|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Методы решения алгебраических уравнений |
Фонарь желаний бумажный, оранжевый. 
Забавная пачка "5000 дублей". Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Московский автомобильно-дорожный институт (ГТУ) МФ Факультет «АТ» Кафедра «О и БД» КУРСОВАЯ РАБОТА по предмету «Прикладная Математика»Выполнил студент 2ЭТ гр. Мусиев Г.М. Проверил преподаватель Баламирзоев А.Г. Махачкала 2008 г. Оглавление Введение 1. Решение нелинейных уравнений. Метод деления отрезка пополам. Метод касательных. Комбинированный метод хорд и касательных 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Методом Крамера. Методом Гаусса. Метод Жордана Гаусса. Метод Зейделя 3. Математическая обработка результатов опыта. Аппроксимация функций. Полином Лагранжа. Метод наименьших квадратов 4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Метод Рунге – Кутта 5. Практический раздел Введение В достаточно общем случае процесс решения прикладных задач состоит из следующих этапов: 1. постановка задачи и построение математической модели (этап моделирования); 2. выбор метода и разработка алгоритма (этап алгоритмизации) ; 3. запись алгоритма на языке, понятном ЭВМ (этап программирования); 4. отладка и исполнение программы на ЭВМ (этап реализации); 5. анализ полученных результатов (этап интерпретации). Фабула практических задач связана с реальными объектами – производственными процессами и явлениями природы, физическими закономерностями, экономическими отношениями и т.п. Решение задач обычно начинается с описания исходных данных и целей на языке строго определенных математических понятий. Точную формулировку условий и целей решения называют математической постановкой задачи. Этап исследования и описания их с помощью математических терминов называется построением математической модели или моделированием. Построение математической модели является наиболее сложным этапом решения задачи. Математическая модель может иметь вид уравнения, системы уравнений или быть выраженной в форме иных, как угодно сложных, математических структур или соотношений самой различной природы. Математические модели, в частности могут быть непрерывными или дискретными, в зависимости от того, какими величинами – непрерывными или дискретными – они описаны. Вслед за построением математической модели идет этап поиска и разработки алгоритма решения задачи который называется алгоритмизацией. Особые трудности на этапе поиска алгоритма заключается в поиске методе решения задачи. Дело в том, что уже для достаточно простых моделей чаще всего не удается получить результат в аналитической форме. Пусть, к примеру, задача свелась к решению уравнения с одной переменной: x - g x = 0 . При всей тривиальности этой задачи выразить корни уравнения путем аналитических преобразований не удается, и весь арсенал методов «точной» математики оказывается здесь беспомощным. В таких случаях приходится использовать приближенные математические методы, позволяющие получать удовлетворительные результаты. Основными методами решения подобных задач являются численные методы, при использовании которых результат получается путем вычислений. По этой причине наиболее естественный путь реализации численных методов – это использование ЭВМ.
На следующем этапе алгоритм задачи записывается на языке, понятном ЭВМ. Это- этап программирования, затем следует этап реализации- исполнение программы на ЭВМ и получение результатов решения. Завершающий этап решения задачи - это анализ, или интерпретация результатов. На этом этапе происходит осмысливание полученных результатов, сопоставление их с результатами контрольного просчета, а также с данными, полученными экспериментальным путем. При этом одни результаты могут оказаться приемлемыми, а другие – противоречащими смыслу реальной задачи, такие решения следует отбросить. Высшим критерием пригодности полученных результатов в конечном итоге является практика. В условиях использования ЭВМ численные методы являются мощным средством решения практических задач, хотя ЭВМ наоборот усложняет оценку точности получаемых результатов, как изложено в известном принципе Питера «ЭВМ многократно увеличивает некомпетентность вычислителя». На общую погрешность задачи влияет целый ряд факторов, начиная с построения математической модели до производства вычислений. Сюда входят: неустранимая погрешность, погрешность метода, вычислительная погрешность и в итоге, полная погрешность вытекает из суммы всех погрешностей. При решении конкретных задач те или иные виды погрешностей могу отсутствовать или незначительно влиять на конечный результат, тем не менее, в каждом случае необходим полный анализ погрешностей всех видов. Это в полной мере относится и к неустранимой погрешности – погрешности математической модели. К числу причин следует отнести также промахи, допускаемые в результате решения задачи: использование не тех данных, неверной программы вычислений и т.