Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Комплексные числа: их прошлое и настоящее

Совок большой.
Длина 21,5 см. Расцветка в ассортименте, без возможности выбора.
21 руб
Раздел: Совки
Гуашь "Классика", 12 цветов.
Гуашевые краски изготавливаются на основе натуральных компонентов и высококачестсвенных пигментов с добавлением консервантов, не
170 руб
Раздел: 7 и более цветов
Браслет светоотражающий, самофиксирующийся, желтый.
Изготовлены из влагостойкого и грязестойкого материала, сохраняющего свои свойства в любых погодных условиях. Легкость крепления позволяет
66 руб
Раздел: Прочее

& bsp; & bsp; & bsp; & bsp; & bsp; & bsp; & bsp; & bsp; & bsp; & bsp; & bsp; & bsp; & bsp; Комплексные числа, их прошлое и настоящее. & bsp; & bsp; Содержание. & bsp; Введение. Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики. Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл.                              Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы. Операция сопряжения и ее свойства. Извлечение корней. Геометрический смысл алгебраических операций. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней. Формула Кердано. Метод Феррари для уравнения 4-ой степени. Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел. Заключение. Литература. I.& bsp;& bsp;& bsp;& bsp; Введение. Алгебраические уравнения с одним неизвестным и связанные с ними вопросы в нахождении решений относятся к числу наиболее важных в школьной программе. В общем виде в средней школе изучаются лишь уравнения 1-ой степени (линейные) и уравнения 2-ой степени (квадратные), поскольку для таких уравнений существуют простые формулы, выражающие корни уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней. Именно, если дано: (α) Линейное уравнение ax b=0, где а≠0, то x=-b/a – единственный корень; (β) Квадратное уравнение ax bx c=0, где a,b,c – действительные числа, a≠0, то x=-b±√b∙b-4ac/2a; при этом число корней зависит от величины D = b2 – 4ac, называемой дискриминантом квадратного уравнения, а именно: При D&g ;0 – два действительных корня, D=0 – один двукратный корень (или, что то же, два совпадающих корня), D&l ;0 – нет действительных корней. Из уравнений более высоких степеней в школьном курсе алгебры рассматриваются лишь некоторые частные их типы – трехчленные (например, биквадратные), симметрические, Однако никаких методов для решения произвольных уравнений 3-ей и 4-ой степени (хотя соответствующие формулы известны), в школьной алгебре не дается, т.к. эти методы существенно опираются на теорию комплексных чисел. Цель данного реферата состоит в том, чтобы ознакомить учащихся средних школ с важнейшим и новым для них математическим понятием – понятием комплексного числа, а также показать, насколько эффективно его применение при решении некоторых задач, в том числе и в первую очередь, при решении кубичных уравнений. II.& bsp; Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики. Комплексные числа возникли в математике в начале XVI века в связи с решением алгебраических уравнений 3-ей степени, а позднее, и уравнений 2-ой степени. Некоторые итальянские математики того времени (- Сципион дель Ферро, Николо Тарталья, Джироломо Кардано, Рафаэль Бомбелли) ввели в рассмотрение символ √-1 как формальное решение уравнения х2 1=0, а также выражение более общего вида (а b∙√-1)  для записи решения уравнения (х-а)2 b2=0. Впоследствии выражения вида (а b∙√-1)  стали называть «мнимыми», а затем «комплексными» числами и записывать их в виде (а bi) (символ i для обозначения √-1 ввел Леонард Эйлер в XVIII в.)

