|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения |
Ручка "Помада". 
Браслет светоотражающий, самофиксирующийся, желтый. 
Фонарь садовый «Тюльпан». В.Кинетические Свойства § 6. КИНЕТИчЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ Носители заряда в металле или полупроводнике могут подвергаться действию внешних полей и градиентов температуры. Они также испытывают рассеяние на примесях, колебаниях решетки и т. д. Эти эффекты должны быть сбалансированы — нас интересуют такие ситуации, в которых электрон ускоряется полем, но при рассеянии теряет избыточные энергию и импульс. В этой главе мы рассмотрим «обычные» кинетические свойства, наблюдаемые при наложении постоянных полей. Общий метод решения этой задачи основан на кинетическом уравнении, или уравнении Болъцмана. Мы рассматриваем функцию fk(r) — локальную концентрацию носителей заряда в состоянии k в окрестности точки r. Строго говоря, эту величину можно определить только в терминах мелкозернистых распределений, средних по ансамблю, матриц плотности и т. д. Имеется обширная литература по этому вопросу, но она относится скорее к формальному аппарату квантовой статистической механики, чем к теории твердого тела. Посмотрим теперь, какими способами функция fk(r) может изменяться во времени. Возможны процессы трех типов: 1. Носители заряда приходят в область пространства вблизи точки r и уходят из нее. Пусть vk — скорость носителя в состоянии k. Тогда в течение интервала времени носители заряда в этом состоянии пройдут путь vk. Следовательно, на основании теоремы Лиувилля об инвариантности фазового объема системы число носителей в окрестности точки r в момент времени равно числу их в окрестности точки r – vk в момент времени 0: fk(r, ) = fk(r – vk, 0). (35)Это означает, что скорость изменения функции распределения из-за диффузии есть (fk/( ]diff = – vk((fk/(r = – vk((fk. (36) 2. Внешние поля вызывают изменение волнового вектора k каждого носителя, согласно равенству можно рассматривать как «скорость» носителя заряда в k- пространстве, так что по аналогии с равенством (35) имеем (38) следовательно, под действием полей функция распределения меняется со скоростью (39) (мы использовали здесь обозначение (fk/(k для градиента в k-пространстве — оператора (k). 3. Влияние процессов рассеяния оказывается более сложным. Мы ограничимся здесь в основном упругим рассеянием. При этом функция fk меняется со скоростью (fk/( ]sca = ?{ fk' (1 – fk) – fk (l – fk')}Q(k, k') dk'. (40) Процесс рассеяния из состояния k в состояние k' приводит к уменьшению fk. Вероятность этого процесса зависит от величины fk — числа носителей в состоянии k, и от разности (1 – fk') — числа свободных мест в конечном состоянии. Имеется также обратный процесс, переход из k' в k, который ведет к увеличению функции fk; он пропорционален величине fk'(1 – fk). Очевидно, надо просуммировать по всевозможным состояниям k'. Для каждой пары значений k и k' существует, однако, «собственная» вероятность перехода Q (k, k'), равная скорости перехода в случае, когда состояние k полностью заполнено, а состояние k' вакантно. Согласно принципу микроскопической обратимости, та же функция дает и скорость перехода из k' в k, поэтому под интегралом появляется общий множитель. Кинетическое уравнение выражает следующее: для любой точки r и для любого значения k полная скорость изменения функции fk(r) равна нулю, т.
