Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Теория групп — наука о совершенстве

Мыло металлическое "Ликвидатор".
Мыло для рук «Ликвидатор» уничтожает стойкие и трудно выводимые запахи за счёт особой реакции металла с вызывающими их элементами.
197 руб
Раздел: Ванная
Совок большой.
Длина 21,5 см. Расцветка в ассортименте, без возможности выбора.
21 руб
Раздел: Совки
Брелок LED "Лампочка" классическая.
Брелок работает в двух автоматических режимах и горит в разных цветовых гаммах. Материал: металл, акрил. Для работы нужны 3 батарейки
131 руб
Раздел: Металлические брелоки

Теория групп — наука о совершенстве Евгений Вдовин Введение Настоящий текст появился по нескольким причинам. Во-первых, подавляющее большинство не представляет, чем занимается современная математика. Теория групп — это, конечно, далеко не вся современная математика, а лишь малая ее часть, но она находится на одном из самых высоких уровней абстракции, что делает ее неплохим примером раздела современной математики. Во-вторых, такой естественный и простой (для объяснения) объект, как группы, практически незнаком большинству ученых. Действительно, что может быть естественнее и привычнее для человека, чем понятие симметрии. Мы с самого рождения вольно или невольно ищем в окружающих предметах симметрию, и чем симметричнее предмет, тем совершеннее он нам кажется. Древние греки считали шар идеальной фигурой, именно из-за того, что у шара очень много симметрий. Взгляните на любую известную картину, и вы увидите там явную ось (а иногда и не одну симметрии). Любое музыкальное произведение развивается по циклу, постоянно возвращаясь к исходной теме, т. е. и там тоже есть симметрия. Даже такой, всем известный символ, как крест, почитаемый во многих религиях, кажется нам красивым из-за большого количества симметрий: его можно и крутить, и отражать относительно любой из его частей. Но превратите крест в свастику, и у вас сразу возникнет неуютное ощущение, ведь большую часть симметрий креста вы уничтожили. Таким образом, именно симметрия определяет, насколько совершенным кажется нам тот или иной объект, и теория групп, как наука, изучающая симметрии, может без преувеличения называться наукой о совершенстве. И в-третьих, я вдохновлен примером таких замечательных ученых и популяризаторов науки, как Сергей Попов и Игорь Иванов, научно-популярные статьи которых я с интересом читаю. Поскольку текст изначально задумывался доступным для читателя, знающего математику в объеме школьной программы, некоторые специальные части текста (на самом деле, подавляющая его часть), содержащие более трудный для понимания материал, чем обычно дается в школьном курсе алгебры, будут начинаться знаком и заканчиваться знаком (это не означает, что для понимания такого текста требуется что-то большее, чем школьная математика, трудности будут возникать логического характера). Дело в том, что теория групп находится на одном из самых высоких уровней абстракции в современной математике и потому группы иногда состоят из элементов, которые весьма сложно представить неискушенному читателю. Некоторые исходные определения и обозначения Мы постараемся использовать как можно меньше формул и специальных математических знаков, но совсем без них обойтись не получится. Множества, как правило, будут обозначаться заглавными латинскими буквами, а их элементы — строчными. Если A — множество, а a — некоторый элемент, то запись a  A следует читать «элемент a принадлежит множеству A»; соответственно, запись a  A означает, что «элемент a не принадлежит множеству A». Напомним, что понятия множества, элемента и принадлежности являются базисными неопределяемыми понятиями современной математики.