. Этих чисел, чисел новой природы оказалось достаточно для решения любого квадратного уравнения (включая случай D &l ; 0), а также уравнения 3-ей и 4-ой степени. МатематикиXVI в. и следующих поколений вплоть до начала XIXвека относились к комплексным числам с явным недоверием и предубеждением. Они считали эти числа «мнимыми» (Декарт), «несуществующими», «вымышленными», «возникшими от избыточного мудрствования» (Кардано) Лейбниц называл эти числа «изящным и чудесным убежищем божественного духа», а √-1 считал символом потустороннего мира (и даже завещал начертать его на своей могиле). Однако использование аппарата комплексных чисел (несмотря на подозрительное к ним отношение), позволило решить многие трудные задачи. Поэтому со временем комплексные числа занимали все более важное положение в математике и ее приложениях. В первую очередь они глубоко проникали в теорию алгебраических уравнений, существенно упростив их изучение. Например, один из трудных вопросов для математиков XVII-XVIII веков состоял в определении числа корней алгебраического уравнения -ой степени, т.е. уравнения вида a0∙x a1∙x -1 a -1∙x a =0. Ответ на этот вопрос, как оказалось, зависит от того, среди каких чисел – действительных или комплексных – следует искать корни этого уравнения. Если ограничиться действительными корнями, то можно лишь утверждать, что их не больше, чем . А если считать допустимым наличие и комплексных решений, то ответ на поставленный вопрос получается исчерпывающий: любое алгебраическое уравнение степени ( ≥1) имеет ровно корней (действительных или комплексных), если каждый корень считать столько раз, какова его кратность (а это – число  совпадающих с ним корней). При ≥5 общее алгебраическое уравнение степени неразрешимо в радикалах, т.е. не существует формулы, выражающей его корни через коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней натуральной степени. После того как в XIX в появилось наглядное геометрическое изображение комплексных чисел с помощью точек плоскости и векторов на плоскости (Гаусс в 1831 г, Вессель в 1799 г, Арган в 1806 г), стало возможным сводить к комплексным числам и уравнениям для них многие задачи естествознания, особенно гидро- и аэродинамики, электротехники, теории упругости и прочности, а также геодезии и картографии. С этого времени существование «мнимых», или комплексных чисел стало общепризнанным фактом и они получили такое же реальное содержание, как и  числа действительные. К настоящему времени изучение комплексных чисел развилось в важнейший раздел современной математики – теорию функций комплексного переменного (ТФКП). & bsp; III/ Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл. & bsp; Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами. Логически строгую теорию комплексных чисел построил в XIX в (1835 г) ирландский математик Вильям Роумен Гамильтон. По Гамильтону комплексные числа – это упорядоченные пары  z=(x,y) действительных чисел, для которых следующим образом определены операции сложения и умножения: (x1,y1) (x2,y2)=(x1 x2, y1 y2);    (1) (x1,y1)∙(x2,y2)=(x1∙x2 – yiy2, xiy2 x2y1). 

   (2) Действительные числа x и y называются при этом действительной и мнимой частями комплексного числа z=(x,y) и обозначаются символами Rez и Imz соответственно (real – действительный, ima gi erum – мнимый). Два комплексных числа z1=(x1,y1) и z2=(x2,y2)  называются равными только в том случае, когда x1=x2 и y1=y2. Из определения следует, что всякое комплексное число (x,y) может быть представлено в следующем виде: (x,y)=(x,0) (0,1)(y,0).                  (3) Числа вида (х,0) отождествляются с действительными числами х, т.е. (х,0)=х, число (0,1), называемое мнимой единицей, обозначается символом i, т.е. (0,1)=i, причем i2=-1, равенство (3) принимает вид  z=x iy  и называется алгебраической формой записи комплексного числа z=(x,y). Операции сложения и умножения комплексных чисел имеют следующие свойства: а) z1 z2=z2 z1 (переместительный закон или коммутативность сложения и умножения) б) z1z2=z2z1 в) z1 (z2 z3)=(z1 z2) z3 (сочетательный закон или ассоциативность) г) z1(z2z3)=(z1z2)z3 д) (z1 z2)z3=z1z3 z2z3 (распределительный закон или дистрибутивность) Вычитание и деление комплексных чисел z1=x1 iy1 и z2=x2 iy2 определяют, причем однозначно, их разность z1-z2 и частное z1/z2 как решения соответствующих уравнений z z2=z1 и zz2=z1 (при z2≠0). Отсюда следует, что разность и частное от деления z1 на z2 вычисляются по формулам: z1-z2=(x1-x2) i(y1-y2),       (4) z1/z2=(x1x2 y1y2)/(x22 y22) i((y1x2-x1y2)/(x22 y22))       (5) Данное определение можно выразить в других терминах, а именно, вычитание – как действие, обратное сложению: z=z1 (-z2), где число  (-z2) называется противоположным z2; деление – как действие, обратное умножению: z=z1(z2-1), где z2-1 – число, обратное для z2 (z2≠0). Таким образом, анализ определений и свойств арифметических операций над комплексными числами приводит к следующим выводам: - множество комплексных чисел (С) является расширением множества R действительных чисел, т.е. действительные числа содержатся как частный случай, среди комплексных (точно так же как, например, целые числа содержатся среди действительных); - комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить по правилам, которым подчиняются действительные числа, заменяя в итоге (или в процессе вычислений) i2=-1.      2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы. Замечание. Понятия «больше» или «меньше» для комплексных чисел лишено смысла (не принято никакого соглашения). Если на плоскости введена декартова система координат 0xy, то всякому комплексному числу z=x iy может быть поставлена в соответствие некоторая точка М(х,у) с абсциссой «х» и ординатой «у», а также радиус – вектор 0М. При этом говорят, что точка М(х,у) (или радиус – вектор 0М) изображает комплексное число z=x iy. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа называется комплексной плоскостью, ось 0у – мнимой осью. Число r=√x2 y2­, равное длине вектора, изображающего комплексное число, т.е. расстоянию от начала координат до изображающей это число точки, называется модулем комплексного числа z=x iy и обозначается символом z .

