Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Приближённые методы решения алгебраического уравнения

Ночник-проектор "Звездное небо, планеты", черный.
Оригинальный светильник-ночник-проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фанариков); 2) Три
350 руб
Раздел: Ночники
Коврик для запекания, силиконовый "Пекарь".
Коврик "Пекарь", сделанный из силикона, поможет Вам готовить вкусную и красивую выпечку. Благодаря материалу коврика, выпечка не
202 руб
Раздел: Коврики силиконовые для выпечки
Брелок LED "Лампочка" классическая.
Брелок работает в двух автоматических режимах и горит в разных цветовых гаммах. Материал: металл, акрил. Для работы нужны 3 батарейки
131 руб
Раздел: Металлические брелоки

Реферат по курсу численных методов выполнил студент группы РЭ–01-1 Днепропетровский Национальный Университет Радиофизический факультет Кафедра физики СВЧ Днепропетровск 2002 1. Численное решение уравнений с одним неизвестным В данной работе рассматриваются метода приближённого вычисления действительных корней алгебраического или трансцендентного уравнения f(x)=0 (1.1) на заданном отрезке .  Уравнение называется алгебраическим, если заданная функция есть полином -ой степени: f(x) = P(x) = a0x a1x - 1 a -1 x a = 0, a0 ¹ 0 Требование a0 ¹ 0 обязательно, так как при невыполнении этого условия данное уравнение будет на порядок ниже.   Всякое уравнение (1.1) называется трансцендентным, если в нём невозможно явным образом найти неизвестное, а можно лишь приближённо.   Однако в число алгебраических уравнений можно также включить те уравнения, которое после некоторых преобразований, можно привести к алгебраическому. Те методы, которые здесь рассматриваются, применимы, как к алгебраическим уравнениям, так и к трансцендентным. Корнем уравнения (1.1) называется такое число x, где f(x)=0.  При определении приближённых корней уравнения (1.1) необходимо решить две задачи: отделение корней, т. е. определение достаточно малых промежутков, в каждом из которых заключён один и только один корень уравнения (простой и кратный); уточнение корней с заданной точностью (верным числом знаков до или после запятой); Первую задачу можно решить, разбив данный промежуток на достаточно большое количество промежутков, где бы уравнение имело ровно один корень: на концах промежутков имело значения разных знаков. Там где данное условие не выполняется, те промежутки откинуть. Вторая задача решается непосредственно в методах рассмотренных ниже.  При графическом отделении корней уравнения (1.1) нужно последнее преобразовать к виду:  j1(x)=j2(x) (2.1) и построить графики функций y1=j1(x), y2=j2(x). Действительно, корнями уравнения (1.1) f(x) = j1(x) - j2(x) = 0 являются абсциссы точек пересечения этих графиков (и только они). Из всех способов, какими можно уравнение (1.1) преобразовать к виду (2.1) выбираем тот, который обеспечивает наиболее простое построение графиков y1=j1(x) и y2=j2(x). В частности можно взять j2(x) = 0 и тогда придём к построению графика функции (1.1), точки пересечения которого с прямой y2=j2(x)=0, т. е. с осью абсцисс, и есть искомые корни уравнения (1.0).   Условия, наложенные на функцию f(x) на отрезке . Будем предполагать, что функция f(x) непрерывна на отрезке (для метода хорд можно потребовать на интервале) и имеет на этом интервале первую и вторую производные, причём обе они знакопостоянны (в частности отличны от нуля). Будем также предполагать, что функция f(x) принимает на концах отрезка значения разного знака. В силу знакопостоянства первой производной функция f(x) строго монотонна, поэтому при сделанных предположениях уравнение (1.1) имеет в точности один корень на интервале (a, b). 2. Метод дихотомии  Этот метод ещё называется методом вилки.   Нам необходимо найти корень уравнения (1.1) на отрезке Ì. Пусть мы нашли такие точки х0, х1, что f (х0) f(х1) &pou d; 0, т.

