Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Метод математической индукции

Фонарь желаний бумажный, оранжевый.
В комплекте: фонарик, горелка. Оформление упаковки - 100% полностью на русском языке. Форма купола "перевёрнутая груша" как у
87 руб
Раздел: Небесные фонарики
Ночник-проектор "Звездное небо, планеты", черный.
Оригинальный светильник-ночник-проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фанариков); 2) Три
350 руб
Раздел: Ночники
Пакеты с замком "Extra зиплок" (гриппер), комплект 100 штук (150x200 мм).
Быстрозакрывающиеся пакеты с замком "зиплок" предназначены для упаковки мелких предметов, фотографий, медицинских препаратов и
148 руб
Раздел: Гермоупаковка

План. Введение.1. Суть метода математической индукции. 2. Метод математической индукции в решении задач на делимость. 3. Применение метода математической индукции к суммированию рядов. 4. Примеры применения метода математической индукции к доказательству неравенств. 5. Метод математической индукции в применение к другим задачам. Список использованной литературы. Введение. Слово индукция по-русски означает наведение, а индуктивными называют выводы, на основе наблюдений, опытов, т.е. полученные путем заключения от частного к общему. Например, мы каждый день наблюдаем, что Солнце восходит с востока. Поэтому можно быть уверенным, что и завтра оно появится на востоке, а не на западе. Этот вывод мы делаем, не прибегая ни к каким предположениям о причине движения Солнца по небу (более того, само это движение оказывается кажущимся, поскольку на самом деле движется земной шар). И, тем не менее, этот индуктивный вывод правильно описывает те наблюдения, которые мы проведем завтра. Роль индуктивных выводов в экспериментальных науках очень велика. Они дают те положения, из которых потом путем дедукции делаются дальнейшие умозаключения. И хотя теоретическая механика основывается на трех законах движения Ньютона, сами эти законы явились результатом глубокого продумывания опытных данных, в частности законов Кеплера движения планет, выведенных им при обработке многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге. Наблюдение, индукция оказываются полезными и в дальнейшем для уточнения сделанных предположений. После опытов Майкельсона по измерению скорости света в движущейся среде оказалось необходимым уточнить законы физики, создать теорию относительности. В математике роль индукции в значительной степени состоит в том, что она лежит в основе выбираемой аксиоматики. После того как длительная практика показала, что прямой путь всегда короче кривого или ломанного, естественно было сформулировать аксиому: для любых трех точек А, В и С выполняется неравенство . Лежащее в основе арифметики понятие следовать за тоже появилось при наблюдениях за строем солдат, кораблей и другими упорядоченными множествами. Не следует, однако, думать, что этим исчерпывается роль индукции в математике. Разумеется, мы не должны экспериментально проверять теоремы, логически выведенные из аксиом: если при выводе не было сделано логических ошибок, то они постольку верны, поскольку истинны принятые нами аксиомы. Но из данной системы аксиом можно вывести очень много утверждений. И отбор тех утверждений, которые надо доказывать, вновь подсказывается индукцией. Именно она позволяет отделить полезные теоремы от бесполезных, указывает, какие теоремы могут оказаться верными, и даже помогает наметить путь доказательства. 1. Суть метода математической индукции. Во многих разделах арифметики, алгебры, геометрии, анализа приходится доказывать истинность предложений А( ), зависящих от натуральной переменной. Доказательство истинности предложения А( ) для всех значений переменной часто удается провести методом математической индукции, который основан на следующем принципе. Предложение А( ) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены следующие два условия: 1.

