|
|
|
сделать стартовой | добавить в избранное |
 |
|
Компьютеры, Программирование Программное обеспечение
Численное решение системы линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу |
Браслет светоотражающий, самофиксирующийся, желтый. 
Наклейки для поощрения "Смайлики 2". 
Фонарь садовый «Тюльпан». СОДЕРЖАНИЕВведение 1 Постановка задачи 2 Математические и алгоритмические основы решения задачи 2.1 Схема единственного деления 2.1.1 Прямой ход 2.1.2 Обратный ход 2.2 Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу 3 Функциональные модели и блок-схемы решения задачи 4 Программная реализация решения задачи 5 Пример выполнения программы Заключение Список использованных источников и литературы ВВЕДЕНИЕ Решение систем линейных алгебраических уравнений – одна из основных задач вычислительной линейной алгебры. Хотя задача решения системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от умения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных (в особенности – нелинейных) задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма. Одна из трудностей практического решения систем большой размерности связанна с ограниченностью оперативной памяти ЭВМ. Хотя объем оперативной памяти вновь создаваемых вычислительных машин растет очень быстро, тем не менее, еще быстрее возрастают потребности практики в решении задач все большей размерности. В значительной степени ограничения на размерность решаемых систем можно снять, если использовать для хранения матрицы внешние запоминающие устройства. Однако в этом случае многократно возрастают как затраты машинного времени, так и сложность соответствующих алгоритмов. Поэтому при создании вычислительных алгоритмов линейной алгебры большое внимание уделяют способам компактного размещения элементов матриц в памяти ЭВМ. К счастью, приложения очень часто приводят к матрицам, в которых число ненулевых элементов много меньше общего числа элементов матрицы. Такие матрицы принято называть разреженными. Одним из основных источников разреженных матриц являются математические модели технических устройств, состоящих из большого числа элементов, связи между которыми локальны. Простейшие примеры таких устройств – сложные строительные конструкции и большие электрические цепи. Известны примеры решенных в последние годы задач, где число неизвестных достигало сотен тысяч. Естественно, это было бы невозможно, если бы соответствующие матрицы не являлись разреженными (матрица системы из 100 тыс. уравнений в формате двойной точности заняла бы около 75 Гбайт). Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет. Вычисления с помощью метода Гаусса заключаются в последовательном исключении неизвестных из системы для преобразования ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисления значений неизвестных производят на этапе обратного хода. Целью данной курсовой работы является численное решение системы линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу.
1 Постановка задачи Задача ставится следующим образом. Пусть требуется найти решение системы линейных алгебраических уравнений a1,1x1 a1,2x2 a1,3x3 . . . a1, x = b1 a2,1x1 a2,2x2 a2,3x3 . . . a2, x = b2 (1) a ,1x1 a ,2x2 a ,3x3 . . . a , x = b или в векторной форме AX=B где A -матрица коэффициентов; X - вектор неизвестных; B- вектор правых частей. Будем считать, что = de A 0 т.е. решение существует и единственно. Рассмотрим вначале прямые методы. В явном виде решение системы (1) записывается в виде формул Крамера xi = i/ где i - определитель матрицы, которая получается из матрицы A путем замены i-того столбца на столбец правых частей. Этот метод очень неэкономичен так как для его применения требуется ( 1)! операций, поэтому на практике используются различные варианты метода исключения переменных (Гаусса). Метод исключения переменных состоит из двух этапов: прямого хода, заключающегося в преобразовании исходной системы к системе с треугольной матрицей коэффициентов, и обратного хода, т.е. решения системы с треугольной матрицей. Пример 1. Решить следующую систему с помощью метода исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу: . Решение: . Пример 2. Решить следующую систему с помощью метода исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу: . Составим расширенную матрицу системы. . Решением системы являются:x =1, y = 2, z = 3. 2 Математические и алгоритмические основы решения задачи 2.1 Схема единственного деления Рассмотрим сначала простейший вариант метода Гаусса, называемый схемой единственного деления. 2.1.1 Прямой ход Прямой ход состоит из - 1 шагов исключения. 1-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x1 из уравнений с номерами i = 2, 3, , . Предположим, что коэффициент a11 = 0. Будем называть его главным элементом 1-го шага. Найдем величины qi1 = ai1/a11 (i = 2, 3, , ), называемые множителями 1-го шага. Вычтем последовательно из второго, третьего, -го уравнений системы первое уравнение, умноженное соответственно на q21, q31, q 1. Это позволит обратить в нуль коэффициенты при x1 во всех уравнениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему a11x1 a12x2 a13x3 a1 x = b1 , a22(1)x2 a23(1)x3 a2 (1)x = b2(1) , a32(1)x2 a33(1)x3 a3 (1)x = b3(1) , a 2(1)x2 a 3(1)x3 a (1)x = b (1) . в которой aij(1) и bij(1) вычисляются по формулам aij(1) = aij &mi us; qi1a1j bi(1) = bi &mi us; qi1b1. 2-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x2 из уравнений с номерами i = 3, 4, , . Пусть a22(1) & e; 0, где a22(1) – коэффициент, называемый главным (или ведущим) элементом 2-го шага. Вычислим множители 2-го шага qi2 = ai2(1) / a22(1) (i = 3, 4, , ) и вычтем последовательно из третьего, четвертого, , -го уравнения системы второе уравнение, умноженное соответственно на q32, q42, , qm2. В результате получим систему a11x1 a12x2 a13x3 a1 x =b1, a22(1)x2 a23(1)x3 a2 (1) =b2(1) , a33(2)x3 a3 (2)x =b3(2), a 3(2)x3 a (2)x = b (2) Здесь коэффициенты aij(2) и bij(2) вычисляются по формулам aij(2) = aij(1) – qi2a2j(1) ,bi(2) = bi(1) – qi2b2(1).
