Скачать курсовую Основы математики. Основы математики

Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск

Математика

Основы математики

Треугольник Паскаля. Его свойства. Бином Дяди Ньютона. 1 C00 1 1 C10 C11 1 2 1 C20 C21 C22 1 3 3 1 C30 C31 C32 C33 1 4 6 4 1 C40 C41 C42 C43 C44 1 5 10 10 5 1 C50 C51 C52 C53 C54 C55 1 6 15 20 15 6 1 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1. Свойства треугольника Паскаля: 1) В треугольнике Паскаля каждое число кроме крайних единиц равно сумме двух соседних в предыдущей строке. 2) Сумма чисел -ой строки равна 2 , где принадлежит целым чис- лам. 3) Сумма чисел любой строки в два раза больше суммы чисел в пре- дыдущей сроке. 4) Числа, равноудаленные от концов любой строки равны между собой. Сm =Cmm- 2. Бином Ньютона. (a b) - двучлен (бином) (a b)0=1 (a b)1=a b (a b)2=C20a2 C21ab C22b2 и т.д. ;) Свойства бинома Ньютона: 1) Бином ньютона содержит 1 слагаемых. 2) Биноминальные коэффициетнты, равноудаленные от концов равны между собой. 3) Формулу бинома Ньютона можно записать символически: (a b) = S C k.a -k.bk k=0 4) Любой член можно выразить формулой: k 1=C k.a -k.bk 5) Сумма биноминальных коэффициентов равна 2 . Метод математической индукции. Некоторое утверждение будет верно при любом , если: 1) Оно верно при =1; 2) Предположим, что оно верно при =k и докажем, что оно верно при =k 1. Комбинаторика: Размещения и перестановки. Определение: Группы составленные из каких-либо предметов отличаю- щихся друг от друга предметами или порядком прелметов называются сое- динениями. 3 рода соединений: 1) Размещения 2) Перестеновки 3) Сочетания Дано: (a,b,c) - 3 элемента. по одному: a, b, c. по два: ab, bc, ac, ba, cb, ca. по три: abc, acb, bca, bac, cab, cba. 1). Соединения, которые содержат -элементов, отличающихся или поряд- ком или элементом называются размещениями и обозначают: Am , ,m ------------¬ ¦ m! ¦ ¦Am = ------ ¦ (m- )!¦ L------------ 2). Соединения, которые отличаются только только порядком называются перестановками. ------¬ ¦Pm=m!¦ L------ 2). Сочетания, которые отличаются по крайней мере одним элементом на- зываются сочетениями. --------------¬ Свойства числа сочетний: ¦ m! ¦ 1) Сm =Cmm- ¦Сm = -------- 2) Cm Cm 1=Cm 1 1 ¦ (m- )! !¦ 3) Cm0=1 L-------------- 4) C00=0!=1 Дифференцирование функций. Производная функции h=x-a - приращение аргумента f(a h) - f(a) - приращение функции --------------------------------------¬ ¦ f(a h) - f(a) - ¦k=lim ------------- = f'(x) или f'(a)- ¦ h->0 h - -------------------------------------- ¦f(a h)-f(a)=(k a).h- L-------------------- df = f'(x).dx - дифференциал функции. Примеры: 1 1/(h x)-1/x -h/(x(x h)) 1) f(x)=- ; f'(x) = lim ----------- = lim ----------- = x h->0 h h->0 h 1 1 = lim ------- = --- x(x h) h2 1 2) (x2)' = 2x; (ax b)' = a; (? a )' = --- 2?x (ax2 bx c)' = 2ax b; (x3)' = 3x2 ----------------¬ ¦(ax )' = .x -1¦ L---------------- Техника дифференцирования. (fg)' = f'g fg' Угловой коэффициент касательной в данной то- (f g) = f' g' чке равен значению производной в данной точ- ( f )' f'g fg' ке. ¦ - ¦ = --------- 9 g 0 g2 1) Функция монотонно убывает, там где произ- водная отрицательна. (f )' = f -1f 2) Функция монотонно возрастает, там где про- 1 изводная положительна.

