Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Об алгебраических уравнениях высших степеней

Чашка "Неваляшка".
Ваши дети во время приёма пищи вечно проливают что-то на ковёр и пол, пачкают руки, а Вы потом тратите уйму времени на выведение пятен с
222 руб
Раздел: Тарелки
Браслет светоотражающий, самофиксирующийся, желтый.
Изготовлены из влагостойкого и грязестойкого материала, сохраняющего свои свойства в любых погодных условиях. Легкость крепления позволяет
66 руб
Раздел: Прочее
Забавная пачка "5000 дублей".
Юмор – настоящее богатство! Купюры в пачке выглядят совсем как настоящие, к тому же и банковской лентой перехвачены... Но вглядитесь
60 руб
Раздел: Прочее

Министерство общего и профессионального образования РФ Кубанский государственный технологический университет Кафедра общей математики ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ Белокопытов А.Ю., Морозов В.О. группа 20-КТ-61 Краснодар, 2001 Уравнения! Можно утверждать наверняка, что не найдется ни одного человека, который бы не был знаком с ними. Дети сызмала начинают решать «задачи с иксом». Дальше – больше. Правда, для многих знакомство с уравнениями и заканчивается школьными делами. Известный немецкий математик Курант писал: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека». И среди этих знаний было умение решать уравнения. Уже в древности люди осознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения вида a0x a1x – 1 a = 0 – ведь к ним сводятся очень многие и очень разнообразные вопросы практики и естествознания (конечно, здесь можно сразу предполагать, что а0 ( 0, так как иначе степень уравнения на самом деле не , а меньше). Многим, разумеется, приходила в голову заманчивая мысль найти для любой степени формулы, которые выражали бы корни уравнения через его коэффициенты, т.е., решали бы уравнение в радикалах. Однако «мрачное средневековье» оказалось как нельзя более мрачным и в отношении обсуждаемой задачи – в течение целых семи столетий требуемых формул никто не нашел! Только в XVI веке итальянским математикам удалось продвинуться дальше – найти формулы для = 3 и 4. История их открытий и даже авторство найденных формул достаточно темны по сей день, и мы не будем здесь выяснять сложные отношения между Ферро, Кардано, Тартальей и Феррари, а изложим лучше математическую суть дела. Рассмотрим сначала уравнение a0x3 a1x2 a2x a3 = 0. Легко проверить, что если мы положим , где y – новое неизвестное, то дело сведется к решению уравнения y3 py q = 0, где p, q – новые коэффициенты. Счастливая догадка итальянцев состояла в том, чтобы искать y в виде суммы y = u v, где u, v – д в а новых неизвестных. Для них наше уравнение перепишется – после небольшой перегруппировки слагаемых – так: u3 v3 (3uv p)(u v) q = 0. Так как неизвестных теперь два, на них можно наложить еще какое-нибудь условие – лучше всего 3uv p = 0, тогда исходное уравнение примет совсем простой вид u3 v3 q = 0. Это означает, что сумма кубов u3, v3 должна равняться – q, а их произведение . Следовательно, сами u3, v3 должны быть конями квадратного уравнения 2 q – p3/27 = 0, а для него формула уже известна. В итоге получается формула причем из девяти пар значений входящих в нее кубических радикалов надо брать только пары, дающие в произведении –p/3, как вытекает из нашего рассуждения. Исторически за этой формулой закрепилось название формулы Кардано, хотя вопрос о ее авторстве так до конца и не выяснен. Для = 4 формулу открыл Феррари, она выглядит сложнее, но тоже использует только четыре арифметических действия и извлечение радикалов. Вот набросок вывода формулы Феррари. Прежде всего, подобно предыдущему, положим , тогда дело сведется к решению уравнения вида y4 py2 qy r = 0.