д. Поэтому необходима грубая прикидка ожидаемого результата, а это невозможно без ознакомления с понятиями приближенных методов вычислений, поэтом рассмотрим некоторые методы приближенных вычислений, применяемые в прикладной математике. 1. Решение нелинейных уравнений. Метод деления отрезка пополам. Метод касательных. Комбинированный метод хорд и касательных Задача о нахождения приближенных значений действительных корней уравнения f(x)=0 предусматривает предварительное отделение корня, т.е. установление промежутка, в котором других корней данного уравнения нет. Будем предполагать, что функция f(x) в промежутке непрерывна вместе со своим производным f’(x) и f’’(x), значения f(a) и f(b) функции на концах промежутка имеют разные знаки, т. е. f(a) f(b)&l ;0, и обе производные f’(x) и f’’(x) сохраняют знак во всем промежутке . Так как действительным корнями уравнения f(x)=0 являются абсциссы точек пересечения кривой у = f(x) с осью Ox, то отделение корня можно произвести графически. Вместо уравнения у = f(x) можно взять уравнения у = rf (x), где r – постоянная величина, отличная от нуля, так как уравнения f(x) =0 и rf (x) =0 равносильны. Постоянную величину r можно взять так, чтобы ординаты точек графика не были чрезмерно большими или, наоборот, чтобы график не был слишком близок к оси Ox. Иногда бывает полезно уравнение f (x)=0 записать в виде (x) =(x). Действительными корнями исходного уравнения служат абсциссы точек пересечения графиков функций y =(x) и у =(x) 1.М
етод деления отрезка пополам. Интервал изоляции действительно корня всегда можно уменьшить путем деления его, например, пополам, определяя, на границах какой из частей первоначального интервала функция f (x) меняет знак. Затем полученный интервал снова делят на две части и т.д. Такой процесс проводится до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответ десятичные знаки. 2.Методкасательных. Пусть действительный корень уравнения f (x)=0 изолирован на отрезке . Будем предполагать, что все ограничения, сформулированные выше относительно f(x), сохраняют силу и в этом случае. Возьмем на отрезке такое число xo, при котором f(xo) имеет тот же знак, что и f (xo), т.е. f(xo) o) &g ;0 (в частности, за xo может быть принят то из концов отрезка , в котором соблюдено это условие). Проведем в точке Mo касательную к кривой y=f (x).За приближенное значение корня примем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ox. Это приближенное значение корня находится по формуле х1 = х0 - f(хо)/ fI (хо) Применив этот прием вторично в точке M1, найдем X2=X1 – f (x1)/(x1) и т. д. Полученная таким образом последовательность xo, x1,x2 имеет своим пределом искомый корень. Для оценки погрешности приближенного значения корня, найденного методом Ньютона, может быть использовано неравенство х - ξ &l ; 3. Комбинированный метод хорд и касательных. Пусть требуется найти действительный корень уравнения f (x)= 0, изолированный на отрезке . Предполагается, что f (a) и f (b) имеют равные знаки, а каждая из производных сохраняет определенный знак на отрезке изоляции. Возьмем на отрезке такую точку xo, что f (xo) и f” (xo) (при x, принадлежащем промежутку изоляции) имеют одинаковые знаки. Воспользуемся формулами методов хорд и касательных: X11=Xo- f (xo) / f1(xo); X12 = a – (b – a ) f (a) / f (b) – f (a). Величины X11 и X12 принадлежат промежутку изоляции, причем f (X11) и f (X12) имеют разные знаки. X21=X11- f (x11) / f1(x11); X22=X11-(X12-X11) f (X11) / f (X12) – f (X11). Точки X21 и X22 на числовой оси расположены между точками X11 и X12, причем f (X21) и f (X22) имеют разные знаки. Вычислим теперь значения X31=X21- f (x21) / f1(x21); X32=X21-(X22-X21) f (X21) / f (X22) – f (X21). Каждая из последовательностей X11, X21, X31,. X 1, ; X12, X22, X32, , X 2, стремится к искомому корню, причем одна из последовательностей монотонно возрастает, а другая – монотонно убывает. Пусть, например, X 1 &l ; X&l ; X 2, тогда 0 &l ; X- X -1 &l ; X 2- X 2 – X 1. Задав заранее достаточно малое мы можем, увеличивая , добиться выполнения неравенства X 2 – X 1 &l ; ; следовательно, при этом же значении будет выполняться неравенство X – X 1 &l ; . Таким образом, X 1 является приближенным значением корня X, вычисленным с погрешностью, не превышающей . Так, например, для нахождения приближенного значения X с точностью до 0,001 нужно определить таким образом, чтобы значения X 1 и X 2, вычисленные с точностью до 0,001, совпадали. 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Методом Крамера. Методом Гаусса. Метод Жордана Гаусса. Метод Зейделя Решение систем линейных алгебраических уравнений – одна из основных задач вычислительной линейной алгебры.
