|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Производная в курсе алгебры средней школы |
Ручка "Шприц", желтая. 
Ручка "Помада". 
Пакеты с замком "Extra зиплок" (гриппер), комплект 100 штук (150x200 мм). Южно-Сахалинский Государственный Университет Кафедра математики Курсовая работа Тема: Производная в курсе алгебры средней школы Автор: Меркулов М. Ю. Группа: 411 Руководитель: Чуванова Г. М. Оценка: Южно-Сахалинск 2002г ВведениеВ первой главе курсовой работы речь пойдет о понятии производной, ее истории и областях ее применения. Во второй главе будет детально рассмотрен курс изучения производной трех учебников по алгебре и началам анализа для 10-11кл. : Алимова, Башмакова и под редакцией Колмогорова. Цель курсовой работы – раскрыть понятие производной, рассмотреть систему ее изучения в учебниках средней школы, охарактеризовать особенности изложения материала и дать рекомендации по поводу использования этих учебников. Производная и ее применение 1. Понятие производной 1-1. Исторические сведенияДифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач: 1) о разыскании касательной к произвольной линии 2) о разыскании скорости при произвольном законе движения Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс. 1-2. Понятие производнойПусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a; b), и пусть х0 - произвольная точка этого промежутка Дадим аргументу x приращение ?x, тогда функция y = f(x) получит приращение ?y = f(x ?x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ?y / ?x при ?x > 0, называется производной от функции f(x). y'(x)= 1-3. Правила дифференцирования и таблица производных C' = 0 (x ) = x -1 (si x)' = cos x x' = 1 (1 / x)' = -1 / x2 (cos x)' = -si x (Cu)'=Cu' (?x)' = 1 / 2?x ( g x)' = 1 / cos2 x (uv)' = u'v uv' (ax)' = ax l x (c g x)' = 1 / si 2 x (u / v)'=(u'v - uv') (ex)' = ex (arcsi x)' = 1 / ? (1- / v2 x2) (logax)' = (logae) (arccos x)' = -1 / ? / x (1- x2) (l x)' = 1 / x (arc g x)' = 1 / ? (1 x2) (arcc g x)' = -1 / ? (1 x2) 2. Геометрический смысл производной 2-1. Касательная к кривойПусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку . Касательной к точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда M , если точку неограниченно приближать по кривой к M.Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую y = f(x). При некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям на кривой соответствует точка M(x0, y0). Введем новый аргумент x0 ?x, его значению соответствует значение функции y0 ?y = f(x0 ?x). Соответствующая точка - (x0 ?x, y0 ?y). Проведем секущую M и обозначим ? угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox. Из рисунка видно, что ?y / ?x = g ?.
Если теперь ?x будет приближаться к 0, то точка будет перемещаться вдоль кривой , секущая M - поворачиваться вокруг точки M, а угол ? - меняться. Если при ?x > 0 угол ? стремится к некоторому ?, то прямая, проходящая через M и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол ?, будет искомой касательной. При этом, ее угловой коэффициент: То есть, значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)).Касательная к пространственной линии имеет определение, аналогичное определению касательной к плоской кривой. В этом случае, если функция задана уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY будут равны частным производным f по x и y. 2-2. Касательная плоскость к поверхностиКасательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость, содержащая касательные ко всем пространственным кривым поверхности, проходящим через M - точку касания.Возьмем поверхность, заданную уравнением F(x, y, z) = 0 и какую-либо обыкновенную точку M(x0, y0, z0) на ней. Рассмотрим на поверхности некоторую кривую L, проходящую через M. Пусть кривая задана уравнениями x = ?( ); y = ?( ); z = ?( ). Подставим в уравнение поверхности эти выражения. Уравнение превратится в тождество, т. к. кривая целиком лежит на поверхности. Используя свойство инвариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное уравнение по : Уравнения касательной к кривой L в точке M имеют вид: Т. к. разности x - x0, y - y0, z - z0 пропорциональны соответствующим дифференциалам, то окончательное уравнение плоскости выглядит так: F'x(x - x0) F'y(y - y0) F'z(z - z0)=0 и для частного случая z = f(x, y): Z - z0 = F'x(x - x0) F'y(y - y0) Пример: Найти уравнение касательной плоскости в точке (2a; a; 1,5a) гиперболического параболоида Решение: Z'x = x / a = 2; Z'y = -y / a = -1 Уравнение искомой плоскости: Z - 1.5a = 2(x - 2a) - (Y - a) или Z = 2x - y - 1.5a 3. Использование производной в физике 3-1. Скорость материальной точкиПусть зависимость пути s от времени в данном прямолинейном движении материальной точки выражается уравнением s = f( ) и 0 -некоторый момент времени. Рассмотрим другой момент времени , обозначим ? = - 0 и вычислим приращение пути: ?s = f( 0 ? ) - f( 0). Отношение ?s / ? называют средней скоростью движения за время ? , протекшее от исходного момента 0. Скоростью называют предел этого отношения при ? > 0.