Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

Гуашь "Классика", 12 цветов.
Гуашевые краски изготавливаются на основе натуральных компонентов и высококачестсвенных пигментов с добавлением консервантов, не
170 руб
Раздел: 7 и более цветов
Ночник-проектор "Звездное небо и планеты", фиолетовый.
Оригинальный светильник - ночник - проектор. Корпус поворачивается от руки. Источник света: 1) Лампочка (от карманных фонариков) 2) Три
330 руб
Раздел: Ночники
Совок большой.
Длина 21,5 см. Расцветка в ассортименте, без возможности выбора.
21 руб
Раздел: Совки

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств Курсовая работа по курсу «Математика» Кировоград 2004 Вступление Элементы математического анализа занимает значительное место в школьном курсе математики. Учащиеся овладевают математическим аппаратом, который может быть эффективно использован при решении многих задач математики, физики, техники. Язык производной и интеграла позволяет строго формулировать многие законы природы. В курсе математики с помощью дифференциального и интегрального исчислений исследуются свойства функций, строятся их графики, решаются задачи на наибольшее и наименьшее значения, вычисляются площади и объемы геометрических фигур. Иными словами, введение нового математического аппарата позволяет рассмотреть ряд задач, решить которые нельзя элементарными методами. Однако возможности методов математического анализа такими задачами не исчерпывается. Многие традиционные элементарные задачи (доказательство неравенств, тождеств, исследование и решение уравнений и другие) эффективно решаются с помощью понятий производной и интеграла. Школьные учебники и учебные пособия мало уделяют внимания этим вопросам. Вместе с тем нестандартное использование элементов математического анализа позволяет глубже усвоить основные понятия изучаемой теории. Здесь приходится подбирать метод решения задачи, проверять условия его применимости, анализировать полученные результаты. По существу, зачастую проводится небольшое математическое исследование, в процессе которого развиваются логическое мышление, математические способности, повышается математическая культура. Для многих задач элементарной математики допускается как «элементарное», так и «неэлементарное» решение. Применение производной и интеграла дает как правило более эффективно решение. Появляется возможность оценить силу, красоту, общность нового математического аппарата. Методы математического анализа используются не только для решения поставленных задач, но и являются источником получения новых фактов элементарной математики. Раздел 1. Некоторые применения производной 1.1. Применение производной при решении неравенств Дифференциальное исчисление широко используется при исследовании функций. С помощью производной можно найти промежутки монотонности функции, ее экстремальные точки, наибольшие и наименьшие значения. Если функция f имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке некоторого промежутка, то она возрастает (убывает) на этом промежутке. При нахождении промежутков монотонности нужно иметь в виду, что если функция возрастает (убывает) на интервале (a,b) и непрерывна в точках a и b, то она возрастает (убывает) на отрезке . Если точка x0 является точкой экстремума для функции f и в этой точке существует производная, то f/(x0)=0. В точке экстремума функция может не иметь производную. Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими. Чтобы установить, имеет ли функция в данной критической точке экстремум, пользуются следующими достаточными признаками существования экстремума.