Коран объясняет это следующими словами: «И вот сказал Господь твой ангелам: „Я установлю на земле наместника“. Они спросили: „Разве Ты установишь на ней того, кто будет там производить нечестие и проливать кровь, в то время как мы возносим хвалу Тебе и святим Тебя?“ Он ответил: „Поистине, Мы знаем то, чего вы не знаете!“ И Он научил Адама именам всех вещей, а потом предложил эти вещи ангелам и сказал: „Сообщите Мне имена их, если вы правдивы“. Они ответили: „Хвала Тебе! Мы знаем только то, чему Ты нас научил. Поистине, Ты — знающий, мудрый!“ Он сказал: „О Адам, сообщи им имена их!“ И когда Адам пришел, он сообщил им имена их». Каждое имя открывает для видящего прошлое, настоящее и будущее той вещи, что за именем скрыта. Имя говорит нам не только о форме, но и о характере. Смысл имени играет важную роль в человеческой жизни: гласные и согласные звуки в имени, ритм, природа букв, составляющих его, мистические числа, символ и планета, а также корень, из которого оно получено, и эффект, который оно производит, — все это раскрывает свою тайну для видящего

1. Комплексные числа и действия с ними (Доклад)

2. Комплексные числа

3. Комплексные числа

4. Российское государство: прошлое, настоящее, будущее

5. Прошлое, настоящее и будущее в цикле «На поле Куликовом» А. Блока

6. Прошлое, настоящее, и будущее в пьесе А.П. Чехова "Вишневый сад"
7. Комплексные числа
8. Комплексные числа

9. Комплексные числа

10. Комплексные числа

11. Земля как планета - прошлое, настоящее, будущее

12. Прошлое, настоящее и будущее российской национальной валюты

13. Реализация класса для работы с комплексными числами

14. Комплексные числа (избранные задачи)

15. Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

16. Социальная психология - прошлое, настоящее и будущее

Бусы-прорезыватели "Черничный мусс".
Детские бусы-прорезыватели "Черничный мусс" из серии "Мамины помощники" предназначены для малышей, у которых начинают
380 руб
Раздел: Пластмассовые
Бумажные двухслойные салфетки "Ellemoi", 200 штук (спайка 5 пачек).
Мягкие двухслойные бумажные салфетки для рук и лица, изготовленные из натуральных волокон древесной целлюлозы, в тонкой легко упаковке.
397 руб
Раздел: Бумажные салфетки
Папка для чертежей "Вишенки", А3.
Папка для чертежей и рисунков, с ручками. Формат: А3. Материал: пластик. Застежка: на молнии.
350 руб
Раздел: Папки-портфели, папки с наполнением

17. Изменение газового состава атмосферы в прошлом и настоящем

18. Прошлое и настоящее в германском эпосе

19. Причины вымирания животных и растений в прошлом и настоящем

20. Политическая преступность в России: прошлое и настоящее

21. Нам в настоящем надо знать прошлое, чтобы жить в будущем

22. Новый завет - прошлое и настоящее
23. Русская идея: прошлое и настоящее (концепция евразийства)
24. Валютный рубль: прошлое и настоящее

