|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка |
Фонарь желаний бумажный, оранжевый. 
Крючки с поводками Mikado SSH Fudo "SB Chinu", №4BN, поводок 0,22 мм. РЕФЕРАТ Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядкаАвтор: Бычков Вячеслав Викторович, студент группы 220601 ФИТУ АСОИ 3 курс Научный руководитель: Цегельник Владимир Владимирович, Доктор физико-математических наук, доцент Зав. кафедрой высшей математики БГУИРМинск 2004 Реферат14 стр.; 8 источников Ключевые слова: автомодельное решение, уравнение Кортевега де Фриза, уравнения Пенлеве, рациональные решения, высшие аналоги уравнений Кортевега де Фриза и Пенлеве, двух - и трёхпараметрические семейства полярных решений, преобразование Беклунда. Объектом исследования является система двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, порождённая прямым и обратным преобразованиями Беклунда высшего аналога второго уравнения Пенлеве . Целью работы является исследование некоторых аналитических свойств решений указанной системы. Используя метод исключения, получены два нелинейных дифференциальных уравнения шестого порядка, связанные между собой простым масштабным преобразованием. Основным результатом работы является доказательство наличия у системы четырёхпараметрических семейств решений, порождаемых общим решением высшего аналога второго уравнения Пенлеве. Рассматриваемая система и полученные результаты являются новыми. Отзыв научного руководителяВ работе рассматривается актуальная задача исследования аналитических свойств решений системы двух нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка, порождённой прямым и обратным преобразованиями Беклунда высшего аналога второго уравнения Пенлеве. Теория высших аналогов уравнений Пенлеве интенсивно развивается, так как последние являются точными автомодельными редукциями хорошо известных высших аналогов уравнений в частных производных. В работе показано существование у системы четырёхпараметрических семейств решений, порождаемых общим решением высшего аналога второго уравнения Пенлеве. На основании этого показано существование рациональных, а также двух - и трёхпараметрических семейств полярных решений у рассматриваемой системы. Работа выполнена самостоятельно с привлечением достаточно большого объёма библиографических источников. СодержаниеВведение Основная часть Заключение Список использованных источников ВведениеError: Refere ce source o fou dСреди решений уравнений в частных производных встречаются решения, зависящие от какой-нибудь одной комбинации независимых переменных и, следовательно, удовлетворяющие некоторому обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ). Решения, обладающие указанным свойством, называются автомодельными решениями. Отметим, что под ОДУ понимается как одно обыкновенное дифференциальное уравнение, так и система таких уравнений. Например, известное уравнение Кортевега де Фриза (KdV)допускает как стационарные решения (решения типа “бегущая волна”) (при этом , удовлетворяют ОДУ, ), так и автомодельное решение , где , удовлетворяют уравнению .Отметим, что термин “автомодельное решение&quo ; относится, вообще говоря, к решению, зависящему (нетривиальным образом) от меньшего числа независимых переменных, чем полное решение.
Явление, развивающееся во времени, называется автомодельным, если распределения его характеристик в разные моменты времени получаются одно из другого преобразованием подобия. Установление автомодельности всегда является успехом для исследователя: автомодельность упрощает вычисление и представление характеристик явления. Автомодельность позволяет во многих случаях свести задачу математической физики к решению ОДУ, что существенно, во многих случаях, упрощает исследование. Кроме того, автомодельные решения используются как эталоны при оценке приближённых методов решения более сложных задач. Широкая компьютеризация научных исследований и открытие метода обратной задачи (ОЗР) вызвали ещё больший интерес к автомодельным решениям . Во-первых, автомодельность по-прежнему продолжает привлекать как глубокий физический факт, свидетельствующий о наличии определённого типа стабилизации исследуемых объектов, и имеющий место для достаточно широкого круга условий . Во-вторых, автомодельные решения играют важную роль при изучении поведений решений уравнений в частных производных по истечении длительного времени (в области, где нельзя пренебречь вкладом фона). В-третьих, открытие метода ОЗР позволило установить тесную связь между автомодельными решениями нелинейных уравнений в частных производных, интегрируемых методом ОЗР, и решениями ОДУ P-типа, т.е. ОДУ, общий интеграл которых не содержит многозначных подвижных особых точек. Следует отметить, что аналитические свойства решений ОДУ P-типа первого и второго порядка достаточно хорошо изучены. Наибольший интерес в настоящее время привлекают так называемые высшие аналоги уравнений P-типа. По всем этим причинам поиск автомодельностей в последнее время начинается сразу, как только открывается новая область исследования. В данной работе исследуются некоторые аналитические свойства решений системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка. Характерной особенностью уравнений данной системы является то, что они определяют преобразования (прямое и обратное) Беклунда высшего аналога второго уравнения Пенлеве. Хорошо известно, что высший аналог второго уравнения Пенлеве есть точная автомодельная редукция высшего аналога уравнения Кортевега де Фриза, имеющего широкий спектр приложений в нелинейной физике. Метод исследования аналитических свойств решений указанной выше системы состоит в исследовании эквивалентных ей двух нелинейных дифференциальных уравнений шестого порядка с учётом аналитических свойств решений высшего аналога второго уравнения Пенлеве. Полученные в работе результаты являются новыми. Основная частьХорошо известно, что высший аналог второго уравнения Пенлеве имеет преобразование Беклунда и обратное к нему, определяемые формулами, (1) , (2)соответственно с произвольным параметром . Это означает, что если известно решение уравнения (3)при некотором фиксированном значении параметра , то формула (2) позволяет получить решение уравнения при фиксированном значении параметра . И наоборот, если известно решение уравнения при фиксированном значении параметра , то с помощью (1) можно получить решение уравнения (3).
