|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Прямой метод вращения векового определителя |
Ночник-проектор "Звездное небо и планеты", фиолетовый. 
Карабин, 6x60 мм. 
Ночник-проектор "Звездное небо, планеты", черный. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Факультет экономики и управления Кафедра математического обеспечения информационных систем КУРСОВАЯ РАБОТА по дисциплине «Численные методы» Прямой метод вращения векового определителя ОГУ 061800.8006.18 ООО Руководитель работы Ващук И.Н. « » 2006 г. Исполнитель студент гр. 04ММЭ Широбоков П.Д. « » 2006 г. Оренбург 2006 ОглавлениеВведение Постановка задачи Описание метода Сходимость метода Описание входных и выходных данных Заключение Список литературы Приложение А Приложение Б Введение Численные методы решения проблемы собственных значений до конца 40-х годов, сводились, в основном, к решению характеристического уравнения. При реализации такого подхода, основные усилия были направлены на разработку эффективных методов быстрого вычисления коэффициентов характеристического уравнения. Такие методы имеют названия прямых. Популярным методом этого типа является метод Данилевского. Он давал довольно большую погрешность, но в тоже время имел очень большую скорость получения результата. Мы предпримем попытку анализа возможности использования этого метода в современных условиях. Попытаемся обозначить возможные границы применения этого метода, и так же найти области науки, где пользоваться методом Данилевского было бы очень удобно. Постановка задачи Большое число задач математики и физики требует отыскания собственных значений и собственных векторов матриц, т.е. отыскания таких значений , для которых существуют нетривиальные решения однородной системы линейных алгебраических уравнений , (1) и отыскания этих нетривиальных решений. Здесь -квадратная матрица порядка m , - неизвестный вектор - столбец. Из курса алгебры известно, что нетривиальное решение системы (1) существует тогда и только тогда, когда , (2) где Е - единичная матрица. Если раскрыть определитель , получим алгебраическое уравнение степени m относительно .Таким образом задача отыскания собственных значений сводится к проблеме раскрытия определителя по степеням и последующему решению алгебраического уравнения m- й степени. Определитель называется характеристическим (или вековым ) определителем, а уравнение (2) называется характеристическим (или вековым ) уравнением. Различают полную проблему собственных значений, когда необходимо отыскать все собственные значения матрицы А и соответствующие собственные векторы, и частичную проблему собственных значений, когда необходимо отыскать только некоторые собственные значения, например, максимальное по модулю собственное значение . Описание метода Идея метода Данилевского состоит в том, что матрица А приводится к “нормальной форме Фробениуса”, имеющей вид: . Характеристическое уравнение для матрицы Р имеет простой вид т.е. коэффициенты при степенях характеристического полинома непосредственно выражаются через элементы первой строки матрицы Р. Приведение матрицы А к нормальной форме Фробениуса Р осуществляется последовательно построкам, начиная с последней строки.
