|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Матричные операции в вейвлетном базисе |
Фонарь садовый «Тюльпан». 
Ночник-проектор "Звездное небо и планеты", фиолетовый. 
Брелок LED "Лампочка" классическая. Белорусский государственный университет Факультет прикладной математики и информатики Кафедра математической физики ГРОМОВА МАРИЯ МИХАЙЛОВНА МАТРИЧНЫЕ ОПЕРАЦИИ В ВЕЙВЛЕТНОМ БАЗИСЕ Курсовая работа студентки 3 курса Научный руководитель: Глушцов Анатолий Ильич кафедры МФ кандидит физ.-мат. наук Минск 2003 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ . .3 1. МНОГОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ И ВЕЙВЛЕТЫ .5 2. БЫСТРОЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ . .9 3. ДВУМЕРНЫЕ ВЕЙВЛЕТЫ .12 4. МАТРИЧНЫЕ ОПЕРАЦИИ .13 4.1. Матричное умножение .13 4.2. Обращение матрицы .16 4.3. Вычисление экспоненты, синуса и косинуса от матрицы. .16 ЛИТЕРАТУРА 18 ВВЕДЕНИЕ Вейвлет-преобразование сигналов (wavele ra sform), теория которого оформилась в начале 90-х годов, является не менее общим по областям своих применений, чем классическое преобразование Фурье. Принцип ортогонального разложения по компактным волнам состоит в возможности независимого анализа функции на разных масштабах ее изменения. Вейвлет-представление сигналов (функций времени) является промежуточным между полностью спектральным и полностью временным представлениями. Компактные волны относительно независимо были предложены в квантовой физике, физике электромагнитных явлений, математике, электронике и сейсмогеологии. Междисциплинарные исследования привели к новым приложениям данных методов, в частности, в сжатии образов для архивов и телекоммуникаций, в исследованиях турбулентности, в физиологии зрительной системы, в анализе радарных сигналов и предсказании землетрясений. К сожалению, объем русскоязычной научной литературы по тематике вейвлет- преобразований (да и нейронных сетей) относительно невелик. Базовая идея восходит к временам 200-летней давности и принадлежит Фурье: аппроксимировать сложную функцию взвешенной суммой простых функций, каждая из которых, в свою очередь, получается из одной функции-прототипа. Эта функция-прототип выполняет роль строительного блока, а искомая аппроксимация получается комбинированием одинаковых по структуре блоков. При этом, если "хорошая" аппроксимация получается при использовании небольшого числа блоков, то тем самым достигается значительное уплотнение информации. В качестве таких блоков Фурье использовал синусоиды с различными периодами. Что прежде всего отличает вейвлет-анализ от анализа Фурье? Основным недостатком Фурье-преобразования является его "глобальная" чувствительность к "локальным" скачкам и пикам функции. При этом модификация коэффициентов Фурье (например, обрезание высоких гармоник с целью фильтрации шума) вносит одинаковые изменения в поведение сигнала на всей области определения. Это особенность оказывается полезной для стационарных сигналов, свойства которых в целом мало меняются со временем. При исследовании же нестационарных сигналов требуется использование некоторых локализованных во времени компактных волн, коэффициенты разложения по которым сохраняют информацию о дрейфе параметров аппроксимируемой функции. Первые попытки построения таких систем функций сводились к сегментированию сигнала на фрагменты ("окна") с применением разложения Фурье для этих фрагментов. Соответствующее преобразование - оконное преобразование Фурье - было предложено в 1946-47 годах Jea Ville и, независимо, De is Gabor.
