Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Вычисление многочленов — от Ньютона до наших дней

Ручка "Помада".
Шариковая ручка в виде тюбика помады. Расцветка корпуса в ассортименте, без возможности выбора!
25 руб
Раздел: Оригинальные ручки
Ручка "Шприц", желтая.
Необычная ручка в виде шприца. Состоит из пластикового корпуса с нанесением мерной шкалы. Внутри находится жидкость желтого цвета,
31 руб
Раздел: Оригинальные ручки
Совок №5.
Длина совка: 22 см. Цвет в ассортименте, без возможности выбора.
18 руб
Раздел: Совки

Э. Г. Бeлага §1. Многочлены — инструмент вычислителя Ну, начнём! Когда мы доберёмся до конца этой истории, будем знать больше, чем теперь. Г. X. Андерсен В необозримом царстве функций многочлены занимают, на первый взгляд, очень скромное место. Однако это первое впечатление обманчиво. Многочлены, действительно, предельно просты: алгебраическая запись f (x) = x a1x –1 a2x –2 . a –1x a (1) является одновременно и формулой для вычисления значений многочлена 1 . Хотя выражения типа cos x, 5√ x , 10x, log 2 x намного лаконичнее, с вычислительной точки зрения они бессодержательны: для вычисления, скажем чисел cos 17°, 5√ 2 , 100,13 или log 2 7 нужны специальные приближённые формулы (или таблицы, составленные с помощью тех же формул). Как правило, в таких формулах появляются многочлены: например, cos x  1 – x2 2! x4 4! – x6 6! x8 8! (ошибка в интервале 0≤x≤π/4 меньше одной десятимиллионной!). А ведь тригонометрические, степенные и т.п. (элементарные) функции — это самые простые из функций анализа, изучаемых и используемых математиками, физиками, инженерами. Известный математик-вычислитель Р. В. Хемминг в своей книге «Численные методы» (М., «Наука», 1972) пишет: «Поскольку с многочленами легко обращаться, большая часть классического численного анализа основывается на приближении многочленами». Так как вычислять многочлены приходится часто, то важно научиться делать это как можно проще. Мы расскажем об эволюции методов вычисления значений многочленов с момента зарождения (XVII век). Впрочем, слово «эволюция» здесь не вполне уместно: история этих методов — скорее очень длинный роман с интересной, но краткой завязкой, однообразным действием и неожиданной развязкой. §2. Схема Горнера По правде говоря, здесь возникает сомнение, или вернее вопрос, которого миновать нельзя, не поставив его и на него не ответив. А. Данте. Пир (1303 г.) Общепринятый сейчас способ вычисления многочленов восходит к Ньютону и называется схемой Горнера. Эта универсальная (то есть применимая к любому многочлену) схема предельно проста и изящна. Она получается из формулы (1) вынесением за скобки x всюду, где это возможно: f (x) = (.(((x a1)·x a2)·x a3).)·x a . (2) Порядок действии при вычислении f (x) определяется скобками в (2): сначала сложение внутри самой внутренней пары скобок (его результат обозначим через p1), затем умножение и сложение внутри следующей пары скобок (результат p2) и т.д.:  p1 = x a1;  p2 = p1x a2;  p3 = p2x a3;  · · · · · · · · · · · · · · · · · ·  p = p –1x a , f (x) = p ; (3) всего –1 умножений и сложений 2 . Схема Горнера настолько совершенна, что вопрос о возможности её улучшения не возникал два с половиной века и был задан «вслух» впервые лишь в 1954 году! Постановка этого вопроса (ответ на него предполагался отрицательным) имела важные и неожиданные последствия. §3. Индивидуальные схемы — Вы позволите мне записать эту романтическую историю, сэр? — спросил потрясенный мистер Снодграсс. — Сколько угодно, сэр, сколько угодно, ещё пятьдесят таких, если они вам по вкусу.