Среднее ускорение неравномерного движения в интервале ( ; ? ) - это величина =?v / ? . Мгновенным ускорением материальной точки в момент времени будет предел среднего ускорения: То есть первая производная по времени (v'( )).Пример: Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = A B C 2 D 3 (C = 0,1 м/с, D = 0,03 м/с2). Определить время после начала движения, через которое ускорение тела будет равно 2 м/с2.Решение: v( ) = s'( ) = B 2C 3D 2; a( ) = v'( ) = 2C 6D = 0,2 0,18 = 2; 1,8 = 0,18 ; = 10 c 3-2. Теплоемкость вещества при данной температуреДля повышения различных температур на одно и то же значение, равное 1 - , на 1 кг.
данного вещества необходимо разное количество теплоты Q1 - Q, причем отношение для данного вещества не является постоянным. Таким образом, для данного вещества количество теплоты Q есть нелинейная функция температуры : Q = f( ). Тогда ?Q = f( ? ) - f( ). Отношение называется средней теплоемкостью на отрезке , а предел этого выражения при ? > 0 называется теплоемкостью данного вещества при температуре . 3-3. МощностьИзменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы. Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности:. 4. Дифференциальное исчисление в экономике 4-1. Исследование функцийДифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции. По теореме Ферма, если точка является экстремумом функции, то производная в ней либо не существует, либо равна 0. Тип экстремума можно определить по одному из достаточных условий экстремума: 1) Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0. Если производная f '(x) при переходе через точку x0 меняет знак с на -, то x0 - точка максимума, если с - на , то x0 - точка минимума, если не меняет знак, то в этой точке нет экстремума. 2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, причем f '(x0) = 0, f ''(x0) ? 0, то в точке x0 функция f(x0) имеет максимум, если f ''(x0) < 0 и минимум, если f ''(x0) > 0. Кроме того, вторая производная характеризует выпуклость функции (график функции называется выпуклым вверх на интервале (a, b), если он на этом интервале расположен не выше любой своей касательной).Пример: выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью: ?(q) = R(q) - C(q) = q2 - 8q 10 Решение: ?'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 > qex r = 4 При q < qex r = 4 > ?'(q) < 0 и прибыль убывает При q > qex r = 4 > ?'(q) > 0 и прибыль возрастает При q = 4 прибыль принимает минимальное значение. Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования.
Что касается массового выражения недовольства, то ему не прикажешь, как себя выражать: каждый выражает своё недовольство в меру своего личностного развития, понимания происходящего и возможностей оказать воздействие на течение событий, и из этого складывается статистика самодовольства, безразличия и недовольства. И под этой статистикой есть глубокая психическая подоплека, о которой аналитики средств массовой информации и властных структур не хотят задумываться, хотя всё необходимое для этого должно быть им известно ещё из курса биологии средней школы. 2. Психологические основы самоуправления общества Человек часть биосферы Земли. Иными словами, ему свойственно не только то, что отличает его от представителей всех других видов живых организмов, но так же и то, что свойственно и всем прочим видам в биосфере Земли. Если вспомнить общешкольный курс биологии, известный всем, и заглянуть в собственную психику, то можно утверждать, что информационно-алгоритмическое обеспечение поведения человека включает в себя: g врожденные
1. Современная политическая карта мира - учебник 10 класса - Максаковский - 30 тестов
2. Топики по Английскому языку для англ.шк. (10 класс)
3. Первообразная. Три правила нахождения первообразных
5. Билеты по истории России за 10 класс
9. Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)
10. Дидактические основы использования игрового метода на уроке физкультуры в 10 классах
11. Понятие налога, налогового права, его система, их функции
12. Право: понятие, признаки, виды, функции, принципы
14. Билеты по биологии за курс 10-11 классов
15. Ответы на экзаменационные билеты по Праву 9 класса
Ночник с датчиком движения "Ночной снайпер". 