? f = -------- 3) Если производная равна нулю или не сущес- . ? f твует то в этих точках функция имеет локальные экстремумы. 4) Чтобы найти экстремумы на данном интервале, то надо найти: а) Значение функции на краях промежутка; б) Экстремумы функции на данном промежутке; в) Сравнить полученные результаты и выбрать нужные. Дифференцирование тригонометрических функций. ---------------¬ ----------¬ ¦ Si x ¦ ¦ g x ¦ ¦ Lim ----- = 1¦ ¦Lim ---- ¦ ¦x->0 x ¦ ¦x->0 x ¦ L--------------- L---------- (Si x)' = Cos x (Cos x)' = -Si x 1 1 ( g x)' = ----- ; (C g x)' = ----- Cos2x Si 2x Спецкурс - " Уравнения и неравенства с параметрами ". " Исследование квадратного трехчлена " Теорема 1. --- --------- ¦ а > 0, ¦ D . 0, ¦ x0 > M, ( a7f(M) > 0, M &l ; x1 , x2 &l ;=> ¦ f(M) > 0, &l ;=> Б D . 0, =========== ¦ a &l ; 0, 9 x0 > M. ¦ D . 0, ¦ x0 > M, ¦ f(M) &l ; 0 L-- Теорема 2. --- ---------- ¦ а > 0, ¦ D . 0, ¦ x0 &l ; b, ( a7f(b) > 0, x1 , x2 &l ; b &l ;=> ¦ f(b) > 0, &l ;=> Б D . 0, =========== ¦ a &l ; 0, 9 x0 &l ; b. ¦ D . 0, ¦ x0 &l ; b, ¦ f(b) &l ; 0 L-- Теорема 3. --- --------- ¦ ( а > 0, ¦ 2 D . 0, a7f(b) > 0 ¦ Б M &l ; x0 &l ; b, a7f(M) > 0, M &l ; x1 , x2 &l ; b &l ;=> ¦ 2 f(M) > 0, &l ;=> D . 0, =============== ¦ 9 f(b) > 0, M &l ; x0 &l ; b ¦ ( a &l ; 0, ¦ 2 D . 0, ¦ Б M &l ; x0 &l ; b, ¦ 2 f(b) &l ; 0, ¦ 9 f(M) &l ; 0 L-- Теорема 4. --- --------- ¦ ( а > 0, ¦ Б f(M) > 0, ¦ 9 f(b) &l ; 0, a7f(b) &l ; 0 M &l ; x1 &l ; b &l ; x2 &l ;=> ¦ ( a &l ; 0, &l ;=> a7f(M) > 0, =============== ¦ Б f(b) > 0, ¦ 9 f(M) &l ; 0 L-- Теорема 5. --- --------- ¦ ( а > 0, ¦ Б f(M) &l ; 0, ¦ 9 f(b) > 0, a7f(b) > 0 x1 &l ; M &l ; x2 &l ; b &l ;=> ¦ ( a &l ; 0, &l ;=> a7f(M) &l ; 0, =============== ¦ Б f(b) &l ; 0, ¦ 9 f(M) > 0 L-- Теорема 6. --- ---------- ¦ ( а > 0, ¦ Б f(M) &l ; 0, ¦ 9 f(b) &l ; 0, a7f(b) &l ; 0 x1 &l ; M &l ; b &l ; x2 &l ;=> ¦ ( a &l ; 0, &l ;=> a7f(M) &l ; 0, =============== ¦ Б f(b) > 0, ¦ 9 f(M) > 0 L-- Теорема 7. --- --------- ¦ а > 0, ¦ f(M) &l ; 0, x1 &l ; M &l ; x2 &l ;=> ¦ a &l ; 0, &l ;=> a7f(M) &l ; 0, =========== ¦ f(M) > 0 L-- Числовая последовательность. 1). Числовая последовательность - такой ряд чисел, который занумеро- ван с помощью натуральных чисел и обозначается {a } или (a ) - a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7.a f( ) - закон, по которому каждому номеру соответствует свой член последовательности. Последовательность называют возрастающей, если каждый член после- довательности больше предыдущего, т.е.: если a 1>a , то (a )%. Последовательность называется убывающей, если каждый член после- довательности меньше предыдущего, т.е.: если a 1&l ;a , то (a )^. a , M => (a ) - ограниченная сверху. a . M => (a ) - ограниченная снизу. 2). Арифметическая прогессия Арифметической прогрессией называют такой ряд чисел, в котором каждый член, начиная со второго, равен предыдущему плюс одно и тоже число, которое называется разностью прогрессий. a1,a2,a3,a4.a a2=a1 d; d - разность прогрессий -------------¬ ¦a =a1 ( -1)d¦- - формула любого члена арифметической прогрессии. L-------------- Свойства членов арифметической прогресии: 1. Каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифмети- ческое членов, с ним соседних: a =(a -1 a 1)/2 2.