Дополнив y4 до (y2 z)2, т.е. прибавив и вычтя в левой части 2zy2 z2, где z – вспомогательное неизвестное, получим (y2 z)2 – = 0. Подберем теперь z так, чтобы квадратный трехчлен в квадратных скобках оказался полным квадратом; для этого нужно, чтобы его дискриминант равнялся нулю, т.е. чтобы было q2 – 4(2z – p) (z2 – r) = 0. Можем ли мы решить это уравнение относительно z? Да, можем, так как оно кубическое. Пусть z0 – какой-нибудь его корень (даваемый формулой Кардано) тогда исходное уравнение перепишется в виде = 0, где многоточия означают многочлен не более чем первой степени от y, оба раза один и тот же. При этом знаки перед радикалами .В 1770-71 гг. знаменитый французский математик Лагранж (1736-1819) публикует в Мемуарах Берлинской Академии свой мемуар «Мысли над решением алгебраических уравнений», в котором делает критический пересмотр всех решений уравнений 3-й и 4-й степеней, данных его предшественниками, и замечает, что все они в сущности основаны на следующем принципе. Пусть x1, x2, , x будут корни заданного уравнения, и пусть ( (x1, x2, , x ) будет их рациональная функция, принимающая при всевозможных ! перестановках между корнями v значений. Тогда эта функция удовлетворяет уравнению степени v с рациональными коэффициентами. Согласно точке зрения Лагранжа, задача заключается в том, чтобы подобрать функцию ( (x1, x2, , x ) таким образом, чтобы v было меньше . И вот оказалось, что при п(4 невозможно. Эти исследования Лагранжа дали для последующих алгебраистов весьма удобный аппарат. Кроме того, они указали путь, по которому следовало искать доказательства невозможности общего решения уравнений в радикалах. Дальнейшим этапом в выяснении проблемы решения уравнений в радикалах послужили работы Руффини (P. Ruffi i, 1765-1822) и Абеля ( .-H. Abel, 1802 - 1829). Руффини (1799) предложил доказательство неразрешимости в радикалах уравнений 5-й степени, коэффициенты которого являются независимыми переменными. Однако его доказательство окончилось неудачей. Нужен был принципиально новый подход. На этот раз он не заставил себя долго ждать – уже в 1824 году молодой (и в возрасте 27 лет умерший) норвежский математик Нильс Генрик Абель, опираясь на идеи Лагранжа, связанные с перестановками корней уравнения, доказал, что требуемых формул, которые решали бы в радикалах уравнение общего вида, при (5 действительно не существует. Теорема Абеля дала отрицательный ответ только для уравнений общего вида, т.е. с буквенными коэффициентами a0, a1, , a , но, разумеется, многие конкретные уравнения сколь угодно высокой степени вполне могут решаться в радикалах (пример: уравнение x90 5x45 7 = 0). Поэтому сразу же встал вопрос о полном решении задачи – нахождении критерия разрешимости уравнений в радикалах, т.е. необходимого и достаточного условия, которое по коэффициентам a0, a1, , a любого заданного уравнения позволяло бы судить, решается уравнение в радикалах или нет. Вопрос о разрешимости уравнений в радикалах был окончательно разобран, во всяком случае принципиально, в работах Галуа (Evaris e Galois, 1811- 1832). Личность Галуа представляет собой совершенно исключительное в истории науки явление.