е. на отрезке лежит не менее одного корня уравнения. Найдём середину отрезка х2=(х0 х1)/2 и вычислим f(х2). Из двух половин отрезка выберем ту, для которой выполняется условие f (х2) f(хгран.) &pou d; 0, так как один из корней лежит на этой половине. Затем новый отрезок делим пополам и выберем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки, и т. д. (рис 1.2).   рис. 1.2 Если требуется найти корень с точностью Е, то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2Е. Тогда середина последнего отрезка  даст значение корня с требуемой точностью.   Дихотомия проста и очень надёжна. К простому  корню она сходится для любых непрерывных функций  в том числе и не дифференцируемых; при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости не велика; за одну итерацию точность увеличивается примерно вдвое, т. е. уточнение трёх цифр требует 10 итераций. Зато точность ответа гарантируется. Приступим к доказательству того, что если непрерывная функция принимает на концах некоторого отрезка значения разных знаков, то методом дихотомии однозначно будет найден корень. Предположим для определённости, что функция f(x) принимает на левом конце отрезка отрицательное значение, а на правом – положительное: f(a) &l ; 0, f(b) > 0. Возьмём среднюю точку отрезка , h=(a b)/2 и вычислим значение в ней функции f(x). Если f(h)=0, то утверждение теоремы доказано: мы нашли такую точку, где функция обращается в нуль. Если f(h)¹ 0, тогда из отрезков выберем один из них тот, где функция на его концах принимает значения разных знаков. Обозначим его . По построению: f(a1)&l ;0, f(b1)>0. Затем среднюю точку отрезка точку h1 и проведём тот же алгоритм нахождения другого отрезка где бы по построению f(a2)&l ;0, f(b2)>0. Будем продолжать этот процесс. В результате он либо оборвётся на некотором шаге в силу того, что f(h )=0, либо будет продолжаться неограниченно. В первом случае вопрос о существовании корня уравнения f(x)=0 решён, поэтому рассмотрим второй случай. Неограниченное продолжение процесса даёт последовательность отрезков , Эти отрезки вложены друг в друга – каждый последующий отрезок принадлежит всем предыдущим: a &pou d; a 1 &l ; b 1 &pou d; b (1.2) причём: f(a ) &l ; 0, f(b ) > 0  Длины отрезков с возрастанием номера стремятся к нулю:   Рассмотрим левые концы отрезков. Согласно (1.2) они образуют монотонно убывающую ограниченную последовательность {a }. Такая последовательность имеет предел, который можно обозначить через c1: Согласно (1.1) и теореме о переходе к пределу в неравенствах имеем:   c1 &pou d; b (2.2)   Теперь рассмотрим правые концы отрезков. Они образуют монотонно не возрастающую ограниченную последовательность {b }, которая тоже имеет предел. Обозначим его через с2: . Согласно неравенству (2.1) пределы с1 и с2 удовлетворяют неравенству с1 &pou d; с2. Итак, a &pou d; с1 &l ; с2 &pou d; b , и следовательно: с2-с1 &pou d; b - a =(b-a)/2 . Таким образом, разность с2-с1 меньше любого наперёд заданного положительного числа. Это означает, что с2-с1=0, т. е.: с1=с2=с Найденная точка интересна тем, что она является единственной общей точкой для всех отрезков построенной последовательности Используя непрерывность функции f(x), докажем, что она является корнем уравнения f(x)=0.

