|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей |
Мыло металлическое "Ликвидатор". 
Крючки с поводками Mikado SSH Fudo "SB Chinu", №4BN, поводок 0,22 мм. 
Забавная пачка денег "100 долларов". Содержание 1. Введение 2. Постановка задачи 3. Нахождение собственных чисел и построение ФСР 4. Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера 5. Нахождение приближённого решения в виде матричного ряда 6. Построение общего решения матричным методом 7. Задача Коши для матричного метода 8. Решение неоднородной системы Графики Заключение 1. Введение Рассмотрим систему линейных уравнений первого порядка, записанную в нормальной форме: (1) где коэффициенты аij , i=1,2, ., , к=1,2, , , являются постоянными величинами; yi=yi( ), i=1,2, , - неизвестные функции переменной . Если все bi( ) (i=1,2, , ) положить равным нулю (bi( )=0), то получится однородная система, соответствующая неоднородной системе (1). Обозначая матрицу системы через А(х), а вектор через тогда систему (1) можем переписать в матричной форме (1а) Если , то получаем соответствующую систему однородных уравнений . (2)Всякая совокупность функций определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (a;b), называется решением системы (1) в этом интервале, если она обращает все уравнения системы (1) в тождества:справедливые при всех значениях x из интервала (a, b). Общее решение неоднородной системы представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной. 2. Постановка задачиЦель работы: исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей:;; Задание Найти собственные числа и построить фундаментальную систему решений (ФСР). Построить фундаментальную матрицу методом Эйлера. Найти приближенное решение в виде матричного ряда. Построить общее решение матричным методом. Исследовать зависимость Жордановой формы матрицы А от ее собственных чисел. Решить задачу Коши. Начальные условия: Вектор начальных условий: = 0 3. Нахождение собственных чисел и построение ФСРОднородной линейной системой дифференциальных уравнений называется система уравнений вида: (3) Если в матрице системы все =co s , то данная система называется системой с постоянными коэффициентами или с постоянной матрицей. Фундаментальной системой решений однородной линейной системы уравнений называется базис линейного пространства решений a, т.е. линейно независимых решений этой системы. Для построения фундаментальной системы решений дифференциального уравнения необходимо найти собственные числа характеристического полинома, так как в зависимости от их вида (характеристические числа могут быть действительными разными, кратными, комплексными) строится фундаментальная система решений. Для того чтобы эта система линейных однородных уравнений с неизвестными имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (вронскиан) был равен нулю: (4) Из этого уравнения степени определяется значение k, при которых система имеет нетривиальные решения. Уравнение (4) называется характеристическим. Запишем характеристический полином, для этого воспользуемся функцией CHARPOLY Для нахождения собственных чисел воспользуемся функцией SOLVE(U, l), которая возвращает характеристические числа матрицы А в вектор l. Получим: Получилось два действительно корня и два комплексно-сопряженных корня .
Следовательно, вектора, образующие фундаментальную матрицу, для данного типа корней будут находиться отдельно для и отдельно для . Запишем ФСР для данных для полученных характеристических чисел: Матрицу y(x), столбцами которой являются решения, образующие фундаментальную систему, называют фундаментальной матрицей. И общее решение системы будет выглядеть следующим образом:Найдем решение данной системы с помощью метода Эйлера. 4. Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера Метод Эйлера заключается в следующем. Решение системы (1) находится в виде: (5)Функция (5) является решением системы (1), если – собственное значение матрицы А, а а – собственный вектор этой матрицы, соответствующей числу . Если собственные значения 1, 2, , матрицы А попарно различны и a1, a2, , a соответствующие собственные векторы этой матрицы, то общее решение системы уравнений (1) определяется формулой : где С1, С2, , С – произвольные числа. Для случая кратных корней решение системы принимает вид (6)где Pi(x)-полиномы степени не выше, чем (к-1), имеющих в совокупности к произвольных коэффициентов. Так что среди коэффициентов этих полиномов к коэффициентов являются произвольными, а оставшиеся к· -k выражаются через них. Для отыскания коэффициентов полиномов подставим решение (6) в исходную систему уравнений, приравняем коэффициенты при одинаковых функциях. Решим систему по отношению к (k· -k) коэффициентов. Получим выражение всех коэффициентов через свободные. Если для кратного собственного значения матрицы А имеется столько линейно независимых собственных векторов , какова его кратность, то ему соответствует k независимых решений исходной системы: Если для собственного значения кратности k имеется только m (m&l ;k) линейно независимых собственных векторов, то решения, соответствующие , можно искать в виде произведения векторного многочлена степени k - m на , т.е. в виде: Чтобы найти векторы , надо подставить выражение (4) в систему (3). Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой частях системы, получим уравнение для нахождения векторов . Для данного задания были найдены следующие собственные значения: .Построили фундаментальную систему решений:Найдем 1 строку фундаментальной матрицы решений для характеристического числа . Запишем третью строку решений в общем виде: Где аij найдем по выражению: или Полученная матрица:Решаем систему:Полученные корни:Доопределим Тогда первая строка будет иметь вид: Аналогично найдем вторую строку фундаментальной матрицы решений для первого характеристического числа -1. Полученные значения:Тогда вторая строка будет иметь вид:Найдем третью и четвертую строки фундаментальной матрицы решений для первого характеристического числа . Сопряженный корень не порождает новых вещественных линейно независимых частных решений. Полученные значения: Отделяя в нем вещественные и мнимые части, получим два вещественных решения, которые и составляют первую и вторую строки фундаментальной матрицы решений Аналогично остальные 3: Запишем найденную фундаментальную матрицу решений: Умножим транспонированную фундаментальную матрицу решений на вектор свободных коэффициентов и получим вектор общего решения исходной системы: Сделаем проверку найденного решения следующим образом: Получаем нулевую матрицу-столбец:что показывает, что общее решение найдено верно.
