|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Матричный анализ |
Наклейки для поощрения "Смайлики 2". 
Карабин, 6x60 мм. 
Ночник-проектор "Звездное небо, планеты", черный. Курс лекций по дисциплине «Матричный анализ» для студентов II курса математического факультета специальности «Экономическая кибернетика» (лектор Дмитрук Мария Александровна) Глава 3. Функции от матриц. 1. Определение функции.Df. Пусть – функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под f(A), т.е. нужно распространить функцию f(x) на матричное значение аргумента. Решение этой задачи известно, когда f(x) – многочлен: . Определение f(A) в общем случае. Пусть m(x) – минимальный многочлен А и он имеет такое каноническое разложение – собственные значения А. Пусть многочлены g(x) и h(x) принимают одинаковые значения. Пусть g(A)=h(A) (1), тогда многочлен d(x)=g(x)-h(x) – аннулирующий многочлен для А, так как d(A)=0, следовательно, d(x) делится на линейный многочлен, т.е. d(x)=m(x) q(x) (2). Тогда . Условимся m чисел для f(x) таких называть значениями функции f(x) на спектре матрицы А, а множество этих значений будем обозначать . Если множество f(Sp A) определено для f(x), то функция определена на спектре матрицы А. Из (3) следует, что многочлены h(x) и g(x) имеют одинаковые значения на спектре матрицы А. Наши рассуждения обратимы, т.е. из (3) ( (3) ( (1). Таким образом, если задана матрица А, то значение многочлена f(x) вполне определяется значениями этого многочлена на спектре матрицы А, т.е. все многочлены gi(x), принимающие одинаковые значения на спектре матрицы имеют одинаковые матричные значения gi(A). Потребуем, чтобы определение значения f(A) в общем случае подчинялось такому же принципу. Значения функции f(x) на спектре матрицы А должны полносильно определить f(A), т.е. функции, имеющие одни и те же значения на спектре должны иметь одно и то же матричное значение f(A). Очевидно, что для определения f(A) в общем случае, достаточно найти многочлен g(x), который бы принимал те же значения на спектре А, что и функция f(A)=g(A). Df. Если f(x) определена на спектре матрицы А, то f(A)=g(A), где g(A) – многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f(A), Df. Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при , принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f(x), степени не выше (m-1), принимающий одинаковые значения на спектре А, что и f(x) – это остаток от деления любого многочлена g(x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f(x), на минимальный многочлен m(x)=g(x)=m(x) g(x) r(x). Этот многочлен r(x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа- Сильвестра для функции f(x) на спектре матрицы А.Замечание. Если минимальный многочлен m(x) матрицы А не имеет кратных корней, т.е. .Пример: Найти r(x) для произвольной f(x), если матрица . Построим f(H1). Найдем минимальный многочлен H1 – последний инвариантный множитель , d -1=x2; d -1=1; mx=f (x)=d (x)/d -1(x)=x ( 0 – –кратный корень m(x), т.е. -кратные собственные значения H1. , r(0)=f(0), r’(0)=f’(0), ,r( -1)(0)=f( -1)(0) ( . 2. Свойства функций от матриц.Свойство № 1. Если матрица (среди них могут быть и кратные), а , то собственными значениями матрицы f(A) являются собственные значения многочлена f(x): .
