Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Решение дифференциального уравнения первого порядка

Ручка "Помада".
Шариковая ручка в виде тюбика помады. Расцветка корпуса в ассортименте, без возможности выбора!
25 руб
Раздел: Оригинальные ручки
Гуашь "Классика", 12 цветов.
Гуашевые краски изготавливаются на основе натуральных компонентов и высококачестсвенных пигментов с добавлением консервантов, не
170 руб
Раздел: 7 и более цветов
Фонарь желаний бумажный, оранжевый.
В комплекте: фонарик, горелка. Оформление упаковки - 100% полностью на русском языке. Форма купола "перевёрнутая груша" как у
87 руб
Раздел: Небесные фонарики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ К У Р С О В А Я Р А Б О Т А ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ на тему: РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Сумы, 2005 г. 1. Метод Адамса Этот метод численного интегрирования разработан Адамсом в 1855г. В последствии этот метод был забыт и вновь открыт в начале века. Популяризация метода Адамса и дальнейшее его усовершенствование связаны с именем А.Н. Крылова. Изложим метод Адамса применительно к уравнению первого порядка (1) с начальным условием (2). Пусть x(i=0,1,2, .) – система равностоящих значений с шагом h и =. Очевидно, имеем (3). В силу второй интерполяционной формулы Ньютона с точностью до разностей четвертого порядка получаем (4) где . Подставляя выражение (4) в формулу (3) и учитывая, что dx=hdq, будем иметь Отсюда получаем экстраполяционную формулу Адамса .(5) Для начала процесса нужны четыре начальных значения , так называемый начальный отрезок, который определяют исходя из начального условия (2), каким-нибудь численным методом. Можно, например, использовать метод Рунге-Кутта. Зная эти значения, из уравнения (1) можно найти значения производных и составить таблицу разностей. (6) Дальнейшие значения (i=4,5, ) искомого решения можно шаг за шагом вычислять по формуле Адамса, пополняя по мере необходимости таблицу разностей (6). Для контроля рекомендуется вычислив первое приближение для по формуле определить , подсчитать конечные разности. , , (7) и затем найти второе приближение по более точной формуле (8) Если и отличаются лишь на несколько единиц последнего сохраняемого десятичного разряда, то можно положить , а затем, найдя , перевычислив конечные разности (7). После этого, строго говоря, следует снова найти по формуле(8). Поэтому шаг h должен быть таким , чтобы этот пересчёт был излишним. На практике шаг h выбирают столь малым, чтобы можно было пренебречь членом в формуле (8). Если же расхождение величин и значительно, то следует уменьшить шаг h. Обычно шаг h уменьшают в два раза. Покажем, как в этом случае, имея до некоторого значения i таблицу величин и, (ji) c шагом , можно просто построить таблицу величин (k=0,1,2 ) с шагом . Для кратности введения сокращенные обозначения: (k=0,1,2 ). На основе формулы (4) будем иметь , (9) где . Отсюда, полагая j=i-2 и q=1/2 и учитывая, что , находим .(10) Аналогично при j=i-1, q=1/2 из формулы (9) получаем, что аргументу соответствует значение .(11) Что касается значений и , то они имеются в старой таблице. После этого составляем начальный отрезок для новой таблицы. и находим конечные разности: (k=-3,-2,-1), (k=-3,-2), (k=-3,). Дальше таблица продолжается обычным путём, посредством соответствующей модификации формулы (5): , (j=0,1,2, ). Для работы на электронных счётчиках машинах формулу Адамса (5) выгодно применять в раскрытом виде. Учитывая, что после приведения подобных членов имеем , причём . 2. Методы, основанные на применении производных высших порядков До сих пор для численного интегрирования дифференциального уравнения первого порядка (1) с начальным условием (2) мы применяли формулы, в которых явно используется лишь первая производная искомого решения.