5. Нахождение приближённого решения в виде матричного ряда Дадим определение матричному ряду и экспоненциальной функции матрицы. Матричные ряды. Рассмотрим бесконечную последовательность матриц , ,. Будем говорить, что последовательность матриц сходится к матрице А: , если при . Из определения нормы следует, что сходимость матриц эквивалентна поэлементной сходимости. Матричным рядом называется символ , причем говорят, что этот ряд сходится к сумме , если к f сходится последовательность частичных сумм Sk, где . Пусть , тогда можно определить степень матрицы А обычным образом: (k раз). Рассмотрим ряд, называемый степенным: , , , где по определению положим A0 = E . Экспоненциальная функция матрицы. В качестве примера рассмотрим степенной ряд, равный: . Так как радиус сходимости соответствующего числового ряда Равен бесконечности, то ряд сходится при всех А. Сумма ряда называется экспоненциальной функцией (экспонентой) и обозначается через еА, если ехр{А}. Приближенно вектор решений можно найти как произведение матричного ряда: и вектора начальных условий y0=. Формула является матричной задачей Коши в приближенном виде. Экспонентой матрицы А называется сумма ряда где Е – единичная матрица. Матрица является решением матричной задачи Коши: т.е. является фундаментальной матрицей системы. Найдем разложение матричного ряда последовательно по семи, восьми и десяти первым членам. для получения разложения по 7 первым членам (аналогично по 8,10 и 10). Результатом будет являться матрица 4 4. Полученные матрицы умножаем на вектор начальных условий S= и получаем приближенное решение в виде матричного ряда. При увеличении членов разложения ряда вектор приближенных решений будет стремиться к вектору точных решений. Этот факт можно наблюдать, графически сравнивая изображение точного и приближенного решений (см. приложение). Умножим на соответствующий вектор начальных условий и получим приближенное решение в виде матричного ряда, запишем полученное решение для =7. [s1 ≔ 1, s2 ≔ 2, s3 ≔ 3, s4 ≔ 4] 6. Построение общего решения матричным методом Матричный метод решения системы уравнений (1) основан на непосредственном отыскании фундаментальной матрицы этой системы. Экспонентой eA матрицы А называется сумма ряда где Е – единичная матрица. Свойство матричной экспоненты: а) если АВ=ВА, то еА В=еА еВ= еВ еА; б) если А=S-1 B S, то еА=S-1 eB S, где матрица S – это матрица преобразования переменных из собственного базиса в базис исходных переменных. в) матрица y( )=eA является решением матричной задачи Коши: т.е. является фундаментальной матрицей системы (1). Из свойства в) следует, что решение y( ) системы (1) удовлетворяющее условию y(0)=y0, определяется выражением y( )=eA y0. Таким образом, задача нахождения решений системы уравнений (1) эквивалентна задачи отыскания матрицы eA по матрице А. Для вычисления матрицы eA удобно представить матрицу А в виде:,где матрица S – это матрица преобразования переменных из собственного базиса в базис исходных переменных, а BА – жорданова форма матрицы А, т.к. eA = S-1 eB S. Жорданова форма матрицы зависит от вида характеристических чисел.