Предложение А( ) истинно для =1. 2. Из предположения, что А( ) истинно для =k (где k – любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего значения =k 1. Этот принцип называется принципом математической индукции. Обычно он выбирается в качестве одной из аксиом, определяющих натуральный ряд чисел, и, следовательно, принимается без доказательства. Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства. Если требуется доказать истинность предложения А( ) для всех натуральных , то, во-первых, следует проверить истинность высказывания А(1) и, во-вторых, предположив истинность высказывания А(k), попытаться доказать, что высказывание А(k 1) истинно. Если это удается доказать, причем доказательство остается справедливым для каждого натурального значения k, то в соответствии с принципом математической индукции предложение А( ) признается истинным для всех значений . Метод математической индукции широко применяется при доказательстве теорем, тождеств, неравенств, при решении задач на делимость, при решении некоторых геометрических и многих других задач. 2. Метод математической индукции в решении задач на делимость. С помощью метода математической индукции можно доказывать различные утверждения, касающиеся делимости натуральных чисел. Следующее утверждение можно сравнительно просто доказать. Покажем, как оно получается с помощью метода математической индукции. Пример 1. Если – натуральное число, то число При =1 наше утверждение истинно: - четное число. Так как четное. Итак, четность выведена четность четно при всех натуральных значениях . Пример 2. Доказать истинность предложения A( )={число 5 кратно 19}, – натуральное число. Решение. Высказывание А(1)={число кратно 19} истинно. Предположим, что для некоторого значения =k А(k)={число , очевидно, что и A(k 1) истинно. Действительно, первое слагаемое делится на 19 в силу предположения, что A(k) истинно; второе слагаемое тоже делится на 19, потому что содержит множитель 19. Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение A( ) истинно при всех значениях . 3. Применение метода математической индукции к суммированию рядов. Пример 1. Доказать формулу , – натуральное число. Решение. При =1 обе части равенства обращаются в единицу и, следовательно, первое условие принципа математической индукции выполнено. Предположим, что формула верна при =k, т.е. и преобразуем правую часть. Тогда получим Таким образом, из того, что формула верна при =k, следует, что она верна и при =k 1. Это утверждение справедливо при любом натуральном значении k. Итак, второе условие принципа математической индукции тоже выполнено. Формула доказана. Пример 2. Доказать, что сумма первых чисел натурального ряда равна , т.е. . Покажем, что . Задача решена. Пример 3. Доказать, что сумма квадратов первых чисел натурального ряда равна . Предположим, что . Пример 4. Доказать, что . Пример 5. Доказать, что . Решение. При =1 гипотеза очевидно верна. Пусть 4. Примеры применения метода математической индукции к доказательству неравенств. Пример 1. Доказать, что при любом натуральном >1 .

Решение. Обозначим левую часть неравенства через , следовательно, при =2 неравенство справедливо. Пусть . Имеем , т.е. . При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна. Поэтому . Пример 2. Найти ошибку в рассуждении. Утверждение. При любом натуральном справедливо неравенство . Доказательство. Пусть неравенство справедливо при =k, где k – некоторое натуральное число, т.е. . (1) Докажем, что тогда неравенство справедливо и при =k 1, т.е. не меньше 2 при любом натуральном k. Прибавим к левой части неравенства (1) , а к правой 2. Получим справедливое неравенство . Утверждение доказано. Пример 3. Доказать, что , – натуральное число, большее 1. Решение. При =2 неравенство справедливо, так как . Пусть неравенство справедливо при =k, где k – некоторое натуральное число, т.е. . (1) Покажем, что тогда неравенство справедливо и при =k 1, т.е. , поэтому справедливо неравенство , (3) полученное из неравенства (1) умножением каждой части его на . Отбросив в правой части последнего неравенства положительное слагаемое , получим справедливое неравенство (2). Пример 4. Доказать, что , – натуральное число, большее 1. Решение. При =2 неравенство (1) принимает вид , то справедливо неравенство . (3) Прибавив к каждой части неравенства (3) по , получим неравенство (2). Этим доказано, что при =2 неравенство (1) справедливо. Пусть неравенство (1) справедливо при =k, где k – некоторое натуральное число, т.е. . (4) Докажем, что тогда неравенство (1) должно быть справедливо и при =k 1, т.е. (5) Умножим обе части неравенства (4) на a b. Так как, по условию, , то получаем следующее справедливое неравенство: . (6) Для того чтобы доказать справедливость неравенства (5), достаточно показать, что . (8) Неравенство (8) равносильно неравенству , и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух положительных чисел. Если , и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух отрицательных чисел. В обоих случаях неравенство (9) справедливо. Этим доказано, что из справедливости неравенства (1) при =k следует его справедливость при =k 1. 5. Метод математической индукции в применение к другим задачам. Наиболее естественное применение метода математической индукции в геометрии, близкое к использованию этого метода в теории чисел и в алгебре, - это применение к решению геометрических задач на вычисление. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Вычислить сторону - угольника, вписанного в круг радиуса R. Решение. При =2 правильный 2 – угольник есть квадрат; его сторона находим, что сторона правильного восьмиугольника , сторона правильного шестнадцатиугольника , сторона правильного тридцатидвухугольника . Можно предположить поэтому, что сторона правильного вписанного 2 – угольника при любом . (1) Допустим, что сторона правильного вписанного - угольника выражается формулой (1). В таком случае по формуле удвоения , откуда следует, что формула (1) справедлива при всех . Пример 2. На сколько треугольников -угольник (не обязательно выпуклый) может быть разбит своими непересекающимися диагоналями? Решение. Для треугольника это число равно единице (в треугольнике нельзя провести ни одной диагонали); для четырехугольника это число равно, очевидно, двум.