При этом предполагается, что знаменатели дробей в (1) и (2) при любых значениях z отличны от нуля. Система (1), (2) эквивалентна по уравнению:, (4)где Относительно система (1), (2) также эквивалентна уравнению шестого порядка, (5)где Нетрудно проверить, что уравнение (5) получается из (4) с помощью преобразований , . Справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Все решения уравнения являются одновременно решениями уравнения (4). В справедливости данной теоремы можно убедиться, если из найти , и вместе с подставить в уравнение (4). Остановимся на некоторых свойствах решений уравнения . Лемма. Уравнение можно записать в виде системы (6)Справедливость этого утверждения устанавливается исключением из системы (6). Заметим, что из (6) также следует существование трёхпараметрического семейства решений уравнения при , которое определяется общим решением уравнения (7)Действительно, если в (6) положить , , то мы получаем уравнение (7). Для интегрирования уравнения (7) введём функцию . Тогда и система (6) перепишется в виде (8)а уравнение (7) - в виде. (9)Ясно, что уравнение (9) интегрируется посредством первого трансцендентна Пенлеве заменой , , где , . Таким образом, справедлива Теорема 2. Произвольное решение уравнения Риккати , где q - произвольное решение первого уравнения Пенлеве, является решением уравнения . Известно также , что уравнение имеет рациональные решения тогда и только тогда, когда . Они легко получаются из тривиального решения при с помощью формул (1), (2). В частности, при имеем решение , а при решение . Характерной особенностью уравнения является то, что оно является частным случаем уравнения, где , , , получающегося из высшей иерархии Кортевега де Фриза, (10) где , , при помощи редукции , . При уравнения и (10) являются классическими уравнениями Кортевега де Фриза и вторым уравнением Пенлеве связанными преобразованием , . Для в получаем уравнение . Ещё одной важной особенностью уравнения является то, что оно имеет трёхпараметрические и двухпараметрические семейства полярных решений . В силу теоремы 1 таким же свойством обладает и уравнение (5). Подробное описание различных свойств решений уравнения в связи с их многочисленными приложениями содержится в учебном пособии . ЗаключениеИсследование аналитических свойств решений системы двух нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка, порождаемой прямым и обратным преобразованиями Беклунда высшего аналога второго уравнения Пенлеве позволило доказать существование у неё четырёхпараметрического семейства решений, порождаемого общим решением высшего аналога второго уравнения Пенлеве. На основании этого доказано существование у системы рациональных, а также двух - и трёхпараметрических семейств полярных решений. Работа (в рамках поставленной задачи) является завершённой. В процессе исследований использовался пакет символьных вычислений МАТЕМАТИКА. Список использованных источников Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. - М.: Мир. 1987. - 479 с. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. - М.: Мир. 1989. - 328 с. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны.