Ч. Диккенс Уже в курсе школьной алгебры мы встречаемся с примерами многочленов, для которых существуют необычайно экономные схемы; единственный их недостаток — они не универсальны. Сравнивая разные схемы по числу операций, мы будем объединять операции сложения и вычитания в группу «( , –)-операций», а гораздо более трудоёмкие операции умножения и деления — в группу «(& imes;, :)-операций». 3 Примеры. (а) Многочлен f (x) = x2^k можно вычислить за k умножений (а не за 2k по Горнеру):  p1 = x·x = x2, p2 = p1·p1 = x4, ., pk = pk–1·pk–1, f (x) = pk. (б) Многочлен f (x) = x15 можно вычислить за пять (& imes;, :)-операций, так как f (x) = x15 = x16 : x = x2^4 : x. (в) Многочлен f (x) = x x –1 . x 1 вычисляется по формуле геометрической прогрессии: f (x) = (x 1 – 1) : (x – 1). (г) Многочлен f (x) = x (   1 ) x –1 . ( –1 ) x 1; есть бином Ньютона: f (x) = (x 1) . Число примеров можно, конечно, увеличить. Упражнения 1. Докажите, что многочлены (а) и (б) не могут быть вычислены быстрее. 2. В «Задачнике «Кванта» № 12 за 1973 год была помещена задача (М240): доказать, что многочлен f (x) = x может быть вычислен не более чем за 3/2 log2 1 (& imes;, :)-операций ( — натуральное число). Пользуясь результатом этой задачи, оцените число операций для вычисления многочленов (в) и (г). Решение Для многочлена (в) — не более 3/2 log2 ( 1) 2 (& imes;, :)-операции и два вычитания; для многочлена (г) — не более 3/2 log2 1 (& imes;, :)-операция и одно сложение. 3. Постройте экономные схемы для многочленов: (I) f (x) = x8 x6 – x5 2x4 – x3 x2 – x 1; (II) f (x) = x 2x –1 3x –2 . x 1; (III) f (x) = x2 (  2 2 ) x2 –2 (  2 4 ) x2 –4 . ( 2 2 –2 ) x2 1; (IV) f (x) = 1 – x2 2! x4 4! – x6 6! x8 8! . Решение (I) p1 = x·x = x2, p2 = x2·x2 = x4, f (x) = (p2 p1 1)(p2 – x 1). (II) Заметим, что x f (x) – f (x) = x 1 x . x – ( 1); отсюда f (x) = : (x – 1) = = : (x – 1). (III) f (x) =  (x 1)2 (x – 1)2 2 . (IV) p1 = x·x = x2, f (x) = (((  1 8! p1 –  1 6! ) p1  1 4! ) p1 –  1 2! ) p1 1. §4. Каждому многочлену — свою схему? Тогда я решил тем же способом разделаться и с остальными медведями. Э. Распэ. Мюнхаузен среди белых медведей. А что если для каждого многочлена существует своя схема, гораздо более экономная, чем схема Горнера? Такие схемы можно было бы искать либо исходя из особенностей отдельного многочлена (искусно комбинируя его коэффициенты), либо сконструировав универсальный метод построения схем, намного более экономных, чем схема Горнера, но, возможно, для некоторых многочленов не наилучших. Недостаток первого подхода в том, что для каждого многочлена придется придумывать свои приёмы, и нет никакой гарантии, что нам это всегда удастся; позже (в §10) мы увидим, что второй путь надёжнее во всех отношениях. Само собой разумеется, что оба эти метода уместны лишь в тех случаях, когда конкретный многочлен приходится вычислять так часто, что стоит потратить и время, и усилия, чтобы построить для него хорошую схему. Многочлены же «разового пользования» проще вычислять, скажем, по схеме Горнера. Возможно, подобные рассуждения и привели в 1955 году к открытию универсальной схемы совершенно нового типа для многочлена шестой степени.