е. (fk/( ]sca (fk/( ]field (fk/( ]diff = 0. (41) Отметим, что здесь рассматривается стационарное, но не обязательно равновесное состояние. Для последнего функция распределения обозначается через f0k, оно осуществляется только в отсутствие полей и градиентов температуры. Допустим, однако, что рассматриваемое стационарное распределение не слишком сильно отличается от равновесного.Положим gk = fk – f0k. (42)где f0k = 1/{exp 1} (43) Здесь нужно проявить некоторую осторожность. Именно, как определить функцию f0k в случае, когда температура зависит от координат? Будем считать, что в каждой точке можно корректно определить локальную температуру (r), и положим gk(r)=fk(r) – f0k{3 (r)}. (44) Если введение локальной температуры вызывает затруднения, можно потребовать, чтобы окончательное решение удовлетворяло какому-либо дополнительному условию, например (gk(r)dk = 0. (45) Подставляя выражение (42) в кинетическое уравнение (41) и используя равенства (7.2) и (7.5), получаем – vk((fk /(r – e /?(E 1/csca , (46) или – vk((fk /( ( – e /?(E 1/csca vk((gk /(r e /?(E 1/c) ((gk /(k. (47) С помощью формулы (43) это уравнение можно переписать в виде ((f0 /(E)vk({( E (k) – () / (( e (E – 1/e((()} = – (fk /( ]sca vk((gk /(r e /?c ((gk /(k. (48) Это — линеаризованное уравнение Больцмана. В нем опущен член (E((gk /(k) порядка E2, соответствующий отклонениям от закона Ома. Отброшен также член vk , тождественно равный нулю; в левую часть уравнения магнитное поле явно не входит. Подставляя выражение (40) в уравнение (48), можно убедиться, что мы получили линейное интегро-дифференциальное уравнение относительно «добавки» gk(r) к функции распределения. Функция gk(r) определяется интенсивностью электрического поля и величиной градиента температуры, входящимив неоднородный член в левой части. Далее в этой главе мы будем отыскивать решения кинетического уравнения для различных случаев в порядке увеличения сложности. § 7. Электропроводность Пусть на систему наложено только электрическое поле E, и в «бесконечной» среде поддерживается постоянная температура. С учетом выражения (40) получаем (– (f0 /(E)vk(eE = – ((f0 /( )]sca = ((fk– fk()Q(k,k()dk(= ((gk– gk()Q(k,k()dk( (49) Это есть простое интегральное уравнение для неизвестной функции gk. Вместо того чтобы, непосредственно решать его, сделаем феноменологическое предположение: – (fk /( ]sca = gk/( (50) Тем самым мы вводим время релаксации (. При выключении поля любое отклонение gk от равновесного распределения будет затухать по закону – (gk /( = gk/(, (51) или gk( ) = gk(0)e – / ( . (52) Подставляя определение (50) в уравнение (49), находим gk = (– (f0 /(E) (vk(eE (53) Чтобы найти электропроводность, вычислим соответствующую плотность тока (54) Здесь при переходе от первой строки ко второй принято во внимание, что (f0kevk(r)dk ( 0,использованы также формулы для преобразования объемного интеграла в k- пространстве в интеграл по изоэнергетическим поверхностям и по энергии. В металле функция (– (f0 /(E) ведет себя как (-функция от (E – (), поэтому остается только проинтегрировать по поверхности Ферми. Таким образом, (55) Сравним это выражение с обычной макроскопической формулой J = ((E, (56)где ( – тензор.
Получим (57) Обычно имеют дело с кристаллами кубической симметрии,при этом тензор электропроводности сводится к скаляру, помноженному на единичный тензор. В случае, когда оба вектора E и J направлены по оси х, подынтегральное выражение в (55) есть (vk vk ( E) = v2xE, (58)что дает 1/3 вклада от квадрата скорости, v2E. Поэтому (59) где мы ввели длину свободного пробега ( = (v. (60) Это есть основная формула для электропроводности. Интересно посмотреть (фиг. 97), как выглядит функция распределения fk, заданная выражением (7.8). Как видно из равенства (53), функция gk велика только вблизи поверхности Ферми. Фиг.97. а – смещенная поверхность Ферми; б – смещенное распределение Ферми. Небольшая добавка появляется с той стороны, где vk(eE>0, т. е. там, где электроны ускоряются полем. Та же величина вычитается с противоположной стороны. Фактически по теореме Тейлора можно написать (61) Это выглядит так, как будто вся сфера Ферми сдвинулась в k-пpoстранстве на величину (e(/?)E. Это несколько неверная интерпретация. В действительности поле не действует на состояния вблизи дна зоны, в глубине сферы Ферми. Из-за принципа Паули поле не может придать ускорения электронам в таких состояниях; по этой же причине они не рассеиваются примесью. Отметим, однако, что электропроводность не зависит от температуры (если не считать возможной