Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Метод математической индукции

Чашка "Неваляшка".
Ваши дети во время приёма пищи вечно проливают что-то на ковёр и пол, пачкают руки, а Вы потом тратите уйму времени на выведение пятен с
222 руб
Раздел: Тарелки
Мыло металлическое "Ликвидатор".
Мыло для рук «Ликвидатор» уничтожает стойкие и трудно выводимые запахи за счёт особой реакции металла с вызывающими их элементами.
197 руб
Раздел: Ванная
Совок большой.
Длина 21,5 см. Расцветка в ассортименте, без возможности выбора.
21 руб
Раздел: Совки

Брянский Городской Лицей №1 Исследовательская работа на тему: Метод Математической Индукции Выполнил Мелешко Константин ученик 10 физико-математического Брянского Городского Лицея №1 Проверил Тюкачева Ольга Ивановна -2003- Содержание исследовательской работы Содержание 2 Введение 3Основная часть Полная и неполная индукция 3-4 Принцип математической индукции 4-5 Метод математической индукции 6Решение Методом Математической Индукции К задачам на суммирование 7 К задачам на доказательство неравенств 8 К задачам на делимость 11 К задачам на доказательство тождеств 12 К другим задачам 13 Заключение 16 Список использованной литературы 17 Введение Слово индукция по-русски означает наведение, а индуктивными называют выводы, сделанные на основе наблюдений, опытов, т.е. полученные путем заключения от частного к общему. Роль индуктивных выводов в экспериментальных науках очень велика. Они дают те положения, из которых потом путем дедукции делаются дальнейшие умозаключения. И хотя теоретическая механика основывается на трех законах движения Ньютона, сами эти законы явились результатом глубокого продумывания опытных данных, в частности законов Кеплера движения планет, выведенных им при обработке многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге. Наблюдение, индукция оказываются полезными и в дальнейшем для уточнения сделанных предположений. После опытов Майкельсона по измерению скорости света в движущейся среде оказалось необходимым уточнить законы физики, создать теорию относительности. В математике роль индукции в значительной степени состоит в том, что она лежит в основе выбираемой аксиоматики. После того как длительная практика показала, что прямой путь всегда короче кривого или ломанного, естественно было сформулировать аксиому: для любых трех точек А, В и С выполняется неравенство . Лежащее в основе арифметики понятие «следовать за» тоже появилось при наблюдениях за строем солдат, кораблей и другими упорядоченными множествами. Не следует, однако, думать, что этим исчерпывается роль индукции в математике. Разумеется, мы не должны экспериментально проверять теоремы, логически выведенные из аксиом: если при выводе не было сделано логических ошибок, то они постольку верны, поскольку истинны принятые нами аксиомы. Но из данной системы аксиом можно вывести очень много утверждений. И отбор тех утверждений, которые надо доказывать, вновь подсказывается индукцией. Именно она позволяет отделить полезные теоремы от бесполезных, указывает, какие теоремы могут оказаться верными, и даже помогает наметить путь доказательства. Суть Математической Индукции Покажем на примере использование Метода Математической Индукции и в конце сделаем обобщающий вывод. Пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число в пределах 4 < < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения: 4=2 2; 6=3 3; 8=5 3; 10=7 3; 12=7 5; 14=7 7; 16=11 5; 18=13 5; 20=13 7. Эти девять равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представляется в виде суммы двух простых слагаемых.

Таким образом, полная индукция заключается в том, что общее утверждение доказывается по отдельности в каждом из конечного числа возможных случаев. Иногда общий результат удаётся предугадать после рассмотрения не всех, а достаточно большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция). Результат, полученный неполной индукцией, остается, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Иными словами, неполная индукция в математике не считается законным методом строгого доказательства, но является мощным методом открытия новых истин. Пусть, например, требуется найти сумму первых последовательных нечётных чисел. Рассмотрим частные случаи: 1=1=12 1 3=4=22 1 3 5=9=32 1 3 5 7=16=42 1 3 5 7 9=25=52 После рассмотрения этих нескольких частных случаев напрашивается следующий общий вывод: 1 3 5 (2 -1)= 2 т.е. сумма первых последовательных нечётных чисел равна 2 Разумеется, сделанное наблюдение ещё не может служить доказательством справедливости при- ведённой формулы. Полная индукция имеет в математике лишь ограниченное применение. Многие интересные математические утверждения охватывают бесконечное число частных случаев, а провести проверку для бесконечного числа случаев мы не в состоянии. Неполная же индукция часто приводит к ошибочным результатам. Во многих случаях выход из такого рода затруднений заключается в обращении к особому методу рассуждений, называемому методом математической индукции. Он заключается в следующем. Пусть нужно доказать справедливость некоторого утверждения для любого натурального числа (например нужно доказать, что сумма первых нечётных чисел равна 2). Непосредственная проверка этого утверждения для каждого значения невозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Чтобы доказать это утверждение, проверяют сначала его справедливость для =1. Затем доказывают, что при любом натуральном значении k из справедливости рассматриваемого утверждения при =k вытекает его справедливость и при =k 1. Тогда утверждение считается доказанным для всех . В самом деле, утверждение справедливо при =1. Но тогда оно справедливо и для следующего числа =1 1=2. Из справедливости утверждения для =2 вытекает его справедливость для =2 1=3. Отсюда следует справедливость утверждения для =4 и т.д. Ясно, что, в конце концов, мы дойдём до любого натурального числа . Значит, утверждение верно для любого . Обобщая сказанное, сформулируем следующий общий принцип. Принцип математической индукции. Если предложение А( ), зависящее от натурального числа , истинно для =1 и из того, что оно истинно для =k (где k-любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа =k 1, то предположение А( ) истинно для любого натурального числа .В ряде случаев бывает нужно доказать справедливость некоторого утверждения не для всех натуральных чисел, а лишь для > p, где p- фиксированное натуральное число. В этом случае принцип математической индукции формулируется следующим образом. Если предложение А( ) истинно при =p и если А(k)(А(k 1) для любого k>p, то предложение А( ) истинно для любого >p.