Доказательство: Пусть характеристический многочлен матрицы А имеет вид: . Перейдем от равенства к определителям: ( ) Равенство ( ) справедливо для любого множества f(x), поэтому заменим многочлен f(x) на . Слева мы получили характеристический многочлен для матрицы f(A), разложенный справа на линейные множители, откуда следует, что – собственные значения матрицы f(A). ЧТД.Свойство № 2. Пусть матрица – собственные значения матрицы А, f(x) – произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда собственные значения матрицы f(A) равны . Доказательство: Т.к. функция f(x) определена на спектре матрицы А, то существует интерполяционный многочлен матрицы r(x) такой, что , а тогда f(A)=r(A), а у матрицы r(A) собственными значениями по свойству № 1 будут . ЧТД.Свойство № 3. Если А и В подобные матрицы, , и f(x) – произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда Доказательство: Т.к. А и В подобны, то их характеристические многочлены одинаковы ( одинаковы и их собственные значения, поэтому значение f(x) на спектре матрицы А совпадает со значение функции f(x) на спектре матрицы В, при чем существует интерполяционный многочлен r(x) такой, что f(A)=r(A), . ЧТД.Свойство № 4. Если А – блочно-диагональная матрица , где f(x) – функция, определенная на спектре матрицы А. 4. Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра. Случай № 1.Пусть дана . Рассмотрим первый случай: характеристический многочлен имеет ровно корней, среди которых нет кратных, т.е. все собственные значения матрицы А различны, т.е. , Sp A – простой. В этом случае построим базисные многочлены lk(x): . Пусть f(x) – функция, определенная на спектре матрицы А и значениями этой функции на спектре будут . Обратим внимание, что Пример: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для матрицы Тогда для функции f(x), определенной на спектре матрицы А, мы получим: , тогда интерполяционный многочлен .Случай № 2. Характеристический многочлен матрицы А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицы является делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни, т.е. . В этом случае интерполяционный многочлен строится так же как и в предыдущем случае.Случай № 3. Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид: . Вспомним матрицу перестановки , т.е. матрицы перестановки обязательно ортогональны. Произведение приводит к перестановке столбцов матрицы А.DF. При называется приводимой матрицей, если существует такая матрица перестановки Р, что , где А11, А12, А22 – квадратные матрицы меньшего чем порядка. Если матрица Р не существует, то матрица А называется неприводимой.Понятие приводимости имеет значение при решении матричных уравнений , ибо если Ф – приводима, то осуществив замену переменных, которую подсказывают равенства и решаем матричное уравнение с матрицей более низкого порядка. Затем, и решаем матричное уравнение. Таким образом, если А – приводима, то решение уравнения высокого порядка сводится к решению уравнений более низкого порядка, при чем собственные значения матриц А11 и А22 в своей совокупности составляет множество значений матрицы А.
Интересно, что явление приводимости не связано с величиной матрицы, а зависит лишь от расположения нулевых элементов в матрице. В связи с этим, используют идею направленного графа матрицы, которую можно взять в качестве характеризации неприводимости матрицы. Наметим первые шаги тоерии и получим вторую характеризацию неприводимости матриц.DF. Пусть р1, р2, , р – различных точек комплексной плоскости и составим направленную линию от рi к рj . Получающаяся в результате фигура на комплексной плоскости называется направленным графом матрицы.Например: DF. Говорят, что любой направленный граф связен, если для каждой пары точек .Легко доказать, что квадратная матрица неприводима тогда и только тогда, когда ее граф является связным. 8.Теорема Фробениуса-Перона. Очевидно, что если . Более того, мы покажем, что для достаточно больших p неотрицательна и неприводима, то . Доказательство: Если взять произвольный вектор имеет место, очевидно, что Z имеет по крайней мере столько же нулевых положительных элементов, что и y. В самом деле, если предположить, что Z имеет меньше нулевых компонент, то обозначим и разбив матрицу А на блоки следующим образом , то , что противоречит неприводимости матрицы. Для следующего вектора повторим рассуждения и т.д. В итоге получим, что для некоторого ненулевого вектора y . ЧТД.