температурной зависимости (). Эта же формула справедлива при = 0, когда распределение Ферми имеет совершенно четкую границу. Можно сказать, что электропроводность выражается через смещение жесткой поверхности Ферми. Заметим также, что выражение (61) можно представить в виде fk = f0(Ek e(vkE), (62) как будто к энергии электрона в состоянии k добавилась величина (Ek = e(vkE. (63) Это в точности соответствует классической ситуации, которая имела бы место, если бы электрон со скоростью vk двигался в поле E в течение интервала времени (. Это замечание лежит в основе кинетического метода решения подобных задач. Добавочная энергия, приобретаемая в промежутках между столкновениями с примесями, соответствует наличию дрейфовой скорости (v в направлении поля; именно (v((E/(v) = evE(, (64)или для классической частицы массы m (v((E/(v) = evE( / mv. (65) Пусть концентрация частиц есть , тогда полная плотность тока равна J = e(v, (66)и, сравнивая формулы (65), (66) и (56), находим ( = e2(/m. (7.33) Легко показать, что в случае свободного электронного газа формулы (67) и (59) эквивалентны; в металле последняя формула принципиально значительно лучше. Она показывает, что электропроводность зависит только от свойств электронов на уровне Ферми, а не от полной концентрации их. Большую электропроводность металлов следует объяснять скорее наличием небольшой группы очень быстрых электронов на вершине распределения Ферми, а не высоким значением полной концентрации свободных электронов, которым можно придать небольшую дрейфовую скорость. Основная формула (59) показывает также, что происходит, когда площадь свободной поверхности Ферми уменьшается в результате взаимодействия с границами зоны, и учитывает влияние решетки, ограничивающее эффективную скорость электронов на поверхности Ферми.
Также можно было бы сказать, что невозможно построить точные станки, потому что первый такой станок пришлось бы строить с помощью неточных станков. Оглянувшись назад, можно увидеть, что такая критика вызвана очень грубым изображением принципа действия науки (подобным индуктивизму), который вряд ли можно считать удивительным, поскольку Платон жил до того, что мы могли бы признать как науку. Если, скажем, единственный способ узнать что-либо о кругах из опыта заключается в том, чтобы исследовать тысячи физических кругов, а потом, из собранных данных, попытаться сделать какой-то вывод об их абстрактных евклидовых двойниках, то Платон уловил суть. Но если мы создадим гипотезу, что реальные круги точно определенным образом похожи на абстрактные, и окажемся правы, то мы определенно можем узнать что-либо об абстрактных кругах, глядя на реальные. В геометрии Евклида часто используют рисунки для точного определения геометрической задачи или ее решения. В таком методе описания существует возможность ошибки, если несовершенство кругов на рисунке оставит впечатление, вводящее в заблуждение,P например, если кажется, что два круга касаются друг друга, хотя на самом деле этого не происходит
2. Алгебра матриц. Системы линейных уравнений
3. Основные понятия алгебры множеств
4. Проект "Глобалстар". Геодезические спутники /ERS-1,ERS-2/
5. Понятие о волнении. Процесс возникновения развития и затухания ветровых волн
9. Административное пресечение (понятие и виды мер пресечения)
10. Понятие, основные черты субъектов административной юрисдикции
11. Гражданско-правовой договор: понятие, виды, формы, особенности расторжения и заключения
12. Понятие гражданского права как отрасли права
13. Понятие, виды и условия действительности гражданско-правовых сделок
14. Понятие, содержание и виды юридических лиц коммерческих организаций
15. Понятие, сущность и виды юридических лиц РБ
16. Понятие и признаки юридического лица
Держатель балдахина с двойным креплением (в пенале). 
Пенал "Радужная коллекция", серый-лайм. 
Одеяло байковое "Карапуз" с рисунком (цвет: бежевый). 17. Понятие и особенности аграрных правоотношений (Контрольная)
18. Понятие и состав земель сельскохозяйственного назначения
19. Развитие общего понятия и системы преступлений от Русской Правды к Судебнику 1497 г. (Контрольная)
20. Правовая система России во 2-й половине XlX - начале ХХ вв. Судебная реформа
21. Понятие и виды обращения граждан /Украина/
25. Понятие, сущность и содержание основных прав, свобод и обязанностей граждан России
26. Понятие международного договора
27. Понятие и структура компетенции местного самоуправления
28. Государственный долг: понятие, состав и его обслуживание (по Казахстану)
29. Понятие вещных прав, виды и т.п.
