![]() |
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
![]() |
Способ доказательства теоремы Ферма в общем виде с помощью методов элементарной математики |
Способ доказательства теоремы Ферма в общем виде с помощью методов элементарной математики Н.И.Пичугин Ученые-математики вот уже 400 лет безуспешно бьются над доказательством теоремы Ферма. Они категорически отрицают доказательство теоремы элементарными способами. Столь длительные попытки доказательства, по-видимому связаны с отсутствием регулярной работы над темой и малой ее актуальной значимостью. Ведь нашли же российские ученые при крайней нужде, в срочном порядке, методы защиты отечественных кораблей от магнитных мин противника. Некоторые ученые считали доказательство теоремы даже неразрешимой задачей. Тем не менее, наконец в 1995 году обнародовано доказательство теоремы Ферма английским ученым А.Уайлсом. Оно базируется на последние достижения математической науки и является по существу результатом коллективного труда определенного круга математиков, работающих в различных направлениях математических исследований. А.Уайлс в своем доказательстве исходит из того, что теорема Ферма вписывается, является следствием гипотезы Таниямы о модулярных эллиптических образованиях. Такое заключение сделано на основании ограниченного количества точек x,y,z из теоремы Ферма, которые позволяют утверждать автору, что эти точки характиризуют все сочетания x,y,z и в качестве причастных к модулярным эллиптическим кривым. Доказательство А. Уайлса – сложное и трудоемкое, т.к. потребовалось доказать справедливость самой теоремы Таниямы и причастность элементов теоремы к модулярным эллиптическим кривым. При этом становится неясным: то ли доказывается справедливость гипотезы Таниямы с помощью недоказанной теоремы Ферма, то ли доказывается теорема Ферма с помощью недоказанной гипотезы Таниямы. Доказательство любой теоремы должно базироваться на общепризнанных постулатах. Доказательство А. Уайлса занимает 150 страниц печатного текста и изложено специальным математическим языком, мало доступным большинству интересующихся. Но главный его недостаток – оно не является прямым и непосредственным. Вызывает сомнение отсутствие взаимосвязи показателей степеней >2 со степенями =1 и 2 , не показана распространенность условий теоремы Ферма по плоскости XOY и в частности на целые отрицательные числа. Я не берусь подвергать сомнению подобное доказательство, но считаю необходимым утверждать, что любые три точки x ,y ,z могут вписываться в степенные числовые ряды, в треугольники Пифагора или, как будет показано ниже, станут исходными при доказательстве теоремы элементарными методами. Это свидетельствует о том, что доказательство теоремы Ферма с помощью модулярных элептических кривых не является единственно возможным и приемлемым в общем виде. Могут появиться и другие доказательства, в том числе и с использованием элементарной математики. После опубликования доказательства А.Уайлса в математических журналах в интернете появляются новые доказательства любителей математики, что свидетельствует о их неугасающем интересе к теме и стремлении к поиску более простого и доступного к пониманию непосредственного доказательства теоремы Ферма. Этот процесс в большинстве своем не преследует каких-либо корыстных целей, а скорее всего носит бескорыстный спортивный или престижный характер.
Вопреки мнению ученых математиков, ниже предлагается к обсуждению официальным лицам из института им. В.А. Стеклова и любителям математики из Интернета компактный, практически на 2-х страницах способ элементарного доказательства теоремы Ферма в общем виде, основанный на разложении уравнений Ферма по биному Ньютона на его составляющие. Это позволяет после преобразования уравнений Ферма x y =z (1) к виду (x - a) x - (x b) = 0 (2) где x, a и – целые числа, а b - целое или нецелое число, в зависимости от соотношения x, a и ; одновременно: - упростить доказательство, сведя его к одному неизвестному; - Выяснить взаимосвязь b с параметрами x, a и ; - определить структурную формулу для x в поисках целых решений при всех показателях степеней ; - выявить причину образования нецелых z при >2; - показать, что на плоскости XOY уравнения Ферма имеют нецелые решения для z при >2, как для положительных, так и для отрицательных чисел x и y , за исключением квадрантов II и IV при нечетных , где теорема Ферма не имеет смысла. Итак, приступим к разложению уравнений (2) по биному Ньютона относительно основополагающего параметра x: (x–a) x = 2x - x -1 a c 2 x -2 a2 - c 3 x -3 a3. a -(x b) = x x -1 b c 2 x -2 b2 c 3 x -3 b3. b Δ= x - x -1 (a b) c 2 x -2 (a2-b2) - c 3 x -3 (a3 b3) (a b ) =0 (3) Мы получили основное уравнение (3) для поиска целых решений z Упростим уравнение (3), приняв в нем а=b=1,2,3 . При этом доказательство теоремы сводится к решению задачи с одним неизвестным х (обоснование принятия а=b=1,2,3 см. ниже). В