|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Интерполяция функций |
Коврик для запекания, силиконовый "Пекарь". 
Карабин, 6x60 мм. 
Брелок LED "Лампочка" классическая. Лабораторная работа по дисциплине «Вычислительные методы линейной алгебры». Министерство образования Российской Федерации. Хабаровский государственный Технический Университет. Кафедра «Прикладная математика и информатика» Хабаровск 2003 Задание. 1) Построить интерполяционный многочлен Ньютона. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значения в точке х=1.25. xi 1 1.5 2 2.5 3 3.5 yi 0.5 2.2 2 1.8 0.5 2.25 2) Построить интерполяционный многочлен Лагранжа. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значение в точке х=1.2. xi 0 0.25 1.25 2.125 3.25 yi 5.0 4.6 5.7 5.017 4.333 3) Выполнить интерполяцию сплайнами третьей степени. Построить график и отметить на нем узлы интерполяции. xi 7 9 13 yi 2 -2 3 Постановка задачи интерполяция. Пусть известные значения функции образуют следующую таблицу: x0 x1 x2 . X -1 x y0 y1 y2 . y -1 y При этом требуется получить значение функции f в точке x, принадлежащей отрезку но не совпадающей ни с одним значением xi.Часто при этом не известно аналитическое выражение функции f(x), или оно не пригодно для вычислений. В этих случаях используется прием построения приближающей функции F(x), которая очень близка к f(x) и совпадает с ней в точках x0, x1, x2,. x . При этом нахождение приближенной функции называется интерполяцией, а точки x0,x1,x2,.x - узлами интерполяции. Обычно интерполирующую ищут в виде полинома степени: P (x)=a0x a1x -1 a2x -2 . a -1x a Для каждого набора точек имеется только один интерполяционный многочлен, степени не больше . Однозначно определенный многочлен может быть представлен в различных видах. Рассмотрим интерполяционный многочлен Ньютона и Лагранжа. Интерполяционная формула Лагранжа. Формула Лагранжа является наиболее общей, может применяться к таким узлам интерполяции, что расстояние между соседними узлами не постоянная величина. Построим интерполяционный полином L (x) степени не больше , и для которого выполняются условия L (xi)=yi . Запишем его в виде суммы: L (x)=l0(x) l1(x) l2(x) . l (x), (1) где lk(xi)= yi, если i=k, и lk(xi)= 0, если i≠k; Тогда многочлен lk(x) имеет следующий вид: (2) Подставим (2) в (1) и перепишем L (x) в виде: Если функция f(x), подлежащая интерполяции, дифференцируема больше чем 1 раз, то погрешность интерполяции оценивается следующим образом: где0&l ;θ&l ;1 (3) Интерполяционная формула Ньютона. Построение интерполяционного многочлена в форме Ньютона применяется главным образом когда разность xi 1-xi=h постоянна для всех значений x=0. -1. Конечная разность k-го порядка: Δyi=yi 1-yi Δ2yi= Δyi 1- Δyi=yi 2-2yi 1 yi Будем искать интерполяционный многочлен в виде: Найдем значения коэффициентов a0, a1, a2, .,a : Полагая x=x0, находим a0=P(x0)=y0; Далее подставляя значения x1, x2, .,x получаем: a1=Δy0/h a2=Δ2y0/2!h2 a3=Δ3y0/3!h3 . a =Δ y0/ !h Таким образом: P (x)=y0 Δy0/h (x-x0) Δ2y0/2!h2 (x-x0)(x-x1) . Δ y0/ !h (x-x0)(x-x1).(x-x -1) (1) Практически формула (1) применяется в несколько ином виде: Возьмем: =(x-x0)/h, тогда x=x0 h и формула (1) переписывается как: P (x)=y0 Δy0 ( -1)/2! (2) Формула (2) называется интерполяционной формулой Ньютона.