В 1950-70-х годах разными авторами было опубликовано много модификаций времени-частотных представлений сигналов. В конце 70-х инженер-геофизик Морли (Jea Morle ) столкнулся с проблемой анализа сигналов, которые характеризовались высокочастотной компонентой в течение короткого промежутка времени и низкочастотными колебаниями при рассмотрении больших временных масштабов. Оконные преобразования позволяли проанализировать либо высокие частоты в коротком окне времени, либо низкочастотную компоненту, но не оба колебания одновременно. В результате был предложен подход, в котором для различных диапазонов частот использовались временные окна различной длительности. Оконные функции получались в результате растяжения-сжатия и смещения по времени гаусиана. Morle назвал эти базисные функции вейвлетами (wavele s) - компактными волнами. В дальнейшем благодаря работам Мейера (Yves Meyer), Добеши (I grid Daubechies), Койфмана (Ro ald Coifma ), Маллы (S epha e Malla ) и других теория вейвлетов приобрела свое современное состояние. Среди российских ученых, работавших в области теории вейвлетов, необходимо отметить С.Б. Стечкина, И.Я. Новикова, В.И. Бердышева. 1. МНОГОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ И ВЕЙВЛЕТЫОпределение 1. Многомасштабный анализ (mul iresolu io al a alysis) – разложение гильбертова пространства L2(Rd), d(1, в последовательность замкнутых подпространств , (1.1) обладающих следующими свойствами: 1. полно в L2(Rd),2. Для любого f( L2(Rd), для любого j( Z, f(x)(Vj тогда и только тогда, когда f(2x) (Vj-1, 3. Для любого f( L2(Rd), для любого k( Zd, f(x)(V0 тогда и только тогда, когда f(x-k)(V0, 4. Существует масштабирующая (scali g) функция ((V0, что {((x-k)}k(Zd образует базис Ритца в V0. Для ортонормальных базисов можно переписать свойство 4 в виде: 4’. Существует масштабирующая функция ((V0, что {((x-k)}k(Zd образует ортонормальный базис в V0. Определим подпространство Wj как ортогональное дополнение к Vj в Vj-1, , (1.2) и представим пространство L2(Rd) в виде прямой суммы (1.3) Выбирая масштаб , можем заменить последовательность (1.1) следующей последовательностью: (1.5) Если имеем конечное число масштабов, то, не нарушая общности, можно положить j=0 и рассматривать , V0( L2(Rd) (1.6) вместо (1.4). В числовой реализации подпространство V0 конечномерно. Функция ( - так называемая масштабирующая (скейлинг-) функция. С ее помощью можно определить функцию ( - вейвлет - такую, что набор {((x- k)}k(Z образует ортонормальный базис в W0. Тогда , m=0.M-1. (1.7) Из свойства 4’ непосредственно следует, что, во-первых, функция ( может быть представлена в виде линейной комбинации базисных функций пространства V-1 . Так как функции {(j,k(x)=2-j/2((2-jx-k)}k(Z образуют ортонормальный базис в Vj, то имеем . (1.8) Вообще говоря, сумма в выражении (1.8) не обязана быть конечной. Можно переписать (1.8) в виде , (1.10) а 2(-периодическая функция m0 определяется следующим образом: . (1.11) Во-вторых, ортогональность {((x-k)}k(Z подразумевает, что . (1.14) Используя (1.9), получаем (1.15) и, рассматривая сумму в (1.15) по четным и нечетным индексам, имеем .