Рюкзак школьный "Ever After High. Dragon Game". 
Пакеты фасовочные "Paclan", 26x35 см, 1000 штук. 17. Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике
18. 10 правил маркетингового исследования
19. Программа по литературе 10—11-е классы. Профильный уровень
21. Сложные эфиры карбоновых кислот, их производные
25. Методика обучения решению задач на построение сечений многогранников в 10-11 классах
27. Строительные Нормы и Правила (СНиП 2.08.02-89*)
28. Ответы на билеты по астрономии. 11 класс. Выпускной экзамен
29. Различия между растительной и животной клеткой (11 класс) (Шпаргалка)
31. Влияние циано- и тетразольных производных цитозина и тимина на резистентность эритроцитов
32. Алкалоиды - производные индола
Фоторамка "Poster lux black". 
Трусики для девочек Moony, 9-14 кг, 44 штуки. 
Держатель балдахина с двойным креплением (в пенале). 33. Класс жгутиковые: лейшмании, трихомонады, лямблии, трипаносомы
34. ГО Правила поведения и действия населения в очагах поражения
35. Классификация коллективных средств защиты и правила поведения людей в убежищах
36. Ответы на экзаменационные билеты по ОБЖ 11 класс
37. География: 9 класс (Шпаргалка)
41. Инвестиционное право РФ (Шпаргалка)
42. АДВОКАТЫ, ИХ ПРАВА И ОБЯЗАННОСТИ
43. Граждане как субъекты административного права
44. Административное право (Контрольная)
45. Административное Право Республики Казахстан
46. Граждане, как субъекты административного права
47. Соотношение административного права со смежными отраслями права
Копилка-раскраска "Сова в шляпе". 
Набор кукол "Шарлотта Земляничка" (с одеждой). 
Именная ложка с надписью "София". 49. Граждане как субъекты международного права
50. Административно право (шпаргалки)
52. Административно-правовое обеспечение личных прав и свобод граждан
53. Арбитражное процессуальное право
57. Шпаргалка по банковскому праву
59. Гражданское право - сделки
60. Шпоры по гражданскому праву (Шпаргалка)
61. Авторское право
62. Авторское право
63. Вещи как объекты гражданских прав (Контрольная)
64. Виды договоров и их классификация в гражданском праве
Чехол стеганый сменный "Нордтекс" (для подушки 70х70 см), на молнии. 
Светильник настольный Лючия "Верона", 552, 60 Вт, Е14 (бежево-серый). 
Рюкзачок "Олень". 65. Гражданское общество и право по Гегелю
66. Гражданское право (Контрольная)
67. Гражданское право (Контрольная)
68. Гражданское право (Шпаргалка)
73. Гражданское, торговое и международное частное право
75. Место обязательственного права в системе гражданского права
77. Обязательства в Римском и современном гражданском праве
78. Ответы по Гражданскому праву РФ
80. Права человека
Набор из скатерти и салфеток "Рябина" 140x180/42x42 см. 
Ручка-стилус шариковая "Любимый дедушка". 
Кольцеброс с корзинами и мячами. 81. Право собственности на квартиру и жилой дом
82. Право собственности некоммерческих организаций на жилые и нежилые помещения
83. Пределы осуществления гражданских прав
84. Приобретение права собственности на движимое и недвижимое имущество, сравнительная характеристика
85. Собственность и право собственности
89. Юниты по Гражданскому праву
90. Юридические формы защиты прав потребителей
91. Наследственное правоприемство по Российскому гражданскому праву
92. Гражданское право (лекции)
93. Стороны в гражданском праве
94. Гражданское право (шпоры для гос экз)
95. Личные права и свободы человека России
96. Права человека, их закрепление в Конституции РФ
Автокресло Еду-Еду "KS-513 Lux" с вкладышем (цвет: голубой, 9-36 кг). 
Корзина "Лягушонок", 45х45 см. 
Набор полотенец Whitex Mimicoco "Лошадки", цвет: черный, 2 штуки. 97. Шпоры по гражданскому праву (2003г.)
98. Право собственности граждан
99. Гражданское право в системе права