Если функция f непрерывна в точке x0 и существуют такие точки a, b, что f/(x0)>0 (f/(x0)&l ;0 ) на интервале (a,x0) и f/(x0)&l ;0 (f/(x0)>0 ) на интервале (x0,b), то точка x0 является точкой максимума (минимума) функции f. Для отыскания наибольших и наименьших значений f на отрезке достаточно сравнить между собой значения f в точках a, b и в критических точках из отрезка . Эти результаты применимы при решении многих элементарных задач, связанных с неравенствами. Пусть, например, требуется доказать, что на некотором промежутке имеет место неравенство f(x)³g(x). Обозначим f(x)-g(x) через F(x). С помощью производной F/(x) находим наименьшее значение F на данном промежутке. Если оно неотрицательно, то во всех точках рассматриваемого промежутка F(x)³0, т.е. f(x)³g(x). Задача 1.1. Доказать что (e x)e-x>(e-x)e x для 0&l ;x&l ;e. Решение. Данное неравенство равносильно следующему: (e-x)l (e x)>(e x)l (e-x). Пусть f(x)=(e-x)l (e x)-(e x)l (e-x), тогда  f/(x)=-l (e x) (e-x)/(e x)-l (e-x) (e x)/(e-x). Так как (e-x)/(e x) (e x)/(e-x)=2(e2 x2)/(e2-x2)>2, l (e x) l (e-x)=l (e2-x2)&l ;l e2=2, то f/(x)>0 при 0&l ;x&l ;e. Следовательно, функция f возрастает на интервале (0,e). Функция f(0) – непрерывна. Поэтому эту точку можно включить в промежуток возрастания. Поскольку f(0)=0, а f возрастает при 0&pou d;x&l ;e, то f(x)>0 при 0&l ;x&l ;e. Отсюда получаем решение задачи 1. Задача 1.2. Доказать неравенство gka c gka³2 k2cos22a, 0&l ;a&l ;p/2, k–натуральные. Решение. Неравенство можно записать в виде: (c gk/2a– gk/2a)2³k2cos22a. Пусть сначала 0&l ;a&l ;p/4. На этом интервале c g a> g a, cos 2a>0, поэтому последнее неравенство эквивалентно неравенству c gk/2a– gk/2a ³ k cos 2a. Положим f(a)=c g a– g a–2 cos 2a, где =k/2. Далее, f/(a) = –( /si 2a)c g -1a – ( /cos2a) g -1a 4 si 2a = – ((c g -1a g -1a) (c g 1a g 1a) – 4si 2a) &pou d; – (2-2si 2a)&l ;0 при 0&l ;a&l ;p/4. Здесь, как и в предыдущей задаче, использован тот факт, что сумма взаимно обратных положительных чисел больше или равна 2. Таким образом, на интервале 0&l ;a&l ;p/4 функция f убывает. В точке a=p/4 она непрерывна, поэтому (0; p/4] является промежутком убывания f. Наименьшим значением функции на этом промежутке является f(p/4)=0. Следовательно, f(a)³0 при 0&l ;a&l ;p/4. Для указанного промежутка неравенство доказано. Если p/4&l ;a&l ;p/2, то 0&l ;p/2–a&l ;p/4. Однако неравенство не меняется при заменен a на p/2–a. Задача 2 решена. Задача 1.3. Что больше ep или pe ? Решение. Для решения задачи исследуем вопрос о существовании решений уравнения с двумя неизвестными: ab=ba, a>0, b>0. Исключим тривиальный случай a=b и для определенности будем предполагать, что a&l ;b. Ввиду симметричности вхождения a и b в уравнение, последнее замечание не ограничивает общности рассуждений. Ясно, что уравнение ab=ba равносильно уравнению b (l a)=a (l b), или (l a)/a = (l b)/b. Пусть f(x)=(l x)/x  (1). Существование решений уравнения (1) эквивален-тно наличию значений x1 и x2 (x1&l ;x2) таких, что f(x1)=f(x2). В этом случае пара (x1,x2) является решением уравнения (1).

Иными словами, требуется выяснить, найдется ли прямая y=c, пересекающая график функции f по крайней мере в двух различных точках. Для этого исследуем функцию f. Ее производная f/(x)=(1–l x)/x2 в области определения f имеет единственную критическую точку x=e. При 0&l ;x&l ;e f/(x)>0 функция f возрастает, а при x>e f/(x)&l ;0 функция f убывает. Поэтому в точке x=e f принимает свое наибольшее значение (1/e). Так как функция (l x)/x непрерывна и возрастает на промежутке (0,e], то она на этом промежутке принимает все значения от –&ye ; до 1/е. Аналогично, на промежутке [e,&ye ;) функция f принимает все значения из (0,1/e]. Из результатов исследования функции f вытекают следующие утверждения: 1. Если 0&l ;a&l ;b и a&pou d;1, то (l a)/a&l ;(l b)/b. Поэтому ab&l ;ba . Следовательно, уравнение (1) и равносильное ему уравнение ab=ba не имеют решений. 2. Если 1&l ;a&l ;b&pou d;e, то ab&l ;ba и уравнение ab=ba также не имеют решений. 3. Если b>a>e, то ab>ba. Таким образом, если (a,b) является решением уравнения ab=ba , то 1&l ;a&l ;e, b>e. Более того, при каждом фиксированном значении 1&l ;a&l ;e найдется единственное значение b>e такое, что ab=ba Для ответа на вопрос задачи 3 достаточно положить a=e, b=p и воспользоваться утверждением (1). Итак, ep > pe . Задача 3 решена. Задача 1.4. Два туриста отправились по одному маршруту. В первый день они прошли одно и то же расстояние. В каждый из следующих дней первый турист увеличивал пройденный путь, по сравнению предыдущим, на одно и то же расстояние, а второй – в одно и то же число раз. Выяснилось, что в -тый день ( >2) путешествия туристы снова прошли одно и то же расстояние. Доказать, что за дней первый турист прошел путь больший, чем второй. Решение. Расстояние, пройденное первым туристом за дней, представляет собой сумму первых членов арифметической прогрессии, а вторым – сумму первых членов геометрической прогрессии. Обозначим эти расстояния соответственно S и S /. Если a – первый член прогрессии, d – разность арифметической прогрессии, q – знаменатель геометрической прогрессии, то    Приравнивая -е члены прогрессий, находим   Тогда  , где q>1 (по условию задачи). Задача 4 будет решена, если мы покажем, что , где >2, q>1  (2) При =3 имеем , что равносильно очевидному неравенству . Предполагая, что неравенство (2) справедливо при =k, докажем его для =k 1. Имеем Для завершения доказательства достаточно убедиться, то выражение  при k>2. Здесь целесообразно обратиться к производной. Пусть  Производная  положительная при x>1. Поэтому f при x>1 возрастает. Так как f(1)=0 и функция f непрерывна в точке x=1, то f(x)>0 при x>1, т.е. f(q)>0. Итак, S >S /. Задача 4 решена. 1.2. Использование основных теорем дифференциального исчисления при доказательстве неравенств ТЕОРЕМА 1 (Ролля).Пусть функция f:;  2) "xÎ(a,b) существует f/(x);  3) f(a)=f(b). Тогда $CÎ(a,b): f/(C)=0. Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий 1)-3) теоремы на интервале (a,b) существует точка С, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс. На практике чаще используется следующее утверждение теоремы Ролля: между любыми двумя нулями дифференцируемой функции существует хотя бы один нуль у производной.