Аналогично проводятся остальные шаги. Опишем очередной k-й шаг. k-й шаг. В предположении, что главный (ведущий) элемент k-го шага akk(k–1) отличен от нуля, вычислим множители k-го шага qik = aik(k–1) / akk(k–1) (i = k 1, , ) и вычтем последовательно из (k 1)-го, , -го уравнений полученной на предыдущем шаге системы k-e уравнение, умноженное соответственно на qk 1,k, qk 2,k, , q k. После ( - 1)-го шага исключения получим систему уравнений a11x1 a12x2 a13x3 a1 x = b1 a22(1)x2 a23(1)x3 a2 (1)x = b2(1) a33(2)x3 a3 (2)x = b3(2), a ( –1)x =b ( –1) Матрица A( -1) которой является верхней треугольной. На этом вычисления прямого хода заканчиваются. 2.1.2 Обратный ход Обратный ход. Из последнего уравнения системы находим x . Подставляя найденное значение x в предпоследнее уравнение, получим x –1. Осуществляя обратную подстановку, далее последовательно находим x –1, x –2, , x1. Вычисления неизвестных здесь проводятся по формулам x = b ( –1) / a ( –1), xk = (b (k–1) – ak,k 1(k–1)xk 1 – ak (k–1)x ) / akk(k–1), (k = – 1, , 1). Заметим, что вычисление множителей, а также обратная подстановка требуют деления на главные элементы akk(k–1). Поэтому если один из главных элементов оказывается равным нулю, то схема единственного деления не может быть реализована. Здравый смысл подсказывает, что и в ситуации, когда все главные элементы отличны от нуля, но среди них есть близкие к нулю, возможен неконтролируемый рост погрешности. 2.2 Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу На k-м шаге прямого хода метода Гаусса с выбором главного элемента по столбцу коэффициенты уравнений системы с номерами i = k 1, , преобразуются по формулам aij(k) = aij(k–1) &mi us; qikakj , bi(k) = bi(k–1) &mi us; qikbk(k–1) , i = k 1, , . Интуитивно ясно, что во избежание сильного роста коэффициентов системы и связанных с этим ошибок нельзя допускать появления больших множителей qik. В методе Гаусса с выбором главного элемента по столбцу гарантируется, что qik ≤ 1 для всех k = 1, 2, , – 1 и i = k 1, , . Отличие этого варианта метода Гаусса от схемы единственного деления заключается в том, что на k-м шаге исключения в качестве главного элемента выбирают максимальный по модулю коэффициент aikk при неизвестной xk в уравнениях с номерами i = k 1, , . Затем соответствующее выбранному коэффициенту уравнение с номером ik меняют местами с k-м уравнением системы для того, чтобы главный элемент занял место коэффициента akk(k-1). После этой перестановки исключение неизвестного xk производят, как в схеме единственного деления. 3 Функциональные модели и блок-схемы решения задачи Блок-схема решения задачи представлена на рисунке 1. Условные обозначения: K – размерность матрицы; MA RIX – матрица; – размерность матрицы; X – матрица решения СЛАУ; I MAX – индекс максимального элемента в строке; J MAX – индекс максимального элемента в столбце; O V – массив позиций элементов; RES – вспомогательный массив; EMP – временная переменная; GLAV EL – функция, определяющая на какой позиции должен стоять главный элемент; I DEX – рабочая переменная. Рисунок 1 – Блок-схема решения задачи для функции GAUSS 4 Программная реализация решения задачи ФУНКЦИЯ ПОИСКА МАКСИМАЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА И ПЕРЕСТАНОВКИ СТРОК И