|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Теория вероятности и математическая статистика |
Мыло металлическое "Ликвидатор". 
Браслет светоотражающий, самофиксирующийся, желтый. Теория вероятности и математическая статистика Конспект лекций по курсу Киевский политехнический институт Кафедра КСОИУ Киев - 1996 г. Введение. Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности. Теория вероятности изучает данные закономерности. Например: определить однозначно результат выпадения “орла” или “решки” в результате подбрасывания монеты нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число “орлов” и “решек”. Испытанием называется реализация определенного комплекса условий, который может воспроизводиться неограниченное число раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация которого в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания. Например: испытание - подбрасывание монеты. Результатом испытания является событие. Событие бывает: Достоверное (всегда происходит в результате испытания); Невозможное (никогда не происходит); Случайное (может произойти или не произойти в результате испытания). Например: При подбрасывании кубика невозможное событие - кубик станет на ребро, случайное событие - выпадение какой либо грани. Конкретный результат испытания называется элементарным событием. В результате испытания происходят только элементарные события. Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется пространством элементарных событий. Например: Испытание - подбрасывание шестигранного кубика. Элементарное событие - выпадение грани с “1” или “2”. Совокупность элементарных событий это пространство элементарных событий. Сложным событием называется произвольное подмножество пространства элементарных событий. Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному. Таким образом, если в результате испытания может произойти только одно элементарное событие, то в результате испытания происходят все сложные события, в состав которых входят эти элементарные. Например: испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадение грани с номером “1”. Сложное событие - выпадение нечетной грани. Введем следующие обозначения: А - событие; w - элементы пространства W; W - пространство элементарных событий; U - пространство элементарных событий как достоверное событие; V - невозможное событие. Иногда для удобства элементарные события будем обозначать Ei, Qi. Операции над событиями. 1. Событие C называется суммой A B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B. При этом если элементарное событие входит и в A, и в B, то в C оно входит один раз. В результате испытания событие C происходит тогда, когда произошло событие, которое входит или в A или в B. Сумма произвольного количества событий состоит из всех элементарных событий, которые входят в одно из Ai, i=1, ., m. 2. Событие C произведением A и B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих и в A, и в B. Произведением произвольного числа событий называется событие состоящее из элементарных событий, входящих во все Ai, i=1, .,
m. 3. Разностью событий A-B называется событие C, состоящее из всех элементарных событий, входящих в A, но не входящих в B. 4. Событие называется противоположным событию A, если оно удовлетворяет двум свойствам. Формулы де Моргана: и 5. События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания. События A и B называются несовместными, если они не имеют общих элементарных событий. C=A& imes;B=V Тут V - пустое множество. Частость наступления события. Пусть пространство элементарных событий конечно и состоит из m элементарных событий. В этом случае в качестве возможных исходов испытаний рассматривают 2m событий - множество всех подмножеств пространства элементарных событий W и невозможное событие V. Пример: W=(w1, w2, w3) A1=V A2=(w1) A3=(w2) A4=(w3) A5=(w1, w2) A6=(w2, w3) A7=(w1, w3) A8=(w1, w2, w3) Обозначим систему этих событий через F. Берем произвольное событие AÎF. Проводим серию испытаний в количестве . - это количество испытаний, в каждом из которых произошло событие A. Частостью наступления события A в испытаниях называется число Свойства частости. Частость достоверного события равна 1. W (U)=1. Частость суммы попарно несовместных событий равна сумме частостей. Рассмотрим систему Ai, i=1, ., k; события попарно несовместны, т.е. Событие Пусть в результате некоторого испытания произошло событие A. По определению сумы это означает, что в этом испытании произошло некоторое событие Ai. Так как все события попарно несовместны, то это означает, что никакое другое событие Aj (i¹j) в этом испытании произойти не может. Следовательно: A= A1 A2 . Ak Теория вероятности используется при описании только таких испытаний, для которых выполняется следующее предположение: Для любого события A частость наступления этого события в любой бесконечной серии испытаний имеет один и тот же предел, который называется вероятностью наступления события A. Следовательно, если рассматривается вероятность наступления произвольного события, то мы понимаем это число следующим образом: это частость наступления события в бесконечной (достаточно длинной) серии испытаний. К сожалению, попытка определить вероятность как предел частости, при числе испытаний, стремящихся к бесконечности, закончилась неудачно. Хотя американский ученый Мизес создал теорию вероятности, базирующуюся на этом определении, но ее не признали из-за большого количества внутренних логических несоответствий. Теория вероятности как наука была построена на аксиоматике Колмогорова. Аксиоматика теории вероятности. Построение вероятностного пространства. Последовательно строим вероятностное пространство. Этап 1: Имеется испытание. В результате проведения испытания может наблюдаться одно событие из серии событий e. Все события из системы e называются наблюдаемыми. Введем предположение, что если события A Ì e, B Ì e наблюдаемы, то наблюдаемы и события . Система событий F называется полем событий или алгеброй событий, если для двух произвольных событий A, B Ì F выполняется: Дополнения (A B) Î F, (A& imes;B) Î F все конечные суммы элементов из алгебры принадлежат алгебре все конечные произведения элементов из алгебры принадлежат алгебре все дополнения конечных сумм и произведений принадлежат алгебре.