График дает весьма наглядную интерпретацию действия ряда неравенств (или равенств). 8.9.3. Иллюстрация итерационного решения уравнения f(x)=х Классическим методом решения нелинейных уравнений является сведение их к виду х = f(x) и применение метода простых итераций хk = s(хk-1) при заданном значении x0. Приведем пример такого решения: > f := х ->3*ln(x+1); f := х→3ln(x + 1) > x||0 := 0.5; x0 :=.5 > x0 := .5; x0 :=.5 > for k from 1 to 16 do x||k := evalf(f(x||(k-1))); od; x1 := 1.216395324 x2 := 2.387646445 x3 : = 3.660406248 x4 : = 4.617307866 x5 := 5.177557566 x6 : = 5.462768931 x7 := 5.598173559 x8 := 5.660378631 x9 := 5.688529002 x10 := 5.701181910 x11 := 5.706851745 x12 := 5.709388956 x13 := 5.710523646 x14 := 5.711030964 x15 := 5.711257755 x16 := 5.711359134 Нетрудно заметить, что значения х_k в ходе итераций явно сходятся к некоторому значению. Проведем проверку решения, используя встроенную функцию solve: > f(x) = х; solve(%, х); 3 ln(x + 1) = х 0, -3LambertW(-1, -1/3e(-1/3))-1 Результат выглядит необычно — помимо довольно очевидного корня х=0 значение другого корня получено в виде специальной функции Ламберта

1. Применение свойств функций для решения уравнений

2. Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа)

3. Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

4. Краткие сведения о электронных таблицах. Решение уравнения

5. Решение уравнений в целых числах

6. Методы решения уравнений в странах древнего мира
7. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
8. Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона

9. Методы решения уравнений в странах древнего мира

10. Разработка программного обеспечения для решения уравнений с одной переменной методом Ньютона (касательных)

11. Графическое решение уравнений

12. Решение уравнений в конечных разностях

13. Методы оптимизации при решении уравнений

14. Методы решения уравнений линейной регрессии

15. Периферийное устройство ПЭВМ, Характеристика этапов подготовки и решения задач на ПЭВМ в любой системе программирования. Электронная почта, особенности применения

16. Исследование аспектов применения атомной энергии для решения проблем энергоснабжения районов Крайнего Севера

Подставка для украшений Jardin D'Ete "Нежная сирень".
Подставка для ювелирных изделий не оставит равнодушной ни одну любительницу изысканных вещей. Сочетание оригинального дизайна и
967 руб
Раздел: Подставки для украшений
Умные кубики. Силуэты. 50 игр для развития интеллекта.
IQ-кубики «Силуэты» — это универсальный набор для развития дошкольника. В процессе игры он учится конструировать, систематизировать,
306 руб
Раздел: Развивающие игры с кубиками
Мел круглый "White Peps", 100 штук, белый.
Высококачественный мел из карбоната кальция. Для детского творчества и школы. Не крошится. Технология «меньше пыли». Круглая форма
445 руб
Раздел: Мел

17. Практическое применение производной

18. Интеграл и его применение

19. Применение движений к решению задач

20. Математические модели и методы обоснования управленческих решений и сферы их применения в практике управления

21. Задача квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений и ее применение