1. Приведем матрицу к виду Пусть Можно проверить,что такой вид имеет матрица , которая равна где Следующий шаг - приведение подобным преобразованием к . Таким образом И так далее: 2. Рассмотрим нерегулярный случай, когда матрица, полученная в результате подобных преобразований приведена уже к виду и элемент . Таким образом обычная процедура метода Данилевского не подходит из-за необходимости деления на ноль. В этой ситуации возможно два случая. 2.1 Предполагаем, что левее есть элемент Тогда домножая матрицу слева и справа на элементарную матрицу перестановок , получаем матрицу . В результате на необходимом нам месте оказывается ненулевой элемент , уже преобразованная часть матрицы не меняется, можно применять обычный шаг метода Данилевского к матрице . 2.2 Рассмотрим второй нерегулярный случай, когда в матрице элемент и все элементы левее, тоже нулевые. В этом случае характеристический определитель матрицы можно представить в виде где и - единичные матрицы соответствующей размерности, а квадратные матрицы и имееют вид: Обратим внимание на то, что матрица уже имеет нормальную форму Фробениуса, и поэтому сомножитель просто развертывается в виде многочлена с коэффициентами, равными элементам первой строки. Сомножитель нужно преобразовывать. Для развертывания можно применять метод Данилевского, приводя матрицу подобными преобразованиями к нормальной форме Фробениуса. Указанный подход становится неудовлетворительным при вычислении собственных значений матриц, имеющих порядок m в несколько десятков (и тем более сотен). В частности, одним из недостатков является так же то, что точность вычисления корней многочлена высокой степени данным методом чрезвычайно чувствительна к погрешности (накапливающейся со скоростью геометрической прогрессии) в коэффициентах, и на этапе вычисления последних может быть в значительной степени потеряна информация о собственных значениях матрицы. Тесты метода и ПО см. В Приложении Б. Сходимость метода Определение. Квадратная матрица Р порядка m называется подобной матрице А , если она представлена в виде , где S - невыродженная квадратная матрица порядка m. Теорема. Характеристический определитель исходной и подобной матрицы совпадают . Доказательство. Идея метода Данилевского состоит в том, что матрица А подобным преобразованиям приводится, к так называемой нормальной форме Фробениуса . Теорема. Пусть є есть собственное значение , а есть соответствующий собственный вектор матрицы Р , которая подобна матрице А ,т.е. Тогда есть собственный вектор матрицы А , соответствующий собственному значению Доказательство.Тривиально следует из того, что Домножая левую и правую часть этого равенства слева на S , имеем А это и означает, что -собственный вектор матрицы А , отвечающий собственному значению Описание входных и выходных данных Входные параметры: Квадратная матрица порядка . Рекомендуется, чтобы она была хорошо обусловлена. Выходные параметры: Получаем коэффициенты при степенях характеристического полинома. Решая данное уравнение получаем собственные значения исходной матрицы. Следующим шагом является определение собственных векторов.
. Заключение Обозначим некоторые выводы по проделанной работе: Во время освоения данного метода мы не могли пропустить некоторые минусы метода Данилевского: - Погрешность накапливается со скоростью геометрической прогрессии. - Приходится решать достаточно сложное уравнение порядка (если решать с помощью приближенных метод, снова получаем некоторую погрешность) - В программном варианте используются достаточно большие объемы оперативной памяти, к примеру, приходится хранить до 4 матриц порядка . Но так же нельзя не остановиться на очевидных плюсах метода: - Метод удобен для нахождения собственных векторов практически любой матрицы. Рекомендуется рассматривать матрицы меньше порядка нескольких десятков. - Данный метод очень удобен в программировании (на этапе разработки ПО проблем практически не возникало). В целом метод все-таки не рекомендуется для решения задач, требующих высоких точностей. Но из-за своей простоты, и высокой скорости, подходит для больших массивов, не требующих отсутствие погрешности. Список литературы1. Основы численных методов: Учебник для вузов/ В.М. Вержбицкий. – М.: Высш. Шк., 2002. – 840 с.: ил. 2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ, 2004. – 471 с. 3. Интернет. 4. Библия Delphi/ М.