Кратные интегралы курсовая скачать. Тройные интегралы их применение. Применение тройных и кратных интегралов

Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск

Математика

Применение тройных и кратных интегралов

Министерство общего и профессионального образования Р.Ф. Иркутский государственный технический университет. Кафедра высшей математики. Реферат. Применение тройных или кратных интегралов. Выполнила: студентка группы ТЭ-97-1 Мелкоступова С.С. Проверил преподаватель кафедры высшей математики Седых Е.И. Иркутск 1998. Содержание. I. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл. II. Вычисление тройных интегралов. 1. Декартовы координаты. А) Пример. 2. Цилиндрические координаты. 3. Сферические координаты. А) Пример. 4. Применение тройных интегралов. I. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл. Рассмотрим тело, занимающее пространственную область (рис. 1), и предположим, что плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек тела: Рис. 1. Разобьем тело произвольным образом на частей; объемы этих частей обозначим Выберем затем в каждой части по произвольной точке Полагая, что в, каждой частичной области плотность постоянна и равна ее значению в точке , мы получим приближенное выражение для массы всего тела в виде суммы и каждое частичное тело стягивается в точку (т. е. что его диаметр ) стремится к нулю), и даст массу М тела Сумма ( ) называется -й интегральной суммой, а ее предел - тройным интегралом от функции . К вычислению тройного интеграла, помимо определения массы тела, приводят и другие задачи. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать тройной интеграл - произвольная непрерывная в области функция. Терминология для тройных интегралов совпадает с соответствующей терминологией для двойных интегралов. Точно так же формулируется и теорема существования тройного интеграла . Свойства двойных интегралов, полностью переносятся на тройные интегралы. Заметим только, что если подынтегральная функция тождественно равна 1, то тройной интеграл выражает объем V области Потому свойства V и VI надо теперь сформулировать следующим образом. V 1. Если функция удовлетворяет неравенствам . VI 1. Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, т. е. II. Вычисление тройных интегралов. Вычисление тройного интеграла может быть осуществлено посредством ряда последовательных интегрировании. Мы ограничимся описанием соответствующих правил. 1. Декартовы координаты. Пусть дан тройной интеграл от функции отнесена к системе декартовых координат Oxyz, Разобьем область интегрирования и плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Тогда частичными областями будут параллелепипеды с гранями, параллельными плоскостям Оху, Охz, Оуz. Элемент объема .будет равен, произведению дифференциалов переменных интегрирования Установим теперь правило для вычисления такого интеграла. Будем считать, что область интегрирования имеет вид, изображенный на рис. 1). Опишем около и цилиндрическую поверхность с образующей, перпендикулярной к плоскости Оху. Она касается области вдоль некоторой линии L, которая делит поверхность, ограничивающую область, на две части: верхнюю и нижнюю. Уравнением нижней поверхности пусть будет . Построенная цилиндрическая поверхность высекает из плоскости Оху плоскую область D, которая является ортогональной проекцией пространственной области на плоскость Оху, при этом линия L проектируется в границу области .