22. Применение спектральной сейсморазведки для решения задач инженерной геологии
23. Применение политического дискурс-анализа в решении идеологических задач (На примере медиатизации политических текстов)
24. Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла

25. Обоснование основных параметров промысловой схемы с применением ваерной лебедки

26. Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач в MATLab

27. Применение технологии знаково-контекстного обучения во время изложения дифференциальных уравнений

28. Принятие управленческого решения по применению метода Assessment Center для оценки персонала

29. Применение методов экономической статистики при решении задач

30. Методы путевого анализа и их применение к системам одновременных уравнений

31. Применение линейного программирования для решения экономических задач (оптимизация прибыли)

32. Практическое применение космонавтики

Настольная игра "Хватайка".
«Хватайка» — быстрая игра на развитие реакции и наблюдательности. Бросьте кубики и быстрее всех найдите карту, которая совпадает
690 руб
Раздел: Игры на ловкость
Глобус политический, диаметр 320 мм.
Диаметр: 320 мм. Масштаб: 1:40000000. Материал подставки: пластик. Цвет подставки: черный. Шар выполнен из толстого пластика, имеет один
791 руб
Раздел: Глобусы
Таблетки для посудомоечной машины "Clean&Fresh", 5 in1 (midi).
Таблетки для посудомоечной машины «Clean&Fresh» – чистота и свежесть Вашей посуды в каждой таблетке! Великолепно очищает посуду и содержит
379 руб
Раздел: Для посудомоечных машин

33. Мсб /БТР/ в наступлении на подготовленную оборону противника /ФРГ/ с ходу во втором эшелоне полка в условиях применения противником СДМ

34. Философские основы кибернетики и методология ее применения в военном деле

35. Применение ЭВМ для повышения эффективности работы штаба ГО РАТАП

36. Проблема применения моделей устойчивого развития на региональном уровне

37. Правовые аспекты применения сети "Интернет" в России

38. Содержание и порядок применения единого налога на вмененный доход для субъектов малого предпринимательства
39. Применение права
40. Применение ЭВМ в жизнедеятельности человека

41. Применение ПЭВМ в подготовка печатных изданий

42. Организация и применение микропроцессорных систем обработки данных и управления

43. Применение самоорганизующихся карт Кохонена для классификации и анализа пространственно распределенных неполных данных по окружающей среде

44. Структура и программирование ПЛИС фирмы Altera в САПР Quartus II, её применение в лабораторном стенде

45. Применение программного комплекса Electronics Workbench для разработки радиоэлектронных устройств

46. Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии

47. Теория графов и её применение

48. Шифросистемы с открытым ключом. Их возможности и применение.

Металлическая клетка-корона, белая, 16,5x21,5 см.
"Садовая" металлическая серия кукольной миниатюры в масштабе 1:12. Размер: 16,5x21,5 см. Материал: металл. Цвет: белый.
308 руб
Раздел: Прочие
Музыкальный центр "Парк развлечений".
Это детское пианино с диапазоном в одну октаву предназначено для малышей. Над клавиатурой пианино расположены кнопки с изображением
1575 руб
Раздел: Сортеры, логические игрушки
Датчик обнаружения угарного газа.
Ежегодно сотни людей по всему миру погибают от отравления угарным газом. Именно поэтому в каждом доме, где используется любая
783 руб
Раздел: Детекторы, датчики движения

49. ПРИМЕНЕНИЕ "ПУЛЬМОСАНА – 2" ПРИ ЛЕЧЕНИИ ТЕЛЯТ БОЛЬНЫХ БРОНХОПНЕВМОНИЕЙ ( ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА )

50. Применение электроники и биомеханики при протезировании

51. Дезинфицирующие препараты и их применение в хирургии

52. Применение ультразвука в медицине

53. Применение психологических знаний в процессе оперативно - розыскной деятельности

54. Применение милицией физической силы, спецсредств и огнестрельного оружия
55. Применение судами условного осуждения
56. Дидактические игры и их применение на уроках английского языка

57. Методические особенности комментированного обучения и применения поурочного балла при изучении трудных тем на уроках русского языка шестых классов

58. Технические средства статической проекции и методика их применения в начальной школе

59. Арсенид индия. Свойства, применение. Особенности получения эпитаксиальных пленок

60. Применение УВМ при автоматизации сортовых прокатов

61. Кулисный механизм. Практическое применение

62. Устройства дорожной одежды с применением золоминеральной смеси

63. Моделирование процессов функционирования технологических жидкостей в системе их применения

