Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Применение свойств функций для решения уравнений

Пакеты с замком "Extra зиплок" (гриппер), комплект 100 штук (150x200 мм).
Быстрозакрывающиеся пакеты с замком "зиплок" предназначены для упаковки мелких предметов, фотографий, медицинских препаратов и
148 руб
Раздел: Гермоупаковка
Совок большой.
Длина 21,5 см. Расцветка в ассортименте, без возможности выбора.
21 руб
Раздел: Совки
Фонарь садовый «Тюльпан».
Дачные фонари на солнечных батареях были сделаны с использованием технологии аккумулирования солнечной энергии. Уличные светильники для
106 руб
Раздел: Уличное освещение

Применение свойств функций для решения  уравнений Т.С. Кармакова,  доцент кафедры алгебры ХГПУ В предлагаемой статье речь идет о нестандартных приемах решения уравнений, основанных на простых и хорошо известных учащимся свойствах и характеристиках функций, таких как непрерывность, монотонность наибольшее и наименьшее значение.  Используя предлагаемые автором задачи и методы их решения, учитель сможет сформировать у  учащихся более широкий взгляд на область применения различных этих свойств. Ведь не секрет, что в стандартном курсе школьной математики свойства функций применяются в основном для построения их графиков. В соответствии с обязательным минимумом содержания среднего (полного) общего образования, утвержденным Министерством образования РФ (пр. №56 от 30.06.99), все учащиеся должны знать три основных метода решения уравнений: Разложение на множители, Замена переменных, Использование свойств функций. Рассмотрим на конкретных примерах сущность третьего метода. Этот метод применяется тогда, когда уравнение F(x)=G(x) в результате преобразований или замены переменных не может быть приведено к  тому или иному стандартному уравнению, имеющему определенный алгоритм решения. Продемонстрируем использование некоторых свойств функций к решению уравнений указанного выше вида в случае, когда F(x) и G(x)  - любые элементарные функции. Использование области определения и области значения функций Решить уравнение Решение: Множество решений этого уравнения совпадает с областью определения функции . Областью определения этой функции (в соответствии с определением степени  с рациональным показателем) является множество положительных действительных чисел. Ответ: x>0. Решить уравнение  si xc gx=cosx. Решение: Множество решений этого уравнения совпадает с областью определения уравнения. Область определения уравнения – это общая часть областей определения функций, входящих в уравнение. Следовательно, множество решений уравнения – множество всех действительных чисел, кроме x=kp, где kÎZ. Ответ: x¹kp, где kÎZ. Решить уравнение . Решение: У этого уравнения нет корней, так как область значений функции  при x³1 есть множество неотрицательных чисел, а функция при всех x принимает отрицательные значения. Решить уравнения: а) б) в) г) д) е) Ответы: а) x>0, x¹1; б) êxê&pou d;1; в) x¹0; г) x³0; д) Нет корней; е)  x¹0. Использование экстремальных значений функций Сущность этого способа решения уравнений в том, что оцениваются правая и левая части уравнения F(x)=G(x) и, если одна из функций принимает значение не меньше некоторого числа А, а другая – не больше этого же числа А, то данное уравнение заменяется системой уравнений: Этот способ может быть применен к решению следующих уравнений: в обеих частях уравнения стоят функции разного вида; в одной части уравнения функция, ограниченная сверху, а в другой – ограниченная снизу; в одной части уравнения стоит функция, ограниченная сверху или снизу, а в другой – конкретное число. Рассмотрим конкретные примеры. 2.1 Решить уравнение Решение: Оценим правую и левую части уравнения: а) , так как , а ; б) , так как .