(1.16) Используя 2(-периодичность функции m0 и (1.14), после замены (/2 на (, получаем необходимое условие (1.17) для коэффициентов hk в (1.11). Заметив, что (1.18) и определив функцию ( следующим образом: , k=0, ,L-1 , (1.20) или преобразование Фурье для ( , (1.22) можно показать, что при каждом фиксированном масштабе j(Z вейвлеты {(j,k(x)=2-j/2((2-jx-k)}k(Z образуют ортонормальный базис пространства Wj. Равенство (1.17) определяет пару квадратурных зеркальных фильтров (quadra ure mirror fil ers, QMF) H и G, где . Коэффициенты QMF H и G вычисляются с помощью решения системы алгебраических уравнений. Число L коэффициентов фильтра в (1.11) и (1.22) связано с числом исчезающих моментов М, и всегда четно. Выбранный фильтр Н полностью определяет функции ( и ( и, таким образом, многомасштабный анализ. Кроме того, в правильно построенных алгоритмах значения функций ( и ( почти никогда не вычисляются. Благодаря рекурсивному определению вейвлетного базиса, все операции проводятся с квадратурными зеркальными фильтрами H и G, даже если в них используются величины, связаные с ( и (. 2. БЫСТРОЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ После того, как вычислены коэффициенты hk и gk, т.е. выбран определенный вейвлет, можно проводить вейвлет-преобразование сигнала f(x), поскольку задан ортонормальный базис ((j,k, ( j,k). Любая функция f(x)(L2(R) полностью характеризуется ее вейвлет- коэффициентами разложения по этому базису и потому может быть представлена формулой . (2.1) Зададим все пределы суммирования в формуле (2.1). Функцию f(x) можно рассматривать на любом -м уровне разрешения j . Тогда разделение между ее усредненными значениями на этом уровне и флуктуациями вокруг них выглядят как . (2.4) На бесконечном интервале первая сумма может быть опущена, и в результате получается «чистое» вейвлет-разложение. Коэффициенты sj,k и dj,k содердат информацию о составе сигнала на разных масштабах и вычисляются по формулам: . (2.3) Однако при этом компьютерные расчеты занимают довольно длительное время, т.к. при вычислении приходится проводить O( 2) операций, где – число имеющихся значений функции. Опишем более быстрый алгоритм. В реальных ситуациях с оцифрованным сигналом мы всегда имеем дело с конечным набором цифр (точек). Поэтому всегда существует наилучший уровень разрешения, когда каждый интервал содержит по одному числу. Соответственно и суммирование по k будет идти в конечных пределах. Удобно изменить шкалу разрешения (или шкалу f), приписав значение j=0 этому наилучшему уровню разрешения. В этом случае легко вычислить вейвлет-коэффициенты для более усредненных уровней j(1. Многомасштабный анализ приводит естественным путем к иерархической и быстрой схеме вычисления вейвлет-коэффициентов заданной функции. В общем случае итерационные формулы быстрого вейвлет-преобразования имеют вид: . (2.6) Эти уравнения обеспечивают быстрые (или пирамидальные) алгоритмы вычисления вейвлет-коэффициентов, поскольку требуют только O( ) операций для своего завершения. Начав с s0,k, мы вычислим все другие вейвлет-коэффициенты, если параметры вейвлета hm и gm известны. Явный вид вейвлета при этом не используется.
Вот и в Вас дух исторгся из державших его уз. Сознанием и произволением Вы стоите на стороне Божией. Богу хотите принадлежать и Ему Единому угождать. Это точка опоры для Вашей деятельности в духе. Но тогда как дух Ваш восстановлен в своих правах, душа и тело остаются еще под действием страстей и терпят от них насилие. Вам остается теперь вооружиться против страстей и побить их изгнать из души и тела. Борьба со страстями неизбежна. Они не уступят сами собою своих владений, хотя незаконных. Перед этим я все толковал Вам о памяти Божией, о пребывании с Богом и хождении пред Ним. И Вы подивились: что все об одном толкую? Память Божия жизнь духа. Она и ревность к богоугождению поджигает, и Вашу решимость быть Божиею делает непоколебимою. Се, повторю опять, точка опоры для жизни в духе и, прибавлю, базис стратегических операций Ваших против страстей. Спросите: да как же это так? Когда я вниманием и желанием своим обратилась к Богу, какое место тут страстям? Но что спрашивать-то? Посмотрите, ведь они есть еще в Вас? Недавно Вы писали, что крепко рассерчали
1. Матричные операции в вейвлетном базисе
2. Операторы в вейвлетном базисе
3. Особенности проведения банком операций с векселями
5. Пражская наступательная операция Великой Отечественной войны
9. Автоматизированная обработка учета складских операций и реализации продукции
10. Матричный анализ
11. Операции в вентральной области шеи
13. Миротворческая деятельность Вооруженных Сил РФ. Операции ООН по поддержанию мира
16. Анализ операций умножения и деления в конкретной модели АЛУ
Муфты-варежки для коляски Bambola (шерстяной мех + плащевка лайт), темно-синие. 
Фоторамка "Poster lux black". 