СТОЛБЦОВ (DEFU GLAV EL (K MA RIX X) (DECLARE (SPECIAL I MAX)) (DECLARE (SPECIAL J MAX)) (DECLARE (SPECIAL EMP)) (DECLARE (SPECIAL I)) (SE Q I MAX K) (SE Q J MAX K) ;ИЩЕМ МАКСИМАЛЬНЫЙ ПО МОДУЛЮ ЭЛЕМЕНТ (DO ((I K)) ((&g ;= I )) (DO ((J K)) ((&g ;= J )) (IF (&l ; (ABS (AREF MA RIX I MAX J MAX)) (ABS (AREF MA RIX I J))) (PROG (SE Q I MAX I) (SE Q J MAX J) ) ) (SE Q J ( J 1)) ) (SE Q I ( I 1)) ) ;ПЕРЕСТАВЛЯЕМ СТРОКИ (DO ((J K)) ((&g ;= J ( 1))) (SE Q EMP (AREF MA RIX K J)) (SE F (AREF MA RIX K J) (AREF MA RIX I MAX J)) (SE F (AREF MA RIX I MAX J) EMP) (SE Q J ( J 1)) ) ;ПЕРЕСТАВЛЯЕМ СТОЛБЦЫ (DO ((I 0)) ((&g ;= I )) (SE Q EMP (AREF MA RIX I K)) (SE F (AREF MA RIX I K) (AREF MA RIX I J MAX)) (SE F (AREF MA RIX I J MAX) EMP) (SE Q I ( I 1)) ) ;УЧИТЫВАЕМ ИЗМЕНЕНИЕ ПОРЯЛКА КОРНЕЙ (SE Q I (AREF X K)) (SE F (AREF X K) (AREF X J MAX)) (SE F (AREF X J MAX) I) ) (DEFU GAUSS (MA RIX X) (DECLARE (SPECIAL O V)) (DECLARE (SPECIAL RES)) (SE Q O V (MAKE-ARRAY 50 :ELEME - YPE 'I EGER :I I IAL-ELEME 0)) (SE Q RES (MAKE-ARRAY :ELEME - YPE 'I EGER :I I IAL-ELEME 0)) ;СНАЧАЛА ВСЕ КОРНИ ПО ПОРЯДКУ (DO ((I 0)) ((&g ;= I ( 1))) (SE F (AREF O V I) I) (SE Q I ( I 1)) ) ;ПРЯМОЙ ХОД МЕТОДА ГАУССА (DO ((K 0)) ((&g ;= K )) ;ОПРЕДЕЛЯЕМ НА КАКОЙ ПОЗИЦИИ ДОЛЖЕН СТОЯТЬ ГЛАВНЫЙ ЭЛЕМЕНТ (GLAV EL K MA RIX O V) (IF (&l ; (ABS (AREF MA RIX K K)) 0.0
Для определения минимума функции двух переменных вычисляются частные производные этой функции по каждому из оцениваемых параметров и приравниваются к нулю. Результатом данной процедуры будет стационарная система уравнений для функции (2): . Если разделить обе части каждого уравнения системы на (-2), раскрыть скобки и привести подобные члены, то получим систему нормальных уравнений для функции регрессии вида yi=b0+b1xi: Если решить данную систему нормальных уравнений, то мы получим искомые оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии b0 и b1: где Pсреднее значение зависимой переменной; Pсреднее значение независимой переменной; Pсреднее арифметическое значение произведения зависимой и независимой переменных; Pдисперсия независимой переменной; Gcov (x, y) ковариация между зависимой и независимой переменными. Таким образом, явный вид решения системы нормальных уравнений может быть записан следующим образом: 14. Оценка коэффициентов модели парной регрессии с помощью выборочного коэффициента регрессии Помимо метода наименьших квадратов, с помощью которого в большинстве случаев определяются неизвестные параметры модели регрессии, в случае линейной модели парной регрессии осуществим иной подход к решению данной проблемы
2. Методы поиска новых идей и решений. Совершенствование методов управления в менеджменте
3. Метод Гаусса с выбором главной переменной
4. Поиск решений системы линейных уравнений методом Гаусса
5. Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса
9. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
10. Метод наименьших квадратов в случае интегральной и дискретной нормы Гаусса
13. Методы поиска и исследований в преподавании физики
14. Современные методы оценки и выбора зарубежного рынка
15. Методы и алгоритмы построения элементов систем статистического моделирования
Набор новогодний. Карандаши цветные "DUO" + раскраска с заданиями "Занимашка" в подарок. 