Мы знаем, что f(a )&l ;0. Согласно определению непрерывности и возможности предельного перехода в неравенствах, имеем:   f(c)=lim f(a )&pou d;0 (3.2) Аналогично, учитывая, что f(b )³0, получаем, что:   f(c)=lim f(b ) ³0 (4.2)  Из (3.2) и (4.2) следует, что f(c)=0. т. е. с – корень уравнения.  Процесс построения последовательности вложенных стягивающих отрезков методом вилки (дихотомии) является эффективным вычислительным алгоритмом решения уравнения f(x)=0. На -ом шаге процесса получаем: a &pou d; c &pou d; b Это двойное неравенство показывает, что число a определяет корень с недостатком, а число b с избытком, с ошибкой не превышающей длину отрезка D =b -a =(b-a)/2 . При увеличении ошибка стремится к нулю по закону геометрической прогрессии со знаменателем q=0.5. Если задана требуемая точность e>0, то чтобы её достигнуть достаточно сделать число шагов , не превышающее log2. 3. Метод итераций Этот метод называется ещё методом последовательных приближений. Пусть нам необходимо найти корень уравнения (1.1) на некотором отрезке .   Предположим, что уравнение (1.0) можно переписать в виде:   x=j(x) (1.3) Возьмём произвольное значение x0 из области определения функции j(x) и будет строить последовательность чисел {x }, определённых с помощью рекуррентной формулы: x 1=j(x ), =0, 1, 2, (2.3) Последовательность {x } называется итерационной последовательностью. При её изучении встают два вопроса: Можно ли процесс вычисления чисел x продолжать неограниченно, т. е. будут ли числа x принадлежать отрезку ? Если итерационный процесс (2.3) бесконечен, то как ведут себя числа x при ®&ye ;  Исследование этих вопросов показывает, что при определённых ограничениях на функцию j(x) итерационная последовательность является бесконечной и сходится к корню уравнения (1.3). , c=j(c) (3.3) Однако для того, чтобы провести это исследование нам нужно ввести новое понятие. Говорят, что функция f(x) удовлетворяет на отрезке условию Липшица, если существует такая постоянная a, что для любых x1, x2, принадлежащих отрезку имеет место неравенство: f(x1) - f(x2) &pou d; a x1 - x2 (4.3) Величину a в этом случае называют постоянной Липшица. Если функция f(x), удовлетворяет на отрезке условию Липшица, то она непрерывна на нём. Действительно, пусть x0 – произвольная точка отрезка. Рассмотрим приращение функции f(x) в этой точке: Df=f(x0 Dx) – f(x0) и оценим его с помощью неравенства (4.3) Df &pou d; a Dx Таким образом, , что означает непрерывность функции f(x). Условие Липшица имеет простой геометрический смысл. Возьмём не графике функции y=f(x) две произвольные точки M1 и M2 с координатами (x1, f(x1)) и (x2, f(x2)). Напишем уравнение прямой линии, проходящей через эти точки: y=f(x1) k(x-x1) где k– тангенс угла наклона прямой у оси Оx и определяется формулой:   Если функция f(x) удовлетворяет на отрезке условию Липшица, то при произвольном выборе точек M1 и M2 имеем k &pou d;a. Таким образом, с геометрической точки зрения условие Липшица означает ограниченность тангенса угла наклона секущих, проведённых через всевозможные пары точек графика функции y=f(x).

Но «Пангеометрию» принять не может. — А Лобачевский? — допытываются студенты. Попов молчит, делает вид, что не расслышал вопроса. Он не намерен вести кафедру по тому пути, по какому вел ее Лобачевский. Постепенно исключает из программ все учебники, созданные Николаем Ивановичем, его «Алгебру или вычисление конечных» — оригинальное творение, где впервые дан метод численного решения алгебраических уравнений высших степеней, его гениальный мемуар «Об исчезании тригонометрических строк». Попову больше по душе работы Остроградского. Но есть два человека, понимающие все величие Лобачевского. Это диалектик Петр Котельников и создатель грандиозной космической теории Мариан Ковальский. Скоро исполняется пятьдесят лет со дня открытия Казанского университета. Нужно создать комиссию, которая составила бы историю университета. Котельников предлагает назначить председателем комиссии Николая Ивановича. Сам Петр Иванович тайно трудится над жизнеописанием Лобачевского. Котельников любит беседы со своим кумиром. О чем они говорят? О «Пангеометрии», о классической механике Ньютона, построенной на основе геометрии Эвклида

1. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

2. Методы решения алгебраических уравнений

3. Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений

4. Итерационные методы решения нелинейных уравнений

5. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя

6. Решение систем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)
7. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
8. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

9. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

10. Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом

11. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами

12. Решение систем линейных алгебраических уравнений

13. Построение приближенного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля

14. Методы решения уравнений в странах древнего мира

15. Метод касательных решения нелинейных уравнений

16. Автоматизация решения систем линейных алгебраических уравнений

Детский трехколесный велосипед Jaguar (цвет: красный).
Облегченный трехколесный велосипед с родительской ручкой, для малышей от 2 до 4 лет. Удобный, маневренный, отличная модель для получения
2500 руб
Раздел: Трехколесные
Багетная рама "Agata" (цвет: бежевый), 40x50 см.
Багетные рамы предназначены для оформления картин на холсте, на картоне, а также вышивок и фотографий. Оформленное изделие всегда
698 руб
Раздел: Размер 40x50
Заварочный чайник "Mayer & Boch", 1,25 л.
Заварочный чайник изготовлен из термостойкого стекла, фильтр выполнены из нержавеющей стали. Изделия из стекла не впитывают запахи,
368 руб
Раздел: Чайники заварочные

17. Численные методы решения систем линейных уравнений

18. Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей

19. Методы решения систем линейных уравнений

20. Методы решения уравнений линейной регрессии

21. Методы решения систем линейных неравенств

22. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
23. Современные методы решения экологических проблем на предприятии (на примере ООО "Волготрансгаз" - дочерней структуры ОАО "ГАЗПРОМ")
24. Об алгебраических уравнениях высших степеней

25. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

26. Решение иррациональных уравнений

27. Обучение общим методам решения задач

28. Методы решения задач

29. Решение нелинейных уравнений

30. Модели и методы решения проблемы выбора в условиях неопределенности

31. Решение дифференциальных уравнений в среде MathCAD

32. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения дифференциального уравнения n-го порядка

Игрушка-антистресс "Fidget Cube. Green White".
Поклацать ручкой, подергать ножкой, скрутить в трубочку билетик и лопнуть все пупырышки на пленке. О, да! Эти житейские радости знакомы
465 руб
Раздел: Антистрессы
Дождевик на коляску универсальный в сумке.
Погода бывает капризной. Минуту назад светило солнышко, но набежала тучка и пошел дождь, а то и град. Защитить малыша и продолжить
323 руб
Раздел: Дождевики, чехлы для колясок
Доска пробковая, с алюминиевой рамой, 90x60 см.
Доска выполнена из пробки высокого качества, имеет регулируемые элементы крепления, алюминиевая рамка соединяется пластиковыми уголками.
1065 руб
Раздел: Демонстрационные рамки, планшеты, таблички

33. Алгебраические уравнения

34. Асимптотика решений дифференциальных уравнений

35. Решение дифференциальных уравнений

36. Решение иррациональных уравнений

37. Решение параболических уравнений

38. Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений
39. Методы решения логистических задач
40. Методы решения логических задач

41. Сущность проблемы бездомности в России, пути и методы решения

42. Графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования

43. Методы решения транспортных задач

44. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка

45. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана

46. Методы алгебраических и дифференциальных уравнений для анализа и качественного исследования социально-экономических явлений (По дисциплине: Математические методы моделирования процессов управления в социальной сфере)

47. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных

48. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

Качели пластмассовые "Малыш".
В наборе: качели, веревка, пластиковые карабины для регулировки веревок качелей. Материал: пластик. Максимальная нагрузка: 20 кг. Размер:
532 руб
Раздел: Качели
Манеж детский игровой "Динозаврики" (120х100х74 см).
Размер: 120х100х74 см.
679 руб
Раздел: Манежи
Кроватка-качалка для куклы.
Красивая и удобная кровать-качалка станет прекрасной колыбелькой для куклы. Кровать-качалка прекрасно дополнит интерьер кукольной комнаты
386 руб
Раздел: Спальни, кроватки

49. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули

50. Поиск решений системы линейных уравнений методом Гаусса

51. Разработка программы поиска решения системы дифференциальных уравнений двумя методами: Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона

52. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса

53. Методы приближённого решения матричных игр

54. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
55. Методика обучения решению текстовых задач алгебраическим методом
56. Билеты, решения и методичка по Информатике (2.0)

57. Система поддержки принятия маркетинговых решений в торговом предприятии на основе методов Data Mining

58. Лабораторная работа №2 по "Основам теории систем" (Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Варианты разрешимости задач линейного программирования)