Однако если использовать формулы, явно содержащие производные высших порядков от искомого решения, то можно указать методы, дающие более точный результат на данном промежутке без увеличения числа шагов. Выведем соответствующие формулы, предполагая, что правая часть уравнения (1) дифференцируема достаточное число раз. Пусть - значения искомого решения y=y(x) и, соответственно, значения его производных первого и второго порядков в точках . Располагая величины в ряды по степеням h, находим: Из полученных формул исключим члены, содержащие и . Для этого вторую формулу умножим на , а третью – на и сложим с первой. Будем иметь: Таким образом, с точностью до имеем приближённую формулу (3) Можно показать, что остаточный член формулы (3) равен где Аналогично имеем: и Отсюда С другой стороны Поэтому Таким образом, с точностью до h5 имеем приближённую формулу (4) Можно доказать, что остаточный член формулы (4) есть где К формулам (3) и (4) присоединим выражения для производных: (5) (6) Процесс численного дифференцирования уравнения (1) при наличии начального условия (2), использющий формулы (3) и (4), происходит следующим образом. Каким-либо методом вычисляем три начальные строки (начальная таблица): Из формулы (4) при i=2 получаем первое приближение для : (7) и, пользуясь формулами (5) и (6), находим для соответствующих производных и их первые приближения: и . Второе приближение для определяем при i=2 из формулы (3): (8) После этого исправляем значения производных и , подсчитывая их вторые приближения: и . Для контроля ещё раз вычисляем по формуле (3) третье приближение значения , используя найденные значения и . Если шаг h выбран подходящим, то перещёт не даёт нового результата, и в этом случае можно положить В противном случае следует уменьшить шаг. Аналогично находятся дальнейшие значения при i&g ;3. Для получения начальных значений и обычно используют метод последовательных приближений или метод Рунге-Кутта, после чего нужные производные и (i=0,1,2) определяются по формулам (5) и (6). Можна также применить следующий приём: сначала, используя данное начальное значение , непосредственно вычисляем и . Тем самым будет заполнена первая строка начальной таблицы . Далее на основании формулы Тейлера приближённо получаем и, следовательно, можно будит найти и . Пользуясь этими данными, уточняем значение по формуле (3): и затем перевычисляем значения и . Тем самым заполняем вторую строку начальной таблицы. Аналогично, исходя из второй строки, находим элементы , и последней, третей строки начальной таблицы. Отметим, что если пересчёты элементов строк дают значительные расхождения, то этот приём не является надёжным. В таком случае следует или уменьшить шаг h вычислений, или же обратиться к более точным методам. В заключение приведём формулы, обеспечивающие более высокую степень точности, но требующие вычисления, кроме второй, ещё и третьей производной искомого решения. А именно, используя Формулу Тейлера и употребляя приём, аналогичный указанному выше, получаем формулы ,(11) где , и ,(12) где . Формула (11) употребляется для нахождения первого приближения ; формула (12) даёт уточнённое значение .

Само собой разумеется, что к последним двум формулам целесообразно прибегать тогда, когда форма дифференциального уравнения позволяет сравнительно просто находить вторую и третью производные от искомой функции y. Приложение program proizw w p; uses cr ; co s epsilo =0.05; ype mas=array of real; var i:i eger; x,y,y1,y2:mas; abl1, abl2, abl3: abl; a,h:real; :i eger; fu c io f(x, y:real):real; begi f:=sqr(x)-sqr(y); e d; procedure me od(xi, yi, s ep: real; var rez:real); var k1, k2, k3, k4:real; begi k1:=F(xi,yi); k2:=F(xi s ep/2,yi k1 s ep/2); k3:=F(xi s ep/2,yi k2 s ep/2); k4:=F(xi s ep,yi k3 s ep); rez:=yi (s ep/6) (k1 2 k2 2 k3 k4) e d; procedure os me od(xi, yi, s ep:real;var yh22:real;var h:real); var yh,yh2:real; begi repea me od(xi, yi,s ep, yh); me od(xi, yi, s ep/2, yh2); me od(xi, yh2, s ep/2, yh22); if abs(yh-yh22)/15&g ;epsilo he s ep:=h/2; u il abs(yh-yh22)/15&l ;epsilo ; e d; procedure i eraziya(j:i eger;xi,h:real); begi {первое приближение} abl1; {производная первого приближения} abl1); {вторая производная первого приближение} abl1); {второе приближение} abl2) ((sqr(h))/12) ( abl1); {производная второго приближения} abl2); {вторая производная второго приближения} abl2); {третье приближение} abl3)-(sqr(h)/12) ( abl2); {производная третьего приближения} abl3); {вторая производная третьего приближения} abl3); e d; procedure solu io (h:real); begi {==============Метод Рунге-Кута =================================} a:=0; i:=1; y:=a i h; os me od(x, h); i c(i); e d; {======Окончание метода Рунге-Кута =================================} {============найдем первые и вторые производные===============} for i:=1 o 3 do begi y1); e d; for i:=4 o do begi i eraziya(i,x)&l ;epsilo he begi y; e d else begi h:=h/2; if keypressed he hal ; solu io (h); e d; e d; e d; BEGI clrscr; wri e('введите количество значений, которые необходимо вычислить = '); readl ( ); h:=0.1; {==================e d of i i =========================================} for i:=1 o do begi x:=(i-1) h; e d; solu io (h); for i:=1 o do begi wri e('y,' y&quo ;&quo ;); wri el ; e d; wri el (''); wri el (''); wri e('Press &l ;e er&g ; o exi .'); readl ; E D.