Жизнь Галуа, умершего всего на 21 году, протекала крайне бурно. Дважды провалившись на вступительных экзаменах в знаменитую Политехническую школу, Галуа поступил в Подготовительную школу (преобразованную из Высшей нормальной школы во время реакционного правления Карла IX), откуда вскоре после июльского переворота был уволен за печатное выступление против школы. После этого Галуа открыл «публичный курс» по алгебре, но политическая жизнь страны быстро вовлекла его в свой водоворот. Имея репутацию ярого республиканца и активного врага Луи-Филиппа, он два раза сидел в тюрьме за политические выступления и в мае 1832 года был убит на дуэли, причины которой остаются до сих пор загадочными. За свою короткую жизнь Галуа успел создать теорию, которая до сих пор стоит в фокусе математической мысли. Рассматривая численные уравнения, он установил понятие их группы, т.е. совокупности таких подстановок между их корнями, которые не нарушают рациональных соотношений между ними. Эта группа определяет для каждого уравнения алгебраическую структура его корней. В частности, уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, если его группа принадлежит к числу так называемых разрешимых групп. Таким образом вопрос о разрешимости каждого данного уравнения в радикалах может быть решен при помощи конечного числа действий. Обратимся теперь к исходному объекту исследования – уравнению a0x a1x – 1 a = 0, где a0, a1, , a - заданные числа. Еще Гаусс в конце XVIII века доказал «основную теорему алгебры», гласящую, что при любых a0, a1, , a данное уравнение имеет в поле комплексных чисел п корней, точнее, стоящий в его левой части многочлен f(x) может быть разложен на линейные множители f(x) = a0(x - (1) (x - ( ), где (1 ( – некоторые комплексные числа (называемые корнями уравнения). Задача состоит в том, чтобы узнать, существуют ли формулы, выражающие корни (1, , ( через коэффициенты a0, a1, , a с помощью четырех арифметических действий и извлечения радикалов? Прежде всего, сразу можно считать, что все числа (1, , ( различны, иначе мы поделили бы многочлен f на наибольший общий делитель этого f и его производной f’, что дало бы нам новый многочлен с теми же самыми корнями, но уже без повторений. Ключевой идеей, поистине прозрением Галуа, явилась мысль связать с каждым алгебраическим уравнением группу всех автоморфизмов его «поля корней» Q((1, , ( ), которые оставляют неподвижным «поле коэффициентов» Q(a0, a1, , a ). Понятно, что это действительно группа, так как если (, ( - два таких автоморфизма, то автоморфизмы (( и ( -1 тоже оставляют числа a0, a1, , a неподвижными. Как действует любой такой автоморфизм ( на корни нашего уравнения? Если ( - корень, т.е. a0( a1( – 1 a = 0, то, применив ( к обеим частям, получим a0((() a1((() – 1 a = 0, т.е. (( – корень того же уравнения! Другими словами, автоморфизм ( просто переставляет корни (1, , ( между собой, определяя тем самым некоторую перестановку (1 ( (1 (i легко сообразить, что произведению автоморфизмов будет отвечать произведение соответствующих перестановок, так что все получающиеся при этом перестанвоки сами составляют группу.

Начальный пункт Беломорско-Балтийского канала. Известен с 15 в. В 1703 Петр I основал в г. Повенец чугунолитейный завод (закрыт в 1736). ПОВЕРЕННЫЙ - сторона договора поручения. Полномочия поверенного удостоверяются доверенностью. ПОВЕРЕННЫЙ В ДЕЛАХ - 1) поверенный в делах - дипломатический класс, следующий за классом посла и посланника. 2) Глава дипломатического представительства (миссии) в отличие от временного поверенного в делах, возглавляющего дипломатическое представительство в отсутствие постоянного дипломатического представителя. ПОВЕРКА средств измерений - определение погрешностей средств измерений и установление их пригодности к применению и соответствия классу точности. Поверка производится организациями метрологической службы при помощи эталонов и образцовых средств измерений. ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕОРИЯ - раздел дифференциальной геометрии, в котором изучаются свойства поверхностей, напр. измерение длин дуг линий, лежащих на поверхности, углов между двумя направлениями, площадей частей поверхности. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА - поверхности, прямоугольные координаты точек которых удовлетворяют алгебраическим уравнениям 2-й степени

1. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

2. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

3. Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

4. История развития физиологии высшей нервной деятельности

5. Методы решения алгебраических уравнений

6. История развития парашюта
7. История развития пистолета
8. История развития и выдающиеся конструкторы российского оружия

9. Периодизация истории развития административной юстиции в России

10. История развития компьютеров (Silicon Valley, its history & the best companies)