Любое множество определяется элементами, входящими в него (которые, в свою очередь, тоже могут быть множествами). Таким образом, мы говорим, что множество определено или задано, если для любого элемента мы можем сказать, принадлежит ли он этому множеству или нет. Для двух множеств A, B записи B  A, B  A, B ∩ A, B  A, B A, A & imes; B означают соответственно, что B является подмножеством множества A (т. е. любой элемент из B содержится также и в A, например множество натуральных чисел содержится в множестве действительных чисел; кроме того, всегда A  A), B является собственным подмножеством множества A (т. е. B  A и B ≠ A), пересечение множеств B и A (т. е. все такие элементы, которые лежат одновременно и в A, и в B, например пересечение целых чисел и положительных действительных чисел есть множество натуральных чисел), объединение множеств B и A (т. е. множество, состоящее из элементов, которые лежат либо в A, либо в B), разность множеств B и A (т. е. множество элементов, которые лежат в B, но не лежат в A), декартово произведение множеств A и B (т. е. множество пар вида (a, b), где a  A, b  B). Через A всегда обозначается мощность множества A, т. е. количество элементов в множестве A. Определяемые понятия всегда выделяются курсивом.   Нам не обойтись без понятий отображения, отношения и эквивалентности. Мы не будем давать строгих логических определений этих понятий, лишь поясним их. Отображение можно рассматривать как некоторую функцию, сопоставляющую одному элементу (называемому прообразом) некоторый другой элемент (называемый образом). В жизни мы постоянно сталкиваемся с понятием отображения, например, покупая билет в театр мы тем самым устанавливаем отображение между билетом и некоторым местом в зале театра. Получая зарплату, мы устанавливаем отображение между работой, проделанной за месяц и деньгами, которые за нее будут заплачены. Изучая списки игроков футбольных команд, мы устанавливаем отображение между игроками и командами, за которые они играют. Таким образом, отображений существует великое множество, почти всё в нашей жизни так или иначе является отображениями. Выделяют различные типы специальных отображений, далее в тексте будут использоваться следующие 3 типа: инъективное отображение (инъекция), сюръективное отображение (сюръекция) и биективное отображение (биекция). Инъективное отображение — это такое отображение, которое разным исходным элементам сопоставляет разные образы. Сюръективное отображение — это такое отображение, при котором у каждого образа есть прообраз. Наконец, биективное отображение — это отображение, которое одновременно является и инъективным, и сюръективным. Поясним эти понятия на примере отображения между множеством билетов и множеством мест в театре. Представим себе некий кинотеатр в уездном городе , в котором в тысячу какой-то раз идет «Щит и меч». Естественно, желающих посмотреть его немного, и находится лишь одна парочка, которая берет два билета в «ряду для поцелуев». Придя в кинотеатр, парочка, к своей радости, понимает, что они здесь одни, но как люди воспитанные, занимает свои места, указанные в билетах.

В данном случае отображение, конечно, является инъективным, так как разные билеты соответствуют разным местам. Но оно не является сюръективным, так как у нас еще осталась куча пустых мест, на которые не продано ни одного билета. Таким образом, несюръективное отображение явно невыгодно администрации кинотеатра. Представим теперь, что на следующий день в том же кинотеатре того же города пообещали запустить новый блокбастер от Тарантино и намекнули при этом, что сам Тарантино будет отвечать на вопросы зрителей после фильма. Естественно, кассы ломятся от народа, и дирекция, «по ошибке», продает два комплекта билетов на одни и те же места. Мы не будем здесь описывать разборки из-за одного места, произошедшие на сеансе, отметим лишь, что теперь отображение является сюръективным, так как на каждое место продан билет, но не является инъективным, так как билетов на каждое место приходится два. Таким образом, неинъективное отображение входит в прямое противоречие с правами потребителей и, наверное, попадает под какую-то статью закона «О защите прав потребителей». Ну и последний случай, посмотрим на тот же кинотеатр в городе накануне 1 января 2006 года. Широко разрекламированный первый фильм года вновь вызывает ажиотаж публики, но теперь дирекция, наученная предыдущим горьким опытом, тщательно следит за тем, чтобы на каждый сеанс продавался ровно один комплект билетов. В итоге, каждый зритель спокойно занимает свое место, и каждый сеанс начинается при полном аншлаге. Таким образом, этот последний пример является и инъективным, и сюръективным отражением, т. е. биекцией. Следовательно, биекция — это та золотая середина, которая максимально выгодна дирекции и при этом максимально удобна зрителям. Только что данное понятие биекции является математической формализацией интуитивного понятия симметрии, о котором шла речь во введении. Поэтому неудивительно, что именно биекция является наиболее совершенным отображением в данном случае. Отображением из множества A в множество B называют некоторое правило, используя которое, каждому элементу из A можно сопоставить единственный элемент из B. Отображения мы обычно будем обозначать греческими буквами и записывать φ : A → B, а образ любого элемента a  A относительно отображения φ записывается aφ. Такая запись кажется сначала непривычной и неудобной тем, кто привык записывать функции (частный случай отображений) как φ(a), но для нашего изложения именно она будет более удобной. Если есть 3 множества A, B, C и даны отображения φ : A → B и ψ : B → C, то можно построить отображение φψ : A → C как композицию (последовательное выполнение) отображений φ и ψ. Заметим, что если бы мы записывали отображение слева, то композицию φψ нам бы пришлось читать справа налево, по-арабски. В дальнейшем нам потребуются следующие специальные типы отображений: инъекция (отображение φ : A → B называется инъективным, если для любых различных x, y  A элементы xφ, yφ также различны), сюръекция (отображение φ : A → B называется сюръективным, если для любого y  B существует такой x  A, что xφ = y), биекция (инъекция и сюръекция одновременно).