Оценка частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а правая не больше двух при любых допустимых значениях переменной x. Следовательно, данное уравнение равносильно системе  Первое уравнение системы имеет только один корень х=-2. Подставляя это значение во второе уравнение получаем верное числовое равенство: Ответ: х=-2. 2.2 Решить уравнение    Решение: левая часть уравнения не больше двух, а правая – не меньше двух, следовательно, данное уравнение равносильно  системе: Второе уравнение в этой системе имеет единственный корень х=0. Подставляя найденное значение х в первое уравнение, получаем верное числовое равенство. Ответ: х=0. 2.3 Решить уравнение Решение: Оценим левую часть уравнения: , следовательно, . Получили, что в данном уравнении левая часть не больше восьми, а правая часть равна девяти при всех действительных значениях переменной х, поэтому данное уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. 2.4 Решить уравнения: а) б) в)   г) д) е) Ответы: а) p; б) 0; в) 0; г) 0.5; д) 1; е) нет корней. Использование монотонности функций Этот способ основан на следующих теоретических фактах: Если одна функция возрастает, а другая убывает на одном и том же промежутке, то графики их либо только один раз пересекутся, либо вообще не пересекутся, а это означает, что уравнение F(x)=G(x) имеет единственное решение, либо вообще не имеет решений; Если на некотором промежутке одна из функций убывает (возрастает), а другая принимает постоянные значения, то уравнение F(x)=G(x) либо имеет единственный корень, либо не имеет корней. Сущность этого способа состоит в том, исследуются на монотонность левая и правая части уравнения и, если оказывается, что функции удовлетворяют какому - либо из приведенных условий, то найденное подбором решение будет единственным корнем уравнения. Этот способ можно использовать для решения следующих типов уравнений: уравнения, в обеих частях которых стоят функции разного вида; уравнения, в одной части которых убывающая, а в другой – возрастающая на данном промежутке функции; уравнения, одна часть которых – возрастающая или убывающая функция, а вторая – число. Рассмотрим примеры. 3.1 Решить уравнение Решение: область определения данного уравнения x>0. Исследуем на монотонность функции . Первая из них –убывающая (так как это - логарифмическая функция с основанием больше нуля, но меньше единицы), а вторая – возрастающая (это линейная функция с положительным коэффициентом при х). Подбором легко находится корень уравнения х=3, который является единственным решением данного уравнения. Ответ: х=3. 3.2 Решить уравнение Решение: Данному уравнению удовлетворяет число х=2. Проверим, удовлетворяют ли функции, образующие уравнение, условиям, при которых можно утверждать, что других корней нет. Сначала рассмотрим . Исследуем ее на монотонность с помощью производной: . Решаем биквадратное уравнение , , поэтому  при всех значениях хÎR., следовательно, функция f(x)- возрастающая. Теперь исследуем функцию . Как легко установить, она убывает при всех значениях хÎR. Из проведенного исследования можно сделать вывод, что х=2 – единственный корень данного уравнения.

Ответ: х=2 3.3 Решить уравнение Решение: Легко проверить, что х=1 – корень данного уравнения, но мы пока не можем утверждать, что других корней нет, так как и левая и правя части уравнения – возрастающие функции. Преобразуем данное уравнение к виду . Функция в левой части – сумма двух убывающих функций, а следовательно, она также убывающая. В правой же части стоит постоянная функция. Таким образом, рассматриваемое уравнение может иметь только один корень. Ответ: х=1 3.4 Решить уравнения: а) 2x3 9x2 150x-161=0 б) 13x 7x=2 в) 2x 5x=2- gx г) д) е) x 2=76-x Ответы: а) х=1; б) х=0; в) х=0; г) х=2; д) х=4; е) х=5. В конце приведем список литературы, по которому читатели смогут самостоятельно изучить, как использовать различные свойства функций при решении уравнений. Список литературы Аксенов А.А. Решение задач методом оценки.//Математика в школе, 1999, №3, с. 30 Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в Вузы. М.: Наука, 1976 Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: алгебра, тригонометрия. М.: Просвещение, 1991 Шарыгин И.М., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для 11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1995

Для установления таких зависимостей используются следующие приемы: решение уравнении, составленных на основании структурной схемы Н. (использование последовательно-параллельных структур) или на основании логических связей между состояниями изделия (использование алгебры логики ); решение дифференциальных уравнений, описывающих процесс перехода изделия из одного состояния в другие (использование графов состояний); составление функций, описывающих состояния сложного изделия. Расчёты Н. производятся главным образом на этапе проектирования изделий с целью прогнозирования для данного варианта изделия ожидаемой Н. Это позволяет выбрать наиболее подходящий вариант конструкции и методы обеспечения Н., выявить «слабые места», обоснованно назначить рабочие режимы, форму и порядок обслуживания изделия.   Испытания на Н. производятся на этапах разработки опытного образца и серийного производства изделия. Существуют испытания на Н. определительные, в результате которых определяют показатели Н.; контрольные, имеющие целью контроль качества технологического процесса, обеспечивающего с некоторым риском Н. не ниже заданной; ускоренные, в ходе которых используют факторы, ускоряющие процесс возникновения отказов; неразрушающие, основанные на применении методов дефектоскопии и интроскопии , а также на изучении косвенных признаков (шумов, тепловых излучений и т.п.), сопутствующих возникновению отказов.   Моделирование на ЭВМ является наиболее эффективным средством анализа Н. сложных систем

1. Культура, ее функции, субъекты

2. Культура и ее функции

3. Понятие прибыли в экономической науке и ее функции

4. Налоговая система и ее функции

5. Реклама и ее функции

6. Нагота и ее функции в ритуалах
7. Исполнительная власть и ее функции
8. Социология и ее функции