Погрешность метода Ньютона оценивается следующим образом: (3) Интерполяция сплайнами. При большом количестве узлов интерполяции сильно возрастает степень интерполяционных многочленов, что делает их неудобными для проведения вычислений. Высокой степени многочленов можно избежать, разбив отрезок интерполирования на несколько частей, с построением в каждой части своего интерполяционного полинома. Такой метод называется интерполяцией сплайнами. Наиболее распространенным является построение на каждом отрезке , i=0. -1 кубической функции. При этом сплайн – кусочная функция, на каждом отрезке заданная кубической функцией, является кусочно-непрерывной, вместе со своими первой и второй производной. Будем искать кубический сплайн на каждом из частичных отрезков в виде: , где ai,bi,ci,di – неизвестные. Из того что Si(xi)=yi получим: В силу непрерывности потребуем совпадения значений в узлах, т.е.: (1) Также потребуем совпадения значений первой и второй производной: (2) (3) Из (1) получим линейных уравнений с 3 неизвестными (1 ) Из (2) и (3) получим 2( -1) линейных уравнений с теми же неизвестными: (2 ) (3 ) Недостающие два уравнения определим следующим образом. Предположим, что в точках х0 и х производная равна нулю и получим еще два уравнения. Получим систему из 3 линейных уравнений с 3 неизвестными. Решим ее любым из методов и построим интерполяционную функцию, такую что на отрезке она равна Si. Метод Лагранжа procedure Form1.Bu o 1Click(Se der: Objec ); ype ip=array of real; var x,y: ip; i,j, :by e; p,s,xx:real; begi :=ed .Cou ; se le g h(x, ); se le g h(y, ); for i:=0 o -1 do x;ed .Li es.Dele e(0); for i:=0 o -1 do y;ed .Li es.Dele e(0); xx:=s r ofloa (ed . ex ); ed .Li es.Dele e(0); s:=0; for i:=0 o -1 do begi p:=1; for j:=0 o -1 do if i&l ;>j he p:=p (xx-x; s:=s p; e d; ed .wri er('',1); ed .wri er('',s,1); e d; Сплайн – интерполяция (программа составляет систему линейных уравнений, решая которую находим коэффициенты кубических сплайнов). procedure Form1.Bu o 1Click(Se der: Objec ); var b,c,d,x,y:array of real; urm:array of array of real; i,j,k, :by e; begi :=ed .Cou ; se le g h(x, );se le g h(y, ); for i:=0 o -1 do x;ed .Li es.Dele e(0); for i:=0 o -1 do y;ed .Li es.Dele e(0); se le g h(urm,3 ( -1),3 ( -1) 1); for i:=0 o 3 ( -1)-1 do for j:=0 o 3 ( -1) do urm,0); for i:=0 o -2 do begi urm-x) (x:=y; e d; for i:=0 o -3 do begi urm-x) (x:=-1; e d; for i:=0 o -3 do begi urm:=3 (x:=-1; e d; urm:=0; urm:=2 (y-y:=0 for i:=0 o 3 ( -1)-1 do begi ed .wri er('',1); for j:=0 o 3 ( -1) do ed .wri er(' ',urm,0); e d; e d; Выполнить интерполяцию сплайнами третьей степени. Построить график и отметить на нем узлы интерполяции. xi 7 9 13 yi 2 -2 3 Решение. Будем искать кубический сплайн на каждом из частичных отрезков , i=0.2 в виде: , где ai,bi,ci,di – неизвестные. Из того что Si(xi)=yi получим: В соответствии с теоретическим положениями изложенными выше, составим систему линейных уравнений, матрица которой будет иметь вид: При этом мы потребовали равенства производной нулю.
