Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Аксиоматика теории множеств

Совок большой.
Длина 21,5 см. Расцветка в ассортименте, без возможности выбора.
21 руб
Раздел: Совки
Забавная пачка "5000 дублей".
Юмор – настоящее богатство! Купюры в пачке выглядят совсем как настоящие, к тому же и банковской лентой перехвачены... Но вглядитесь
60 руб
Раздел: Прочее
Пакеты с замком "Extra зиплок" (гриппер), комплект 100 штук (150x200 мм).
Быстрозакрывающиеся пакеты с замком "зиплок" предназначены для упаковки мелких предметов, фотографий, медицинских препаратов и
148 руб
Раздел: Гермоупаковка

Аксиоматика теории множеств Введение Значение математической логики в нашем и прошлом столетии сильно возросло. Главной причиной этого явилось открытие парадоксов теории множеств и необходимость пересмотра противоречивой интуитивной теории множеств. Было предложено много различных аксиоматических теорий для обоснования теории множеств, но как бы они не отличались друг от друга своими внешними чертами, общее для всех них содержание составляют те фундаментальные теоремы, на которые в своей повседневной работе опираются математики. Выбор той или иной из имеющихся теорий является в основном делом вкуса; мы же не предъявляем к системе, которой будем пользоваться, никаких требований, кроме того, чтобы она служила достаточной основой для построения современной математики. §1. Система аксиом Опишем теорию первого порядка BG, которая в основном является системой того же типа, что и система, предложенная первоначально фон Нейманом , а затем тщательно пересмотренная и упрощенная Р. Робинсоном . (Будем в основном следовать монографии Гёделя, хотя и с некоторыми важными отклонениями.) Теория BG имеет единственную предикатную букву  и не имеет ни одной функциональной буквы или предметной константы. Чтобы быть ближе к обозначениям Бернайса , мы будем употреблять в качестве переменных вместо x1, x2, прописные латинские буквы X1, Х2, . (Как обычно, мы используем буквы X, Y, Z, . для обозначения произвольных переменных.) Мы введем также сокращенные обозначения ХY для(X, Y) и XY для (X, Y). Содержательно знак  понимается как символ отношения принадлежности. Следующим образом определим равенство: Определение. Х=Y служит сокращением для формулы . Таким образом, два объекта равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Определение.  служит сокращением для формулы (включение). Определение. XY служит сокращением для Х  Y & X ≠ Y (собственное включение). Из этих определений легко следует Предложение 1. (а)  Х = Y  (X  Y & Y  X); (b)  Х = Х; (с)  Х = Y Y = Х; (d)  Х = Y  (Y = Z Х = Z); (е)  Х = Y  (ZX  ZY). Теперь приступим к перечислению собственных аксиом теории BG, перемежая формулировки самих аксиом различными следствиями из них и некоторыми дополнительными определениями. Предварительно, однако, отметим, что в той «интерпретации», которая здесь подразумевается, значениями переменных являются классы. Классы — это совокупности, соответствующие некоторым, однако отнюдь не всем, свойствам (те свойства, которые фактически определяют классы, будут частично указаны в аксиомах. Эти аксиомы обеспечивают нам существование необходимых в математике классов и являются, достаточно скромными, чтобы из них нельзя было вывести противоречие). (Эта «интерпретация» столь же неточна, как и понятия «совокупность», «свойство» и т. д.) Назовем класс множеством, если он является элементом какого-нибудь класса. Класс, не являющийся множеством, назовем собственным классом. Определение. M(X) служит сокращением для Y(XY) (X есть множество). Определение. Pr(X) служит сокращением для  M(X) (X есть собственный класс). В дальнейшем увидим, что обычные способы вывода парадоксов приводят теперь уже не к противоречию, а всего лишь к результату, состоящему в том, что некоторые классы не являются множествами.

