Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Браслет светоотражающий, самофиксирующийся, желтый.
Изготовлены из влагостойкого и грязестойкого материала, сохраняющего свои свойства в любых погодных условиях. Легкость крепления позволяет
66 руб
Раздел: Прочее
Ручка "Шприц", желтая.
Необычная ручка в виде шприца. Состоит из пластикового корпуса с нанесением мерной шкалы. Внутри находится жидкость желтого цвета,
31 руб
Раздел: Оригинальные ручки
Гуашь "Классика", 12 цветов.
Гуашевые краски изготавливаются на основе натуральных компонентов и высококачестсвенных пигментов с добавлением консервантов, не
170 руб
Раздел: 7 и более цветов

Реферат Выполнил: студент гр. МХТ-02 Казаков Василий Васильевич Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова Магнитогорск 2003 Колебаниями  называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Рассмотрим механические колебания. Гармонические колебания. Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых изменяющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса). Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в естественном состоянии равна . Груз слегка оттянут книзу и затем отпущен. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха. Решение Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза. Начало координат О выберем в положении равновесии груз, то есть в точке, в которой вес груза уравновешивается силой натяжения пружины. Пусть l означает удлинение пружины  в данный момент, а lст—статическое удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения равновесия. Тогда l=lст х, или l-lст=х. Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона: F=ma,   где m=P/g—масса груза а—ускорение движения и F—равнодей-ствующая приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы натяжения пружины и силы тяжести. По закону Гука сила натяжения пружины  пропорциональна её удлинению: Fупр=-сl, где с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый жесткостью пружины. Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины уравновешивается весом тела, то P= сlст. Подставим в дифференциальное уравнение выражение Р и заменим  l-lст через х, получится уравнение в виде: или, обозначив с/m через k2,                                                   (1) Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение: имеет мнимые корни , соответственно этому общее решение Для выяснения физического смысла решения удобнее привести его к другой форме, введя новые произвольные постоянные. Умножив и разделив на , получим: Если положить    то                             (2) График гармонических колебаний имеет вид:   Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения равновесия. Величину А называют амплитудой колебания, а аргумент  — фазой колебания. Значение фазы при =o т.e.  величина  , называется начальной фазой колебания. Величина  есть частота колебания. Период колебания   и частота k зависят только от жесткости пружины и от массы системы.

Так как с = Р/lст = mg/lст, то для периода можно получить также формулу: Скорость движения груза получается дифференцированием решения по : Для определения амплитуды и начальной фазы необходимо задать начальные условия. Пусть, например, в начальный момент = 0 положение груза x=x0 и скорость u=u0. Тогда  , откуда ,         Из формул для амплитуды и начальной фазы видно, что в отличие от частоты и периода собственных колебаний они зависят от начального состояния системы. При отсутствии начальной скорости (u0=0) амплитуда А=х0, а начальная фаза a=p/2 и, таким образом,   или     Затухающие колебания. Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшают-ся. Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи, но с учетом сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости движения. Решение К силам, действующим на груз, прибавляется здесь сила сопротивления воздуха  (знак минус показывает, что сила R направлена противоположно скорости u). Тогда дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Ox имеет вид или если положить , , то (3) Это уравнение также является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:   имеет корни (4) Характер движения целиком определяется этими корнями. Возможны три различных случая. Рассмотрим сначала случай, когда . Это неравенство имеет место, когда сопротивление среды невелико. Если положить , то корни (4) имеют вид . Тогда общее решение можно записать в виде или, преобразовав, умножая и деля на , получим:   положим, что   , тогда (5) График зависимости отклонения от положения равновесия от времени имеет вид: Если заданы начальные условия:  при = 0, то можно определить А и a. Для этого находим и   подставляем  = 0  в  выражения   для и  получим систему уравнений Разделелив обе части второго уравнения на соответствующие части первого получим   откуда     или   а      Так как   то Решение (5) показывает, что имеют место затухающие колебания. Действии-тельно, амплитуда колебания  зависит от времени и является монотонно убывающей функцией, причем  при . Период затухающих колебаний определяется по формуле Моменты времени, в которые груз получает максимальное отклонение от начала координат (положения равновесия), образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной полупериоду Т/2. Амплитуды затухающих колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем, равным  или . Эта величина называется декрементом затухания и обычно обозначается буквой D. Натуральный логарифм декремента l D = - пТ/2 называется логарифмическим декрементом затухания. Частота колебаний в этом случае меньше, нежели в предыдущем (), но, как и там, не зависит от начального положения груза. Если сопротивление среды велико и , то, положив , получим корни (4) в виде  Так как , то оба корня отрицательны. Общее решение уравнения в этом случае имеет вид                                               (6) Отсюда видно, что движение апериодическое и не имеет колебательного характера.