Решая систему уравнений получим вектор решений : Подставляя в уравнение значения b1,c1,d1, получим на отрезке : Если выражение упростить то: Аналогично подставляя в уравнение значения b2,c2,d2, получим на отрезке : или График имеет вид: Метод Ньютона procedure Form1.Bu o 1Click(Se der: Objec ); ype ip=array of real; var x,y: ip; i,j, :by e; p,s,xx, ,h:real; kp:array of array of real; begi :=ed .Cou ; se le g h(x, ); se le g h(y, ); for i:=0 o -1 do x;ed .Li es.Dele e(0); for i:=0 o -1 do y;ed .Li es.Dele e(0); xx:=s r ofloa (ed . ex ); ed .Li es.Dele e(0); se le g h(kp, , ); for i:=0 o -1 do for j:=0 o -1 do kp; for i:= 1 o -1 do for j:=0 o -i-1 do kp; for i:= 0 o -1 do begi for j:=0 o -1 do ed .wri er(' ',kp,0); ed .wri er('',1); e d; ed .wri er('',1); h:=0.5; :=(xx-x; for i:=1 o -1 do begi p:=1; for j:=0 o i-1 do p:=p ( -j)/(j 1); s:=s p kp; e d; ed .wri er('',s,1);; e d; Построить интерполяционный многочлен Ньютона. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значение функции в точке х=1.25. xi 1 1.5 2 2.5 3 3.5 yi 0.5 2.2 2 1.8 0.5 2.25 Решение. Построим таблицу конечных разностей в виде матрицы: Воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона: P (x)=y0 Δy0 ( -1)/2! Δ2y0 . ( -1).( - 1)/ !Δ y0 Подставив значения получим многочлен пятой степени, упростив который получим: P5(x)=2.2x5-24x4 101.783x3-20.2x2 211.417x-80.7 Вычислим значение функции в точке x=1.25; P(1.25)=2.0488; График функции имеет вид: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значение в точке х=1.2. xi 0 0.25 1.25 2.125 3.25 yi 5.0 4.6 5.7 5.017 4.333 Решение. Построим интерполяционный многочлен Лагранжа L4(x), подставив значения из таблицы в формулу: Напишем программу и вычислим значение многочлена в точке х=1.2: L4(1.2)=5.657; Полученный многочлен имеет четвертую степень. Упростим его и получим: Построим график полученного полинома:
Сюда же относится графическое «сглаживание» кривой и устранение случайных погрешностей наблюдений. б)PВторой способ это так называемая интерполяция, над методами которой так много поработали Чебышев, Марков и С.PН.PБернштейн, обобщивший и значительно усовершенствовавший методы Чебышева и Маркова. Приемами интерполяции устанавливается между двумя рядами чисел, полученными из наблюдений, соответствие или зависимость, выражаемая функциями заданного вида, и раз эти функции избраны, то все дальнейшее производится по вполне определенным правилам, так что результат совершенно не зависит от исполнителя работы. в)PНаконец, третий род обработки это составление дифференциального уравнения между величиной, принимаемой за функцию, и переменной или переменными независимыми. Здесь надо предварительно обладать теорией явления или составить таковую на основании какой-либо гипотезы, чтобы на основании их составить дифференциальное уравнение, которому явление подчинено. Это уравнение надо затем решить точно или приближенно и сопоставить решение с результатами наблюдений и показать, в какой мере теоретические результаты сходятся с наблюденными; так поступают, например, в небесной механике
1. Метод конечных разностей или метод сеток
2. Методы руководства: постановка задач и контроль их выполнения
4. Исследование функции внешнего дыхания. Исследование секреторной функции желудка
9. Минимизация функций нескольких переменных. Метод спуска
10. Литература - Терапия (СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ОБСЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ ПОЧЕК)
11. О конструктивной функции методов обучения
12. Предмет, метод и функции политэкономии. Экономические школы. Экономические законы
13. Процедуры и функции в языке Паскаль. Сфера действия описаний
14. Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции
15. Метод касательных. Решения нелинейных уравнений. Паскаль 7.0
16. Будова, функції та методи дослідження мітохондрій
Дополнительный набор карт Имаджинариум "Персефона". 
Игра настольная "Кто в яйце". 
Матрешка 5 в 1 (Д-282). 17. Функции государства, формы и методы их осуществления
18. Одномерная оптимизация функций методом золотого сечения
19. Создание функциональной модели вычисления минимума заданной функции методом парабол
20. Численное интегрирование функции методом Гаусса
21. Интерполирование и приближение функций
25. Методы, функции и автоматизация управления
26. Функции и методы менеджмента
27. Методика преподавания темы "Тригонометрические функции" в курсе алгебры и начал анализа
28. Предмет, структура, методы и функции политологии
29. Политология: категории, методы, функции
30. Измерение функции распределения атомов серебра методом Штерна-Ламмерта
31. Методи визначення функції витрат та аналізу ризиків. Метод Монте-Карло
32. Сущность, модели, границы применения метода производственной функции
Шторка антимоскитная, бежевая. 