Мы проиллюстрируем основную идею этой схемы на примере более простой схемы — для многочленов степени 4. Пусть f (x) = x4 ax3 bx2 cx d; (4) положим  p1 = x(x A),  p2 = (p1 B)(p1 x C) D,  f (x) = p2, (5) где A, B, C и D — параметры. Пример. Многочлен x4 3x3 6x2 3x 2 можно вычислять по схеме: p1 = x(x A), f (x) = (p1 – 1)(p1 x 5) 7, содержащей два умножения (вместо трёх по Горнеру) и пять (вместо четырёх) ( , –)-операций; здесь A=1, B=–1, C=5, D=7. Выпишем явное выражение для p2(x): p2(x) = x4 (2A 1)·x3 (A2 A B C)·x2 (AB B AC)·x BC D; приравняв коэффициенты f (x) и p2(x), выразим параметры, входящие в формулу (5), через коэффициенты (4): A = (a – 1)/2; B = c – bA A2(A 1); C = b – B – A(A 1); D = d – BC. (6) Из этих формул ясно, что схема (5) универсальна. Операции (6) мы будем называть предварительной обработкой коэффициентов многочлена; разумеется, они не включаются в число операций схемы: ведь для каждого данного многочлена они выполняются лишь однажды, а наша задача — научиться быстро считать значения произвольного, но фиксированного многочлена при разных x. §5. Универсальная схема степени — Я думаю, — сказал глубокомысленно Пятачок, — что если бы Иа встал под деревом, а Пух встал к нему на спину, а я встал на плечи Пуха. — И если бы спина Иа-Иа неожиданно треснула, то мы бы все здорово посмеялись, — сказал Иа. А. А. Милн. Винни Пух В 1958 году была найдена общая универсальная схема с предварительной обработкой коэффициентов. Структура этой схемы для многочлена чётной степени ( =2k) напоминает пирамиду — в основании лежит схема (5) (в её «прочности» мы уже убедились), содержащаяся в схеме степени 6, которая содержится в схеме степени 8 и т.д.:  p1 = x(x b1),  p2 = (p1 b2)(p1 x b3) b4,  p3 = p2(p1 b5) b6,  · · · · · · · · · · · · · · · · · ·  pk = pk–1(p1 b2k–1) b2k, f (x) = pk, k≥2. (7.k) схема (7.2) — это и есть схема (5). Результат схемы (7.k) — многочлен pk(x) степени = 2k; многочлен же нечётной степени = 2k 1 можно представить в таком виде: f (x) = x(x2k a1x2k–1 . a2k) a2k 1; (8) многочлен в круглых скобках вычисляется по схеме (7.k). В итоге схема содержит k умножений и 2k 1 сложений для многочлена чётной степени = 2k и k 1 умножений и 2k 2 сложений для многочлена нечётной степени = 2k 1 (с учётом (7.k) и (8) ). Упражнения 4. Найдите формулы предварительной обработки коэффициентов, аналогичные формулам (6), для схемы (7.3) вычисления многочленов шестой степени. 5. Докажите индукцией по k≥2 универсальность схемы (7.k). Решение Пусть f(x) = x2k a1x2k–1 . a2k. Нам нужно по коэффициентам a1, ., a2k многочлена f (x) найти параметры b1, ., b2k, превращающие последнюю строку схемы (7.k) в тождество. Параметр b1 — единственный, для которого существует формула, причём простая. Лемма 1. Справедливо соотношение a1 = kb1 1. (I) Доказательство проводится индукцией по k≥2. Если k=2, то a1 = kb1 1 согласно (6) (роль b1 играет в (6) параметр A). Пусть k≥3, и пусть в схеме (7.k) pk–1(x) = x2k–2 αx2k–3 . ; тогда pk = pk–1(p1 b2k–1) b2k = = (x2k–2 αx2k–3 .)