Аналогичный характер будет иметь движение и в случае , когда общее решение имеет вид (7) Легко заметить,  что  в обоих  последних  случаях при  имеем . Если заданы начальные условия  и , то в случае, когда , имеем , а . Решая эту систему относительно  и , получим ,        и, следовательно   В случае же, когда , получаем ,  и следовательно, Вынужденные колебания без учета сопротивления среды. Вынужденными колебаниями называют колебания, вызванные внешней периодической возмущающей силой. Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в ненагруженном состоянии равна . На груз действует периодическая возмущающая сила  где Q и р — постоянные. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением среды. Решение Как и для гармонических колебаний, получаем уравнение Полагая, как и прежде,  и, кроме того,  перепишем уравнение в виде                                                (8) Это—неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, причем однородным уравнением, соответствующим уравнению (8), является (1). Поэтому ; остается найти х. Если предположить, что , то частное решение х, нужно искать в виде , где М и — коэффициенты, подлежащие определению. Итак, Производя вычисления, получаем       откуда М=0 и  Полученное таким образом частное решение (9) определяет так называемые вынужденные колебания, созданные возмущаю-щей силой . Вынужденные колебания, имеют тот же период, что и возмущающая сила, совпадают с ней по фазе (т. е. имеют одинаковую начальную фазу) при k>p, либо отличаются на p, если k&l ;p, т. е. если &l ;0. Закон движения представляется общим решением .                                     (10) Оно слагается из собственно вынужденных колебаний (9), которые определяются внешней возмущающей силой, и собственных колебаний (2), обусловленных исключительно внутренними причинами: жесткостью пружины и массой груза. Если заданы начальные условия:  и , то можно определить произвольные постоянные А и u. Для этого продифференцируем функцию (10): и подставим  в   выражения  х   и  значение  аргумента = 0;   получим  систему  уравнений  относительно  A и a:   Преобразуем её так: возведем в квадрат обе части каждого из этих уравнений и сложим. Тогда Для нахождения a разделим обе части  первого уравнения на соответствую-щие части второго; получим откуда при этом ,    Итак, искомым  частным решением, удовлетворяющим заданным начальным условиям, является функция   или Частное решение (9), характеризующее собственно вынужденные колебания, было получено в предположении, что , т. е. что частота внешней силы не совпадает с частотой собственных колебаний. Если же , то дело будет обстоять совсем иначе. Действительно, уравнение (8) можно переписать теперь в виде                                                (11) Частное решение следует искать в форме , где М и — коэффициенты, подлежащие определению. Итак, откуда получаем , , и следовательно, частное решение имеет вид Общее решение в этом случае                                           (12) Найдем   и   подставим  в  выражения  х и   значение =0; получим                                        или Из последних двух равенств находим ,          откуда            Перепишем общее решение так: тогда искомое  частное  решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, запишется в виде.

Интересно, что амплитуда колебаний в общем случае отлична от 1 и зависит от значения у(0) — при у(0)=0 она равна 1 (в нашем случае синусоида начинается со значение у(0)=-1). Подобным осциллятором может быть LC-контур или механический маятник без потерь. Рис. 7.6. Решение дифференциального уравнения идеального осциллятора 7.2.4. Дополнительные примеры решения дифференциальных уравнений второго порядка Ниже представлено решение еще двух дифференциальных уравнений второго порядка в аналитическом виде (de2a): > restart: dsolve(diff(y(x),x$2)-diff(y(x),x)=sin(x),y(x)); у(x) = -½sin(x) + ½cos(x) + ex _C1 + _C2 > de:=m*diff(y(x),x$2)-k*diff(y(x),x); > yx0:=y(0)=0,y(1)=1; ух0:= у(0) = 0, у(1) = 1 > dsolve({de,yx0},y(x)); Ряд примеров на применение дифференциальных уравнений второго порядка при решении практических математических и физических задач вы найдете в главе 11. 7.2.5. Решение систем дифференциальных уравнений Функция dsolve позволяет также решать системы дифференциальных уравнений. Для этого она записывается в виде dsolve(ODE_sys, optional_1, optional_2,...) Здесь ODE_sys — список дифференциальных уравнений, образующих систему, остальные параметры опциональные и задаются по мере необходимости

1. Механические колебания в дифференциальных уравнениях

2. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

3. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

4. Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов

5. Устойчивость систем дифференциальных уравнений

6. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
7. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях
8. Дифференциальные уравнения

9. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью

10. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

11. Устойчивость систем дифференциальных уравнений

12. Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций

13. Дифференциальные уравнения неустановившегося движения воздуха по рудничным воздуховодам

14. Численный расчет дифференциальных уравнений

15. Частные случаи дифференциальных уравнений

16. Дифференциальные уравнения гиперболического типа

Настольная игра "Кортекс".
Сможете отличить баскетбольный мяч от клубники на ощупь или за долю секунды увидеть выход из лабиринта? А молниеносно запомнить предметы и
914 руб
Раздел: Карточные игры
Книга-сейф "Английский словарь", цвет: черный, 24 см.
Этот сейф-шкатулка - точная имитация книги. Будучи поставленным на книжную полку, он ловко затеряется среди настоящей литературы, сохранив
711 руб
Раздел: Копилки
Карандаши для левшей "EasyColors", 12 цветов.
Эти эргономичные цветные карандаши позволяют подготовить руку к письму и сформировать навык работы с пишущими инструментами. Специальные
1517 руб
Раздел: 7-12 цветов

17. Построение аналоговой ЭВМ для решения дифференциального уравнения шестого порядка

18. Решение дифференциальных уравнений в среде MathCAD

19. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения дифференциального уравнения n-го порядка

20. Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

21. Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка

22. Дифференциальные уравнения
23. Дифференциальные уравнения для электрической цепи
24. Идентификация параметров осциллирующих процессов в живой природе, моделируемых дифференциальными уравнениями

25. Классификации гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных

26. Решение дифференциального уравнения первого порядка

27. Решение дифференциальных уравнений

28. Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка

29. Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

30. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом

31. Дифференциальное уравнение теплопроводимости

32. Проектирование системы электроснабжения механического цеха

Настольная игра "Каркассон. Королевский подарок".
Размеренная жизнь феодальных владений в окрестностях Каркассона привлекает множество людей со всех уголков Франции. В городах ведётся
1990 руб
Раздел: Классические игры
Детская горка, цвет: зелёный/красный, скат 140 см.
Для активного летнего отдыха вам пригодится пластиковая горка Долони. Горка изготовлена из яркого пластика и украсит любую детскую комнату
2200 руб
Раздел: Горки
Шкатулка декоративная для ювелирных украшений "Вокруг света", 18,5x13,5x7,5 см.
Шкатулка декоративная для ювелирных украшений. Размер: 18,5x13,5x7,5 см. Материал: МДФ, комбинированные материалы. В ассортименте, без
873 руб
Раздел: Шкатулки для украшений

33. Обзор методов и способов измерения физико-механических параметров рыбы

34. "Уравнения математической физики", читаемым авторов на факультете "Прикладная математика" в МАИ

35. Обзор методов и способов измерения физико-механических параметров рыбы

36. Физика как источник теорем дифференциального исчисления

37. Экзаменационные билеты по предмету: Уравнения математической физики за весенний семестр 2001 года

38. Физико-механические свойства мёрзлых грунтов
39. Сезонные колебания неспецифической активности и сопротивляемости осмотическим и механическим воздействиям лейкоцитов
40. Исследование структуры и физико-механических свойств композиций на основе полиэтилена и пространственно сшитого полистирола

41. Физика звезд

42. План ГО объекта N135: Механический завод

43. Широкозонная система спутниковой дифференциальной навигации (теоретический аспект)

44. "Я хочу найти Трою" Г. Шлиман

45. Получение уравнения переходного процесса по передаточной функции

46. Краткие сведения о электронных таблицах. Решение уравнения

47. Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

48. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя

Пароварка-блендер Happy Baby "Fusion".
Малыш растёт, и вскоре грудного молока уже становится недостаточно для полноценного питания растущего организма, которому требуются
3899 руб
Раздел: Блендеры
Кружка фарфоровая "Королевские собаки", 485 мл.
Кружка фарфоровая. Объем: 485 мл.
322 руб
Раздел: Кружки
Шнуровка-бусы "Звери".
Размер бусин: 3-4 см. Диаметр отверстия в бусине: около 6 мм. Длина шнурка: около 80 см. Вес: 0.2 кг. Количество бусин: 15 штук .
321 руб
Раздел: Деревянные шнуровки

49. Решение нелинейного уравнения методом касательных

50. Синтез оптимальных уравнений

51. Иррациональные уравнения

52. Уравнение Кортевега - де Фриса, солитон, уединенная волна

53. Волновые уравнения

54. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
55. Вычисление корней нелинейного уравнения
56. Артериальная гипертензия: этиология и патогенез, клиника, диагностика и дифференциальная диагностика, лечение.