Множества предназначены быть теми надежными, удобными классами, которыми математики пользуются в своей повседневной деятельности; в то время как собственные классы мыслятся как чудовищно необъятные собрания, которые, если позволить им быть множествами (т. е. быть элементами других классов), порождают противоречия. Система BG задумана как теория, трактующая о классах, а не о предметах. Мотивом в пользу этого послужило то обстоятельство, что математика не нуждается в объектах, не являющихся классами, вроде коров или молекул. Все математические объекты и отношения могут быть выражены в терминах одних только классов. Если же ради приложений в других науках возникает необходимость привлечения «неклассов», то незначительная модификация системы BG позволяет применить ее равным образом как к классам, так и к «неклассам» (Мостовский ). Мы введем строчные латинские буквы x1, x2, в качестве специальных, ограниченных множествами, переменных. Иными словами, x1 A (x1) будет служить сокращением для X (M(X)A (X)) , что содержательно имеет следующий смысл: «A истинно для всех множества, и x1 A (x1) будет служить сокращением для X (M(X)A (X)), что содержательно имеет смысл: «A истинно для некоторого множества». Заметим, что употребленная в этом определении переменная X должна быть отличной от переменных, входящих в A (x1). (Как и обычно, буквы х, y, z, . будут употребляться для обозначения произвольных переменных для множеств.) П р и м е р. Выражение ХхyZA (X, х, y, Z) служит сокращением для ХXj (М(Xj)Y(M(Y)&ZA (X, Xj, Y, Z))). А к с и о м а Т. (Аксиома объемности.) Х = Y (XZYZ). Предложение 2. Система BG является теорией первого порядка с равенством. А к с и о м а Р. (Аксиома пары.) xyzu (u  z  u = xu = y), т. е. для любых множеств х и у существует множество z такое, что х и у являются единственными его элементами. А к с и о м а . (Аксиома пустого множества.) х y (у  х), т. е. существует множество, не содержащее никаких элементов. Из аксиомы и аксиомы объемности следует, что существует лишь единственное множество, не содержащее никаких элементов, т. е.  1x  y (у  х). Поэтому мы можем ввести предметную константу 0, подчиняв ее следующему условию. Определение. y (y  0). Так как выполнено условие единственности для неупорядоченной пары, то можем ввести новую функциональную букву g(х, y) для обозначения неупорядоченной пары х и у. Впрочем вместо g(х, y) мы будем писать {х, у}. Заметим, что можно однозначно определить пару {X, Y} для любых двух классов Х и Y, а не только для множеств х и у. Положим {X, Y} = 0, если один из классов X, Y не является множеством. Можно доказать, что BG 1Z((M(X)&M(Y)&u (u  Z  u = X  u = Y))    ((  M(X)   M(Y))&Z=0)). Этим оправдано введение пары {X, Y}: Определение. (М(Х) & М(Y) & u (и {X, Y}  u = X  u = Y)) (( M(X)  M(Y)) & {X, Y} = 0). Можно доказать, что BG x y u (u  {х, у}  u = x  u = y) и BG x y (M({х, у})). Определение.  = {{Х}, {X, Y}}.  называется упорядоченной парой классов Х и Y. Никакого внутреннего интуитивного смысла это определение не имеет. Оно является лишь некоторым удобным способом (его предложил Ку-ратовский) определить упорядоченные пары таким образом, чтобы можно было доказать следующее предложение, выражающее характеристическое свойство упорядоченных пар.