этом случае выражение (3) после решения его относительно х примет вид: x = 2 x -1 a 2c 3 x -3 a3 2c 5 x -5 a5 . (a a ) (4) Обозначим через P(a, ) = 2c 3 x -3 a3 2c 5 x -5 a5 . ( a a ) - добавку после первых двух членов уравнения (4). Тогда оно примет вид: x = 2 x -1 a P(a, ). Разделив левую и правую части уравнения (5) на x -1 , получим искомое структурное выражение для х: x=2 a P(a, )/x -1 (5) в котором 2 a – целое число, а добавка P(a, )≥0 – функция, от которой зависит доказательство теоремы Ферма. При P(a, )=0 для =1и 2 имеют место решения z в целых числах; для >2 P(a, )>0 и z при решении получаются нецелыми. В этом заключаются отличия уравнений Ферма степеней =1 и 2 от уравнений степеней >2. Следовательно, доказательство теоремы Ферма сводится к доказательству того, что функция P(a, )/x -1 при >2 всегда является нецелым числом. Перед доказательством предварительно введем понятие исходных x,y,z, играющих основополагающую роль при доказательстве. Собственно в основном все доказательство теоремы сводится к доказательству ее при исходных x,y,z. Из допущений а=b=2,3,4 примем а=b=1. Тогда получим x=2 P(1, )/x -1 y=x-1 и z=x 1 (6) Эти параметры и будем считать исходными при доказательстве теоремы Ферма. Другие параметры x,y,z, соответствующие выражению а=b=2,3,4 повторяют результирующие характеристики исходных x,y,z на более удаленных х , пропорционально числам 2,3,4. Возвращаясь к доказательству, предварительно сократим числитель и знаменатель в добавке P(1, )/ x -1 на общие сомножители и приведем ее к виду: P(1, )/ x -1= 2c 3 /x2 2c 5 /x4 2c 7 /x6 ( 1 1 )/x -1 (7) В числителе каждого члена разложения представлены сочетания c k – целые числа, распределение которых симметрично относительно центра с максимумом в точке ( 1)/2.
В знаменателе – функция х2, нарастающая по квадратичному закону. В первой половине разложения (7) из-за нарастания числителя и относительной малости знаменателя образуется большая числовая сумма. Во второй половине разложения из-за убывания числителя и резкого увеличения знаменателя образуется числовая сумма значительно меньше первой. Отметим, что непосредственное определение параметра х предлагаемым способом доказательства предусматривается осуществлять с помощью метода последовательных приближений, при котором все подставляемые х, кроме начального, являются нецелыми числами. Следовательно, суммы в первой и второй половине разложения (7) , как результат деления числителей на нецелые знаменатели, будут нецелыми. Результат их суммирования будет также нецелым. Если в исключительном случае (что невероятно) предположить, что в полученной общей сумме после запятой вычислялись значащие цифры до принятого порядка, например 109 и все они оказались равными нулю, то последующий расчет до порядка 1010 , из-за малого приращения сделает сумму обязательно нецелой. Нецелой становится и P(1, )/ x -1 , а это означает, что теорема Ферма доказана для >2 . Обратимся теперь к правомочности принятия допущения а=b=1,2,3 . При доказательстве теоремы принято а=b=1. В общем случае а изменяется в пределах от 0 при у=х и =1 до х при у=0. Ему соответствует изменение b в пределах 2 при а=0, =1, до 0 при а=х. При х>y имеем: . . Отсюда b≤x . ( √2-1). Это неравенство соблюдается при всех изменениях а. Нас интересует выбор a и b. За исходное принято а=1 потому, что при нем обеспечивается максимальное значение z и оно наиболее близко к предельному z=x √2. Соответствующее ему b=1 принято из следующих соображений. С ростом величина b уменьшается , проходя через точку b=2 при =1, точку b=1,657 при =2, далее переходит через точку b=1 при неизвестном и, становясь меньше 1, уменьшается до 0 при увеличении до бесконечности. b=1 оказывается единственным целым числом для >2, при котором возможны целые z. Полнота и общность предлагаемого доказательства может быть проиллюстрирована также возможностями частных доказательств теоремы, вытекающих из следствий общего доказательства, при целых положительных и отрицательных x и y. Благодаря допущению a=b=1, исходные x, y, z оказываются расположенными рядом на расстоянии 1 друг от друга в следующей последовательности: x-1, x , x 1. Это свойство может быть использовано для доказательства теоремы Ферма при помощи треугольников Пифагора, числовых степенных рядов и др. Треугольники Пифагора при >2 отражаются на плоскости xOy в виде остроугольных треугольников в квадрантах плоскости xOy I и IV или тупоугольных квадрантах II и III. Для первых характерно x (x-1) &l ;(x 1) и положительный cos B = 0,5-1,5/(x-1). Для вторых x (x-1) >(x 1) и отрицательный cos B. Нецелость теоремы Ферма доказывается через нецелость cos B в искаженных треугольниках. При использовании элементов уравнений Ферма x , y , z в качестве составляющих элементов числовых степенных рядов представляется возможным при >2 и a=b=1,2,3 непосредственно убедиться в нецелостности z при суммировании в рядах x =(2 ) и y =(2 -1) .