57. Применение физики в криминалистических исследованиях

58. Дидактические функции проверки и учета знаний и умений, учащихся по физике

59. Методы поиска и исследований в преподавании физики

60. Тест по методике преподавания физики общие и частные вопросы

61. Физико-химические изменения, происходящие при приготовлении блюда "Борщ украинский с пампушками"

62. Механическая, кулинарная обработка рыбы

63. Физико-статистическая оценка ресурса теплообменных труб с начальными дефектами производства в виде трещин

64. Механическая вентиляция и классификация её систем

Чайник "Birds", 1050 мл.
Чайник. Размер: 21,5x12x17 см. Объем: 1050 мл. Материал: керамика.
389 руб
Раздел: Чайники заварочные
Кухня для кукольного домика "Конфетти".
Кухня для кукольного домика состоит из: плиты с раковиной в сборе; холодильника; подставки стола в сборе; стойки стула в сборе, сиденья
886 руб
Раздел: Кухни, столовые
Стержни шариковые "Left Right", 10 штук, 0,3 мм, синие.
Цвет чернил: синий. Ширина линии письма: 0,3 мм. В наборе: 10 штук.
528 руб
Раздел: Стержни для ручек

65. Разработать технологический процесс и спроектировать механический участок обработки детали "Вал первичный" №41526-96 с годовым выпуском 350000 штук при двух сменной работе

66. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ДЕТАЛЕЙ ЛЕЗВИЙНЫМ ИНСТРУМЕНТОМ

67. Технологическая карта механической обработки зубчатого колеса

68. Технологическая карта механической обработки «Шкив»

69. Механическая, кулинарная обработка рыбы

70. Проект зон ТО-2 и ТР с разработкой слесарно-механического отделения
71. Механическое оборудование электровозов
72. Дифференциальный усилитель

73. Физико-топологическое моделирование структур элементов БИС

74. Физико-математические основа радиоэлектронных систем

75. Цифровой генератор синусоидальных колебаний

76. Специфика физики микрообъектов

77. Пространство и время в физике

78. Наука - Физика

79. Физика (Шпаргалка)

80. Нильс Бор в физике 19-20 вв.

Подушка "Verossa" (заменитель лебяжьего пуха), 70х70 см.
Одеяла и подушки торговой марки Verossa с инновационным наполнителем из микроволокна — искусственный лебяжий пух - обладают всеми
1068 руб
Раздел: Размер 70х70 см
Стул детский "Малыш-1".
"Малыш №1" - маленький, компактный удобный стульчик для малыша. Он изготовлен из натуральных материалов и покрыт нетоксичным,
853 руб
Раздел: Стульчики
Этикетка самоклеящаяся, А4, 24 этикетки, 70х37 мм, белая, 100 листов.
Размер этикетки: 70х37 мм. 24 этикетки на листе А4 формата. Плотность бумаги: 70 г/м2. Верхнее и нижнее поле (отступ от края листа до
660 руб
Раздел: Бейджи, держатели, этикетки

81. Экзаменационные билеты по физике

82. Физика: Движение

83. Ответы на экзаменационные вопросы по физике: 9 класс

84. Лекции по физике за 3 семестр

85. Справочник по физике (Шпаргалка) (Лексикон)

86. Исследование электрических колебаний (№27)
87. Физики продолжают шутить
88. Лабораторные работы по физике

89. Колебания и волны

90. Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения

91. Глобальная история Вселенной (физика)

92. Вступительные билеты и ответы по физике для поступающих на заочное отделение в Саратовский государственный аграрный университет (СГАУ)

93. Нобелевская премия в облости физики за 2000г. (Ж. Алферов)

94. Шпаргалка по физике для студентов 1-го курса (по билетам)

95. Шпаргалка по всему курсу физики (как ее преподают в Днепропетровском Государственном Техническом Университете Железнодорожного Транспорта)

96. Сложение колебаний

Набор для проведения опытов по выработке электричества "Маленький гений".
Сейчас уже невозможно представить жизнь человечества без электричества. Для обеспечения людей электричеством работают огромные
452 руб
Раздел: Физические опыты
Бумага "IQ Color", А4, 250 листов, 5 цветов.
Обладает высокой однородностью цвета и точной нарезкой листа. Применяется для печати на копировально-множительной технике, лазерных и
462 руб
Раздел: Формата А4 и меньше
Глобус Земли, физический, 320 мм.
Глобус Земли физический. Диаметр: 320 мм. На пластиковой подставке.
711 руб
Раздел: Глобусы

97. Экзамен по физике для поступления в Бауманскую школу

98. Ответы на билеты по физике за 9 класс

99. Кинетическое уравнение Больцмана


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.