Для ненулевой неприводимой матрицы А рассмотрим действительную функцию r(x), определенную для ненулевых векторов , (Ax)i – i-я координата вектора Ах. и кроме того, r(x) –такое наименьшее значение . Очевидно, что r(x) инвариантна относительна замены x на , поэтому в дальнейшем можно рассматривать замкнутое множество . Однако, r(x) может иметь разрывы в точках, где координата x обращается в 0, поэтому рассмотрим множество векторов . По лемме № 1 каждый вектор из будет положительным, а поэтому наибольшее число, для которого – спектральный радиус матрицы А. Если Можно показать, что существует вектор y, что . Замечание. Могут существовать и другие векторы в L для которых r(x) принимает значение r, поэтому любой такой вектор называется экстремальным для матрицы А (Az=rz).Интерес к числу r объясняется следующим результатом.Лемма № 2. Если матрица является собственным значением матрицы А, кроме того каждый экстремальный вектор для А положителен и является правым собственным вектором для А, отвечающим собственному значению r. Основным результатом является теорема Фробениуса-Перона для непрерывных матриц. Теорема Фробениуса-Перона. Если матрица неотрицательна и неприводима, то: 1. А имеет положительное собственное значение, равное спектральному радиусу матрицы А; 2. существует положительный правый собственный вектор, соответствующий собственному значению r. 3. собственное значение имеет алгебраическую кратность равную 1. Эта теорема была опубликована в 1912 году Фробениусом и явилась обобщением теоремы Перона, которая является следствием.Теорме Перона (следствие). Положительная квадратная матрица А имеет положительное и действительное собственное значение r, имеющее алгебраическую кратность 1 и превосходит модули всех других собственных значений матрицы А.
Сумма матриц и — матрица. Умножение матриц и определяется лишь в случае, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго; произведением АВ = С этих матриц будет матрица с элементами. Умножение матриц некоммутативно. МАТРИЧНЫЕ МОДЕЛИ в экономике балансово-нормативные модели в виде таблиц (матриц), отражающие соотношения затрат и результатов производства, нормативы затрат, производственные и экономические структуры. Применяют в межотраслевом балансе, при составлении техпромфинпланов предприятий и т. д. МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ метод исследования взаимосвязей между экономическими объектами с помощью их матричного моделирования. МАТРОНА одно из божеств кельтского пантеона, о котором упоминают римские авторы; богиняпокровительница реки Марны; мать Мапоноса. МАТРОС (нидерл. matroos) воинское звание в ВМФ (ВМС); соответствует званию рядовой (солдат) в др. видах вооруженных сил. В торговом флоте матрос — служащий в составе судовой команды. МАТРОСКА 1) форменная верхняя блуза матроса с большим отложным квадратным (обычно белым) воротником с полосками. 2) Женская или детская блуза такого же покроя
2. Билеты, решения и методичка по Информатике (2.0)
3. Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)
4. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
9. Методы поиска новых идей и решений. Совершенствование методов управления в менеджменте
10. Анализ безубыточности и рентабельности производства в принятии управленческих решений
11. Метод действенного анализа в режиссуре театра, кино и телевидения
13. Методы корреляционного и регрессионного анализа в экономических исследованиях
15. Анализ методов сокращения пригара на стальном литье
16. Анализ методов улучшения жидкостекольных смесей
Кружка фарфоровая "FIFA 2018. Забивака. Класс!", 380 мл. 
Органайзер для обуви "Сороконожка". 
Фоторамка "Poster gold" (70х100 см). 17. Методы молекулярной спектрометрии в анализе объектов окружающей среды
18. Поляриметрические методы анализа
19. Методы анализа финансовых рынков
20. Спрос на торговом предприятии и методы анализа спроса
25. Численные методы анализа и синтеза периодических сигналов
26. Аргентометрические методы анализа лекарственных средств
27. Пограничный анализ - новый метод психокоррекции наркозависимых личностей
29. Анализ содержания -социологический метод сбора социальной информации
30. Методы анализа управленческих решений
31. Анализ платежеспособных предприятий и разработка методов финансовой санации
32. Методы анализа и оценки инвестиционных проектов (на примере агрофирм)
Набор цветных карандашей (24 штуки). 
