Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Счётные множества

Совок №5.
Длина совка: 22 см. Цвет в ассортименте, без возможности выбора.
18 руб
Раздел: Совки
Забавная пачка "5000 дублей".
Юмор – настоящее богатство! Купюры в пачке выглядят совсем как настоящие, к тому же и банковской лентой перехвачены... Но вглядитесь
60 руб
Раздел: Прочее
Ручка "Шприц", желтая.
Необычная ручка в виде шприца. Состоит из пластикового корпуса с нанесением мерной шкалы. Внутри находится жидкость желтого цвета,
31 руб
Раздел: Оригинальные ручки

II.Определение 1.Пусть множество всех натуральных чисел ={1, 2, 3, . . .}, тогда всякое множество А эквивалентное множеству будет называться исчислимым, или счётным множеством. Таким образом, если множество А счетное, то между множеством А и множеством натуральных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие, или, как говорят, можно занумеровать элементы множества А, понимая под номером каждого элемента а ( А соответствующее ему при указанном соответствии натуральное число. Так же из определения счётного множества следует очевиднейший вывод, что все счётные множества эквивалентны между собой. Вот несколько примеров счётных множеств: А={1, 4, 9, 16, . . . , , . . .}; B={3, 6, 9, 12, . . . ,3 , . . . }; C={, . . . }; Теорема 1. Для того чтобы множество Х было счётным необходимо и достаточно, чтобы его можно было «перенумеровать», то есть представить в форме последовательности: Х={x, . . . } . Доказательство необходимости: Пусть множество Х счетное, то из определения счётного множества следует существование взаимно однозначного соответствия ( между множеством Х и множеством натуральных чисел . Достаточно обозначить через х, тот из элементов множества Х, который в соответствии с ( отвечает числу ,чтобы получить представление множества Х в форме ( ). Доказательство достаточности: Если множество Х представлено в форме ( ), то достаточно каждому его элементу х, соотнести индекс этого элемента, чтобы получить взаимно однозначного соответствия ( между множеством Х и множеством натуральных чисел , так что из определения счётного множества следует, что множество Х счётное. Следующая теорема даёт интересный пример счётного множества. Теорема 2. Рациональные числа R образуют счётное множество. Доказательство: Рассмотрим сначала рациональные неотрицательные числа. Расположим их в бесконечную таблицу следующим образом: в первую строчку поместим в порядке возрастания в целые числа 0, 1, 2, . . . ; во вторую – все положительные несократимые дроби со знаменателем 2, упорядоченные по величине числителя; вообще в -ую строчку, =1, 2, 3, , - все положительные рациональные числа, записывающиеся несократимой со знаменателем , упорядоченные по величине числителя. Очевидно, что каждое рациональное неотрицательное число попадёт на какое-то место в получившейся таблице; - 2 - 0. 1 2 3 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Занумеруем теперь элементы получившейся таблицы согласно следующей схеме (в кружочках стоят номера соответствующих элементов, стрелка указывает направление нумерации). . . . . . . . . . . . . . . . . . . В результате все рациональные неотрицательные числа оказываются занумерованными, то есть мы доказали, что они образуют счётное множество. Чтобы убедится, что и множество всех рациональных чисел также счётно, достаточно их записать в подобную же таблицу. Это можно сделать, например, поместив в написанную выше таблицу после каждого положительного рационального числа х в туже строчку число - х. 0. 1 -1 2 -2 . . . -. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Перенумеровав элементы таблицы тем же способом, что и выше, мы получили, что множество всех рациональных чисел является счётным множество.

III. Сформулируем и докажем несколько теорем характеризующих счетные множества. - 3 - Теорема 3. Из всякого бесконечного множества Х можно выделить счетное множество Y. Доказательство: Пусть множество Х бесконечное множество. Выделим из множества Х произвольный элемент и обозначим его х1. Так множество Х бесконечно, то оно не исчерпывается выделение этого элемента х1. и мы можем выделить элемент х2 из оставшегося множества Х{ х1}. По тем же соображениям множество Х{ х1, х2} не пусто, и мы можем и из него выделить элемент х3. Ввиду бесконечности множества Х мы можем продолжать этот процесс неограниченно, в результате чего получим последовательность выделенных элементов х1, х2, х3, . . . , х , . . . , которая и образует искомое подмножество Y множества Х. Данная теорема может натолкнуть на интересный вопрос. А в свою очередь можно ли из счётного множества выделить бесконечное подмножество, которое было так же счётным? На этот вопрос отвечает следующая теорема. Теорема 4. Всякое бесконечное подмножество счётного множества так же является счётным множеством. Доказательство: Пусть множество Х счётное множество, а множество Y его бесконечное подмножество. Следовательно, множество Х может быть представлено в виде Х={а1, а2, а3, . . . , а ,. . .}. Будем перебирать один за другим элементы множество Х в порядке их номеров, при этом мы время от времени будем встречать элементы множества Y, и каждый из элементов множества Y рано или поздно встретится нам. Соотнося каждому элементу множества Y номер «встречи» с ним, мы перенумеруем множество Y, причём в силу бесконечности его, нам придется на эту нумерацию израсходовать все натуральные числа. Следовательно, множество Y является счётным множеством. Приведем пример непосредственно относящийся к этой теореме. Пример: Множество Х={1, } как известно, является счётным множеством, а так как множество Y={} является подмножеством множества Х, то по доказанной выше теоремы 3, множество Y так же является счётным. Из выше изложенной теоремы вытекает следующие следствие. Следствие: Если из счётного множества Х удалить конечное подмножество Y, то оставшееся множество ХY будет счётным множеством. IV. Теорема 5. Объединение конечного множества и счётного множества без общих элементов есть счётное множество. Доказательство: Пусть дано А={а1, а2, . . . , а } и В={b1, b2, b3, . . . }, причем А(В = О. Если множество С=А(В, то С можно представить в форме С={а1, а2, . . . , а , b1, b2, b3, . . . }, после чего становиться очевидной возможность перенумеровать множество, следовательно по теореме 1 получаем, что множество С счетно. - 4 - Теорема 6. Объединение конечного числа попарно не пересекающихся счётных множеств есть счётное множество. Доказательство: Проведем доказательство для случая объединения трёх множеств, из контекста будет ясна полная общность рассуждения. Пусть А, В, С три счётных множества: А={а1, а2, а3, . . .}, В={b1, b2, b3, . . . } и С={с1, с2, с3, . . .}. Тогда множество D = А(В(С можно представить в форме последовательности: D={а1, b1, c1, а2, b2, c2, а3, . . .}, и счётность множества D очевидна.