Это положение укрепляли открытия ученых, особенно математиков вроде набожного Ньютона, обнаруживших упорядоченную вселенную, которая могла быть выражением только естественного закона и создана лишь Божьим промыслом. Как выразился Уилли, она являлась «Великой Машиной, промысленной Божественным Механиком». Результатом этого, провозглашенным теми, кто называл себя деистами, стала теория естественной религии, то есть, как писал в 1752 году Вольтер, «религии Адама, Сета и Ноя… столь же древней, как мир». Она, вполне очевидно, включала в себя и понятие о примитивном человеке, шла ли речь о далеком прошлом или о дожившем до наших дней, но все должны были разделять ту же веру. Давалась нелегко Природы им дорога,И все ж была тогда Природа царством Бога, – писал Александр Поп в 1733 году. Примерно в то же время швейцарский поэт Халлер указывал, что гуроны или готтентоты разделяют веру во всеобщее подчинение законам природы. Древние бритты (а соответственно и друиды) также входили в эту обойму, и Генри Брук отметил это в своей поэме «Густав Ваза» (1739 г.). Закон Природы

1. Вычисление многочленов — от Ньютона до наших дней

2. Шпора по истории (с древних времен и до наших дней)

3. История развития полицейских органов в России с древнейших времен и до наших дней

4. Философия наших дней

5. История оружия и вооружения народов и государств с древнейших времен до наших дней

6. Вакцины: от Дженнера и Пастера до наших дней
7. Эротика: от Ромула до наших дней
8. С древних времен до наших дней

9. Изменения лесистости и гидрографической сети в бассейне верхнего течения Оскола с начала XVII века до наших дней

10. Изменение картины мира от древности до наших дней

11. Государственное образование: органы, образовательная политика в разные периоды развития государства: от Древней Руси до наших дней

12. История Татарстана с древнейших времен до наших дней

13. Россия с древних времен и до наших дней

14. Красноярск от послевоенных лет до наших дней

15. Вычисление характеристических многочленов, собственных значений и собственных векторов

16. Типы Галактик. Наша Галактика - Млечный Путь

Папка для тетрадей "Калейдоскоп", А3.
Папка для тетрадей формата A3, закрывается на молнию. Отличается вместительностью и ярким дизайном (полноцветная печать на пластике). Для
507 руб
Раздел: Папки для тетрадей
Фоторамка "Poster gold" (40х60 см).
Для фотографий размером 40 х 60 см. Материал рамки - пластик. Цвет - золотистый. Материал подложки - плотный картон. Крепежи позволяют
770 руб
Раздел: Размер 40x60 (А2)
Качели, подвесные.
Эти подвесные качели можно разместить дома или на улице в любом удобном месте. Наш пластик прочен и долговечен, поэтому качели прослужат
381 руб
Раздел: Качели

17. Этих дней не смолкнет слава!

18. Анализ регулирования и финансирования бюджетного дефицита с 1985 и по наши дни

19. Шишкин – наш выдающийся земляк

20. Илья Ильич Обломов – "коренной народный наш тип"

21. Сатин и Лука по роману Горького "На дне"

22. Неужели зло так привлекательно? (по роману Лермонтова "Герой нашего времени")
23. Каким видит Лермонтов героя своего времени в романе "Герой нашего времени"
24. Почему повесть "Княжна Мери" занимает центральное место в романе "Герой нашего времени" ?

25. Образ Печёрина в романе М.Ю. Лермонтова "Герой нашего времени"

26. Повесть "Наши души блуждают по свету"

27. Комедия А.С.Грибоедова «Горе от ума». Злободневность звучания комедии в XIX веке и в наше время. Человеческие типы

28. Как воспринимали Маршала Жукова во времена Н.С. Хрущёва, Л.И. Брежнева, перестройки и в наше время

29. Наш паровоз вперед летит

30. Оптимальное управление вычислениями в распределенных вычислительных системах на основе графа потоков данных