Предложение 3. BG x y u v (). Доказательство. Пусть  = . Это значит, что {{x}, {x, y}} = {{u}, {u, v}}. Так как {х}  {{x}, {x, y}}, то {x}  {{u}, {u, v}}. Поэтому {x} = ={u} или {х} = {u, v}. В обоих случаях х = и. С другой стороны, {u, v}  {{u}, {u, v}} и, следовательно, {u, v} {{x}, {x, y}}. Отсюда {u, v} = {x} или {u, v} = ={x, y}. Подобным же образом {x, y} = {u} или {х, у}={и, v}. Если или {u, v} = ={x} и {х, y} = {u}, то х = и = у = v, в противном случае {и, v} = {х, у} и, следовательно, {и, v} = {u, у}. Если при этом v ≠ u, то y = v, если же v = u, то тоже y = v. Итак, в любом случае, y = v. Мы теперь обобщим понятие упорядоченной пары до понятия упорядоченной -ки. Определение  = Х, Так, например,  и В дальнейшем индекс BG в записи BG опускается. Нетрудно доказать следующее обобщение предложения 3:   Аксиомы существования классов. Эти аксиомы утверждают, что для некоторых свойств, выраженных формулами, существуют соответствующие классы всех множеств, обладающих этими свойствами. А к с и о м а В1. X u v (X  u  v) (- отношение). А к с и о м а В2. X Y Z u (u  Z  u  X & u Y) (пересечение). А к с и о м а В3. X Z u (u  Z  u  X) (дополнение). А к с и о м а В4. X Z u (u  Z  v (X)) (область определения). А к с и о м а В5. X Z u v (  Z  u  X). А к с и о м а В6. X Z u v w (  Z    X). А к с и о м а В7. X Z u v w (  Z    X). С помощью аксиом В2—В4 можно доказать  X Y 1Z u (u  Z  u  X & u  Y),  X 1Zu (u  Z  u  x),  X 1Zu (u  Z v (  X)). Эти результаты оправдывают введение новых функциональных букв ∩, −, D. Определения u (u  X ∩ Y  u  X & u  Y) (пересечение классов Х и Y). u (u  u  X) (дополнение к классу X). u (u  D (X) v (  X)) (область определения класса X).  (объединение классов Х и Y). V =  (универсальный класс). X − Y = X ∩   Общая теорема о существовании классов. Предложение 4. Пусть φ (X1, ,X , Y1, , Ym) – формула, переменные которой берутся лишь из числа X1, ,X , Y1, , Ym . Назовём такую формулу предикативной, если в ней связными являются только переменные для множеств (т.е. если она может быть приведена к такому виду с помощью принятых сокращений). Для всякой предикативной формулы φ (X1, ,X , Y1, , Ym)  Zx1 x ( Z  φ (x1, ,x , Y1, , Ym)). Доказательство. Мы можем ограничиться рассмотрением только таких формул φ, которые не содержат подформул вида Yi  W, так как всякая такая подформула может быть заменена на x (x = Yi & x  W), что в свою очередь эквивалентно формуле x (z (z  x  z  Yi) & x  W). Можно также предполагать, что в φ не содержатся подформулы вида XX, которые могут быть заменены на u (u = X & u  X), последнее же эквивалентно u (z (z  u  z  X) & u  X). Доказательство проведем теперь индукцией по числу k логических связок и кванторов, входящих в формулу φ (записанную с ограниченными переменными для множеств). 1. Пусть k = 0. Формула φ имеет вид xi  xj, или xj  xi, или xi  Yi, где 1 ≤ i < j ≤ . В первом случае, по аксиоме В1, существует некоторый класс W1 такой, что xixj (W1  xi  xj). Во втором случае, по той же аксиоме, существует класс W2 такой, что xixj (W2  xj  xi), и тогда, в силу  XZ u v ( Z    X), существует класс W3 такой, что xixj (W3  xj  xi).

Форма математического размышления (движение и превращение математических идей) есть наиболее адекватная форма логического движения мысли в XVII - начале XX века. (Другой вопрос: всегда ли для мышления наиболее продуктивна его наиболее адекватная форма?) Но в XX веке возникает необходимость новой логической формы - формы возникновения новой логической культуры. Весь смысл парадоксов теории множеств состоит в этой потенции смены логической формы (и коренного логического содержания) творческого движения мысли. Парадоксы сигнализируют, что необходим переход от расщепленной формы логического движения (логика определения - логика доказательства) к логике самообоснования. В логике самообоснования логики (понятия) математика действительно уже не может быть адекватной (всеобщей) формой движения мысли. В логике самообоснования наиболее адекватной является философская форма размышления (критика собственной логики). Вот в чем смысл сформулированного выше утверждения, что творческая сила парадоксов теории множеств обнаруживается в процессе "сдирания" с них узкоматематической формы

1. Аксиоматика теории множеств

2. Об основаниях теории множеств

3. Элементы теории множеств

4. Применение теории нечетких множеств к финансовому анализу предприятий

5. Применение теории нечетких множеств в оценке экономической эффективности и риска инвестиционных проектов в условиях неопределенности

6. Теории и гипотезы о Луне
7. Происхождение человека. Эволюция человека. Теории и гипотезы
8. Теории зарождения жизни на Земле

9. Теория Дарвина

10. Антропогенез: эволюционная теория происхождения человека

11. Бюджетный дефицит и государственный долг: теория проблемы и ее проявление в российской экономике

12. Шпаргалки для госэкзамена по теории государства и права

13. Теория социальной пассионарности Л. Н. Гумилева

14. Противоречивость "норманнской теории" происхождения государства у славян

15. Норманнская теория происхождения русской государственности ее апологеты и критики

