|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Решение систем дифференциальных уравнений |
Ручка "Шприц", желтая. 
Фонарь желаний бумажный, оранжевый. 
Крючки с поводками Mikado SSH Fudo "SB Chinu", №4BN, поводок 0,22 мм. Реферат на тему: &quo ;Решение систем дифференциальных уравнений&quo ; 1.Дифференциальная линейная алгебра С собственными значениями и векторами матрицы приходится иметь дело в задачах, связанных с решением систем линейных дифференциальных уравнений и исследованием устойчивости этих решений. Дифференциальная векторно-матричная алгебра включает в себя операции интегрирования и дифференцирования, которые во множестве случаев в своей нотации напоминают соответствующие операции обычного дифференциального исчисления. Производная по скалярной переменной и интеграл от вектора и матрицы в заданных пределах изменения скалярной переменной определены так: Производные от векторных и векторно-матричных выражений определяются следующими правилами: , , , , . 2. Векторное решение однородного уравнения Пусть система линейных однородных дифференциальных уравнений задана в векторной форме: Если уравнение записано в форме однородного дифференциального уравнения -го порядка и его характеристический многочлен имеет различные корни, то общее решение представляется суммой частных решений с экспоненциальными базовыми функциями: , где – константы, определяемые начальными условиями. Можно предположить, что векторное уравнение, представляющее общее решение, имеет аналогичную форму . Для выяснения вопроса, что есть в таком представлении и , подставим частное решение в уравнение: Отсюда видно, что будет частным решением, если будут собственным значением и собственным вектором матрицы A. Таким образом, если матрица A имеет собственные значения и векторы , k=1,2, , , то общее решение однородного векторного уравнения после ряда эквивалентных преобразований предстанет в следующем виде: . Используя значение решения при =0, находим . Таким образом, общее решение однородного векторного уравнения имеет следующий вид: . Матричная экспонента выражается через проекторы и собственные значения матрицы по формулам спектрального разложения: . После подстановки X в решение вместо экспоненты получим: . В случаях, когда собственные значения и векторы найти не удается, матричную функцию можно разложить в ряд по степеням матрицы: , что позволяет численно получать многомерный переходной процесс, если ряд сходится. Матричный ряд сходится, если существует предел последовательности частичных сумм. Достаточным условием является сходимость ряда из норм членов степенного матричного ряда. Используя, например, признак сходимости Даламбера ряд, представляющий матричную экспоненту, сходится, если существует и меньше единицы предел отношения , где R – радиус сходимости. Объем вычислительной работы при оцифровке многомерного переходного процесса существенно зависит от числа членов в матричном ряде. Для повышения скорости сходимости применяют различные аппроксимации этого ряда. В частности, для экспоненты широко используются аппроксимации отрезков ряда дробно-рациональными функциями Падэ вида: . Так, матричная экспонента для трех и четырех членов имеет вид: В свете приведенных разложений матричной экспоненты общее решение линейного векторно-матричного дифференциального уравнения приближенно можно вычислить по формуле: .
3. Решение неоднородных дифференциальных уравнений Познакомившись с общим подходом к построению решений линейных векторных дифференциальных уравнений, покажем теперь, как получаются решения неоднородных уравнений. Представим исходное уравнение с неоднородностью, локализованной в правой части уравнения, и умножим обе части уравнения на матричную экспоненту : . Обращаясь к правилам дифференцирования векторно-матричных выражений, приведенных выше, несложно заметить, что слева от знака равенства находится производная от произведения матричной экспоненты на вектор y: . Сделаем соответствующую замену и проинтегрируем левую и правую части по независимой переменной : . Умножая слева обе части равенства на матрицу , получим общее решение неоднородного дифференциального уравнения: . Формула общего решения в своей нотации точно соответствует случаю скалярного уравнения. При невозможности аналитического решения переходный процесс можно вычислить по точкам, заменив непрерывное время дискретным с шагом , где R – радиус сходимости степенного матричного ряда с матрицей : . В интеграле можно заменить независимую переменную на дискретную с тем же шагом, что и при разложении экспоненты: , тогда, применяя метод интегрирования по правилу прямоугольников и обозначая матричную экспоненту на k-том шаге через , получим . Удобно из формулы вычисления дискретных значений векторного переходного процесса получить рекуррентную формулу. Этого можно добиться, если найти в выражении для часть, которую можно заменить значением : Повышения точности вычисления переходного процесса достигают за счет замены интеграла квадратурами более высокого порядка, например, первого – формула трапеций, или второго – формула парабол (Симпсона). Использование формулы трапеций приводит после соответствующих преобразований к следующей рекуррентной формуле: Если использовать формулу Симпсона, то рекуррентная формула для расчета переходного процесса от точки к точке будет такой: В приведенных рекуррентных формулах матричные экспоненты имеют следующий вид: . 4.Примеры численного решения векторно-матричных уравнений В качестве примера построим переходный процесс для системы уравнений: . Эта система может быть представлена дифференциальным уравнением второго порядка относительно переменной : , или относительно переменной : . Характеристическое уравнение имеет два комплексных корня: . Общее решение этих уравнений будет: , где – постоянные, которые вычисляются по заданным начальным условиям путем решения системы уравнений: Несложные преобразования приводят к следующим точным решениям этого уравнения для двух различных наборов начальных условий: Получим такое же аналитическое решение векторного переходного процесса в форме экспоненциальной функции, используя спектральное разложение матрицы по собственным значениям. Характеристический полином заданной матрицы имеет вид: . Собственные значения матрицы (корни характеристического уравнения) и собственные векторы равны: Проекторы находим матричным произведением левых и правых собственных векторов. Для этого обратим матрицу и в качестве левых собственных векторов возьмем ее строки: Векторное аналитическое решение имеет вид: Решение совпадает с точным решением уравнений второго порядка.