Например, в физике это задача стрельбы по летящей цели. Обычно такая задача решается методом пристрелки, при котором методом проб с итерационным уточнением рассчитывается ряд вариантов решения и выбирается тот, у которого соблюдается начальное условие в начале решения и начальное условие в конце решения с заданной (в частности по умолчанию) погрешностью. Для такого решения используется функция dsolve в следующем виде: dsolve(odesys, numeric, vars, options) Здесь: • odesys — множество или список обыкновенных дифференциальных уравнений и двойных граничных условии; • numeric — опция, задающая решение в численном виде; • vars — опционально заданный параметр, задающий имя переменной в odesys; • options — опционально заданные равенства (в форме keyword=value), определяющие краевые условия. Пример решения дифференциального уравнения второго порядка с двумя граничными условиями представлен на рис. 7.27. Отчетливо видно, что найденная зависимость точно удовлетворяет краевым условиям. Рис. 7.27. Пример решения дифференциального уравнения второго порядка с двумя граничными условиями 7.8

1. Контрольная работа по гражданскому праву (общая часть) РФ

2. Контрольная работа по всеобщей истории государства и права

3. Контрольная работа по муниципальному праву Вариант 2

4. Контрольная работа по курсу экологического права

5. Контрольная работа по Английскому языку

6. Контрольная работа по Word
7. Теория графов. Методические указания по подготовке к контрольным работам по дисциплине «Дискретная математика»
8. Контрольная работа по Уголовно-процессуальному праву РФ

9. ТКМ. Билеты на контрольную работу

10. Контрольная работа по логике

11. Контрольная работа по бухгалтерскому учёту

12. Контрольная работа по статистике (товарооборот и издержки, анализ договоров по поставке ассортимента)

13. Контрольная работа по финансовому менеджменту

14. Контрольная работа по информатике

15. Контрольная работа

16. Контрольная работа по функциональной стилистике

Коврик для ванной "Бусинка" противоскользящий, 34,5х76 см.
Противоскользящий коврик для ванны создан специально для детей и призван обеспечить комфортное и безопасное купание малышей в ванне. Он
591 руб
Раздел: Безопасность ребенка
Тетрадь на резинке "Study Up", А5, 120 листов, клетка, фиолетовая.
Тетрадь общая на резинке. Формат: А5. Количество листов: 120, в клетку. Бумага: офсет. Цвет обложки: фиолетовый.
360 руб
Раздел: Прочие
Тетрадь на резинке "Study Up", В5, 120 листов, клетка, желтая.
Тетрадь общая на резинке. Формат: В5. Количество листов: 120 в клетку. Бумага: офсет. Цвет обложки: желтый.
442 руб
Раздел: Прочие

17. Две контрольные работы по логике

18. Контрольная работа по логике (УниВД)