Бакунин злорадно приписывал Марксу и Энгельсу соображения, которые эти двое даже если и лелеяли, то в открытую никогда не высказывали: Мне возразят, что все рабочие... не могут стать учеными; и разве недостаточно того, что в этой организации [Интернационале] есть группа людей, освоивших науку, философию и политику социализма так полно, как только можно их освоить в наши дни, так что большинство... может быть уверено в том, что не свернет с верного пути к освобождению пролетариата... послушно следуя за ними? А ведь рассуждения такого характера, пусть высказанные не вполне открыто, а всегда обиняками, с оговорками, мы уже слышали - просто их носителям недостает смелости и откровенности, чтобы изложить их прямо. Бакунин продолжил свою филиппику: Начиная с базового принципа о том, что мысль первична по отношению к жизни, а абстрактная теория - по отношению к социальной практике, и делая из этого вывод, что в любом социальном перевороте и реконструкции главенствующее место должно быть отдано социологии, эти люди заключали, что, поскольку мысль, теория и наука -по крайней мере пока - являются исключительной собственностью всего лишь нескольких людей, этому большинству и надлежит направлять жизнь общества

1. Теория вероятностей: наука о случайном

2. Абстрактная теория групп

3. Экономическая теория как наука

4. Теория государства и права как наука и учебная дисциплина

5. Теория науки Макса Вебера

6. Современные теории мотивации и исполнение их элементов в отечественной науке и практике
7. Представление об экономической теории. Ее место в ряду экономических наук
8. Физическое совершенство как основное понятие теории физической культуры

9. Материалы по теме Теория общественного выбора. Группы специальных интересов

10. Место дисциплины теории государства и права среди других наук

11. Теория государства и права в системе гуманитарных и юридических наук

12. Теория организации в системе наук

13. Экономическая теория в системе экономических наук

14. Достижения Советской науки

15. Планеты Земной группы

16. Теория развития Вселенной

Набор чернографитовых карандашей "Graphic", 12 штук.
Набор чернографитовых карандашей содержит 12 заточенных карандашей различной твердости (5B-5H). Карандаши изготовлены из лучших пород
360 руб
Раздел: Чернографитные
Рамочка тройная "Классика" (коричневая).
Тройная рамочка с отпечатком - это особый подход к созданию очаровательного подарка на память для этого особого периода жизни, с
2890 руб
Раздел: Мультирамки
Пазл "Стройка", 30 элементов.
Пазлы Ларсен - это прежде всего обучающие пазлы. Они привлекают прежде всего филигранностью исполнения. Сделанные из высококачественного
548 руб
Раздел: Пазлы (5-53 элементов)

17. Планеты земной группы

18. Динозавры. Факты и теории

19. Эволюционная теория Чарльза Дарвина

20. Теория Эволюции (шпаргалка)