11. История развития мирового кино

12. История развития письменности

13. История развития телевидения в Беларуси

14. История развития Лесотехнической академии СПб в 19 веке

15. История развития физической культуры в древней Греции и Риме

16. История развития корпорации Microsoft

Светильник "Плазма №5".
Размеры светильника: 22х11х11.5 см. Диаметр лампы: 11 см. Плазменный светильник в виде шара на подставке, при включении создаёт внутри
1191 руб
Раздел: Необычные светильники
Универсальная вкладка для дорожных горшков (голубой).
Вкладка для дорожных горшков подойдет для любого дорожного горшка, она хорошо ложится на сиденье, обеспечивая комфорт и удобство в
664 руб
Раздел: Прочие
Глобус физический, диаметр 210 мм.
Диаметр: 210 мм. Масштаб:1: 60000000. Материал подставки: пластик. Цвет подставки: чёрный. Размер коробки: 216х216х246 мм. Шар выполнен из
362 руб
Раздел: Глобусы

17. История развития информатики

18. История развития ЭВМ. Механические и электромеханические счетные машины

19. Разработка программного обеспечения решения нелинейных уравнений

20. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

21. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

22. История развития эпидемиологии и иммунологии
23. История развития полицейских органов в России с древнейших времен и до наших дней
24. История развития прокуратуры Украины

25. Из истории развития педагогической мысли в России и западных странах во второй половине XIX века

26. История развития системы среднего проффесионального образования на примере техникума

27. История развития науки о резании древесины

28. История развития строительства автомобильных дорог, начиная с 18 в.

29. История развития криоэлектроники

30. История развития сотовой связи

31. История развития социальной работы в России

32. История развития электрического освещения

Пластины для стирки белого и цветного белья FeedBack, 30 штук.
Пластины для стирки белого и цветного белья это настоящая революция среди средств для стирки. Не содержит фосфатов! Пластины необходимо
640 руб
Раздел: Стиральные порошки
Стиральный порошок-концентрат для цветного белья BioMio "Bio-color" с экстрактом хлопка, без запаха, 1,5.
Эффективно удаляет пятна и загрязнения, сохраняя структуру ткани и первозданный цвет. Концентрированная формула обеспечивает экономичный
447 руб
Раздел: Стиральные порошки
Спрей детский солнцезащитный с календулой "Кря-Кря", SPF 25, 200 мл.
Солнцезащитный спрей "Кря-Кря" для защиты нежной кожи ребёнка. Спрей содержит комбинированный фильтр и защищающие компоненты.
425 руб
Раздел: Солнцезащитная косметика

33. История развития олимпийских игр

34. История развития спорта в Белгородской области

35. История развития физической культуры в древней Греции и Риме

36. История развития баскетбола

37. История развития банковского дела в России

38. История развития товарных отношений
39. История развития туризма в России
40. История развития Беларуси

41. История развития Феминизма в России

42. История развития начертательной геометрии

43. История развития техники

44. История развития идеологов социал демократии

45. История развития ЭВМ

46. История развития Siemens

47. История развития отечественного фотонабора

48. История развития микропроцессора

Велосипед трехколесный.
Велосипед трехколесный (пластмассовые колеса, с широкой шинкой, без кузова, без передней панели, без гудка). Велосипед рассчитан для детей
935 руб
Раздел: Трехколесные
Магнитная мозаика "Техника".
Количество элементов различной формы - 235 штук. Дополнительных элементов - 15 штук. Количество цветов - 5. Игровое поле - 1. Средний
494 руб
Раздел: Магнитная
Магнитная мозаика "Веселый городок".
Магнитная мозаика "Веселый городок", из которой можно собрать не только городок, но и множество других картинок. В набор входят:
519 руб
Раздел: Магнитная

49. История развития музыкальных вкусов молодежи 60-70 г.