Таким образом, систему e мы расширяем до алгебры или поля F путем включения всех конечных сумм, произведений, и их дополнений. Т.е. считаем, что в результате проведения испытания наблюдаемая система является полем или алгеброй. Множество всех подмножеств конечного числа событий является наблюдаемой системой - алгеброй, полем. Этап 2: Каждому событию A Î F ставим в соответствие число P(A), которое называется вероятностью наступления события A. Такая операция задает вероятностную меру. Вероятностная мера - числовая скалярная функция, аргументами которой являются элементы из системы алгебры F. Введенная вероятностная мера удовлетворяет системе из трех аксиом. P(U)=1. Рассмотрим конечную или бесконечную систему попарно несовместных событий, каждое из которых принадлежит алгебре F. . Если , то . Алгебра событий называется s - алгеброй, если эта система событий содержит в себе все конечные суммы и произведения из алгебры F и их дополнения, а также все бесконечные суммы и произведения из алгебры и их дополнения. Пример: В пространстве R1 зададим в качестве поля событий все конечные интервалы вида a³x>b, b¹a. Распространение этой алгебры на s - алгебру приводит к понятию борелевской алгебры, элементы которой называются борелевскими множествами. Борелевская алгебра получается не только расширением поля вида a³x>b, но и расширением полей вида a>x³b, a³x³b. Над наблюдаемым полем событий F задается счетно-аддитивная мера - числовая скалярная функция, элементами которой являются элементы поля F, т.е. события. Она удовлетворяет следующим трем условиям-аксиомам теории вероятности. . P(A) - число, принадлежащее сегменту и называющееся вероятностью наступления события A. P(A) Î P(U)=1. Пусть имеется A1, A2, A3,., Ak - система попарно несовместных событий Если , то . Теорема о продолжении меры. Построим минимальную s - алгебру, которой принадлежит поле событий F (например, борелевская s - алгебра - это минимальная s - алгебра, которая содержит поле всех полуинтервалов ненулевой длины). Тогда доказывается, что счетно-аддитивная функция P(A) однозначно распространяется на все элементы минимальной s - алгебры и при этом ни одна из аксиом не нарушается. Таким образом, продленное P(A) называется s - аддитивной мерой. s - алгебра содержит ненаблюдаемые события наряду с наблюдаемыми. Но в аксиоматической теории вероятности считается, что может произойти любое событие из s - алгебры. Расширение поля наблюдаемых событий на s - алгебру связано с невозможностью получить основные результаты теории вероятности без понятия s - алгебры. Определение вероятностного пространства. Вероятностным пространством называется тройка (W, s, P), где W - пространство элементарных событий, построенное для данного испытания; s - s-алгебра, заданная на W - системе возможных событий, которая интересует исследователя, в результате проводимых испытаний; P - s - аддитивная мера, т.е. s - аддитивная неотрицательная функция, аргументами которой являются аргументы из s - алгебры и удовлетворяющая трем аксиомам теории вероятности.