21. Научный креационизм (Теория сотворения). Обновленная и улучшенная версия

22. Этика науки
23. Греция: Политика. Искусство. Наука
24. Налоги: типы, эволюция. Теория налогообложения

25. Иск в гражданском процессе: теория и практика

26. А.В. Суворов. Наука побеждать

27. Образование и наука конца 19 начала 20 века

28. Советская наука в годы Великой Отечественной войны

29. Теория элит В.Парето

30. Шпаргалка по теории и истории кооперативного движения

31. История международного права и его науки классического периода

32. Лекции (часть) по теории государства и права

Планшетик "Кто самый умный?".
Этот говорящий планшетик – прекрасный подарок для маленьких эрудитов! 200 умных вопросов, 20 игровых тем, 3 уровня – играй и узнавай много
445 руб
Раздел: Планшеты и компьютеры
Одеяло байковое жаккардовое "Карапуз" (цвет: бежевый).
Жаккардовое одеяло для новорожденных и детей изготовлено из 100% хлопка (натуральная байка). Двухсторонняя расцветка. Одеяло имеет мягкую
565 руб
Раздел: Одеяла для детей
На золотом крыльце...Карточки с заданиями к палочкам Кюизенера.
Набор игр с цветными счетными палочками Кюизенера. В состав набора входят два блока иллюстративного материала к играм и упражнениям. 1
373 руб
Раздел: Счетные наборы, веера

33. Генезис (развитие) теории правового государства с древнейших времен и по наши дни

34. Теории государства и права (Шпаргалка)

35. Теория государства и права

36. Теория государства и права

37. Теория государства и права (Шпаргалка)

38. Теория юридических фактов
39. Шпаргалка по теории государства и права
40. Теория государства и права. Правовой статус личности

41. Ответы к экзаменационным билетам по Теории государства и права

42. Происхождение права, теории происхождения права, понятие признаки, виды, функции, принципы

43. Теория государства и права (в таблицах)

44. Теория государства и права

45. Теория государства иправа. Проблемно-тематический курс

46. Понятие трудового права. Предмет науки трудового права

47. Семантические типы предикатов, выраженных глаголами эмоционально-оценочной группы appreciate, cherish, value

48. Сравнительные степени прилагательных и наречий (Comparison) Модальные глаголы (Modal Verbs) Цепочки существительных (Атрибутивная, номинативная группа) (Chains of nouns)

Карандаши цветные "Noris Club", 12 цветов + 4 карандаша.
Эргонамичная трехгранная форма для удобного и легкого письма. A-B-S - белое защитное покрытие для укрепления грифеля и для защиты от
398 руб
Раздел: 13-24 цвета
Электронный озвученный плакат "Говорящая Азбука".
«Говорящая АЗБУКА» из серии звуковых плакатов Знаток ТМ для начинающих изучать русский алфавит. Кнопки «Изучение» и «Экзамен» помогут
703 руб
Раздел: Электронные и звуковые плакаты
Настольная семейная игра "Усачи".
Весёлая игра на реакцию. Каждый игрок берёт усы на специальной палочке с присоской. Сдающий переворачивает по одной карте из колоды. На
445 руб
Раздел: Игры на ловкость

49. Теория и методика преподавания классического танца

50. Первые европейские университеты и наука

51. Культурология и теория цивилизаций

52. Истоки культурологической науки

53. Теория языкознания

54. "Теория" и поведение Раскольникова в романе Ф.Достоевского "Преступление и наказание"
55. Группа Блумсбери. Творчество Вирджинии Вулф
56. Теория лингвистической относительности Сепира - Уорфа

57. Теория и методика русского языка (экзаменационные билеты)

58. История группы "Rammstein"