Коробка для хранения елочных украшений (112 ячеек). 
Наушники "Philips SHE1450BK/51", цвет черный. 33. Рискология. Методы верификации информации: сопоставительный анализ, метод поиска противоречий
34. Методы и приемы финансового анализа и прогнозирования
35. Анализ экономических задач симплексным методом
36. Статистический анализ инфляции и методы ее измерения
37. Анализ динамики внп методом линейной регрессии
41. Методы поиска и анализа информации
43. Анализ методов исследования наноматериалов
44. Анализ психологических причин конфликтов в организациях и методы их профилактики
45. Анализ альтернативных методов формирования структуры организации
46. Использование методов операционного анализа в управлении финансовыми ресурсами
47. Методы анализа сводной (консолидированной) отчетности
48. Порядок и методы составления отчета о движении денег, аудит и анализ его основных показателей
Каталка "Мишка". 
Глобус Земли "Двойная карта", рельефный, с подсветкой, 420 мм. 
Точилка механическая, металлический корпус. 49. Финансовые результаты деятельности предприятия и методы их анализа
50. Экономико-математические методы анализа
51. Геодезические методы анализа высотных и плановых деформаций инженерных сооружений
52. Комплексный анализ альтернативных методов разрешения правовых споров
53. Редакторский анализ — профессиональный метод редактора
57. Методы анализа транзисторных усилительных каскадов
58. Методы и анализ нелинейного режима работы системы ЧАП. Метод фазовой плоскости
59. Методы расчета линейных электрических цепей при импульсном воздействии. Спектральный анализ сигналов
60. Анализ методов и приёмов, используемых в современном рекламном бизнесе
61. Метод экспертных оценок в анализе качества обучающего процесса в ИП "Стратегия"
62. Современные методы фармацевтического анализа
63. Анализ методов прогнозирования
64. Анализ и совершенствование методов управления персоналом
Детское удерживающее устройство "Фэст", 15-25 кг (серо-голубой). 
Дырокол на 4 отверстия, малый, черный. 
Именная кружка с надписью "Любимый дедушка". 65. Анализ процессов и методов манипулирования в бизнесе
66. Использование количественных методов анализа для принятия управленческих решений
67. Метод анализа иерархий Т. Саати
68. Управление финансовыми рисками на основе вероятностных методов анализа
69. Анализ современных методов обучения в ВУЗе
73. Методы анализа эмпирических данных
74. Анализ цепи во временной области различными методами
75. Современная научно-техническая документация на статистические методы анализа результатов измерений
76. Электрохимические методы анализа, их теоретические основы и классификация
77. Анализ и моделирование методов когерентной оптики в медицине и биологии
78. Анализ исторических путей развития методологии. Научный метод познания
79. Методы финансового анализа
80. Показатели и методы анализа инвестиционной привлекательности предприятия
Дождевик для велосипеда Bambola. 
Микрофон "Караоке с мультяшками". 
Копилка-сейф с ключом, черная, металл. 82. Сравнительный анализ: методы получения синтез-газа
84. Методы выделения и анализа кумаринов в лекарственное растительное сырьё
85. Методы атомно-эмиссионного спектрального анализа
89. Динамика показателей объема продукции и производства. Методы анализа производительности труда
91. Методы анализа финансово-хозяйственной деятельности. Использование фонда заработной платы
92. Методы обработки экономической информации в анализе
94. Модели и методы анализа эффективных инвестиций в инновационную деятельность
95. Понятие, предмет и метод экономического анализа
96. Роль и методы экономического анализа
Трамвай. 
Настольная игра "Выдерни морковку". 
Уничтожь меня! Уникальный космический блокнот для творческих людей. Смит Кери97. Статистические методы анализа качества
98. Статистические методы анализа численности, состава и динамики населения
99. Анализ методов ценообразования на примере ООО "Торгсервис"
100. Детерминированные экономико-математические модели и методы факторного анализа