16. Шпаргалка по общей теории права

Настольная игра "Кролики и норы".
Издавна настольные игры, в частности, настольные игры на ловкость, были в мире очень популярным народным развлечением. Все вместе люди
612 руб
Раздел: Игры на ловкость
Моющее дезинфицирующее средство "Ника-Экстра М", 1 л.
Средство для очищения и мытья поверхностей в помещениях, жесткой мебели, санитарно-технического оборудования, предстерилизационной очистки
364 руб
Раздел: Для сантехники
Бумага "IQ Selection Smooth", А4, 120 г/м2, 500 листов.
Формат: А4. Класса: А+. Количество листов: 500. Плотность листа: 120 г/м2. Белизна: 170% по CIE. Подходит для двусторонней печати. Высокое
681 руб
Раздел: Формата А4 и меньше

17. Теория государства и права как наука и учебная дисциплина

18. Генезис (развитие) теории правового государства с древнейших времен и по наши дни

19. Теории государства и права (Шпаргалка)

20. Теория государства и права

21. Теория государства и права

22. Теория государства и права (Шпаргалка)
23. Теория разделения властей
24. Экзаменационные вопросы к государственному экзамену по теории государства и права

25. Определения (Теория государства и право)

26. Предмет теории государства и права

27. Шпоры к ГОСам (теория государства и права)

28. Шпаргалки по теории государства и права

29. Теория государства и права (шпаргалки для госэкзамена)

30. Теория государства и права (ТГП) в таблице

31. Теория государства и права (шпаргалки)

32. Теория и методика преподавания классического танца

Папка для труда, А4, на липучке.
Удобная папка для уроков труда на липучках. Полностью раскрывается. Внутри папки находится большое отделение с прозрачным окном, а также
366 руб
Раздел: Папки для труда
Набор "Леди Баг и Супер Кот" Дизайн 1, 3 предмета (в подарочной упаковке).
Набор из трех предметов (кружка, салатник, тарелка) в подарочной упаковке с изображением героини из мультсериала "Леди Баг и Супер
454 руб
Раздел: Наборы для кормления
Качели со столиком, арт. 15-10960.
Летом на даче не обойтись без качелей со столиком. Ведь они предназначены для самых маленьких. Качели можно подвесить с помощью
770 руб
Раздел: Качели

33. Антропогенез: эволюционная теория происхождения человека

34. Проблемы теории культуры в отечественной философии (А. Ф. Лосев, М. К. Мамардашвили)

35. Шпоры по Поэтике или теории литературы

36. Теория и методика русского языка (экзаменационные билеты)

37. Норманнская теория происхождения государства у славян и ее роль в российской истории

38. Краткий конспект лекций по Теории тестирования аппаратных и программных средств
39. Теория системного управления
40. Постановка лабораторной работы по теории графов

41. Теория многозадачности и многопоточности

42. Лекции по теории проектирования баз данных (БД)

43. Теория автоматов (Разработать автомата для сложения в коде 8421 в обратном коде в формате с фиксированной запятой)

44. ПТЦА - Прикладная теория цифровых автоматов

45. Лабораторная работа №5 по "Основам теории систем" (Транспортные задачи линейного программирования)

46. Лабораторная работа №3 по "Основам теории систем" (Теория двойственности в задачах линейного программирования)

47. Лабораторная работа №6 по "Основам теории систем" (Решение задачи о ранце методом ветвей и границ)

48. Достаточно общая теория управления (Расовые доктрины в России: их возможности и целесообразность следования им в исторической перспективе)

Сковорода "Mayer & Boch" (гранитное покрытие), 24 см.
Материал: алюминий, гранитное покрытие. Внутреннее покрытие: антипригарное гранитное покрытие. Диаметр: 24 см. Высота борта: 4,5
824 руб
Раздел: Сковороды с керамическим покрытием
Насадка на унитаз "Roxy-Kids" с ножками и ступенькой.
Позволяет отказаться от использования обычного детского горшка Легко собирается и разбирается для транспортировки. Ступенька с
2117 руб
Раздел: Сиденья
Полка настольная "Mayer & Boch", 2-х ярусная.
Полка настольная 2-х ярусная, белого цвета. Материал: МДФ (древесностружечная плита со средней плотностью).
447 руб
Раздел: Полки напольные, стеллажи

49. Теория систем автоматического регулирования

50. Теория устойчивости

51. Теория вероятностей и случайных процессов

52. Основы теории систем и системный анализ

53. Теория вероятностей и математическая статистика

54. Метод последовательных уступок (Теория принятия решений)
55. Теория статистики (Станкин)
56. Теория графов. Методические указания по подготовке к контрольным работам по дисциплине «Дискретная математика»