Будем производить интегрирование сначала по Направлению оси Оz. Для этого функция отрезку прямой, параллельной оси Оz и проходящей через некоторую точку Р(х, у) области D (на рис. 1 отрезок ). При данных х и у переменная интегрирования z будет изменяться от ) прямой в область ) прямой из области . Результат интегрирования представляет собой величину, зависящую от точки Р (х, у); обозначим ее через F(х, у): При интегрировании х и у рассматриваются здесь как постоянные. Мы получим значение искомого тройного интеграла, если возьмем интеграл от функции F(х, у) при условии, что точка Р(х, у) изменяется по области D, т. е. если возьмем двойной интеграл Таким образом, тройной интеграл I может быть представлен в виде Приводя, далее, двойной интеграл по области D к повторному и интегрируя сначала по y, а затем по x, получим - ординаты точек «входа» в область D и «выхода» из нее прямой (в плоскости Оху), а a и b - абсциссы конечных точек интервала оси Ох, на который проектируется область D. Мы видим, что вычисление тройного интеграла по области производится, посредством трех последовательных интегрировании. Формула ( ) сохраняется и для областей, имеющих цилиндрическую форму, т. е. ограниченных цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Оz, а снизу и сверху поверхностями, уравнения которых соответственно Рис.2 Если областью интегрирования служит внутренность параллелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям (рис. 3), то пределы интегрирования постоянны во всех трех .интегралах : В этом случае интегрирование можно производить в любом порядке, пределы интегрирования будут при этом сохраняться. Если же в общем случае менять порядок интегрирования ( т.е., скажем, интегрировать сначала по направлению оси Oy, а затем по области плоскости Oxz), то это приведёт к изменению порядка интегрирования в тройном интеграле и к изменению пределов интегрирования по каждой переменной. Рис.3 Рис.4 где - область, ограниченная координатными плоскостями (пирамида, изображённая на рис.4). Интегрирование по z совершается от z=0 до на плоскость Oxy через D, получим Расставим теперь пределы интегрирования по области D - треугольнику, уравнения сторон которого 2. Цилиндрические координаты. Отнесём область , в которой положение точки M в пространстве определяется полярными координатами ее проекции Р на плоскость Oxy и ее аппликатой (z). Выбирая взаимное расположение осей координат, как указано на рис. 5, установим связь, между декартовыми и цилиндрическими координатами точки М, именно: на частичные области тремя системами координатных поверхностей: которыми будут соответственно круговые цилиндрические поверхности, осью которых является ось Оz, полуплоскости, проходящие через ось Оz, и плоскости, параллельные плоскости Оху. Частичными областями служат прямые цилиндры M (рис. 5). Так как объем цилиндра M равен площади основания, умноженной на высоту, то для элемента объема получаем выражение к цилиндрическим координатам производится совершенно аналогично преобразованию двойного интеграла к полярным. Для этого нужно в выражении подынтегральной функции переменные x, y, z заменить по формулам ( ) и взять элемент объёма равным то интеграл выражает объём V области Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах приводится к интегрированиям по r, по и по z на основании тех же принципов, что и в случае декартовых координат.

В частности, если областью интегрирования служит внутренность цилиндра то пределы трехкратного интеграла постоянны и не меняются при перемене порядка интегрирования: 3. Сферические координаты. Отнесём теперь область интегрирования . В этой системе координат положение точки M в пространстве определяется её расстоянием r от начала координат (длина радиуса-вектора точки), углом между радиусом-вектором точки и осью Oz и углом между проекцией радиуса вектора точки на плоскость Oxy и осью Ox (рис. 6). При этом - от 0 до Рис.6 Связь между сферическими и декартовыми координатами легко устанавливается. Из рис.6 имеем на частичные области , тремя системами координатных поверхностей: соответственно сферы с центром в начале координат, полуплоскости, проходящие, через ось Оz, и конусы с вершиной в начале координат и с осями, совпадающими с одной из полуосей Оz. Частичными областями служат «шестигранники» (рис. 7). Отбросив бесконечно малые высших порядков, будем рассматривать шестигранник M как прямоугольный параллелепипед с измерениями, равными: по направлению меридиана, по направлению параллели. Для элемента объема мы получим тогда выражение по формулам ( ) и взяв элемент объема равным полученному выражению, будем иметь Особенно удобно применение сферических координат в случае, когда область интегрирование - шар с центром в начале координат или шаровое кольцо. Например, в последнем случае, если радиус внутреннего шара , пределы интегрирования следует расставить так: A) Пример. Вычислим объем шара радиуса R. В этом случае подынтегральную функцию надо взять равной 1, и мы получим Применение тройных интегралов. Для вычисления координат центра тяжести тела нужны статические моменты относительно координатных плоскостей Оху, Охz, Оуz; обозначим их соответственно Повторяя рассуждения получим следующие формулы для координат центра тяжести неоднородного тела, плотность которого задается функцией Если тело однородно, т. е. где V- объём тела. Пример. Найдем центр тяжести однородного полушара равны нулю, ибо полушар симметричен относительно оси Оz (тело вращения с осью Оz). Интеграл удобно вычислить, перейдя к сферическим координатам: Перейдём к вычислению моментов инерции тела относительно координатных осей. Так как квадраты расстояний от точки P(x, y, z) до осей Ox, Oy, Oz соответственно равны получим следующие формулы : называются центробежными моментами инерции. Для полярного момента инерции формула имеет вид Если тело неоднородное, то в каждой формуле под знаком интеграла будет находиться дополнительный множитель - плотность тела в точке P. Пример. Вычислим полярный момент инерции однородного шара радиуса R. В этом случае очень удобно перейти к сферическим координатам. Будем иметь где М—масса шара. Так как для сферы моменты инерции относительно осей координат, очевидно, равны между собой, то, учитывая, что Моменты инерции тела относительно оси играют важную роль при вычислении кинетической энергии тела при его вращении около соответствующей оси. Пусть тело вращается около оси Оz с постоянной угловой скоростью тела. Как известно, кинетическая энергия точки измеряется величиной - величина ее скорости.