Е. Фленов – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 880 с.: ил. Приложение А u i Mai U i ; i erface uses Wi dows, , Bu o s; ype Ma rix = array of array of real; Form1 = class( Form) priva e { Priva e declara io s } // Процедура &quo ;перестановки&quo ; матрицы, возвращает rue если все хорошо fu c io Remove(Var rez: Ma rix; i: i eger): boolea ; // Умножение 2-х матриц procedure Mul iple(a,b:Ma rix; Var rez: Ma rix); // Возвращение решений fu c io Fi dDe (Var a:Ma rix):s ri g; // Обнуление матриц procedure Zero(Var a:Ma rix); public { Public declara io s } e d; var Form1: Form1; impleme a io {$R .dfm} fu c io Form1.Fi dDe (Var a: Ma rix):s ri g; Var i,j : i eger; M,Mob,bac : Ma rix; flag : boolea ; begi Se Le g h(M,Le g h(a),Le g h(a)); flag:= rue; for i:=Le g h(a)-2 dow o 0 do // Построение матриц BEGI // Обработка случая 2.1 if (a=0) a d ( o Remove(a,i)) he begi // Если ничего не помогло flag:=false; Break; e d; // Обнуление всех матриц Zero(M); Zero(Mob); Zero(bac); // Построение матриц М for j:=0 o Le g h(a; M; if i=j he M; e d; // Умножение матрицы А на М Mul iple(a,M,bac); // A M Mul iple(Mob,bac,a); // M^(-1) (A M) E D; // Обработка случая 2.2, если надо if o flag he begi M:= il; Mob:= il; // Находим матрицу С и выводим ее коэффициенты Se Le g h(bac,1,le g h(a)-i-1); for j:=i 1 o le g h(a)-1 do bac; // Матрица C Resul :='(' Floa oS rF(bac,ffFixed,10,3); for i:=1 o Le g h(bac)-1 do Resul :=Resul ',' Floa oS rF(bac,ffFixed,10,3); Resul :=Resul '),'; // &quo ;Урезаем&quo ; матрицу А до состояния B, см. 2.2 пункт алгоритма Se Le g h(a,i 1,i 1); // Вызываем рекурсивно процедуру Resul :=Resul Fi dDe (a); e d else begi Resul :='(' Floa oS rF(a,ffFixed,10,3); for i:=1 o Le g h(a)-1 do Resul :=Resul ',' Floa oS rF(a,ffFixed,10,3); Resul :=Resul ')'; e d; bac:= il; e d; procedure Form1.b
Рисунок основан на работе Т. Вулси из Медицинской школы Вашингтонского университета. У макака информация из сетчатки достигает четвертого слоя зрительной коры через посредство структуры, названной латеральным коленчатым телом. На этом уровне входы в кору от каждого глаза совершенно раздельны, что было прямыми методами показано на подопытных животных с помощью инъекций большого количества меченых аминокислот в одно глазное яблоко. Ганглиозные клетки сетчатки поглощают аминокислоту, включают ее в белок и транспортируют в латеральное коленчатое тело. Здесь некоторая часть метки освобождается и становится доступной для включения в клетки коленчатого тела, которые транспортируют ее по своим аксонам далее в зрительную кору. На соответствующим образом приготовленных радиоавтографах (которые позволяют выявить распределение меченых волокон, достигающих коры) видно, что первичная зрительная область организована в виде перемежающихся так называемых глазодоминантных полосок, причем каждая полоса имеет ширину около 400 мкм и получает входные сигналы либо от правого, либо от левого глаза. Д. Хьюбел, Т. Визель и С. Ле Вэй (D. Hubel, Т. Wiesel, S
1. Математические методы и языки программирования: симплекс метод
2. Метод осадительного титрования. Практическое применение метода
3. Акустические и капиллярные методы контроля РЭСИ. Электролиз (пузырьковый метод)
4. Методы проявления системной идеи. Эвристические методы исследования систем управления
5. Вычисление площади сложной фигуры методом имитационного моделирования (Windows)
9. Вычисление площади сложной фигуры методом имитационного моделирования
10. Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников
11. Вычисление определенного интеграла методом трапеций
12. Вычисление интегралов методом Монте-Карло
13. Исследование природных ресурсов планеты с помощью космических методов
14. Исследование клеточного цикла методом проточной цитометрии
Качели Фея "Чарли 3 в 1". 
Вожжи - страховка для ребенка Спортбэби "Комфорт". 
Ножницы "Pigeon" для ногтей новорожденных. 17. Обзор методов и способов измерения физико-механических параметров рыбы
18. Новейшие методы селекции: клеточная инженерия, генная инженерия, хромосомная инженерия
20. Методы и модели демографических процессов
21. Гидрохимический, атмохический и биогеохимический методы поисков
25. Нелегальная миграция в России и методы борьбы с ней
26. Предмет и метод гражданского права
27. Предмет, метод и система гражданского процессуального права /Украина/
28. Корпорация BBC. Формы и методы государственного контроля вещания
29. Формы и методы выхода предприятий на внешний рынок
30. Финансовый контроль: формы, методы, органы
31. Эффективные методы изучения иностранных языков
32. Метод действенного анализа в режиссуре театра, кино и телевидения
Мебель для кукол "Гостиная Конфетти". 