Сначала для объяснения количественных зависимостей подбирается из смежных областей науки подходящее уравнение, что часто предполагает и его видоизменение, а затем этому уравнению пытаются дать содержательное истолкование. Характеризуя метод математической гипотезы, С. И. Вавилов писал: Положим, что из опыта известно, что изученное явление зависит от ряда переменных и постоянных величин, связанных между собой приближенно некоторым уравнением. Довольно произвольно видоизменяя, обобщая это уравнение, можно получить другие соотношения между переменными. В этом и состоит математическая гипотеза или экстраполяция. Она приводит к выражениям, совпадающим или расходящимся с опытом, и соответственно этому применяется дальше или отбрасывается. Специалист по методологии науки И. В. Кузнецов попытался выделить различные способы видоизменения исходных уравнений в процессе выдвижения математической гипотезы: 1) изменяется тип, общий вид уравнения; 2) в уравнение подставляются величины другой природы; 3) изменяется и тип уравнения, и вид величины; 4) изменяются предельные граничные условия

1. Определения основных понятий 1-9 глав книги: "Рынок: микро-математическая экономика экономическая модель"

2. Вычисление определённого интеграла с помощью метода трапеций на компьютере

3. Мониторинг загрязнения водной среды реки Херота с помощью методов биоиндикации

4. Моделирование, как необходимый научный метод познания и его связь с детерминированными и стохастическими методами ИЗУЧЕНИЯ ЛЮБОГО явления или процесса

5. Системный подход как метод познания мира

6. Определение логических понятий
7. Математические модели и методы их расчета
8. Расчет площади сложной фигуры с помощью метода имитационного моделирования

9. Применение информатики, математических моделей и методов в управлении

10. Математические модели и методы обоснования управленческих решений и сферы их применения в практике управления

11. Эмпирические методы познания

12. Логические методы познания

13. Философские аспекты моделирования как метода познания

14. Системный подход как метод познания мира

15. Элементарное мышление, или рассудочная деятельность, животных: основные понятия и методы изучения

16. Вычисления определенного интеграла с помощью ф. – лы Симпсона на компьютере

Ежедневник недатированный "Русские художники. Петров-Водкин".
Ежедневник в твердом переплете - стильный аксессуар делового человека, ценящего практичные и качественные вещи. Недатированность страниц
321 руб
Раздел: Ежедневники недатированные
Полка для специй или домашней аптечки.
Удобная полка для хранения специй и лекарств легко собирается и регулируется в соответствии с размерами вашей кухни или ванны. Удобная
704 руб
Раздел: Полки напольные, стеллажи
Подставка для бумаг трехсекционная сборная, серая.
Формат: А4. Материал: пластик. Цвет: серый.
337 руб
Раздел: Подставки, лотки для бумаг, футляры

17. Расчет двойного интеграла при помощи метода Симпсона

18. Системный подход как метод познания мира.