59. Юрий Шевчук и группа DDT

60. Вклад М.В. Ломоносова в науку и литературу

61. Ломоносов и его вклад в развитие химической науки

62. Развитие науки и техники в России в первой половине XVIII века

63. Наука в истории культуры

64. Наука, 340-493 гг. Греция

Рюкзак для старших классов "Сладости", 41x32x14 см.
Рюкзак для старших классов, студентов, молодежи. 1 основное отделение, 1 дополнительный карман. Материал: водоотталкивающая ткань. Широкие
621 руб
Раздел: Без наполнения
Карандаши цветные "Jumbo. MAXI", 12 цветов.
Высококачественные карандаши. Яркая упаковка с изображениями лошадей обязательно понравится детям. Легко затачивается. Очень мягкий
374 руб
Раздел: 7-12 цветов
Фломастеры "Birello", двухсторонние, 24 цвета.
Набор фломастеров с двойным наконечником. Толщина пишущего узла: 2,5 мм / 5 мм. Стержень: тонкий / широкий. Корпус: пластик. Количество цветов: 24.
551 руб
Раздел: 13-24 цвета

65. О кризисе современной исторической науки

66. Развитие исторической науки в России

67. Наука в Башкортостане

68. Норманнская теория происхождения государства у славян и ее роль в российской истории

69. Просвещение и наука эпохи Петра 1

70. Развитие Российской науки в 18-19 вв.
71. Краткий конспект лекций по Теории тестирования аппаратных и программных средств
72. Теория системного управления

73. Постановка лабораторной работы по теории графов

74. Теория многозадачности и многопоточности

75. Лабораторные работы по теории и технологии информационных процессов

76. Теории управления

77. Терминология теории систем. Классификация систем. Закономерности систем

78. Лабораторная работа №7 по "Основам теории систем" (Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ)

79. Лабораторная работа №4 по "Основам теории систем" (Послеоптимизационный анализ задач линейного программирования)

80. Лабораторная работа №2 по "Основам теории систем" (Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Варианты разрешимости задач линейного программирования)

Мольберт "Ника", двухсторонний, с пластмассовой азбукой (сиреневый).
Двухсторонний мольберт для детей от 1,5 лет. (Внимание! В комплекте мелкие детали). - доска для рисования маркером; - доска для рисования
1575 руб
Раздел: Буквы на магнитах
Карандаши восковые, треугольные, с ластиком и точилкой.
В набор входят: 12 разноцветных карандашей длиной 7 см и диаметром 1 см., точилка, ластик.
302 руб
Раздел: Восковые
Набор шариковых ручек "Frixion", синие, 0,7 мм, 2 штуки.
Синяя шариковая ручка "Frixion" пиши-стирай на основе исчезающих термочернил. Письмо корректируется с помощью специальной
336 руб
Раздел: Синие

81. Терминология теории систем (автоматизированные и автоматические системы)

82. Математичекие основы теории систем: анализ сигнального графа и синтез комбинационных схем

83. Теория вероятности и математическая статистика

84. Теория случайных функций

85. Теория игр и принятие решений

86. Теория графов и её применение
87. Теория вероятностей и математическая статистика
88. Теория информации

89. Теория графов. Задача коммивояжера

90. Шпоры по теории вероятности

91. Теория неявных функций и ее приложения

92. Теория мышления, интеллектуальные различия, лобные доли

93. Кодеин - вещество (алкалоид) из группы опиатов

94. Продвинутые методы Ганемана. LМ-потенции: теория и практика

95. Методология науки криминалистики (Контрольная)

96. Преступная группа: криминалистические проблемы

Набор шариковых ручек "Frixion", синие, 0,7 мм, 2 штуки.
Синяя шариковая ручка "Frixion" пиши-стирай на основе исчезающих термочернил. Письмо корректируется с помощью специальной
336 руб
Раздел: Синие
Дуга с подвесками "Забава".
Дуга с подвесками "Забава" крепится с помощью специальных прищепок к коляске, автокреслу или детской кроватке. Яркие
755 руб
Раздел: Дуги и погремушки для колясок
Шнуровка-бусы "Русалочки".
Обучающая игра для детей от 3 лет, которая развивает логическое мышление, внимание, память. В наборе: 11 фигурок, шнуровка с безопасными
345 руб
Раздел: Деревянные шнуровки

97. Обратная сила закона. Теория и практика применения на примере преступлений против собственности

98. Проблема существования человечества в свете теории Вернадского о ноосфере

99. Современные теории получения экологически чистой энергии


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.