59. Решение задач - методы спуска

60. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

61. Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически

62. Решение уравнений в целых числах

63. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом

64. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов

Карандаши акварельные "Jumbo", 12 цветов, с точилкой.
Акварельные цветные карандаши с утолщенным корпусом 10 мм, с толщиной грифеля 5 мм. Длина карандаша: 17 cм. Пригодны для детей младшего
376 руб
Раздел: Акварельные
Ростомер деревянный (ростомер-пазл).
Ростомер способствует развитию малыша, помогает наблюдать за ростом, служит отличным украшением детской. Как измерить рост? Соберите
324 руб
Раздел: Ростомеры
Шкатулка для рукоделия "Цветочная поляна" 26x16x18,5 см.
Шкатулка настольная, с выдвижным ящичком. Материал: МДФ, внешнее покрытие - текстиль, внутреннее покрытие - флок. Размер: 26x16x18,5 см.
2452 руб
Раздел: Шкатулки для рукоделия

65. Решение задач на построение сечений в многогранниках методом следов

66. Проблемы и методы принятия решений

67. Методы экспертных оценок при разработке и принятии управленческих решений

68. Модели и методы принятия решений

69. Методология и методы принятия решения

70. Совершенствование методов проектирования кораблей и обоснование проектных решений
71. Применение графиков в решении уравнений
72. Решение смешанной задачи для уравнения

73. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом

74. Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций

75. Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

76. Математические модели и методы обоснования управленческих решений и сферы их применения в практике управления

77. Модели и методы принятия решения

78. Волновое уравнение не имеет единственного решения

79. Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах

80. Решение задачи методами линейного, целочисленного, нелинейного и динамического программирования.

Дневник школьный "Наушники".
Формат: А5 (215x170 мм). Количество листов: 48. Внутренний блок: тонированный офсет 70 г/м2. Материал обложки: искусственная кожа. Способ
370 руб
Раздел: Для младших классов
Шторка антимоскитная "Завитки" с магнитными замками (серая).
Размеры: 100х220 см. Препятствует проникновению насекомых. Не нарушает естественную циркуляцию воздуха. Подходит для любых типов дверных
424 руб
Раздел: Сетки противомоскитные
Органайзер автомобильный "Stels" на спинку сиденья.
Органайзер крепится за стойки подголовника на спинки передних сидений. Прочные регулируемые ремни крепления. Два маленьких сетчатых
406 руб
Раздел: Прочее

81. Методы анализа управленческих решений

82. Применение новейших экономико-математических методов для решения задач

83. Решение геоэкологических проблем с помощью нестандартных геофизических методов

84. Решение системы нелинейных уравнений

85. Теория принятия решений: математические методы для выбора специалиста на должность администратора сети

86. Нахождение всех действительных корней алгебраического многочлена методом деления отрезка пополам (бисекции)
87. Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы
88. Классификация методов разработки и принятия управленческих решений

89. Метод программирования и схем ветвей в процессах решения задач дискретной оптимизации

90. Нахождение корней уравнений различными методами

91. Нахождение корней уравнения методом простой итерации (ЛИСП-реализация)

92. Разработка программы для решения систем линейных уравнений

93. Решение задач линейного программирования симплекс методом

94. Решение задачи линейного программирования графическим методом

95. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

96. Решение прикладных задач численными методами

Настольная игра "Сумасшедший лабиринт".
Логическая, веселая и азартная игра нацелена на развитие внимания, ловкости и скорости мысли. Игроки в постоянном напряжении, передвигая
1990 руб
Раздел: Игры-ходилки с фишками
Набор детской складной мебели "Первоклашка. Осень".
В комплект входит стол-парта и стул с мягким сиденьем, пенал. Металлический каркас. Столешница облицована пленкой с тематическими
1637 руб
Раздел: Наборы детской мебели
Счеты детские "Умный жираф".
Счеты - это не только первый математический прибор, но и увлекательная игра. Пусть ребенок отсчитает столько косточек на счетах, сколько у
377 руб
Раздел: Счетные наборы, веера

97. Решение уравнений средствами Excel

98. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы дифференциальных уравнений

99. Методы принятия решений в маркетинге


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.