19. Научный метод познания

20. Понятие, предмет, методы, принципы, нормы, источники и система налогового права

21. Численное решение системы линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу

22. Доказательство Великой теоремы Ферма с помощью метода бесконечных (неопределенных) спусков
23. Математические понятия
24. Теоретические методы познания в школьном курсе физики

25. Определение моментов инерции тел методом трифилярного подвеса

26. Методы, применяемые на эмпирическом и теоретическом уровнях познания. Развитие методов познания

27. Научный метод познания мира

28. Определение жесткости воды комплексонометрическим методом

29. Детерминированные экономико-математические модели и методы факторного анализа

30. Органы исполнительной власти: понятие, признаки, правовые основы образования и принципы деятельности

31. Понятие стратегии международного маркетинга и её принципы в международном бизнесе

32. Исследование методов охлаждения садки колпаковой печи с помощью математического моделирования

Настольная игра "Скоростные колпачки".
Игра на ловкость рук и остроту глаза. Способствует развитию зрительно-моторной координации движений, концентрации внимания и зрительного
635 руб
Раздел: Игры на ловкость
Игра интерактивная "Супер магический Джинн".
Интерактивная игрушка "Супер магический Джинн" умеет без малейшего труда угадывать задуманные слова, поэтому ребенку придется
1549 руб
Раздел: Игры на ассоциации, воображение
Одеяло стеганое "Карапуз" толстое (цвет: белый).
Одеяло "Карапуз" выполнено в чистейшем белом цвете. Дополнительно по всему периметру имеется стежка для предотвращения миграции
589 руб
Раздел: Одеяла для детей

33. Определения положения объектов на местности при помощи приборов нивелира и теодолита

34. Разработка методов определения эффективности торговых интернет систем

35. Математические методы и языки программирования: симплекс метод

36. Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников

37. Трансплантация органов и тканей. Определение понятия пластической хирургии. Современная терминология в трансплантологии. Основные виды пересадки кожи. Причины отторжения трансплантантов. Профилактика осложнений. Реплантация. Имплантация

38. Детский травматизм и методы самостоятельной помощи
39. Предмет, понятие, метод и система криминологии
40. Исследование метода акустической эмиссии для определения прочности конструкционных керамических материалов

41. Диаграммы Венна-Эйлера: соотношения между объемами данных понятий. Проверка правильности непосредственного умозаключения

42. Разработка для контроля и определения типа логических интегральных микросхем методом сигнатурного анализа

43. Определение понятия "общественное мнение" (трактовка автора)

44. Правильное оказание первой медицинской помощи

45. Кредитоспособность ссудозаёмщика и методы её определения

46. Определение рыночной стоимости недвижимости затратным методом

47. Кредитоспособность ссудозаемщика и методы ее определения

48. Методы алгебраических и дифференциальных уравнений для анализа и качественного исследования социально-экономических явлений (По дисциплине: Математические методы моделирования процессов управления в социальной сфере)

Дождевик Bambola для колясок, универсальный.
Элегантный, экологичный дождевик и на классическую коляску-люльку и на прогулочную коляску, подходит и для колясок с ручкой сзади
550 руб
Раздел: Дождевики, чехлы для колясок
Кружка "Котик черный".
Смешная щурящаяся мордочка кота и его маленькие ушки - вот, что делает эту кружку такой неотразимо милой! Округлая, сужающаяся кверху
367 руб
Раздел: Кружки
Маркеры перманентные, 12 цветов.
В наборе 12 перманентных маркеров. Оставляют след на обратной стороне бумаги.
588 руб
Раздел: Перманентные

49. Роль математических методов в экономическом исследовании

50. Экономико-математические методы моделирования в землеустройстве

51. Метод определения поглощенных доз внешнего гамма-излучения по спектрам электронного парамагнитного резонатора зубной эмали

52. План чтения лекции по учебной дисциплине «Математические методы»

53. Определение релаксационных констант в модифицированных полимерных материалах методом линейной регрессии

54. Определение вязкости жидкости методами медицинского вискозиметра и Стокса
55. Определение индуктивности катушки и ее активного сопротивления методом резонанса
56. Методы определения возраста земли и Вселенной

57. Определение поверхностного натяжения методом счета капель

58. Определение поверхностного натяжения методом максимального давления в газовом пузырьке

59. Экзаменационные вопросы и билеты по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ за весенний семестр 2001 года

60. Определение понятий

61. Основные подходы к определению понятия власти

62. Методы запоминания экономических и юридических статей, правил, определений, теорем

63. Об определении понятия “правовая психология”