И Лежандру, и Дирихле независимо друг от друга удалось доказать Великую теорему Ферма при n=5, причем оба основывали свои доказательства на рассуждениях Софи Жермен и именно ей были обязаны своим успехом. Еще один прорыв осуществил четырнадцатью годами спустя француз Габриель Ламе. Он внес некоторые остроумные усовершенствования в метод Жермен и доказал Великую теорему Ферма при простом значении n=7. Жермен показала специалистам по теории чисел, как исключить целую группу случаев с простыми значениями n, и теперь объединенными усилиями ее коллеги продолжали доказывать теорему для одного простого значения n за другим. Работа Жермен над Великой теоремой Ферма стала ее величайшим достижением в математике, хотя и не сразу оцененным по достоинству. Когда Жермен впервые написала Гауссу, ей не было еще и тридцати лет, и хотя ее имя приобрело известность в Париже, она опасалась, что великий математик не воспримет письмо от женщины всерьез. Чтобы защитить себя, Жермен снова укрылась за псевдонимом, подписав письмо именем месье Леблана
1. Доказательство теоремы Ферма для n=4
2. Доказательство Великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры
3. Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма
4. Теорема Ферма: история и доказательства
5. Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма
9. Общие и специальные методы исследования конфликтов с помощью опросника Айзенка
10. Вычисление определённого интеграла с помощью метода трапеций на компьютере
11. Мониторинг загрязнения водной среды реки Херота с помощью методов биоиндикации
12. Память, виды памяти, методы тренировки памяти
14. Расчет площади сложной фигуры с помощью метода имитационного моделирования
15. Трехмерность бытия и теоремы Ферма и Пифагора
16. Виды и методы курортного лечения
17. Понятие конкуренции, ее виды и методы
18. Вычисление интеграла с помощью метода трапеций на компьютере
19. Расчет площади сложной фигуры с помощью метода имитационного моделирования
21. Налоговый контроль: понятие, задачи, формы, виды и методы
28. Эластичность: понятие, виды и методы расчета
29. Температурный расчет с помощью вычислений информационной математики
30. Применение методов дискретной математики в экономике
32. Обзор методов и способов измерения физико-механических параметров рыбы
33. Виды нормативно правовых актов и способы их публикации
34. Статистика (Способы отбора и виды выборки, обеспечивающие репрезентативность)
35. Детский травматизм и методы самостоятельной помощи
36. Исследование методов охлаждения садки колпаковой печи с помощью математического моделирования
41. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
42. Общая симптоматика гинекологических заболеваний. Методы обследования гинекологических больных
43. Психиатрия (общие вопросы организации психиатрической помощи)
45. Понятие и виды вещественных доказательств
46. Типология современных методов применения средств ИКТ в системе общего образования
47. Методы социологического исследования: общий обзор
49. Виды валютного риска и методы страхования
50. Метод, методика, способы и приемы экономического анализа
52. Решение геоэкологических проблем с помощью нестандартных геофизических методов
53. Виды печати и способы их применения
58. Заключение эксперта как вид доказательств
59. Общая характеристика и место вещно-правовых исков в системе способов защиты вещных прав
60. Общая характеристика трудового договора, их виды, содержание и порядок заключения
61. Отдельные виды доказательств в гражданском процессе
62. Понятие, виды и общая характеристика государственных (муниципальных) предприятий
63. Система и виды административных наказаний. Общие правила наложения административного наказания
66. Реализация метода главных компонент с помощью библиотеки OpenCV
67. Способы описания алгоритма. Виды операторов
68. Виды скидок и методы их расчета
69. Исследование рекламной аудитории: способы проведения и методы обработки результатов
73. Патологическая анатомия: введение в предмет, общие аспекты, методы исследования в патологии
74. Развитие первичной медицинской помощи по принципу медсестры общей практики
77. Метод моментных наблюдений. Виды норм труда и их характеристики
78. Сущность, структура, виды, средства и способы коммуникаций в организации
79. Организационная (корпоративная) культура как особый вид общей культуры
80. Обучение рассказыванию как метод формирования связной речи у детей с общим недоразвитием речи
81. Политические конфликты, их виды и способы разрешения
83. Виды психосоциальной помощи при работе с ВИЧ-инфицированными
84. Методы и особенности работы практического психолога в области помощи ребенку с аутизмом
85. Сказкотерапия как методы психологической помощи детям в ситуации развода родителей
89. История, причины, виды инфляции и методы борьбы с ней
90. Общие методы измерения рисков
92. Солнечные пятна, динамика и механизм их образования, способы их учета в экологии и астрофизике
93. Исследование клеточного цикла методом проточной цитометрии
94. Общая биология
95. Общее содержание воды в листьях калины в условиях биостанции
97. Виды попугаев
98. Общая характеристика процесса научения
99. Новейшие методы селекции: клеточная инженерия, генная инженерия, хромосомная инженерия