Доказательство по методу математической индукции проводиться следующим образом. Сначала доказываемое утверждение проверяется для =1, т.е. устанавливается истинность высказывания А(1). Эту часть доказательства называют базисом индукции. Затем следует часть доказательства, называемая индукционным шагом. В этой части доказывают справедливость утверждения для =k 1 в предположении справедливости утверждения для =k (предположение индукции), т.е. доказывают, что А(k)(A(k 1). Применение метода математической индукции в задачах на суммированиеПрименение метода математической индукции в задачах на суммированиеПример: Доказать, что 1 x2 x3 x4 . x = , следовательно, при =1 формула верна. Пусть k- любое натуральное число и пусть формула верна при =k, т.е. . Значит, по принципу математической индукции формула верна для любого натурального . Примеры применения метода математической индукции к доказательству неравенств. Доказать, что при любом натуральном >1 . Решение. Обозначим левую часть неравенства через , следовательно, при =2 неравенство справедливо. Пусть . Имеем , т.е. . При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна. Поэтому . Пример 2. Найти ошибку в рассуждении. Утверждение. При любом натуральном справедливо неравенство . Доказательство. Пусть неравенство справедливо при =k, где k – некоторое натуральное число, т.е. . (1) Докажем, что тогда неравенство справедливо и при =k 1, т.е. не меньше 2 при любом натуральном k. Прибавим к левой части неравенства (1) , а к правой 2. Получим справедливое неравенство . Утверждение доказано. Пример 3. Доказать, что , – натуральное число, большее 1. Решение. При =2 неравенство справедливо, так как . Пусть неравенство справедливо при =k, где k – некоторое натуральное число, т.е. . (1) Покажем, что тогда неравенство справедливо и при =k 1, т.е. , поэтому справедливо неравенство , (3) полученное из неравенства (1) умножением каждой части его на . Отбросив в правой части последнего неравенства положительное слагаемое , получим справедливое неравенство (2). Пример 4. Доказать, что , – натуральное число, большее 1. Решение. При =2 неравенство (1) принимает вид , то справедливо неравенство . (3) Прибавив к каждой части неравенства (3) по , получим неравенство (2). Этим доказано, что при =2 неравенство (1) справедливо. Пусть неравенство (1) справедливо при =k, где k – некоторое натуральное число, т.е. . (4) Докажем, что тогда неравенство (1) должно быть справедливо и при =k 1, т.е. (5) Умножим обе части неравенства (4) на a b. Так как, по условию, , то получаем следующее справедливое неравенство: . (6) Для того чтобы доказать справедливость неравенства (5), достаточно показать, что . (8) Неравенство (8) равносильно неравенству , и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух положительных чисел. Если , и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух отрицательных чисел. В обоих случаях неравенство (9) справедливо. Этим доказано, что из справедливости неравенства (1) при =k следует его справедливость при =k 1. Метод математической индукции в решении задач на делимость.