Таким образом, для ансамбля, состоящего из N материальных точек, мы получаем систему из 3N дифференциальных уравнений второго порядка по времени для 3N координат всех N материальных точек. Как следует из математического анализа, решение этой системы уравнений полностью определяется заданием положений и скоростей всех материальных точек системы в начальный момент времени. Так обобщается на случай системы материальных точек принцип механического детерминизма, установленный ранее для случая одиночной материальной точки. Изучение движения системы материальных точек очень упрощается, если ввести понятие центра инерции системы, который, как известно, совпадает с центром тяжести всех материальных точек системы. Оказывается, что если на систему не действуют никакие внешние силы, то ее центр инерции движется прямолинейно и равномерно. Этот результат следует из одного общего свойства сил, вводимых в механике, свойства, которое выражается принципом равенства действия и противодействия. Согласно этому принципу, сила, действующая на материальную точку A со стороны материальной точки B, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой точка A действует на точку B
1. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка
4. Решение систем дифференциальных уравнений
9. Метод касательных решения нелинейных уравнений
10. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
12. Решение дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией
13. Метод касательных решения нелинейных уравнений
14. Метод касательных. Решения нелинейных уравнений. Паскаль 7.0
15. Методы и алгоритмы компьютерного решения дифференциальных уравнений
16. Решение дифференциальных уравнений в среде MathCAD
Набор чернографитных карандашей для правшей STABILO EASYgraph, 2 штуки. 
Фломастеры. CARIOCA, 36 цветов. 
Шкатулка Jardin D'Ete "Розовая глазурь", 11x10x8 см. 18. Решение дифференциального уравнения первого порядка
19. Решение дифференциальных уравнений
20. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера
21. Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
25. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью
26. К решению нелинейных вариационных задач
27. Способы решения систем линейных уравнений
28. Шпоры по дифференциальным уравнениям
29. Дифференциальные уравнения неустановившегося движения воздуха по рудничным воздуховодам
30. Дифференциальные уравнения I и II порядка
31. Частные случаи дифференциальных уравнений
32. Поиск решений системы линейных уравнений методом Гаусса
Органайзер для обуви "Сороконожка". 
Фоторамка "Poster gold" (70х100 см). 
Пластины для стирки белого и цветного белья FeedBack, 30 штук. 33. Разработка программы решения системы линейных уравнений
34. Решение системы линейных уравнений
37. Использование дифференциальных уравнений, передаточных и частотных передаточных функций
41. Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными
43. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
44. Применение технологии знаково-контекстного обучения во время изложения дифференциальных уравнений
45. Дифференциальное уравнение относительного движения механической системы
46. Решение системы нелинейных уравнений
47. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений
48. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений
Глобус Земли, физико-политический, с подсветкой, 320 мм, арт. К013200101. 
Рюкзак школьный "Multi Pack mini. Грация", 27х17х36 см. 
Глобус географический + политический, с подсветкой "Orion", диаметр 250 мм. 49. Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
50. Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически
51. Решение уравнений в целых числах
52. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
53. Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом
57. Методы решения уравнений в странах древнего мира
58. Приближенное решение уравнений
59. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
60. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
61. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули
62. Решение иррациональных уравнений
63. Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный
64. Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона
Термо ланч-бокс "Bento" (арт. TK 0049). 
Зеркальце карманное "Котик", 8x7 см. 
Коробка подарочная "Цветы и павлиньи перья". 65. Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах
66. Применение графиков в решении уравнений
67. Методы решения уравнений, содержащих параметр
68. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
69. Численное решение модельного уравнения
73. Алгоритм решения Диофантовых уравнений
74. Графическое решение уравнений
75. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
76. Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений
77. Решение иррациональных уравнений
78. Решение параболических уравнений
79. Решение уравнений в конечных разностях
80. Формулы, возможно неизвестные, для решений уравнения Пифагора
Увлекательная настольная игра "Турбосчет Форсаж". 
Настольная игра "Имаджинариум". 
Картриджи чернильные "Cartridge Quink", синие, 5 штук. 81. Методы решения алгебраических уравнений
82. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
83. Нелинейное уравнение и интервал изоляции корня
85. Биотехнология. Вклад в решение глобальных проблем человечества
91. Решение задач по курсу "семейное право"
92. Культура, природа, человек. Проблемы и пути их решения
93. Решение транспортной задачи методом потенциалов
96. По решению прикладных задач на языке FRED
Экспресс-скульптор "Эврика", большой. 
Коврик для ванной "Kamalak Tekstil", 60x100 см (коричневый). 
Развивающая настольная игра "Хронолёт", новая версия. 97. Получение уравнения переходного процесса по передаточной функции
98. Билеты, решения и методичка по Информатике (2.0)
99. Решение математических задач в среде Excel
100. Графы. решение практических задач с использованием графов (С++)
Совок большой. 