Параметр extra_argument задает класс решаемых уравнений. Отметим основные значения этого параметра: • exact — аналитическое решение (принято по умолчанию); • explicit — решение в явном виде; • system — решение системы дифференциальных уравнений; • ICs — решение системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями; • formal series — решение в форме степенного многочлена; • integral transform — решение на основе интегральных преобразований Лапласа, Фурье и др.; • series — решение в виде ряда с порядком, указываемым значением переменной Order; • numeric — решение в численном виде. Возможны и другие опции, подробное описание которых выходит за рамки данной книги. Его можно найти в справке по этой функции, вызываемой командой ?dsolve. Для решения задачи Коши в параметры dsolve надо включать начальные условия, а при решении краевых задач — краевые условия. Если Maple способна найти решение при числе начальных или краевых условий меньше порядка системы, то в решении будут появляться неопределенные константы вида _С1, _С2 и т.д
2. Система переработки информации и ее связь с принятием решений
3. Лабораторная работа №5 по "Основам теории систем" (Транспортные задачи линейного программирования)
5. Исследование линейных и нелинейных систем управления
9. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами
10. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
11. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта
12. Поиск решений системы линейных уравнений методом Гаусса
13. Разработка программы решения системы линейных уравнений
14. Решение системы линейных уравнений
15. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
16. Численные методы решения систем линейных уравнений
Планшетик "Маленький всезнайка". 
Свечи чайные в гильзе (100 штук). 
Карандаши цветные "Космос", 36 цветов. 17. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений
18. Решение произвольных систем линейных уравнений
20. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
25. Решение задач линейного программирования
26. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом
27. Проект создания системы поддержки принятия решений оперативно-дежурной службы милиции
28. Решение обратных задач теплопроводности для элементов конструкций простой геометрической формы
29. Содержание и формы управленческих решений
30. Системы поддержки и принятия решений
31. Линейное программирование: постановка задач и графическое решение
Магнитная азбука "Где Ёж?". 
Плюшевый мяч с термопринтом "FIFA 2018", красно-синий, 17 см. 
Фоторамка (коллаж) на 4 фото (10х15 см), 18x2x55 см. 33. Роль систем отображения информации в процессе принятия решений
35. Система принятия верных решений
36. Решение обратных задач теплопроводности для элементов конструкций простой геометрическо формы
41. Принятие решений в экологической геоинформационной системе на основе нечеткой модели классификации
42. Создание систем поддержки принятия решений
43. Системы IVR: проблемы и решения
44. Обработка и анализ информационных потоков: системы поддержки принятия решений
45. Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром
46. Обработка информации и принятие решения в системах ближней локации
47. Программное обеспечение системы принятия решений адаптивного робота
Батут. 
Кружка-хамелеон "Разогрей Звезду". 
Пенка для купания малышей "Arau Baby", 400 мл. 49. Решение задач линейного программирования
50. Решение задачи линейного программирования графическим методом
51. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона
52. Решение транспортной задачи линейного программирования в среде MS Excel
57. Решение задачи линейного программирования симплексным методом
58. Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка
59. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений
64. Графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования
Шторка антимоскитная "Завитки" с магнитными замками (серая). 
Органайзер автомобильный "Stels" на спинку сиденья. 
Пакеты фасовочные в пластах, 18(+8)x35 см (1000 штук). 66. Решение оптимизационных управленческих задач на основе методов и моделей линейного программирования
67. Методы решения уравнений линейной регрессии
68. Применение линейного программирования для решения экономических задач (оптимизация прибыли)
73. Принятие управленческих решений
74. Задачи по семейному праву /условие-вопрос-решение/
75. Формы и системы заработной платы
76. Культура, природа, человек. Проблемы и пути их решения
77. Решение транспортной задачи методом потенциалов
79. Экспертные системы. Классификация экспертных систем. Разработка простейшей экспертной системы
80. По решению прикладных задач на языке FRED
Подгузники Huggies Elite Soft, (1), до 5 кг, 84 штуки. 
Фломастеры смываемые "Jungle", 24 цвета. 
Набор столовый детский "Антошка" (4 предмета). 81. Разработка программного обеспечения решения нелинейных уравнений
82. 10 задач с решениями программированием на Паскале
83. Графы. решение практических задач с использованием графов (С++)
89. Решение нелинейного уравнения методом касательных
90. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана
91. Методы и приемы решения задач
92. Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)
93. Решение транспортной задачи методом потенциалов
94. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
95. Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом
96. Метод Алексея Юрьевича Виноградова для решения краевых задач
Шар предсказаний, 12 см. 
Качели Фея "Чарли 3 в 1". 
Вожжи - страховка для ребенка Спортбэби "Комфорт". 97. Решение задач на построение сечений в многогранниках методом следов
98. Несколько способов решения одной геометрической задачи
99. Проблемы экологии. Возможные пути их решения