Сначала для объяснения количественных зависимостей подбирается из смежных областей науки подходящее уравнение, что часто предполагает и его видоизменение, а затем этому уравнению пытаются дать содержательное истолкование. Характеризуя метод математической гипотезы, С. И. Вавилов писал: Положим, что из опыта известно, что изученное явление зависит от ряда переменных и постоянных величин, связанных между собой приближенно некоторым уравнением. Довольно произвольно видоизменяя, обобщая это уравнение, можно получить другие соотношения между переменными. В этом и состоит математическая гипотеза или экстраполяция. Она приводит к выражениям, совпадающим или расходящимся с опытом, и соответственно этому применяется дальше или отбрасывается. Специалист по методологии науки И. В. Кузнецов попытался выделить различные способы видоизменения исходных уравнений в процессе выдвижения математической гипотезы: 1) изменяется тип, общий вид уравнения; 2) в уравнение подставляются величины другой природы; 3) изменяется и тип уравнения, и вид величины; 4) изменяются предельные граничные условия

1. Математические модели и методы обоснования управленческих решений и сферы их применения в практике управления

2. Билеты, решения и методичка по Информатике (2.0)

3. Методы и приемы решения задач

4. Сущность и методы принятия управленческих решений

5. Методы принятия управленческого решения

6. Методы анализа управленческих решений
7. Методы поиска технических решений
8. Решение задач методом северо-западного угла, рапределительного, минимального и максимального элемента по строке

9. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

10. Изучение методов принятия управленческих решений для конкретной проблемы

11. Методы поиска новых идей и решений. Совершенствование методов управления в менеджменте

12. Методы принятия управленческих решений для конкретной проблемы

13. Экспертные методы оценки управленческого решения

14. Овладение методикой построения экономико-математических моделей, решение конкретных задач по стратегическому планированию и прогнозированию

15. Метод осадительного титрования. Практическое применение метода

16. Акустические и капиллярные методы контроля РЭСИ. Электролиз (пузырьковый метод)

Набор цветных карандашей STABILO GREENcolors, 12 штук.
STABILO GREENcolors - цветные карандаши, сертифицированные FSC. • Изготовлены на 100% из возобновляемой древесины и покрыты лаком на
414 руб
Раздел: 7-12 цветов
Тележка, арт. 15-11017.
Удобная ручка и проходимые колеса помогут Вашему малышу с легкостью возить всё необходимое для строительства дворцов, замков, дорог и
325 руб
Раздел: Тележки
Багетная рама "Emma" (цветной), 40х50 см.
Багетные рамы предназначены для оформления картин, вышивок и фотографий. Оформленное изделие всегда становится более выразительным и
698 руб
Раздел: Размер 40x50

17. Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики

18. Методы решения систем линейных неравенств

19. Теория принятия решений: математические методы для выбора специалиста на должность администратора сети

20. Математические методы в теории принятия решений

21. Использование эвристических и экономико-математических методов при решении задач управления

22. Математические методы и модели в конституционно-правовом исследовании
23. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
24. Лабораторная работа №7 по "Основам теории систем" (Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ)

25. Лабораторная работа №6 по "Основам теории систем" (Решение задачи о ранце методом ветвей и границ)

26. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка

27. Использование численных методов для решения дифуpов (2-го порядка) (, демонстрация применения интерполяции в среде MATHCAD-а)

28. Математические методы в организации транспортного процесса

29. Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически

30. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана

31. Решение транспортной задачи методом потенциалов

32. Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом

Керамическая кружка "World of Tanks" с 3D логотипом, 425 мл.
Керамическая кружка "World of Tanks" с 3D логотипом – настоящая находка для геймеров! Эта вместительная чашка станет Вашим
398 руб
Раздел: Кружки
Стиральный порошок Perfect 6 Solution "Перфект мульти солюшн", 3200 грамм.
Порошок стиральный "Перфект мульти солюшн" бесфосфатный для всех типов стиральных машин и ручной стирки. Стиральный порошок
712 руб
Раздел: Стиральные порошки
Настольная игра "Хоккей".
Материал шайб: пластик. Материал игроков: пластик, металл. Количество шайб: 2. Диаметр шайбы: 24 мм. Высота игроков: 70 мм. Размер
1727 руб
Раздел: Настольный футбол, хоккей

33. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов

34. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами

35. Испытания генераторов постоянного тока методом взаимной индукции

36. Экономико-математические методы моделирования в землеустройстве

37. Проблемы и методы принятия решений

38. Методы экспертных оценок при разработке и принятии управленческих решений
39. Современные методы решения экологических проблем на предприятии (на примере ООО "Волготрансгаз" - дочерней структуры ОАО "ГАЗПРОМ")
40. Математические методы исследования экономики

41. Роль математических методов в экономическом исследовании

42. Методология и методы принятия решения

43. Экономико-математические методы моделирования в землеустройстве

44. Математические модели и методы их расчета

45. Интеграл помогает доказать неравенство Коши

46. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка

47. Методы решения уравнений в странах древнего мира

48. Построение приближенного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля

Антистрессовая подушка-турист "КотоПес".
Подушка-антистресс "Котики Обормотики" предназначена для детей от 3 лет. Цветная подушка привлечет внимание ребенка и может
534 руб
Раздел: Дорожные пледы, подушки
Зеркало, 27x9x30 см, арт. 22368.
Зеркало станет идеальным подарком представительнице прекрасного пола. Размер: 27x9x30 см. Товар не подлежит обязательной сертификации.
1983 руб
Раздел: Зеркала, расчески, заколки
Термомозаика "В мире животных".
Ваш ребенок любит изучать животных, а еще — играть и придумывать что-то новое? С термомозаикой "В мире животных" все это можно
383 руб
Раздел: Термомозаика

49. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

50. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

51. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

52. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

53. Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

54. Модели и методы принятия решения
55. Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона
56. Эвристические методы решения творческих задач

57. Кинезиология как Метод решения психологических проблем

58. Математическая модель метода главных компонент

59. Решение задач транспортного типа методом потенциалов

60. Билеты по предмету Математические методы в экономике за осенний семестр 2000 года

61. Билеты математические методы исследования экономики

62. Экономическое планирование методами математической статистики

63. Выбор методов и моделей принятия решений в управлении инвестиционным процессом на региональном уровне

64. Методы решения задач

Светильник "Плазма №4".
Размер светильника: 19х11х11 см. Диаметр лампы - 9 см. Плазменный светильник в виде шара на подставке, при включении создаёт внутри
1078 руб
Раздел: Необычные светильники
Доска Mikado для обработки рыбы, складная с рыбочисткой.
Пластиковая складывающаяся доска для чистки и филировки рыбы, в комплекте, скребок для снятия рыбной чешуи. Размеры: 48x15/25 см.
827 руб
Раздел: Пластиковые
Чехол-органайзер для спинки авто "Happy Baby".
Чехол-органайзер – аксессуар, просто незаменимый во время поездок на автомобиле, благодаря множеству вместительных карманов. Помимо
699 руб
Раздел: Прочее

65. Методы решения уравнений, содержащих параметр

66. Решение иррациональных неравенств

67. Метод касательных решения нелинейных уравнений

68. Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

69. Метод касательных. Решения нелинейных уравнений. Паскаль 7.0

70. Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах
71. Абстрактно-дедуктивный метод введения и формирования математических понятий в 10-11 классах
72. Техніко-криміналістичні засоби та методи дослідження речових доказів

73. Итерационные методы решения нелинейных уравнений

74. Методы и алгоритмы компьютерного решения дифференциальных уравнений

75. Поиск решений системы линейных уравнений методом Гаусса

76. Разработка математической модели на основе описанных методов

77. Разработка программы поиска решения системы дифференциальных уравнений двумя методами: Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона

78. Решение задачи линейного программирования графическим методом

79. Решение прикладных задач численными методами

80. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона

Набор альбомов для рисования "Дворец", А4, 32 листа, 10 штук (количество томов: 10).
Комплект из 10 штук альбомов для рисования 32 листа. Формат А4. Альбом изготовлен из высококачественной, белой, офсетной бумаги. Обложка
373 руб
Раздел: 26-40 листов
Подарочный набор Шампунь "Земляника", 240 мл + Гелевая зубная паста "Малина", 60 мл + Пеня для купания.
Пена для купания наполнит ванну ароматом душистой дыни, а с цветным гелем можно рисовать забавные узоры на губке или коже ребенка, а затем
326 руб
Раздел: Зубные пасты
Бутылочка для кормления Avent "Classic+", 125 мл, от 0 месяцев.
Зарекомендовавшая себя серия Classic была улучшена: теперь кормление станет еще приятнее. Антиколиковая система, эффективность которой
358 руб
Раздел: Бутылочки

81. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса

82. Симплекс метод решения задачи линейного программирования

83. Численное решение системы линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу

84. Графический метод решения задач линейного программирования

85. Аналитический метод в решении планиметрических задач

86. История возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем по порождаемому временному ряду
87. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений
88. Классический метод математического описания и исследования многосвязных систем

89. Математические методы обработки результатов эксперимента

90. Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений

91. Решение задачи линейного программирования симплексным методом

92. Методы приближённого решения матричных игр

93. Методы решения алгебраических уравнений

94. Методы решения систем линейных уравнений

95. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

96. Применение неравенств при решении олимпиадных задач

Горшок детский "Бегемотик", белый.
Этот удобный кресло-горшок поможет вам отучить ребенка от подгузников. Он имеет анатомическую форму и произведен из качественного и
354 руб
Раздел: Горшки обычные
Коробка для хранения обуви, 610x340x130 мм.
Материал: полипропилен. Размер: 610x340x130 мм.
550 руб
Раздел: Короба, чехлы для обуви
Перчатки виниловые одноразовые, размер M, 100 штук.
Виниловые одноразовые перчатки применяются во время разных видов работ: в пищевой сфере, косметологии, при уборке. Перчатки мягкие и
305 руб
Раздел: Перчатки

97. Методы экономического обоснования принимаемых решений по выходу на внешний рынок

98. Использование нормативного метода при принятии управленческого решения

99. Методы и модели принятия решений


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.