Магнитно-маркерная доска, 41x29 см. 
Стиральный порошок-концентрат для белого белья BioMio "Bio-white" с экстрактом хлопка, без запаха, 1,5. 33. Соцреализм как метод искусства
34. Дидактические возможности отдельных методов обучения на уроках литературы в старших классах
35. Методы изучения музыкальных произведений крупной формы в старших классах общеобразовательной школы
36. Цивилизационные методы в изучении истории
37. Методы компьютерной обработки статистических данных
41. Обзор возможных методов защиты
42. Метод деформируемого многогранника
44. Методы прогнозирования основанные на нейронных сетях
45. Модифицированный симплекс-метод с мультипликативным представлением матриц
46. Билеты, решения и методичка по Информатике (2.0)
47. Метод Симпсона на компьютере
48. Полином Гира (экстраполяция методом Гира)
Стиральный порошок Attack "BioEX", концентрированный, 0,9 кг. 
Звуковой плакат "Говорящая азбука". 
Наушники "Philips SHE3550", черные. 49. Компьютерные вирусы, типы вирусов, методы борьбы с вирусами
50. Анализ криптостойкости методов защиты информации в операционных системах Microsoft Window 9x
51. Парольные методы защиты информации в компьютерных системах от несанкционированного доступа
53. Лабораторная работа №6 по "Основам теории систем" (Решение задачи о ранце методом ветвей и границ)
57. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя
59. Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера
60. Сетевые методы в планировании
61. Современные криптографические методы
62. Математические методы в организации транспортного процесса
63. Метод последовательных уступок (Теория принятия решений)
64. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана
Глобус детский зоогеографический, с подсветкой, 210 мм. 
Настольная игра "Loonacy". 
Горшок дорожный и насадка на унитаз "HandyPotty", голубой. 65. СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ В ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
66. Методы и приемы решения задач
67. Методы обучения математике в 10 -11 класах
68. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом
69. Приближённые методы решения алгебраического уравнения
73. Решение задач на построение сечений в многогранниках методом следов
75. Механические и хирургические методы контрацепции
76. Карл Леонгард: методы диагностики личности
78. МЕТОДЫ НАРОДНОЙ МЕДИЦИНЫ. ЗАКАЛИВАНИЕ ОРГАНИЗМА
79. Основные методы обследования больного
80. Детский травматизм и методы самостоятельной помощи
Фоторамка на 4 фотографии С34-016 "Alparaisa", 44x32,5 см (белый). 
Подушка для младенца "Selby". 
Комплект детского постельного белья "Хоккей". 81. Современные методы электрокардиостимуляции
82. Современные методы лечения псориаза у детей
83. ДЭНС-ТЕРАПИЯ как новый и современный метод лечения в медицине
84. Русская здрава (методы оздоровления на Руси)
85. Методичка по экспериментальной хирургии (МБФ РГМУ)
89. Методы и фотоматериалы, применяемые при съемки следов орудий взлома и инструментов
90. Методы очистки сточных вод
91. Экономические методы охраны окружающей среды и особенности их использования в России
92. Проект очистки масло-шламовых сточных вод завода "Топливная аппаратура" электрохимическим методом
93. Загрязнение гидросферы. Методы её защиты
94. Методы очистки сточных вод от нефтепродуктов
95. Частная школа и новые методы образования
96. Классификация методов обучения
Велосипед трехколесный. 
Магнитная мозаика "Техника". 
Магнитная мозаика "Веселый городок". 97. Психологический метод обучения чтению
99. Методы поиска и исследований в преподавании физики