25. Прошлое и настоящее тоталитарного режима

26. Цензура в России: прошлое и настоящее

27. Косы в настоящем, прошлом и будущем

28. Гимназическое образование: прошлое и настоящее

29. Мифология: прошлое и настоящее

30. Роль русского населения в структуре Северного Кавказа: прошлое и настоящее

31. Введение в специальность («комплексная реконструкция и эксплуатация зданий и сооружений»)

32. Настоящее и будущее биосенсоров

Штора для ванной комнаты (арт. RPE-730020).
Размер: 200х200 см. Материал: полиэстер. В комплекте 12 крючков.
375 руб
Раздел: Занавески
Настольная игра "Имаджинариум. Детство".
О настольной игре «Имаджинариум. Детство» Настольная игра, в которой надо придумывать ассоциации к картинкам и пытаться разгадать чужие
1750 руб
Раздел: Классические игры
Набор ручек капиллярных STABILO point 88, 6 ручек.
В наборе 6 ручек, цвет: голубой, красный, синий, черный, фиолетовый, сиреневый. Великолепное качество и функциональность капиллярных ручек
368 руб
Раздел: Капиллярные

33. Аргентина. Комплексная экономико-географическая характеристика

34. Комплексная характеристика Словении

35. Методы комплексной оценки хозяйственно-финансовой деятельности

36. Цена сыновьего предательства. По повести Ф. Абрамова "Поездка в прошлое"

37. Опускаясь в смысл былого, познаем смысл настоящего и будущего (по материалам "Слова о полку Игореве"и современным исследованиям политологов)

38. Набор процедур манипулирования с целыми числами произвольной длины
39. Выбор программного средства для комплексной автоматизации работы офиса
40. Число как основное понятие математики

41. Решение уравнений в целых числах

42. Практика перевода числа из одной системы счисления в другую + блок-схема алгоритма определения наименьшего числа

43. Число как сущее

44. Комплексное исследование глобальных экологических проблем: от понятийного аппарата до модельных построений

45. Комплексный подход к преодолению заикания

46. Комплексный дипломный проект: Проект участка по производству технологических приспособлений для электромеханического восстановления и укрепления поверхностного слоя деталей машин. Винтовые поверхности

47. Комплексная механизация и автоматизация

48. Соотношение слова и изображения в комплексном аудиолингвовизуальном сообщении

Универсальная вкладка для дорожных горшков (оранжевый).
Вкладка для дорожных горшков подойдет для любого дорожного горшка, она хорошо ложится на сиденье, обеспечивая комфорт и удобство в
660 руб
Раздел: Прочие
Конструктор "Зоопарк" (39 деталей).
Конструктор «Зоопарк» относится к тематическим наборам для конструирования, так как включает в себя не только детали для конструирования
561 руб
Раздел: Деревянные конструкторы
Бумага "Снегурочка", для ксерокса, А3.
Формат - А3. 80 грамм, 97%, 500 листов.
533 руб
Раздел: Формата А3 и больше

49. Разработка программно-методического комплекса для анализа линейных эквивалентных схем в частотной области /для числа узлов <=500/

50. Синтез управляющего автомата операции умножения младшими разрядами вперед со сдвигом множимого над числами в форме с фиксированной точкой в формате {1,8} для автомата Мура

51. Комплексная механизация откормочной фермы КРС на 2000 голов

52. Путешествие в прошлое и будущее. Возможно ли это?

53. Комплексное исследование глобальных экологических проблем: от понятийного аппарата до модельных построений

54. Комплексное задание по курсу ОПГЗ
55. Числа Фибоначчи: технический анализ
56. Прошлое и будущее высокопроизводительных вычислений

57. Ценность прошлого: этноцентристские исторические мифы, идентичность и этнополитика

58. Телефоны прошлых лет

59. Комплексный обед

60. Настоящие охотники за мумиями

61. Суждения Н.А. Бердяева о «русском культурном ренессансе» и настоящее значение этого термина

62. «Настоящую нежность не спутаешь...» (любовь в лирике А. А. Ахматовой)

63. «Кто сказал тебе, что нет на свете настоящей, верной, вечной любви?..» (по роману М. А. Булгакова «Мастер н Маргарита»)

64. Настоящее и будущее России в произведениях Н.А.Некрасова.