64. Правильный метод измерения мужского члена

Кружка керамическая "FIFA 2018", 1000 мл.
Объем: 1000 мл. Материал: керамика.
1231 руб
Раздел: Кружки, посуда
Корзина "Плетенка" с крышкой, (350x290x175) (бежевый).
Материал: пластик. Ширина: 29 см. Длина: 35 см. Высота: 17,5 см. Цвет: бежевый.
303 руб
Раздел: Корзины для стеллажей
Сковорода-гриль чугунная, со съемной деревянной ручкой, 25x25х4 см (квадратная).
Размеры: 25х25х4 см. Размер рабочей поверхности: 23х23х2 см. Чугунная литая сковорода-гриль со съемной ненагревающейся деревянной ручкой,
620 руб
Раздел: Сковороды гриль

65. Понятие. Его определение и деление

66. Математические методи в психології

67. Проблема абсолютности – относительности научного познания и единый метод обоснования

68. Основные методы научного познания

69. Родовидовые определения. Правила определения понятий

70. Определение понятий
71. Эксперимент как метод научного познания
72. Математическая теория познания А.Ф.Лосева и возможности ее дальнейшего развития

73. Основные задачи термохимии. Использование калориметрических методов для определения теплот растворения солей

74. Метод определения степени напряжения адаптационных процессов в организме на основе динамики показателя энтропии

75. Ключевые определения и концепции методов планирования, организации и контроля проектов

76. Инвестиции. Основные понятия и определения

77. Ценовые стратегии фирмы. Закон Российской Федерации “О таможенном тарифе ” и методы определения таможенной стоимости товаров

78. Билеты по предмету Математические методы в экономике за осенний семестр 2000 года

79. Экономическое планирование методами математической статистики

80. Лекции Математические методы исследования экономики

Противомоскитная сетка, 100х220 см, бежевая.
Материал изготовления: полиэстер 100%, плотность 58 гр/кв. метр. В комплект входят кнопки и двусторонний скотч для крепления к дверному
425 руб
Раздел: Сетки противомоскитные
Фломастеры утолщенные "Jumbo", 24 цвета.
Фломастеры, вентилируемый колпачок, утолщенный трехгранный корпус. В наборе: 24 цвета.
515 руб
Раздел: 13-24 цвета
Музыкальная шкатулка в форме трапеции.
Внутри шкатулки находится фигурка. При заводе шкатулки, фигурка кружится и звучит приятная мелодия. Размер: 13х16х9 см. Шкатулка
697 руб
Раздел: Шкатулки музыкальные

81. Математические методы исследования экономики.

82. Методы определения величины прибыли, направленной на финансирование капитальных вложений

83. Русский общий жаргон: к определению понятия

84. Основные термины, понятия и определения в области БЖД

85. Определение легколетучих элементов методом ЭТААС по технике дозирования суспензий образцов на никелевом модификаторе

86. Методы определения С-концевой аминокислоты
87. Некоторые методы определения характеристик деформируемо-сти и прочности грунтов
88. Новый подход к определению понятия "действующий вулкан"

89. Понятие и сущность права, определение права

90. К вопросу определения понятия сетевых СМИ

91. Определение понятий в контексте Книги перемен

92. Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников

93. Обзор методов определения форм и частот колебаний узлов и деталей

94. Метод определения спроса на основе анализа цен и объемов продаж

95. Методы определения и измерения сильных сторон личности

96. Основные подходы к классификации банковских рисков, методы управления ими, а также определение путей их минимизации

Стиральный порошок "INDEX", универсал, 2400 грамм.
Предназначение: для стирки изделий из хлопчатобумажных, льняных, синтетических тканей, а также тканей из смешанных волокон (кроме изделий
444 руб
Раздел: Стиральные порошки
Автомобильный холодильник D-H24P "Delta", голубой, 24 л.
Объем: 24 л. Номинальная мощность: - в режиме охлаждения (12В/220-240 В ~) 40/48 Вт, - в режиме нагрева (12В/220-240 В ~) 39/45
4157 руб
Раздел: Автомобильные холодильники
Повязка-держатель для головы "Соня".
Предназначена для фиксации головы ребенка, при поездки в автокресле. Хлопок 100% Товар в ассортименте, без возможности выбора.
321 руб
Раздел: Прочее

97. Основные понятия, термины и определения в безопасности жизнедеятельности

98. Методы научного познания. Научные революции в естествознании

99. Основные методы и понятия физиологии высшей нервной деятельности


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.