31. Вычисление определённых интегралов

32. Вычисление определённого интеграла с помощью метода трапеций на компьютере

Ручка перьевая "Silk Prestige", синяя, 0,8 мм, корпус черный/хром.
Перьевая ручка Silk Prestige. Цвет корпуса: черный/хром. Материал корпуса: металл. Материал пера: иридий.
375 руб
Раздел: VIP-ручки
Средство для мытья посуды Finish "All in 1 Shine&Protect", (лимон), 65 штук.
Средство для посудомоечных машин с функцией "блеск и защита" обеспечивает сверкающую чистоту и блеск посуды, а также защищает
880 руб
Раздел: Для посудомоечных машин
Головоломка "Шар-лабиринт 138 шагов", диаметр 19 см.
Это средняя по сложности, самая известная и популярная модель. Диаметр сферы составляет 19 см, внутренний лабиринт насчитывает 138 шагов.
679 руб
Раздел: Головоломки

33. Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников

34. Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

35. Вычисление двойных интегралов методом ячеек

36. Вычисление корней нелинейного уравнения

37. В чём нуждаются наши дети

38. Реформы 50-60х годов нашего столетия /Н.С.Хрущев/
39. Огюст Конт и наше время
40. Механика от Аристотеля до Ньютона

41. Маркетинговое исследование радиостанции "Наше время на милицейской волне"

42. Практические задачи на вычисление эластичности, построения кривых спроса и предложения, оплата труда, издержки (Контрольная)

43. Реалии открытого пространства-времени: к пониманию нашей исторической системы

44. Казахстан на рубеже нашей эры - Государство кангюй

45. Карфаген в 9-5 веках до нашей эры

46. Победоносцев К. П. - критик «великой лжи нашего времени»

47. 900 блокадных дней Ленинграда

48. Неразгаданные тайны нашего края

Похвальный лист, с пометкой "Министерство образования и науки Российской Федерации", 200 штук.
Формат: А4. Ориентация: горизонтальная. Бумага: мелованная матовая, плотностью 140 г/м2. В упаковке: 200 штук.
1024 руб
Раздел: Похвальные листы
Сменный фильтр "Барьер-6" (2 штуки).
Сменная кассета Барьер-6 «для жесткой воды» благодаря повышенному содержанию ионообменной смолы более эффективно снижает
461 руб
Раздел: Фильтры для воды
Караоке песенки В. Шаинского.
Какая игрушка превратит любой день в праздник? Конечно, удивительный микрофон-караоке! Подпевая любимым мультяшкам, малыши смогут
301 руб
Раздел: Микрофоны

49. Наши первые ОС

50. Научный подвиг "Ньютона электричества"

51. Лермонтов: Герой нашего времени

52. О нашем "сюрреализме"

53. Телепузик как герой нашего времени

54. "Сам необыкновенный язык наш есть еще тайна..."
55. Сердечная недостаточность - это болезнь нашего времени (по произведениям А.Г. Алексина)
56. Аверинцев в нашей истории

57. "В его романах душа человеческая изображается с реальностью, еще небывалой в нашей литературе” (Н.Н. Cтрахов)

58. Афоризмы Бубнова (К изучению пьесы «На дне»)

59. «А в наши дни и воздух пахнет смертью...»

60. Наш современник Вильям Шекспир

61. Стихотворение В.А. Жуковского «Песня» («Минувших дней очарованье…»)

62. Сочинение по пьесе Максима Горького "На дне"

63. Проблематика пьесы М.Горького "На дне"

64. Лука и Сатин в драме Горького "На дне"

Шарики для бассейна, 500 штук.
Шариками можно наполнить бассейн, манеж, игровую палатку или домик. Материал: безопасный, экологически чистый пластик. Диаметр шара 7 см.
3027 руб
Раздел: Шары для бассейна
Набор первоклассника, для девочек, 16 предметов.
В наборе 16 предметов: - Подставка для книг. - Настольное покрытие для творчества. - Веер "гласные". - Веер
721 руб
Раздел: Наборы канцелярские
Рапидограф, 0,13 мм.
Чертежный прибор для черчения и рисования на бумаге, ватмане и чертежной пленке. Заправляется одноразовыми патронами. Пишущий узел
1584 руб
Раздел: Циркули, чертежные инструменты

