - x Если х принадлежит сегменту , то y = x - 2π Если х принадлежит сегменту , то y = 4π – x Вообще, если , то y = x - 2πk Если же , то y = -x πk Графиком функции является ломаная линия Формулы сложения Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию.
Обратные тригонометрические функции Обра'тные тригонометри'ческие фу'нкции, аркфункции, круговые функции, решают следующую задачу: найти дугу (число) по заданному значению её тригонометрической функции. Шести основным тригонометрическим функциям соответствуют шесть О. т. ф.: 1) Arc sin х («арксинус x») — функция, обратная sin х; 2) Arc cos x («арккосинус x») — функция, обратная cos х; 3) Arc tg x («арктангенс x») — функция, обратная tg х; 4) Arc ctg x («арккотангенс x») — функция, обратная ctg x; 5) Arc sec x («арксеканс x») — функция, обратная sec x; 6) Arc cosec x («арккосеканс x») — функция, обратная cosec x. Согласно этим определениям, например, х = Arc sin a есть любое решение уравнения sin х = a, т.е. sin Arc sin a = a. Функции Arc sin x и Arc cos x определены (в действительной области) для |х| £ 1, функции Arc tg х и Arc ctg х — для всех действительных х, а функции Arc sec х и Arc cosec х:—для |х| ³ 1; две последние функции малоупотребительны. Так как тригонометрические функции периодические, то обратные к ним функции являются многозначными функциями
2. Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции
3. Построение графиков и поверхностей
4. Расчет затрат на технологические инновации в Excel. Построение графиков и диаграмм
5. Исследование элементарных функций
9. Создание круговой диаграммы с помощью модуля GD::Graph
10. Создание компьютерной графики при помощи OpenGL
11. Исследование функций и построение их графиков
12. Построение модели бизнес-плана парикмахерской с помощью имитационной модели
Карандаши двухсторонние, 12 штук, 24 цвета. 
Набор для творчества "Шкатулка со стразами. Холодное сердце". 
Интеллектуальная игра "Сложи узор". 17. Определения положения объектов на местности при помощи приборов нивелира и теодолита
18. Принцип построения налога на добавленную стоимость
19. Правовая охрана товарных знаков
20. Экономические преобразования в Италии после второй мировой войны
21. Реформы и государственные преобразования в России во второй половине 19 века
25. Великий график Добужинский М.В.
26. Тема деревни в произведениях "Пелагея" Ф.А. Абрамова и "Знак беды" В.В. Быкова
27. Разделительные знаки при приложении
28. Роль Бориса Николаевича Ельцинa в демократических преобразованиях в России
29. Военная и экономическая помощь СССР Китаю в годы японо-китайской войны 1937–1945
30. Реформы и государственные преобразования в России во второй половине XIX века
31. Старая пластинка: Что такое цифровой звук и реставрация звука с помощью цифровой обработки
32. Построение локальной компьютерной сети масштаба малого предприятия на основе сетевой ОС Linux
Дополнительный набор "Магнитные истории. Времена года". 
Пенал для художника на кнопках, 20x10 см, бежевый. 
Шкатулка музыкальная "Два сердца", 22x15x8 см, арт. 24808. 34. Дистанционное образование с помощью Internet
35. Удалённый доступ к частной сети через Интернет с помощь технологии VPN
36. Телекоммуникационные компьютерные сети: эволюция и основные принципы построения
37. Возможности графических карт. 3D графика
42. Синтез голографического изображения с помощью компьютера
43. Цифровая обработка графики
44. Построение информационной и даталогической моделей данных
45. Вычисление определённого интеграла с помощью метода трапеций на компьютере
46. Обучающая программа "Графика" программированию в графическом режиме на языке turbo-pascal 7.x
47. Пример создания БД "Материалы" с помощью Access
48. Разработка программы рисования линий с помощью мыши
Лента безопасности Lubby, мягкая, универсальная "особо широкая", 2 метра. 
Трикотажная пеленка кокон "Bambola" (цвет: голубой). 
Аэрозоль от насекомых супер универсальный "Чистый Дом" (двойное распыление), 600 мл. 49. Панельное представление многоугольников (Компьютерная Графика OpenGL)
50. ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММ СРЕДСТВАМИ WORD И EXCEL
51. "Семейный бюджет" (расчет с помощью программы Microsoft Excel 97)
52. Создание текстовых документов с помощью MS Word
53. Создание баннеров с помощью программы Adobe PhotoShop 7.0
57. Структура исчисления предикатов построение логического вывода
58. Решение задач на построение сечений многогранников
60. Оказание первой медицинской помощи при автомобильных катастрофах
61. Лечение и реабилитация инвалидов с помощью верховой езды
62. Дневник практики на подстанции скорой помощи
63. Неотложная помощь при тяжелых инфекциях
64. Кровотечения, их классификация и первая медицинская помощь при них
Мельница для специй AK-7112K "Alpenkok", 16 см. 
Стул ученический регулируемый (рост 2-4, серый каркас). 
Магнитный календарь "Мой первый календарь". 66. Перечень и сущность дефектов оказания медицинской помощи
67. Кровотечения. Первая медицинская помощь
68. Построение, разработка версий и планирование расследования
69. Мониторинг загрязнения водной среды реки Херота с помощью методов биоиндикации
73. Энергосбережение материального склада при помощи ветроэнергетической установки с вертикальным валом
74. Методика измерения перемещений при помощи лазерных интерферометров
75. Исследование методов охлаждения садки колпаковой печи с помощью математического моделирования
78. Построение ГМССБ и развитие радиосвязи на морском флоте
79. Психолого-педагогическая помощь трудным подросткам на уроках музыки и внеклассных занятий
80. Проектирование модуля АФАР
Подставка для ножей овальная, 16x6,5x22 см. 
Форма силиконовая для выпечки "Пряничный домик" (арт. TK 0231). 
Карандаши цветные "Замок", 60 цветов. 82. Методы размещения и трассировки печатных плат на примере модуля памяти
83. Модуль управления кодовым замком
85. Разделительные знаки при приложении
89. Материальная структура Вселенной и элементарных частиц
90. Моделирование в физике элементарных частиц
91. Прикладное плавание. Оказание первой помощи пострадавшему на воде
92. Проблемы построения искусственного интеллекта
94. Товарный знак и его использование в целях рекламы
95. ТИПЫ ОРГАНИЗАЦИЙ, ПОСТРОЕНИЕ ОРГАНИЗАЦИИ
96. Технико-экономические показатели "Модуля УТ для пропорциональной команды"
Качели детские "Классик". 
Сундук-бар, 40x30x75 см. 
Фоторамка "Clip" (70x100 см). 97. Финансирование с помощью краткосрочного долга
98. Построение экономической модели с использованием симплекс-метода
100. Основные пути преобразования в российской переходной экономики
Совок №5. 