Набор посуды керамической "Леди Баг", 3 предмета (в подарочной упаковке).
Оригинальный набор керамической посуды из трех предметов (тарелка, миска и кружка) с изображением любимых героев – прекрасный подарок для
547 руб
Раздел: Наборы для кормления
Бальзам для стирки спортивной одежды Domal "Sport Fashion", 750 мл.
Бальзам для стирки спортивной одежды Domal "Sport Fashion" можно использовать как самостоятельное средство для стирки спортивной
331 руб
Раздел: Гели, концентраты
Сиденье в ванну раздвижное пластиковое.
Сиденье предназначено для принятия гигиенических процедур, используется как санитарно-гигиеническое приспособление, не предназначенное для
437 руб
Раздел: Решетки, сиденья для ванны

65. Представление о настоящей жизни в романе Толстого "Война и мир"

66. Рецензия на повесть Ф. А. Абрамова «Поездка в прошлое»

67. Комплексное исследование рынка сотовой связи на примере

68. Настоящая теория чисел

69. Числа, которые преобразили мир

70. Дуальные числа
71. Мнимые числа
72. Индексные числа

73. Быстрые вычисления с целыми числами и полиномами

74. Простые числа Мерсенна. Совершенные числа

75. Широкополосное согласование комплексных нагрузок на основе теории связанных контуров

76. Числа в пространстве

77. Целая и дробная части действительного числа

78. Комплексное лечение квантовой и электромагнитной терапией

79. Увеличение числа заболеваний вызванных курением

80. Раменки - былое, настоящее и перспективное будущее

Статуэтка "Мальчик на лошадке", 10 см.
Материал: фарфор. Регулярно удалять пыль или мыть тёплой водой. Товар не подлежит обязательной сертификации.
436 руб
Раздел: Миниатюры
Точилка "Eagle", синяя.
Работает от батареек 4 батарейки размера АА. Безопасна в использовании. Подходит для карандашей до 8 мм в диаметре. Стальное лезвие. В
325 руб
Раздел: Точилки
Ручка-стилус шариковая "Самый лучший!".
Перед Вами готовый подарок в стильной упаковке — шариковая ручка со стилусом. Она имеет прочный металлический корпус, а надпись нанесена с
415 руб
Раздел: Металлические ручки

81. Спортивная Москва прошлых лет

82. Домодедовская земля в историческом прошлом

83. Эффективность комплексного применения методов неразрушающего контроля

84. Cпособы преобразования комплексного чертежа, применение при изображении предметов

85. Комплексный проект урока

86. Комплексный проект урока
87. Информационное право как комплексная отрасль российского права
88. Настоящий контакт

89. Значение комплексного методического обеспечения в процессе профессиональной подготовки студентов

90. Комплексный подход к использованию информационных технологий в школе

91. Основы комплексной автоматизации и проектирования ЭВМ

92. Комплексное решение в стратегии завоевания клиента

93. Число зверя 666

94. Комплексный подход и системно-функциональный анализ в социологии

95. Моделирование содержания и структуры тренировочного процесса (в том числе средств, методов и динамики нагрузок)

96. Особенности влияния комплексных занятий гимнастикой и плаванием с оздоровительной направленностью

Ручка-стилус шариковая сувенирная "Николай".
Перед Вами готовый подарок в стильной упаковке — шариковая ручка со стилусом. Она имеет прочный металлический корпус, а именная надпись
415 руб
Раздел: Металлические ручки
Глобус "Двойная карта", рельефный, диаметром 320 мм, с подсветкой.
Диаметр: 320 мм. Масштаб: 1:40000000. Материал подставки: пластик. Цвет подставки: черный. Мощность: 220 V, может использоваться в
1290 руб
Раздел: Глобусы
Коробка подарочная "Апрельский Париж".
Коробка подарочная. Материал: мелованный, ламинированный, негофрированный картон плотностью 1100 г/м2. Отделка: полноцветный декоративный
326 руб
Раздел: Коробки

97. Повышение скоростно-силовых возможностей велосипедистов-шоссейников с помощью нового комплексного биостимулятора

98. Особенности влияния комплексных занятий гимнастикой и плаванием с оздоровительной направленностью

99. Число и личность: Поджо Браччолини


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.