65. Пейзаж в романе Лермонтова "Герой нашего времени"

66. Жанровое своеобразие драмы М. Горького «На дне»

67. Споры о человеке в пьесе М.Горького "На дне"

68. "Дно жизни" трагический образ пьесы А.М.Горького "На дне"

69. "Герой нашего времени" - нравственно-психологический роман

70. Роман Гончарова «Обломов» и наша современность
71. "Герой нашего времени" М. Ю. Лермонтова - социально-психологический роман
72. Роман М. Ю. Лермонтова "Герой нашего времени"

73. Герой нашего времени М.Ю.Лермонтова. Нравственно-психологоческий роман (его художественные особенности)

74. Судьбы героев пьесы "На дне" Горького

75. Образ Печорина в романе "Герой нашего времени"

76. "Герой нашего времени" Лермонтова

77. Связь идейной проблематики лирики Лермонтова и его романа "Герой нашего времени"

78. Пушкин – наше все

79. Этих дней не смолкнет слава

80. История изучения романа М.Ю Лермонтова "Герой нашего времени"

Электрокачели Pituso "legaria" (цвет: кремовый, рисунок: зоопарк).
Характеристики: - высокое качество и надежность; - 5 регулируемых скоростей качания; - 3 положения наклона спинки; - сиденье
10000 руб
Раздел: Качели, кресла-качалки, шезлонги
Бутылка под оливковое масло "Танго Магнолия", 18x8,5x24 см, 1100 мл.
Бутылка под оливковое масло. Размер: 18x8,5x24 см. Материал: доломит. Объем: 1100 мл.
315 руб
Раздел: Ёмкости для масла, уксуса
Конструктор электронный "Знаток". 180 схем, артикул 180-Znat.
Набор электронных блоков и соединений, позволяющий конструировать электрические цепи без пайки. В иллюстрированном руководстве описано 180 схем.
1815 руб
Раздел: Инженерные, научно-технические

81. Герой нашего времени М.Ю. Лермонтова

82. На дне - философская драма

83. “Подруга дней моих суровых”

84. Мучитель наш Чехов

85. Система образов в романе М.Ю. Лермонтова Герой нашего времени

86. Литературный контекст романа М. Ю. Лермонтова «Герой нашего времени»
87. Век 17: от Кеплера до Ньютона
88. Быстрые вычисления с целыми числами и полиномами

89. Вычисление корней нелинейного уравнения

90. Вычисление площади сложной фигуры методом имитационного моделирования

91. Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса

92. Приближенное вычисление определенных интегралов

93. Температурный расчет с помощью вычислений информационной математики

94. Диалектика силы. Ньютон - Козырев

95. Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

96. Кубатурные формулы для вычисления интеграла гармонической функции по круговой луночке

Трикотажная пеленка кокон "Bambola" (цвет: розовый).
Состав: интерлок, хлопок 100%. Возраст: 0-3 месяцев.
381 руб
Раздел: Пелёнки
Универсальный бокс, средний (3 секции).
Универсальные боксы прекрасно подходят для хранения любых мелочей: шурупов, гаек в мастерской, лекарств в домашней аптечке, маленьких
526 руб
Раздел: Более 10 литров
Музыкальный мобиль Жирафики "Рыбки" (арт. 939489).
Этот музыкальный мобиль станет одной из первых игрушек вашего малыша. Сначала кроха будет фокусировать взгляд на ярких забавных рыбках. Со
1250 руб
Раздел: Мобили

97. Наркотики в нашей жизни

98. Ожирение - болезнь нашего века

99. Менеджер нашего времени

100. Наш дом — Вселенная


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.