9. Билеты по астрономии за 11 класс

10. Различия между растительной и животной клеткой (11 класс) (Шпаргалка)

11. Ответы на билеты по биологии за 11 класс

12. Вопросы и ответы по биологии на экзамен (10-11 класс, Украина))

13. Билеты по Обж за 11 класс

14. Билеты по географии Украины за 11 класс

15. Билеты по географии для 11 класса

16. Топики по немецкому языку за 11 класс

Портфолио школьника.
Портфолио школьника – это папка, в которой собрана жизнь ученика, начиная с первого класса, все то, о чем не рассказали краткие
391 руб
Раздел: Портфолио
Маска для сна с "памятью" "Морфей".
Маска для сна «Морфей», сделанная из мягкого и гипоаллергенного материала, защитит глаза от света, препятствующего нормальному сну.
473 руб
Раздел: Дорожные наборы
Горшок дорожный и насадка на унитаз "HandyPotty".
Дорожный горшок и насадка на унитаз HandyPotty помогут сделать путешествие еще комфортнее для малыша. Комбинированная модель сочетает в
1128 руб
Раздел: Сиденья

17. Английский язык (11 класс)

18. Билеты по английскому языку за 11 класс

19. Темы сочинений за курс средней школы 2002-2003 уч. года (11 класс)

20. Ответы на билеты по информатике. 11 класс. Выпускной экзамен

21. Биология 11 класс

22. Ответы на билеты по обществознанию за 11 класс
23. Шпаргалка с билетами по физике, 11 класс
24. Шпаргалка по физике 11 класс -Квантовая физика

25. Экзаменационные билеты по физике 11 класс

26. Экзаменационные билеты по экономике за 11 класс (Оренбург, 2003г.)

27. Шпаргалка по экономике (11 класс)

28. Билеты по истории 11 класс

29. Билеты по литературе 11 класс

30. Экзамен по химии за 11 класс

31. Билеты по астрономии, 11 класс

32. Активизация мыслительной деятельности учащихся посредством занимательного материала в курсе физики 11 класса

Настольная игра "Зомби в доме".
Отлично подойдет для веселых посиделок друзей субботним вечером. По сюжету игры участники случайно попадают в заброшенный домик, который
1190 руб
Раздел: Карточные игры
Щётка "York. Престиж", с резиновой щетиной и черенком.
Щетка "Prestige" с мягкой резиновой щетиной и со специальной резиновой кромкой, легко очищает поверхность. Она легко смывается
467 руб
Раздел: Щётки для пола, веники
Светильник LED "Снеговик" (цвет: серебристый, 15 см).
Такой абажур станет отличным дополнением интерьера комнаты во время волшебных новогодних праздников. Его можно поставить на полку или же
426 руб
Раздел: Необычные светильники

33. Программа непрерывного обучения информатике со 2 по 11 класс

34. Исследование техники поворота у пловцов 11-14 лет и возможности ее совершенствования

35. Экзаменационные билеты и ответы по физкультуре 11 класс

36. Астрономия за 11 класс

37. Билеты по биологии 11 класс

38. Шпаргалки (биология) для выпускных экзаменов в 11 классе
39. Билеты по георафии за 10 или 11 классы(в виде шпаргалки)
40. Билеты (обществознание) для выпускных экзаменов в 11 классе

41. Английский /11 класс/

42. Билеты по английскому за 11 класс

43. Тексты для экзамена 11 класса

44. Абстрактно-дедуктивный метод введения и формирования математических понятий в 10-11 классах

45. План-конспект урока-семинара по русскому языку в 11 классе на тему: "Лингвистический анализ текста"

46. Методика обучения решению задач на построение сечений многогранников в 10-11 классах

47. Проектирование методики организации деловой игры по дисциплине "Экономика" для учащихся 11 класса

48. Дополнительные средства оформления текстов (разработка урока, 11 класс)

Коробка подарочная "Прованс".
Коробка подарочная. Материал: мелованный, ламинированный, негофрированный картон плотностью 1100 г/м2. Отделка: полноцветный декоративный
302 руб
Раздел: Коробки
Стержень для шариковых ручек "QuinkFlow", синий, F.
Стержень для шариковых ручек "QuinkFlow". Цвет чернил: синий. Длина: 98 мм. Линия письма: F.
343 руб
Раздел: Стержни для ручек
Транспортир для класса, деревянный, с держателем.
Материал - дерево.
388 руб
Раздел: Транспортиры

49. Строительство школы на 11 классов

50. Коллективизация в Казахской ССР в 20-30-е годы и ее последствия

51. Русская литература (1880-е и 1890-е годы)

52. Функция и ее свойства

53. Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов

54. Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов
55. Функции ЦБ РФ (Контрольная)
56. Фондовые биржи и их функции (Контрольная)