Эта на первый взгляд нелепая задача допускает решение, поскольку, как заметил Д'Аламбер, «алгебра щедра: она нередко дает больше, чем от нее можно было бы требовать». ЕслиPx одна из частей, то по условиям задачи x(10 x) = 40 и мы получаем дляPx квадратное уравнение. Решив его, Кардано нашел корни 5 + 15 и 5 15, относительно которых заметил, что эти «сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны». «Умолчим о нравственных муках» и умножим 5 + 15Pна 5 15. Произведение этих двух чисел равно 25 (15) = 40. По этому поводу Кардано философски заметил: «Арифметические соображения становятся все более неуловимыми, достигая предела столь же утонченного, сколь и бесполезного». Еще раз Кардано столкнулся с комплексными числами в связи с алгебраическим методом решения кубических уравнений, который он изложил в своей книге. Хотя Кардано искал и отбирал только вещественные корни, выведенная им формула давала и комплексные корни (если уравнение допускало комплексные корни). Небезынтересно отметить, что в том случае, когда все три корня уравнения были вещественными, формула Кардано приводила к комплексным числам, по которым можно было найти вещественные корни.{72} Таким образом, Кардано мог не придавать большого значения комплексным числам, но, поскольку он не знал, как извлекать из комплексных чисел кубический корень и, следовательно, как получать вещественные корни, ему так и не удалось преодолеть эту трудность
2. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса
3. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений
4. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка
5. Решение нелинейного уравнения методом касательных
10. Решение систем линейных алгебраических уравнений (прямые методы)
11. Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена
12. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
13. Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными
14. Методы решения алгебраических уравнений
15. Лабораторная работа №6 по "Основам теории систем" (Решение задачи о ранце методом ветвей и границ)
16. Решение систем линейных алгебраических уравнений
Набор детской посуды "Холодное сердце. Дисней", 3 предмета. 
Фоторамка на 9 фотографий С31-019 Alparaisa "Family", черно-золоченое золото, 61,5x54,5 см. 
Фоторамка-коллаж для 6 фото, 46x32 см, арт. 37943. 17. Решение задач транспортного типа методом потенциалов
18. Системы и методы калькулирования себестоимости. Расчет себестоимости на примере ячеек КРУ
20. Автоматизация решения систем линейных алгебраических уравнений
21. Нахождение корней уравнения методом простой итерации (ЛИСП-реализация)
25. Системы и методы инвестиционного анализа
26. Об алгебраических уравнениях высших степеней
29. Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей
31. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА
32. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
Шкатулка музыкальная "Два сердца", 22x15x8 см, арт. 24808. 
Настольная игра "Спящие королевы" (делюкс). 
Карандаши цветные "Colorino Kids", трехгранные, 18 цветов + точилка. 34. Методы решения уравнений в странах древнего мира
35. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
36. Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный
41. Методы и алгоритмы компьютерного решения дифференциальных уравнений
42. Разработка программы решения системы линейных уравнений
43. Численные методы решения систем линейных уравнений
44. Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка
45. Методы решения систем линейных уравнений
46. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
47. Методы путевого анализа и их применение к системам одновременных уравнений
48. Предмет, метод и система гражданского процессуального права /Украина/
Защитная накидка на автокресло "Зверята". 
Мешок для обуви "Space". 
Карандаши цветные "Kores", 50 цветов. 49. Дидактические возможности отдельных методов обучения на уроках литературы в старших классах
50. Решение транспортной задачи методом потенциалов
52. Разработка программного обеспечения решения нелинейных уравнений
53. Системы принятия решений, оптимизация в Excel и базы данных Access
57. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера
58. Метод последовательных уступок (Теория принятия решений)
59. Методы решения систем линейных неравенств
60. Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
61. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модуль
62. Решение транспортной задачи методом потенциалов
63. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов
64. Решение задач на построение сечений в многогранниках методом следов
Замок для коляски "Flipper". 
Гамачок для купания, универсальный. 
Набор детской посуды "Тачки. Дисней", 3 предмета. 65. Проект создания системы поддержки принятия решений оперативно-дежурной службы милиции
66. Использование видео на уроках английского языка
68. Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия
69. Методология и методы принятия решения
75. Системы поддержки и принятия решений
76. Системы линейных уравнений
77. Уравнения и способы их решения
78. Методы решения некорректно поставленных задач
79. Приближенное решение уравнений
80. Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром
Набор разделочных досок на подставке. 
Увлекательная настольная игра "Турбосчет". 
Бутылка под оливковое масло "Тоскана", 18x8,5x24 см, 1100 мл. 81. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
82. Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модули
83. Решение иррациональных уравнений
84. Применение свойств функций для решения уравнений
85. Методы исследования опорно-двигательной системы
90. Системы Поддержки Принятия Решений
91. Видео практикум как активный метод развития профессионального мышления студентов
92. Обучение общим методам решения задач
93. Кинезиология как Метод решения психологических проблем
94. Система принятия верных решений
95. Системы современных уроков
Набор фигурок "Счастливые друзья". 
Чайник со свистком "Орхидея" ЕМ-25001/8, (2,5 л). 
Набор посуды керамической "Леди Баг", 3 предмета (в подарочной упаковке). 97. Система действий ученика и учителя на уроке с использованием телекоммуникационных технологий
98. Решение задачи методами линейного, целочисленного, нелинейного и динамического программирования.
99. Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия
100. Методы анализа управленческих решений
Совок №5. 