19. Контрольная работа по логистике

20. Контрольная работа

21. Контрольная работа

22. Контрольная работа МАУП ВИННИЦА
23. Контрольная работа по гражданскому процессу
24. Контрольная работа по истории государства и права зарубежных стран

25. Контрольная работа

26. Контрольная работа

27. Контрольная работа

28. Контрольная работа

29. Контрольная работа

30. Контрольная работа по философии

31. Контрольная работа по рынку ценных бумаг

32. Контрольная работа

Точилка механическая "KW-Trio", с контейнером, 1 отверстие.
Точилка механическая, с контейнером, 1 отверстие, 12 мм.
1751 руб
Раздел: Точилки
Конструктор электронный "Знаток", 999 схем + школа.
Электронный конструктор "Знаток" - это 21 практическое занятие для школы и множество схем для дополнительных занятий. Основная
3856 руб
Раздел: Инженерные, научно-технические
Контейнер "Аптечка", 9 литров.
Контейнер "Аптечка" - оптимальное решение для хранения лекарств. Снабжен вкладышем для сортировки небольших предметов:
380 руб
Раздел: 5-10 литров

33. Контрольная работа по предмету «Теория бухгалтерского учета»

34. Контрольная работа по теории статистики финансов и кредита

35. Контрольная работа

36. Контрольная работа

37. Контрольная работа

38. Контрольная работа
39. Контрольная работа
40. Контрольная работа по курсу Административное право РФ

41. Контрольная работа по гражданской обороне

42. Контрольная работа по БЖД

43. Контрольная работа по биологии

44. АУДИТ (Программа, методические указания, задания для выполнения контрольной работы и контрольные вопросы для студентов з/о специальностей: 060500 «Бухучет, анализ и аудит», 060400 «Финансы и кредит»)

45. Контрольная работа

46. Контрольная работа

47. Программа, методические указания, задания для выполнения контрольной работы и контрольные вопросы для студентов з/о специальностей: 060500 «Бухучет, анализ и аудит», 060400 «Финансы и кредит»

48. Контрольная работа

Детский велосипед Jaguar трехколесный (цвет: синий).
Детский трехколесный велосипед колясочного типа, для малышей от 10 месяцев до 3 лет. Модель с удлиненной рамой, что позволяет подобрать
1440 руб
Раздел: Трехколесные
Набор утолщенных фломастеров для декорирования (5 цветов).
Набор фломастеров для декорирования различных поверхностей с металлическим эффектом. Яркие цвета. Проветриваемый и защищенный от
522 руб
Раздел: До 6 цветов
Карандаши цветные "Noris Club. Johanna Basford", 36 цветов.
Количество цветов: 36. Материал корпуса: дерево. Форма корпуса: шестигранный. Твёрдость грифеля: мягкий. Тип карандаша: классический.
837 руб
Раздел: Более 24 цветов

49. Контрольная работа

50. Контрольная работа по Праву

51. Контрольная работа

52. Контрольная работа

53. Контрольная работа по английскому языку №2 ИЗО ГУУ (г. Москва)

54. Контрольная работа по информатике
55. Контрольная работа №1 по компьютерной подготовке ИЗО ГУУ (г. Москва)
56. Контрольная работа по информатике

57. Контрольная работа по дисциплине «Управление персоналом»

58. Контрольная работа по экономике недвижимости

59. Контрольная работа g экономической оценке инвестиций

60. Рекомендации по выполнению контрольных работ по предмету ""Безопасность жизнедеятельности" для студентов ПИЭФ

61. Подготовка контрольных работ по дисциплине "Гражданское право"

62. Контрольная работа ВЭГУ 2008 г.