30. Юридическая ответственность: понятие виды и принципы
31. Понятие, назначение и правовая основа паспортной системы Российской Федерации
32. Понятие договора. Виды и формы договоров
Точилка Berlingo механическая "Яблоко". 
Гидромассажная ванночка для ног (арт. ATH-6411 blue). 
Корзина для белья "Виолетта" (30 литров). 33. Понятие право. Отрасли права (контрольная)
34. Понятие надлежащего исполнения обязательств
35. Понятия и виды прав на чужие вещи. Установление, защита и прекращение сервитутов
36. Основные понятия в римском праве (шпаргалка)
37. Понятие и сущность юридического лица
41. Понятие, классификация и содержание основных функций государства
42. Понятие и принципы правового государства
43. Понятие права и признаки правового государства
44. Правоотношения, понятия и их содержания
45. Реализация норм права: понятие и формы
46. Правоотношения: понятие, признаки и виды
47. Трудовой договор (контракт): понятие, стороны и содержание
48. Трудовые правоотношения: понятие, содержание, основания возникновения, изменения и прекращения
Средство дезинфицирующее "Аламинол 1", 1 литр, концентрат. 
Магическая кружка-мешалка, зеленая. 
Глобус Земли, политический, 250 мм. 49. Понятие и виды материальной ответственности работников
50. Предмет и понятие финансового права
51. Понятие канона
52. Культура: особенности и значение, взгляды и понятия
57. Военные реформы Александра 2
58. Приход фашистов к власти в Германии, как предпосылка к началу 2-ой мировой Войны
59. Основные компоненты систем управления документооборотом. Фрейм: его структура и понятие
60. Управление потоками данных в параллельных алгоритмах вычислительной линейной алгебры
62. Процессор для ограниченного набора команд /часть 2 (7)
63. Модифицированный симплекс-метод с мультипликативным представлением матриц
64. Билеты, решения и методичка по Информатике (2.0)
Френч-пресс, 600 мл. 
Корзина "Плетенка" с крышкой, 35х29х22,5 сантиметров, бежевая. 
Чайник "Birds", 1050 мл. 65. Понятие алгоритма, его свойства. Описание алгоритмов с помощью блок схем на языке Turbo Pascal
66. Разработка курса по OS (2 Warp (WinWord)
67. Отчет по практической работе "Изучение MS Windows & MS Word 4 Windows 2.0"
69. Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр)
73. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)
74. Конспект по статистике (основные понятия)
75. О преобразовании дифференциальных систем уравнений в случае сингулярных пучков матриц
76. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов
79. Понятие инвалидности. Причины и группы инвалидности. Пенсии по инвалидности.
80. Инфильтративный туберкулез легких S1-2,6 справа
Мольберт "Ника", двухсторонний, с пластмассовой азбукой (сиреневый). 
Карандаши восковые, треугольные, с ластиком и точилкой. 
Набор шариковых ручек "Frixion", синие, 0,7 мм, 2 штуки. 81. Понятие и основные методы исследовательской фотографии
82. Понятие и характер нотариальных функций
83. Понятие предварительного расследования и его формы
84. Понятие и классификация доказательств
85. Понятие и признаки соучастия
90. Формирование понятия "фермент" в курсе биологии и связь с школьным курсом химии
91. Понятия о популяциях, сообществах, биоге- оценозах, экосистеме, биосфере и ее основных компонентах
92. Понятие и сущность содержания образования. Источники и факторы его формирования
94. Педагогические категории и понятия
96. Понятие "политическая культура" и его содержание
Увлажненный порошок для чистки ковров "Vanish". 
Клей для ткани UHU Textil, 19 г. 
Набор подарочный для новорождённого "Моя малышка". 97. Понятие мировой политики и международных отношенияй
98. Проект трехкорпусной выпарной установки для концентрирования Gн=4,2 кг/с цельного молока
99. Расчет конденсационной турбины мощностью 165МВт на основе турбины-прототипа К-160-130-2 ХТГЗ
100. Разработка и изготовление декоративной резной вазы с подставкой (2) (4))