57. Общая характеристика аксиоматики Гильберта

58. Теория неявных функций и ее приложения

59. Продвинутые методы Ганемана. LМ-потенции: теория и практика

60. Лекции по теории преступности

61. Обратная сила закона. Теория и практика применения на примере преступлений против собственности

62. Суть теории биосферы В.И. Вернадского

63. Теории обучения в высшей школе

64. Психологические теории эмоций

Античасы "Да какая разница", стеклянные.
Настенные кварцевые античасы "Да какая разница" своим эксклюзивным дизайном подчеркнут оригинальность интерьера вашего
1018 руб
Раздел: Прочее
Беспылевой белый мел, 100 шт.
Белые мелки для рисования по школьным доскам, асфальту, бумаге и другим поверхностям. Удобны в использовании, не пылят, яркие и насыщенные
336 руб
Раздел: Мел
Чайник со свистком "Добрыня. DO-2909", 2 л.
Объём: 2 л. Материал: нержавеющая сталь. Материал ручки: бакелит. Свисток. Подходит для всех типов плит.
372 руб
Раздел: Чайники из нержавеющей стали

65. Теория и методика воспитания (шпаргалка)

66. Теория международных отношений

67. Теория мертвой страны

68. Теория политических решений

69. Теории деформационного упрочнения монокристаллов

70. Основы теории надежности
71. Гидродинамическая теория смазки и ее возможности для расчета и анализа работы подшипников двигателя внутреннего сгорания
72. Теории о несуществовании загробного бытия

73. Культурологическая и психосексуальная теория Фрейда

74. Ортодоксальность теории З. Фрейда

75. Основные теории мотивации

76. Основные понятия в теории функциональных систем Анохина

77. Бихевиоризм. Теория личности Берреса Фредерика Скиннера

78. Теория личности Зигмунда Фрейда

79. Экзистенциальный анализ. История, теория и методология практики

80. Изучение теории личности и межличностных отношений

Магнитный театр "Репка".
Увлекательное театральное представление с любимыми героями русской народной сказки «Репка» и вашим ребенком в роли главного режиссера. 10
308 руб
Раздел: Магнитный театр
Самоклеящиеся этикетки, A4, 105x70 мм, 8 этикеток на листе, 100 листов.
Формат: А4. Размер: 105x70 мм. В комплекте: 100 листов (на 1 листе 8 этикеток).
500 руб
Раздел: Бейджи, держатели, этикетки
Рюкзак детский "Сова", 32х26х10 см.
Рюкзак детский. Размер: 32х26х10 см. Состав: текстиль, ПВХ, металл. Не предназначено для детей младше 3 лет.
319 руб
Раздел: Детские

81. Теория социально-психологического тренинга

82. Теория лжи

83. Теория установки Узнадзе

84. Основы теории цепей

85. Теории электрической связи: Расчет приемника, оптимальная фильтрация, эффективное кодирование

86. 6 задач по теории электрических цепей
87. Иудаизм - теория и практика расизма
88. Времяоника. Теория, которой суждено изменить жизнь человечества

89. Теория лидерства

90. История теорий социального неравенства

91. Теория конфликтов. Проекция на сферу управления

92. Теория и практика применения метода интервью в социологии

93. Теория науки Макса Вебера

94. Теория элит Вильфредо Парето

95. Некоторые парадоксы теории относительности

96. Теориям самоорганизации - синергетика, теория изменений и теория катастроф

Копилка "Металлический сейф с ключом", красная.
Качественный металлический сейф-копилка с двумя замками (кодовый и обычный) позволит Вам скопить приличную сумму на поездку, например.
1585 руб
Раздел: Копилки
Карандаши цветные "Evolution", 24 цвета.
Количество цветов: 24. Ультрапрочные цветные карандаши, изготовленные без использования древесины. В наборе 24 ярких цвета. Цветной
694 руб
Раздел: 13-24 цвета
Одеяло 2-х спальное "Стандарт", шерсть мериноса.
Одеяло 2-х-спальное (стандарт). Материал: овечья шерсть, мериноса (смесь натурального и искусственного шерстяного наполнителя). Чехол:
916 руб
Раздел: Одеяла

97. Развитие взглядов на теорию света

98. Плоская задача теории упругости

99. Суперструны и М-теория

100. Основы теории измерений (спортивная метрология)


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.