57. Массовая культура и ее социальные функции

58. Структура и функция АРUD-системы и ее освещение в учебной литературе

59. Политическая идеология и ее социальные функции

60. Общее понятие о психике человека, ее структуре и функциях

61. Философия, ее предназначение, сущность и функции

62. Строение клетки и функции ее органоидов

63. Органы прокуратуры, их значение и роль в осуществлении контрольно-надзорных функций

64. Функция и ее свойства

Фоторамка "Poster gold" (30х40 см).
Фоторамка для фотографий размером: 30х40 см. Может располагаться как вертикально, так и горизонтально, на подставке. Есть настенные
321 руб
Раздел: Размер 30x40
Звуковой плакат "Домашние животные".
Представляем Вашему вниманию уникальную новинку — развивающие звуковые плакаты, которые содержат стихотворения, занимательные и
576 руб
Раздел: Электронные и звуковые плакаты
Чайник со свистком "Mayer & Boch", 3,5 литра, эмалированный (арт. 23854).
Этот чайник со свистком изготовлен из высококачественной нержавеющей стали. Корпус чайника имеет элегантное покрытие с цветочным рисунком.
1624 руб
Раздел: Чайники эмалированные

65. Юридическая служба на предприятии, ее роль и функции

66. Анализ контрольно-коррекционной функции управления

67. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций на элективном курсе по математике в старших классах общеобразовательной школы

68. Философия, ее предмет и основные функции

69. Цена, ее сущность, функции, виды, формы организации производства

70. Структура и функции клеточного ядра
71. Эпифиз и его гормональные функции
72. Функции белков в организме

73. Функции ГЛИИ

74. Сущность, функции и классификация налогов

75. Задачи, система и функции органов юстиции Российской Федерации

76. Задачи, основные функции и система ОВД

77. Функции и штаты Олонецкого губернского правления в 1825 – 1918 гг.

78. Референдум и его социальная функция

79. Задачи, система и функции органов юстиции Российской Федерации

80. Функции государства

Глобус Земли, политический, 250 мм.
Глобус Земли политический. Диаметр: 250 мм. На пластиковой подставке.
504 руб
Раздел: Глобусы
Сковорода-гриль чугунная, со складной деревянной ручкой, 25x25 см (квадратная).
Размеры: 25х25х2 см. Чугунная литая сковорода-гриль со складной ненагревающейся деревянной ручкой, с кольцом для подвешивания. Обладает
720 руб
Раздел: Сковороды гриль
Карандаши цветные "Bic Aquacouleur", 12 цветов.
Яркие цвета, легкая затачиваемость и высокая устойчивость к поломке делают эти карандаши отличным вариантом для детей. Можно использовать
441 руб
Раздел: 7-12 цветов

81. Функции государства: налогообложение и взимание налогов

82. Понятие налога, налогового права, его система, их функции

83. Цели, задачи и функции прокуратуры Украины

84. Право: понятие, признаки, виды, функции, принципы

85. Государство: понятие, признаки, формы правления и функции

86. Функции государства
87. Происхождение права, теории происхождения права, понятие признаки, виды, функции, принципы
88. Гарантии прав профсоюзных объединений при осуществлении ими своих функций

89. Деньги и их функции(MONEY)

90. Культура, её структура и функции

91. Падежи: второй родительный и предложный. Функции и значения

92. Предложения с именным предикатом состояния и их коммуникативные функции

93. Реализация функций языка в ФЗ "О прокуратуре РФ"

94. Получение уравнения переходного процесса по передаточной функции

95. Билеты и ответы по Информатике за 11-й класс

96. Мастер функций в Excel

Соковарка "Webber" ВЕ-06.
Дно состоит из трех слоев. Материал: нержавеющая сталь. Подходит под любую кухонную плиту. Кастрюля для воды: 20х11 см, объем 3,5
1970 руб
Раздел: Скороварки, пароварки, мантоварки
Настольная игра "Доббль: Цифры и формы" (Spot It! Numbers & Shapes).
Детская версия знаменитой игры Доббль. На её карточках изображены цифры и геометрические фигуры разных цветов. И как всегда: каждая карта
944 руб
Раздел: Внимание, память, логика
Настольная игра "ЁТТА".
Ётта – могучая игра в крошечной коробочке! Это простая логическая игра для всех: правила её предельно понятны, а процесс очень
392 руб
Раздел: Игры в дорогу

97. Основные формулы тригонометрии. Таблица частных случаев для тригонометрических функций. Таблица углов sin, cos, tg, ctg

98. Теория случайных функций

99. Построение графика функции различными методами (самостоятельная работа учащихся)

100. Гамма функции


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.