Теорема 7. Объединение счётного множества попарно не пересекающихся конечных множеств есть счётное множество. Доказательство: Пусть Аk (k=1, 2, 3, . . . ) суть попарно не пересекающихся конечных множеств: А1={}; А3={}; . . . . . . . . . . . . . . . Для того чтобы расположить объединение их С в форме последовательности, достаточно выписать подряд все элементы множества А1, а затем элементы множества А2 и так далее. Теорема 8. Объединение счётного множества попарно не пересекающихся счётных множеств есть счетное множество. Доказательство: Пусть множества Аk (k=1, 2, 3, . . .) попарно не пересекаются и счетные. Запишем эти множества следующим образом: А1={ . . . }; . . . . . . . . . . . . Если мы выпишем элемент у которых сумма верхнего и нижнего индексов равна 3, затем элементы у которых эта сумма равна 4, и так далее, то множество С= окажется представленной в форме последовательности: С = { . . . }, Откуда и следует счётность множества С. Замечание: Условие отсутствия общих элементов в теоремах 5-8 могло быть опущено. - 5 - V. Используя доказанные выше теорем можно привести другое доказательство теоремы 2 отличное от предыдущего. Доказательство теоремы 2: Множество дробей вида с данным знаменателем q, то есть множество . . . , очевидно счётное. Но знаменатель может принять также счётное множество натуральных значений 1, 2, 3, . . . . Значит в силу теоремы 8, множество дробей вида является счётным множеством; удаляя из него все сократимые дроби и применяя теорему 4, убеждаемся в счётности множества всех положительных рациональных чисел R . Так как множество R- отрицательных рациональных чисел очевидно эквивалентно множеству R , то счетным является и оно, а тогда счётно и множество R, ибо R= R {0}. Из теоремы 2 вытекает следующие очевидное следствие. Следствие. Множество рациональных чисел любого сегмента является счётным множеством. Сформулируем в виде теоремы еще один пример счётного множества. Теорема 9. Множество Р всех пар натуральных чисел является счетным множеством. Отступление: Под парой натуральных чисел понимают два натуральных числа данных в определённом порядке. Доказательство: Назовём высотою пары ( , m) натуральное число m. Очевидно, имеется ровно k-1 пар данной высоты k, где k>1, именно (1, k-1), (2, k-2), . . . , (k-1, 1). По этому обозначая через Рk множество всех пар высоты k, видим что множество Р есть объединение счётного множества конечных множеств Рk, а отсюда по теореме 7 получаем что множество Р является счётным множеством. Теорема 10 также даёт любопытный пример счетного множества. Теорема 10. Множество S всех конечных последовательностей, составленных из элементов данного счётного множества D, есть счётное множество. Доказательство: (посредствам полной математической индукции) Из предыдущей теоремы вытекает, что множество пар, составленных из элементов счётного множества D, есть счётное множество. Предположим, что доказана счётность множества Sm всех последовательностей, состоящих из m элементов данного счётного множества D. Докажем, что множество Sm 1 всех последовательностей, состоящих из m 1 элементов множества D также счётно.

Например, длина отрезка является Ф. м., определённой на классе всех отрезков на прямой (функцией отрезка).   Интеграл  при заданной интегрируемой функции j(x ) также является функцией отрезка — интервала интегрирования [a, b]. Рассматривают также функции от областей на плоскости или в пространстве. Например, при заданном распределении плотностей масса, заключённая в данной области W, является функцией этой области. Понятие функции области — более гибкий аппарат для описания физических явлений, чем понятие функции точки, т.к. позволяет учитывать случаи, когда плотность физических величин в отдельных точках бесконечна (точечные источники и т.д.). Кроме того, это понятие более отвечает условиям физического эксперимента (при котором наблюдается не функция точки, а среднее от этой функции по некоторой малой области).   Понятие Ф. м. получило развитие в связи с построением теории интеграла Лебега, в которой приходится рассматривать не только функции от областей, но и функции от произвольных измеримых множеств. Одним из первых примеров такой Ф. м. является мера Лебега m(Е ) измеримого множества Е (см. Мера множества ). Эта Ф. м. вполне аддитивна, т. е. мера суммы любой конечной или счётной совокупности непересекающихся измеримых множеств есть сумма мер этих множеств

1. Счётные множества

2. Множество преступлений в современном уголовном праве

3. Об основаниях теории множеств

4. Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности

5. Аксиоматика теории множеств

6. Применение теории нечетких множеств к финансовому анализу предприятий
7. Франция с множеством лиц
8. Множества

9. Элементы теории множеств

10. Правовой статус Счётной Палаты Российской Федерации

11. Алгоритмические языки: использование множеств

12. ЛИСП-реализация основных операций над нечеткими множествами

13. Определение связанного множества пикселей на бинарном изображении

14. Графы и частично упорядоченные множества

15. Основные понятия алгебры множеств


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.