Тележка на стол, красная. 
Комплект "Mobile" Раптор, прибор на батарейках и сменный картридж, 240 часов. 17. Гаусс, Вебер, Гербер и другие…
18. Элементы проблемного обучения как метод и средство мотивации учения при изучении темы физики
20. Выбор методов исследования проблем управления предприятием
21. Рискология. Методы верификации информации: сопоставительный анализ, метод поиска противоречий
25. Delphi. Немного относительно методов упаковки данных
26. Методы информационного поиска
29. О раскрытии скобок, об Эйлере, Гауссе, Макдональде и об упущенных возможностях
30. Проблема выбора метода исследования при изучении «Языка власти»
31. Документация как элемент метода бухгалтерского учета
Подарочное махровое полотенце "23 февраля. Щит". 
Пазл средний "Малышарики", 4 в 1. 
Лоток вертикальный, сборный, 6 отделений, серый. 33. Методы поиска информации в сети интернет. Информационно-поисковые системы
34. Реализация метода главных компонент с помощью библиотеки OpenCV
36. Методы воздействия, электропрогона и простукивания для поиска неисправностей РЭС
41. Методы поиска идеи инновации
43. Экономическое обоснование выбора метода получения заготовки
44. Возведение зданий методом надвижки из блочных элементов
46. Методы отделения и выделения следов элементов
47. Метод Золотого сечения на Delphi
48. Типы и элементы планировочной структуры города
Набор керамической посуды Disney "Холодное сердце", 3 предмета (в подарочной упаковке). 
Система ликвидации насекомых "Раптор" (аквафумигатор). 
Тележка багажная ТБР-22, синяя. 49. Поиск внеземных цивилизаций
50. Поиск внеземных форм жизни
51. Исследование природных ресурсов планеты с помощью космических методов
52. Исследование клеточного цикла методом проточной цитометрии
57. Метод радиоавтографии в биологии
58. В поисках идеального оружия
60. Чили: создание блока Народное единство и президентские выборы 1970 года
61. Гамма – каротаж. Физические основы метода
62. Расчет показателей разработки элемента трехрядной системы
63. Добыча золота методами геотехнологии
64. Методы выделения мономинеральных фракций
Кружка "Лучшая Мама в мире", с рисунком. 
Доска магнитно-маркерная, 90x120 см, алюминиевая рамка, полочка. 
Умные кубики. Уши, лапы и хвосты. 50 игр для развития интеллекта. 65. Основні методи боротьби з інфляцією
66. Предмет, метод, источники Административного права
67. Методы осуществления государственной власти
68. Метод гражданско правового регулирования
69. Предмет, метод и система гражданского процессуального права /Украина/
73. Порядок выборов Президента Российской Федерации
74. Выборы в РФ
75. Особенности выбора таможенных режимов при перемещении товаров через таможенную границу
76. Правовые отношения: понятия, признаки, элементы, виды
77. Политический режим, как элемент формы государства
78. Финансовый контроль: формы, методы, органы
79. Поиск культурных корней Американцев (Looking for cultural roots of Americans)
80. Специфика преподавания иностранного языка и метод проектов
Набор ковриков "Kamalak Tekstil" для ванной, 50х50 см и 50x80 см (синий). 
Форма для выпечки разъемная "Appetite", 20х7 см. 
Набор зубных щеток "Pigeon" (2 штуки), от 12 месяцев. 81. Аппарат произведения печати. Элементы книги
82. Кино как новый элемент художественной культры
83. Русская здрава (методы оздоровления на Руси)
84. Поиски истины по роману Булгакова "Мастер и Маргарита"
85. Развитие личности главного героя в романе А.С. Пушкина "Евгений Онегин"
89. Бургундия в поисках самоидентификации (1363-1477 гг.)
91. Цивилизационные методы в изучении истории
92. Национальное самосознание - главный фактор в построении могущественной и процветающей России
93. Методы компьютерной обработки статистических данных
94. Решение транспортной задачи методом потенциалов
95. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера
96. Оценка методов и средств обеспечения безошибочности передачи данных в сетях
Доска двухсторонняя магнитно-маркерная с поддоном (набор букв, цифр и знаков на магнитах). 
Карандаши "Волшебный дворец", 24 цвета, черное дерево, заточенные. 
Глобус политический диаметром 320 мм, с подсветкой. 97. Технологии поиска документальной информации в INTERNET
98. Стратегия поиска в автоматизированных информационных системах
99. Обзор возможных методов защиты
100. Метод деформируемого многогранника