К ним относятся принципы историзма, объективизма и системности. Принцип историзма предполагает исследования социальных явлений в контексте исторического развития, их сопоставление с различными событиями истории. Принцип объективизма означает изучение социальных явлений во всех их противоречивости; недопустимо изучение только положительных либо только отрицательных фактов. Принцип системности подразумевает необходимость исследования социальных явлений в неразрывном единстве, выявление причинно-следственных связей. К третьему уровню можно отнести методы, характеризующие прикладную социологию (опрос, наблюдение, анализ документов и др.). Собственно социологические методы третьего уровня основываются на применении сложного математического аппарата (теории вероятности, математической статистики). 2.PСоциология в системе гуманитарных наук Совершенно очевидно, что если объектом социологии является общество, то она тесно соприкасается с другими общественными и гуманитарными науками, изучающими эту область реальности. Она не может развиваться изолировано от них
1. Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике
3. Теория вероятностей и математическая статистика
4. Теория вероятностей и математическая статистика
5. Теория вероятности и математическая статистика
9. Лекции по математической статистике
10. Теория восстановления: теория или жизнь?
11. Экономическое планирование методами математической статистики
Бутылка под оливковое масло "Тоскана", 18x8,5x24 см, 1100 мл. 
Сковорода гриль-газ, мраморное антипригарное покрытие. 
Копилка "Металлический сейф с ключом", красная. 18. Теория вероятности и мат статистика
19. Теория вероятностей и случайных процессов
20. Теория вероятности решение задач по теории вероятности
21. Контрольная по теории вероятности
25. Теория вероятностей: наука о случайном
28. Грегор Мендель, горох и теория вероятностей
29. Аксиоматика теории вероятностей
30. Динамика развития некоторых понятий и теорем теории вероятностей
31. Основы теории вероятностей
Детский шезлонг качалка "Счастливый лягушонок". 
Щипцы кулинарные "Paterra", силиконовые. 
Мультиплеер с проектором "Спокойной ночи, малыши!". 36. Вычисления по теории вероятностей
42. Метод АВИ в математической теории переноса вредных веществ в гетерогенных средах
43. Математическая теория информации
44. Математические методы в теории принятия решений
45. История экономики, политология, психология и педагогика, статистика, философия, экономическая теория
Этажерка для обуви, узкая, 4 полки. 
Каталка-трактор "Митя" №2. 
Игровой набор "Фрукты и овощи" в корзине. 57. Эволюционная теория Чарльза Дарвина
58. Теория Эволюции (шпаргалка)
59. Научный креационизм (Теория сотворения). Обновленная и улучшенная версия
60. Альбом схем по основам теории радиоэлектронной борьбы
61. Бюджетный дефицит и государственный долг: теория проблемы и ее проявление в российской экономике
62. Шпаргалки для госэкзамена по теории государства и права
63. Теория социальной пассионарности Л. Н. Гумилева
64. Противоречивость "норманнской теории" происхождения государства у славян
Аэрозоль от насекомых супер универсальный "Чистый Дом" (двойное распыление), 600 мл. 
Сумка-мини для раскрашивания "Модница" (контур-серебро). 
Детский трехколесный велосипед Jaguar (цвет: синий). 65. Норманнская теория происхождения русской государственности ее апологеты и критики
66. Шпаргалка по общей теории права
67. Теория государства и права как наука и учебная дисциплина
68. Генезис (развитие) теории правового государства с древнейших времен и по наши дни
69. Теории государства и права (Шпаргалка)
74. Экзаменационные вопросы к государственному экзамену по теории государства и права
75. Определения (Теория государства и право)
76. Предмет теории государства и права
77. Шпоры к ГОСам (теория государства и права)
78. Шпаргалки по теории государства и права
79. Теория государства и права (шпаргалки для госэкзамена)
80. Теория государства и права (ТГП) в таблице
Асборн - карточки. Дорисуй, найди, раскрась. 
Устройство для контроля над питанием "Хрюшка-диетолог". 
Набор мисок "Mayer & Boch", 10 предметов. 81. Теория государства и права (шпаргалки)
82. Теория и методика преподавания классического танца
83. Антропогенез: эволюционная теория происхождения человека
84. Проблемы теории культуры в отечественной философии (А. Ф. Лосев, М. К. Мамардашвили)
85. Шпоры по Поэтике или теории литературы
89. Теория системного управления
90. Постановка лабораторной работы по теории графов
91. Теория многозадачности и многопоточности
92. Вычисление вероятности игры в КРЭКС(кости)
94. Терминология теории систем. Классификация систем. Закономерности систем
Статуэтка "Маленькая леди", 10 см. 
Бумага для принтера "Svetocopy", формат А3, 500 листов. 
Игра настольная развивающая "Лесные животные". 97. Лабораторная работа №6 по "Основам теории систем" (Решение задачи о ранце методом ветвей и границ)
99. Теория систем автоматического регулирования
Совок №5. 