63. Контрольная работа № 00 по предмету «Отечественная история» (ИР)

64. Основные требования к оформлению курсовых (контрольных) работ

Стиральный порошок "Сарма. Актив. Ландыш", универсал, 2400 грамм.
Стиральный порошок sarma active Ландыш для всех типов стирки предназначен для стирки изделий из хлопчатобумажных, льняных, синтетических
310 руб
Раздел: Стиральные порошки
Шар для принятия решений.
Волшебный шар для принятия решений на русском языке. Принцип действия: для начала нужно понять, на какой вопрос вы хотите получить ответ.
434 руб
Раздел: Прочее
Переносная люлька-кокон Фея, цвет: серо-голубая, арт: ФЕЯ_0005605-5.
Переносная люлька-кокон — это комфортная переноска для малыша. Модель с жестким дном и съемным капюшоном защитит ребенка от холода и
910 руб
Раздел: Переноски

65. Контрольная работа по статистике

66. Контрольная работа по финансовой математике

67. Об одной общей краевой задаче со смещением для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками

68. Общие виды работ, выполняемых на воздушных судах

69. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

70. Лабораторная работа №3 по "Основам теории систем" (Теория двойственности в задачах линейного программирования)
71. Лабораторная работа №6 по "Основам теории систем" (Решение задачи о ранце методом ветвей и границ)
72. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

73. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

74. Общая психология (контрольная)

75. Общая теория статистики (Контрольная)

76. Логика контрольная 3 и 4

77. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка

78. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

79. Тесты по общей хирургии 3 курс

80. Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах

Концентрат от клещей "HELP", для защиты дачного участка до 20 соток, 100 мл.
Уничтожает клещей разных видов — иксодовых (ixodes), Dermacentor и других. Действует быстро — уже через 30 минут после обработки.
327 руб
Раздел: Прочее
Багетная рама "Bridget", 30x40 см.
Багетные рамы предназначены для оформления картин, вышивок и фотографий. Оформленное изделие всегда становится более выразительным и
651 руб
Раздел: Багетные рамы, для икон
Детское удерживающее устройство "Фэст", 15-25 кг (тёмно-серый).
Детское удерживающее устройство "Фэст" — уникальная отечественная разработка. Компактное, надежное, очень простое в эксплуатации
482 руб
Раздел: Удерживающие устройства

81. Представление о личности в общей и дифференциальной психологии

82. Дифференциальные уравнения движения точки. Решение задач динамики точки

83. Контрольные вопросы по курсу «Общая экология»

84. Решение дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией

85. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта

86. Организация контрольно–ревизионной работы на муниципальных предприятиях
87. Методы и алгоритмы компьютерного решения дифференциальных уравнений
88. Построение аналоговой ЭВМ для решения дифференциального уравнения шестого порядка

89. Решение дифференциальных уравнений в среде MathCAD

90. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения дифференциального уравнения n-го порядка

91. Общие сведения о технологическом процессе сборки оптико-электронных приборов. Контрольно-юстировочные приборы

92. Асимптотика решений дифференциальных уравнений

93. Решение дифференциальных уравнений

94. Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа

95. Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

96. Игра – как одна из важных форм логопедического воздействия при работе с детьми дошкольного возраста с общим недоразвитием речи

Ручки гелевые "Lipari", 30 цветов.
Набор ручек гелевых. В наборе: 30 цветов (0,5 мм - 4 штуки, 0,8 мм - 6 штук, неон - 6 штук, флуоресцентные - 6 штук, металлик 1 мм - 8
311 руб
Раздел: Цветные
Подарочный набор "Покер", арт. 42449.
Подарочный набор "Покер" безусловно будет тем самым неизбитым презентом, произведённым из дерева. Регулярно удалять пыль сухой,
1292 руб
Раздел: VIP-игровые наборы
Клей универсальный UHU "Twist&Glue", 90 мл, арт. 38850.
Склеивает металл, бумагу, дерево, текстиль, стекло, керамику, пробку, большинство пластиков и кожу. Не подходит для ремонта кожаной
350 руб
Раздел: Универсальный

97. Использование сказкотерапии в развитии связной монологической речи у детей с общим недоразвитием речи 3 уровня

98. Система контрольных и зачетных работ по химии для учащихся 10-12 классов трехгодичного обучения вечерней школы

99. Возможности деятельности специалиста по социальной работе в решении проблемы одиночества пожилых людей (на примере отделения социального обслуживания на дому граждан пожилого возраста и инвалидов МУ КЦСОН "Гармония" г. Устюжна)


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.