Трос буксировочный "Stels", 10 тонн, 2 крюка (сумка на молнии). 
Беговел "Funny Wheels Basic" (цвет: голубой). 33. Исследование природных ресурсов планеты с помощью космических методов
34. Исследование клеточного цикла методом проточной цитометрии
36. Функции белков в организмах живых существ
37. МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ЭВОЛЮЦИИ ЧЕЛОВЕКА
41. Метод радиоавтографии в биологии
42. Слуховой анализатор. Строение и функции сердца
44. Методы и модели демографических процессов
45. Гидрохимический, атмохический и биогеохимический методы поисков
46. Добыча золота методами геотехнологии
47. Государственное регулирование экономики: формы и методы
Центр игровой надувной Upright "Паровозик". 
Пенал-косметичка "Pixie Crew" с силиконовой панелью для картинок (красный, розовый). 
Муфта для коляски "Bambola" (шерстяной мех + плащевка + кнопки), бежевая. 49. Налоги: эволюция, определения и формы. Принципы налоговой политики и функции налогов
50. Защитная функция адвокатуры как правовая традиция
51. Предмет, метод, источники Административного права
52. Методы осуществления государственной власти
53. Метод гражданско правового регулирования
57. Экономические функции государства. Государственное регулирование экономики
58. Задачи, система и функции органов юстиции Российской Федерации
60. Функции государства: налогообложение и взимание налогов
61. Понятие налога, налогового права, его система, их функции
62. Цели, задачи и функции прокуратуры Украины
63. Возникновение и развитие, понятие и признаки права. Понятие правосознания, основные функции, виды
64. Понятие, классификация и содержание основных функций государства
Прыгунки 3 в 1 "Спортбэби" (прыгунки, качели, тарзанка) с качельным крюком. 
Глобус Земли физический + политический, с подсветкой, 250 мм. 
Авто-вентилятор с функцией обогрева. 66. Феодальное государство (экономическая основа, сущность, механизм, функции и формы)
67. Структура и функции государственного аппарата
68. Методы комплексной оценки хозяйственно-финансовой деятельности
69. Деньги и их функции(MONEY)
73. Культура как социальное явление. Ее основные функции
74. Соцреализм как метод искусства
75. Функции культуры
76. Поэзия природы: средства изобразительности и функции
77. Предложения с именным предикатом состояния и их коммуникативные функции
78. Методы исследования литературы
79. Синтаксические функции герундия в испанском языке. Проблема атрибутивного герундия
80. Метод комплексного археолого-искусствоведческого анализа могильников
Глобус "Двойная карта" рельефный, с подсветкой, на подставке из пластика. 
Фломастеры "631", 50 цветов. 
Карандаши цветные "Colorino", двухсторонние, 48 цветов. 81. Методы компьютерной обработки статистических данных
82. Решение транспортной задачи методом потенциалов
83. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
84. Оценка методов и средств обеспечения безошибочности передачи данных в сетях
85. Обзор возможных методов защиты
89. Применение методов линейного программирования в военном деле. Симплекс-метод
90. Вычисление площади сложной фигуры методом имитационного моделирования (Windows)
91. Математические методы и языки программирования: симплекс метод
92. Хэш-функции в криптосистемах
93. 10 задач с решениями программированием на Паскале
94. Вычисление определённого интеграла с помощью метода трапеций на компьютере
95. Язык программирования Паскаль и ветвление
96. Полином Гира (экстраполяция методом Гира)
Пеленка Папитто (5 штук, ситец, 120x90 см). 
Форма разъемная "Webber" BE-4286N, черная. 
Багетная рама "Isabelle" (золотой), 30х40 см. 97. Защита цифровой информации методами стеганографии
98. Компьютерные вирусы, типы вирусов, методы борьбы с вирусами
99. Модули и объекты в языке Турбо Паскаль 7.0
100. Программирование на языке Турбо Паскаль