Для численного построения векторного переходного процесса по заданному векторно-матричному уравнению с использованием Падэ-аппроксимации матричной экспоненты дробно-рациональными выражениями первого, второго и третьего порядков, вычислим сначала эти аппроксимирующие матрицы: Вектор приближенного решения вычислим по рекуррентной формуле, в которую, для демонстрации влияния на точность результата, поочередно подставим каждое из трех приведенных выше приближений к матричной экспоненте: : В таблице помещены численные значения переходных процессов, полученные для трех названных случаев аппроксимации матричной экспоненты вместе с точным аналитическим решением. Аналитическое решение Аппроксимация Падэ порядка 1 Аппроксимация Падэ порядка 2 Аппроксимация Падэ порядка 3 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0.1 1.066 0.3475 1.0670 0.3483 1.0660 0.3475 1.066 0.3475 0.2 1.072 -0.2023 1.0740 -0.2018 1.0720 -0.2023 1.072 -0.2023 0.3 1.029 -0.6434 1.0320 -0.6440 1.0290 -0.6434 1.029 -0.6434 0.4 0.9478 -0.9755 0.9513 -0.9778 0.9478 -0.9755 0.9478 -0.9755 0.5 0.8380 -1.203 0.8420 -1.207 0.8380 -1.203 0.8380 -1.203 0.6 0.7103 -1.335 0.7145 -1.341 0.7102 -1.335 0.7102 -1.335 0.7 0.5737 -1.383 0.5779 -1.391 0.5737 -1.383 0.5737 -1.383 0.8 0.4360 -1.360 0.4398 -1.369 0.4360 -1.360 0.4360 -1.360 0.9 0.3035 -1.280 0.3068 -1.290 0.3035 -1.280 0.3035 -1.280 1.0 0.1814 -1.156 0.1839 -1.167 0.1814 -1.156 0.1814 -1.156 Из сопоставления результатов можно сделать заключение, что аппроксимация экспоненты дробно-рациональной матричной функцией второго порядка позволяет при прочих равных условиях получать решение с 5–6-ю достоверными десятичными знаками. Численное решение неоднородного дифференциального уравнения в векторно-матричном представлении проведем с прежней однородной частью в уравнении, но применим рекуррентные формулы с интегрированием по методу прямоугольников, трапеций и парабол: . Матричная экспонента для рекуррентных формул в данном примере бралась в абсолютно точном аналитическом представлении, полученном для этой матрицы выше (числовое представление для h=0.1): . Аналитическое решение в векторно-матричной форме записи имеет следующий вид: . В таблице приведены результаты вычисления переходных процессов для векторно-матричного неоднородного дифференциального уравнения по формуле аналитического решения и трем рекуррентным выражениям, использующим различные квадратурные формулы интегрирования. Для заполнения таблицы с шагом 0.1 по третьей рекуррентной формуле второе значение (для =0.1) было получено вычислением с шагом 0.05. Эти первые два значения использовались в качестве начальных значений двух рекуррентных процессов, вычислявших очередные значения с шагом 0.2. Точное решение Интегрирование по формуле прямоугольников Интегрирование по формуле трапеций Интегрирование по формуле парабол 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0.1 1.16576 0.328872 1.16422 0.302569 1.16514 0.330031 1.16576 0.328872 0.2 1.26681 -0.271328 1.26234 -0.318851 1.26567 -0.269062 1.26680 -0.271346 0.3 1.31004 -0.785828 1.30176 -0.849621 1.30849 -0.782554 1.31125 -0.802579 0.4 1.30354 -1.20604 1.29100 -1.2
Этого можно добиться за счёт цепочки подобных преобразований элементарными М., М. вращения или М. отражения. Историческая справка. Понятие М. было введено в работах У. Гамильтона и А. Кэли в середине 19 века. Основы теории созданы К. Вейерштрассом и Ф. Фробениусом (2-я половина 19 века и начало 20 века). И. А. Лаппо-Данилевский разработал теорию аналитических функций от многих матричных аргументов и применил эту теорию к исследованию систем дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами. Матричные обозначения получили распространение в современной математике и её приложениях. Исчисление М. развивается в направлении построения эффективных алгоритмов для численного решения основных задач. Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 9 изд., т. 3, ч. 1, М., 1967; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970; Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967; Уилкинсон Дж. Х., Алгебраическая проблема собственных значений, перевод с английского, М., 1970; Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М. — Л., 1963; Воеводин В. В., Численные методы алгебры
1. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка
2. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге - Кутты 4 порядка
3. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта
4. Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка
5. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами
9. Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена
10. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
11. Методы решения систем линейных уравнений
12. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
13. Методы решения систем линейных неравенств
15. Алгебраическая проблема собственных значений
16. Алгебраическая проблема собственных значений
Ракета с мыльными пузырями и помпой "Баббл". 