Трусики для девочек Moony, 9-14 кг, 44 штуки. 18. Естественнонаучный базис концепции "Золотого миллиарда" в свете информационного обеспечения социума
19. Лизинговые операции банков
20. Форфейтинговые операции банков
21. Валютные операции коммерческих банков
25. Ризик кредитних операцій комерційного банку
26. Управление ликвидностью коммерческого банка посредством активных операций
31. Фьючерсные операции товарных бирж в России (Доклад)
Настольная игра "Пакля-Рвакля". 
Степлер пластиковый №24 "Debut", на 20 листов, черный. 
Набор цветных карандашей Trio, 18 цветов, утолщенные. 33. Бухгалтерский учет операций с фьючерсными контрактами
35. Организация бухгалтерского учета и аудита расчетных операций
37. Бухгалтерский учет валютных операций
41. Учёт и аудит кассовых операций на примере предприятия
42. Тара и тарные операции в торговле
44. Управление международными лизинговыми операциями
45. Мировой рынок услуг и основные операции по их реализации
46. Валютные рынки и валютные операции
47. Трастовые операции как один из видов деятельности коммерческих банков
48. Операции с ценными бумагами
Фоторамка на 6 фотографий С32-012 "Alparaisa", 50x34,3 см (белый). 
Папка для рисования на молнии "Фиолетовый узор", А3. 
Карточки Первого Года (20 карточек). 49. Евробумаги. Рынок и операции
50. Валютный рынок и валютные операции
53. Морской торговый флот в военных операциях на Чёрном и Азовском морях
57. Матричная игра
59. Операция шунтирования коронарных артерий
60. Литература - Топографическая анатомия (общие принципы паллиативных операций на
61. Процесс осуществления экспортно-импортных операций в МТ
62. Матричная структура управления
63. Налогообложение НДС операций с ценными бумагами
64. Налогообложение операций с ценными бумагами (Украина)
Игра-головоломка "Дядюшкина ферма". 
Туалетная бумага "Linia Veiro Classic", 2-слойная (24 рулона), белая. 
Форма разъемная Regent "Easy" круглая, 22x7 см. 65. Налоговое стимулирование лизинговых операций
66. Автоматизация шлифовальной операции изготовления валика
67. Внешнеторговые операции на морском транспорте
68. Бухгалтерский учет и налогообложение операций с земельными участками
69. Гражданско-правовая ответственность при осуществлении некоторых банковских операций
73. Анализ операций умножения и деления в конкретной модели АЛУ
75. Операция деления понятия. Правила и ошибки
76. Вексель.Бух Учет операций с векселями в КБ
78. Методика проведения лізингових операцій
79. Отчет по практике по кредиту и кредитным операциям на ОАО Саранский завод Резинотехника
80. Налогообложение взаимозачетных операций
Муфта для коляски "Bambola" (шерстяной мех + плащевка + кнопки), бежевая. 
Шкатулка декоративная "Стиль", 15,5x12,5x11,5 см (бутылочный). 
Набор ковриков "Kamalak Tekstil" для ванной, 50х50 см и 50x80 см (фиолетовый). 81. Организация кассовых операций в организациях розничной торговли
82. Активные операции с акциями
83. Операции СВОП
84. Кредитные операции коммерческих банков
85. Система электронных расчетов. Учет операций по электронным платежам
89. Бухгалтерский учет операций
90. Учет основных хозяйственных операций
91. Аудит материалов инвентаризации и операции с производственными запасами
92. Основные направления и перспективы развития некоторых активных операций
94. Кредитные операции. Виды и формы кредитов
95. Классификация и понятие валютных операций коммерческих банков России
96. Регулирование валютных операций коммерческих банков
Кружка "Котик белый". 
Магнитная игра "Пингвины на параде". 
Набор для специй "Золотая Серена", 2 предмета+салфетница, 23x6,5x9 см. 97. Операции с ценными бумагами. Фьючерсы
98. Валютные операции в Российской Федерации
99. Организация кассовых операций
100. Финансовый капитал как системообразующий базис экономики