64. Гальванотехника и ее применение в микроэлектронике

Вожжи - страховка для ребенка Спортбэби "Комфорт".
Удобный держатель и мягкий нагрудник обеспечит необходимый комфорт Вам и Вашему ребенку. Предохраняют Вашу спину от перегрузки, а малыша
316 руб
Раздел: Прыгунки, вожжи
Ножницы "Pigeon" для ногтей новорожденных.
Ножницы для ногтей новорожденных "Pigeon" благодаря маленьким закругленным и тонким лезвиям, позволяют подстригать ногти малыша
721 руб
Раздел: Маникюрные наборы детские
Точилка механическая "Classic", синяя.
Цветной пластиковый корпус с прозрачным контейнером, объемный контейнер для стружки, стальные самозатачивающиеся ножки. Размеры: 91x88x4 мм.
317 руб
Раздел: Точилки

65. Проект восстановления коленчатого вала ЗИЛ 130 с применением ультразвукового упрочнения

66. Применение гетеропереходов в оптоэлектронике

67. Промышленное применение лазеров

68. Структура и программирование ПЛИС фирмы Altera в САПР Quartus II, её применение в лабораторном стенде

69. Применение материалов Аэрофотосъемки при инвентаризации лесов

70. Агрохимия и система применения удобрений
71. Разработка научно обоснованной системы применения удобрений для полевого севооборота Прикубанского района учхоза Кубань
72. Предмет экономической социологии как отрасли социологии. Метод социометрических измерений. Сущность и область применения

73. Лазеры, их применение

74. Результаты экспериментальной оценки эффективности применения баллиститного ракетного топлива в качестве сенсибилизаторов в эмульсионных ВВ

75. Назначение и область применения лазеров

76. Двигатели Стирлинга. Области применения

77. Спектры. Спектральный анализ и его применение

78. Ультразвук и его применение

79. Тепловые двигатели и их применение

80. Применение анаболичемких стероидов

Гель "Meine Liebe" для стирки цветных тканей, 800 миллилитров.
Эффективно удаляет грязь, сохраняя цвет вещей, предохраняя одежду от выцветания. Содержит натуральные смягчители, поэтому ткани становятся
315 руб
Раздел: Гели, концентраты
Качели детские "Классик".
Деревянный каркас состоит из брусков. Капроновый шнур надежно соединяет детали качелей между собой. Подвеской является металлическое
343 руб
Раздел: Качели
Сундук-бар, 40x30x75 см.
Такой бар не займет много места. А поэтому он гармонично впишется в интерьер абсолютно любого помещения. Сундук-бар будет лучшим подарком
8493 руб
Раздел: Аксессуары для вина

81. Методологическое и логическое основания применения системно-философского подхода к изучению конкретных систем различной природы

82. Применение алкенов и алкодиенов

83. Получение и применение кальция и его соединений

84. Применение топлив, смазочных материалов и специальных жидкостей

85. Получение алканов, алкенов, алкинов. Важнейшие представители. Применение в промышленности

86. Инертные газы: история открытия, свойства, применение
87. Применение химических веществ группы углеводов в росписи тканей
88. Свойства, применение и получение полиметилметакрилата

89. Кислород. Его свойства и применение

90. Перспективы развития и применения нанотехнологий. углеродные нанотрубки – революция в сфере технологии наночастиц

91. Применение экспресс-анализаторов АН-7560, АН-7529 и АС-7932 в аналитической химии

92. Применение аккредитивной формы расчетов во внутреннем и международном оборотах

93. Применение технического анализа на фондовом рынке

94. Применение маркетинга на микро уровне

95. Применение мировых информационных ресурсов в менеджменте

96. Особенности и возможности применения SWOT-анализа на российских предприятиях

Кольцеброс "Зайчики".
В наборе 8 колец. Диаметр колец: 12 см.
307 руб
Раздел: Кольцебросы, кегли
Настольная семейная игра "Crazy Белка".
Хитрая белка забралась в дупло, а задача участников - выманить ее из уютного убежища. Игроки должны по очереди класть желуди в специальные
609 руб
Раздел: Прочие
Пакеты с замком "Zip-Lock", 30х40 см (100 штук).
Размер: 30х40 см. Толщина: 40 мкм. В упаковке: 100 штук. Материал: полиэтилен (ПВД).
324 руб
Раздел: Пакеты для продуктов

97. Применение теории мотивации для повышения эффективности управления персоналом

98. Изучение экономической целесообразности применения ООО <Сибирь-связь> зарубежных технологических разработок по строительству офисных телекоммуникационных сетей на базе систем микросотовой связи стандарта DECT

99. Применение экономико-статистических методов для определения региональной потребности в материальных ресурсах на стадии предплановых расчетов


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.