50. Метод касательных решения нелинейных уравнений

51. История развития понятия функция

52. Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром

53. Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики

54. Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный
55. История развития акушерства
56. Штрихи к истории развития физики

57. Билеты по истории развития науки и техники за весенний семестр 2001 года

58. История развития института отягчающих обстоятельств

59. История развития науки юридической психологии

60. История развития ЭВМ и практическое применение в обучении

61. Буддизм. История развития

62. История развития страхования в России и зарубежных странах

63. История развития ядерной физики

64. История развития электрического освещения

Рюкзак детский, 30x24x10 см.
Рюкзак детский с вместительным основным отделением и дополнительными карманами. Лямки регулируются. Размер: 30х24х10 см. Материал:
419 руб
Раздел: Без наполнения
Ходунки-каталка "Happy Time ".
Ходунки-каталка Happy Time–специально разработаны для мылышей от 6 месяцев до 3 лет специально для того, чтобы помочь малышу сделать свои
2760 руб
Раздел: Ходунки
Лестница-стремянка, 4 ступени, стальная.
Нескользящие пластиковые коврики. Размер ступеньки: 30x20 см. Материал: сталь. Высота на уровне верхней ступени: 91 см. Количество
2071 руб
Раздел: Лестницы

65. История развития тройного прыжка

66. История развития финансов

67. Полевая экология и натуралистическое образование: история развития и современное состояние в России

68. История развития централизованной банковской системы Великобритании

69. История развития Конституции США

70. История развития языков
71. История развития растительного покрова в Европе за последние 150 000 лет
72. История развития Генетики

73. Экономическая история развития биржевого дела

74. История развития картографии

75. История развития геологии

76. Геологическая история Земли. История развития Земли в мезозое и кайнозое

77. История развития секретарского дела

78. Истоки и история развития паблик рилейшнз

79. История развития отечественного интернета

80. История развития Internet

Фотобумага "Lomond" для струйной печати, А4, 230 г/м, 50 листов, односторонняя, матовая.
Формат: А4 (210х297 мм). Плотность - 230 г/м2. Матовая. Односторонняя. Упаковка - 50 листов.
370 руб
Раздел: Фотобумага для цветной печати
Канистра-бочонок со сливом, 20 л.
Изготовлена из пищевого полиэтилена. Пригодна для хранения питьевой воды. Имеет герметичную крышку, позволяющую полностью избежать
443 руб
Раздел: Баки, канистры
Настольная игра "Эволюция".
Разнообразие живых организмов, населяющих нашу планету, поистине поражает. Теория эволюции объясняет это различием способов, которые
1090 руб
Раздел: Карточные игры

81. История развития вычислительной техники

82. История развития прикладного программного обеспечения

83. Процессоры. История развития. Структура. Архитектура

84. Решение нелинейных уравнений

85. История развития КОАО АЗОТ

86. История развития автомобилей
87. Кортик. История развития
88. Численное решение модельного уравнения

89. История развития понятия "функция"

90. История развития офтальмологии

91. История развития социология в России

92. История развития этики

93. История развития космонавтики

94. История развития ЗАО "Дрезднер Банк"

95. История развития страхования

96. История развития естественных наук в Средневековье

Настольная игра "Чудовище Джио-Джанги".
Настольная игра "Чудовище Джио-Джанги" - легендарная приключенческая игра, неоднократно переизданная и пользующаяся огромной
405 руб
Раздел: Классические игры
Аспиратор нозальный Pigeon с футляром.
Аспиратор разработан совместно с ведущими японскими специалистами отоларингологами. Позволяет без труда очистить содержимое носика ребенка
704 руб
Раздел: Аспираторы
Настольная игра «Пороховая бочка».
В игре могут принять участие 2 или 4 ребёнка. Поместите пирата на его бочку так, чтобы зажать выталкивающий механизм и по очереди
490 руб
Раздел: Игры на ловкость

97. История развития метеорологии как науки

98. История развития учения о кровообращении

99. История развития домашнего птицеводства как отрасли сельского хозяйства

100. История развития аудита


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.