Тележка "Supermarket" №1. 
Папка для акварели "Балет", 20 листов, А2. 17. Вычисление характеристических многочленов, собственных значений и собственных векторов
18. Решение уравнений, систем уравнений, неравенств графически
19. Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
20. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
21. Устойчивость систем дифференциальных уравнений
25. Построение аналоговой ЭВМ для решения дифференциального уравнения шестого порядка
26. Решение дифференциальных уравнений в среде MathCAD
28. Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем
29. Асимптотика решений дифференциальных уравнений
30. Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей
31. Решение дифференциальных уравнений
32. Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами
Фломастеры "Connector. Балерина", 45 предметов. 
Набор маркеров для досок "Kores", 3 мм, 4 штуки. 
Фигурка новогодняя "Олень" большой (30 см). 34. Разработка программного обеспечения решения нелинейных уравнений
36. Лабораторная работа №6 по "Основам теории систем" (Решение задачи о ранце методом ветвей и границ)
37. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера
41. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
42. Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения
43. Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
44. Метод касательных решения нелинейных уравнений
45. Дифференциальные уравнения
46. Решение смешанной задачи для уравнения
47. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью
48. Методы решения уравнений в странах древнего мира
Средство от садовых муравьев "Муравьин", 300 грамм. 
Магнитные истории "Кто где живет?". 49. Построение приближенного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля
50. Приближенное решение уравнений
51. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
52. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
53. Шпоры по дифференциальным уравнениям
57. Волновое уравнение не имеет единственного решения
59. Значение информационного аспекта процесса принятия решений
60. Дифференциальные уравнения неустановившегося движения воздуха по рудничным воздуховодам
62. Решение системы нелинейных уравнений
63. Применение графиков в решении уравнений
64. Методы решения уравнений в странах древнего мира
Пазл "Обитатели фермы", 15 деталей. 
Карандаши цветные автоматические "Inspira", 12 цветов. 
Пенал, 1 отделение, 20x14x4 см, серый/зеленый. 65. Дифференциальные уравнения I и II порядка
66. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
67. Механические колебания в дифференциальных уравнениях
68. Частные случаи дифференциальных уравнений
69. Метод касательных. Решения нелинейных уравнений. Паскаль 7.0
73. Поиск решений системы линейных уравнений методом Гаусса
74. Разработка программы решения системы линейных уравнений
75. Решение системы линейных уравнений
76. Решение уравнений средствами Excel
79. Использование дифференциальных уравнений, передаточных и частотных передаточных функций
80. Графическое решение уравнений
Набор STABILO LeftRight для правшей. 
Циркуль для класса, деревянный. 
Игра настольная "Шакал". 81. Дифференциальные уравнения
82. Значение решения проблемы V постулата Евклида
83. Изучение теоремы Безу для решения уравнений n-й степени при n>2
84. Классификации гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных
85. Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений
89. Формулы, возможно неизвестные, для решений уравнения Пифагора
90. Методы решения алгебраических уравнений
91. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений
92. 10 способов решения квадратных уравнений
93. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом
95. В.О. Сухомлинський про значення початкової школи в системі освіти
Глобус Земли физический + политический, с подсветкой, 250 мм. 
Авто-вентилятор с функцией обогрева. 
Блюдо "Пасхальное", диаметр 25 см. 97. Дифференциальное уравнение относительного движения механической системы
99. Структура и алгоритмы работы спутниковых радионавигационных систем
100. Особенности искусственных спутников земли на примере спутниковых систем связи
Игровой набор "Весы". 