Суммы членов, равноудаленных от концов между собой равны между собой: a1 a =a2 a -1=a3 a -2 3. Каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифмети- ческое равноудаленных от него членов. ------------¬ ----------------¬ ¦ (a1 a ) ¦- ¦ 2a1 ( -1)d ¦ ¦S =-------- - ¦S =----------. ¦ ¦ 2 ¦- ¦ 2 ¦ L------------- L---------------- 3). Геометрической прогрессией называется такой ряд чисел, в котором каждый член, начиная со второго равен предыдущему, умноженному на одно и тоже число, которое называется знаменателем прогрессии.(q) b2=b1.q; b2=b1.q2 и т.д. -------------¬ ¦b =b1.q( -1)¦- - формула лыбого члена арифметической прогрессии. L-------------- Свойства членов геометрической прогрессии: 1. b =? b -k.b k 2. b1.b =bk.b -k 1 2. Произведение -членов геометрической прогрессии равно: --------------------------¬ ¦ ¦ ¦P=?(b1.b ) = ?(b12q -1) ¦ L-------------------------- 4. Сумма -членов геометрической прогрессии равна: b q-b1 b1(q -1) S=------ = -------- q-1 q-1 1 lq9m.pdr 2 1 Основные формулы сокращенного умножения. a2 b2 = (a b)2 - 2ab a2 b2 = (a - b)2 2ab a2 - b2 = (a - b)(a b) (a b)2 = a2 2ab b2 (a - b)2 = a2 - 2ab b2 a3 b3 = (a b)(a2 - ab b2) a3 - b3 = (a - b)(a2 ab b2) a - b = (a - b)(a -1 a -2b a -3b4 . b -1) (a b)3 = a3 3a2b 3ab2 b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b 3ab2 b3 (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b) a4 b2 1 = (a2 a 1)(a2 - a 1) (a b)4 = a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4 (a b)5 = a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5 / A ?A-B / A ?A-B A B = /---------- /---------- ? 2 ? 2 a - b = (? a - ? b )(? a ? b ) 3 3 a - b = ((? a - ? b )(? a2 ? ab ? b2) --> a, если a . 0! ? a2 = ¦a¦- L->-a, если a &l ; 0! Сумма углов выпуклого многоугольника: 180( - 2) Формула Герона S = ?p(p - a)(p - b)(p - c) Правильный многоугольник: a = 2r. g(180/ ) = 2R.Si (180/ ) S = p.r = 0,5.PR.Cos(180/ ) -------------------------- Sквадрата = a.b abc Sтреугольника = 0,5.ah = 0,5.ab.Si a = --- 4R d1.d2 Sпараллелограма = ab.Si a = ----- = a.ha 2 Sтрапеции = 0,5.(a b) = ch (c - средняя линия) Преобразования на плоскости. Осевая симметрия - движение при котором сохраняется расстояние. Sl(ABC) = A1B1C1 (относительно прямой l) Центральная симметрия - движение относительно точки, при котором сохраняется расстояние ZO(ABCD) = A1B1C1D1 (относительно точки О) Параллельный перенос (П Гомотетия - увеличение или уменьшение H Правила действия над тригонометрическими функциями. ¦y=Si a- функция ограниченная ¦y=Cos a- функция ограниченная ¦ ¦ ¦ ¦ - ¦ ¦ ¦-1 , Si a , 1 ---- ---- ¦-1 , Cos a , 1 ---- ---- ¦ ¦ - ¦ - ¦ - ¦ ¦ ¦y= g a ; y=C g a- неограниченные функции ¦ ¦ - ¦ ¦ ¦ ---- ---- ¦ ¦ ¦ - ¦ 360 = 2p ; 180 = p ; 90 = 0,5p ;Длинна дуги равна произведению p p p её радианного измерения на ра- 60 = - ; 45 = - ; 30 = - диус 3 4 6 Cокружности = 2pR Основные тригонометрические тождества: q 1.Si 2a Cos2a = 1 Si a Cos a 2. g a = ----- ; C g a = ----- Cos a Si a 3. g a C g a = 1 1 1 4.1 g2a = ----- ; 1 C g a = ----- Cos2a Si 2a Правило формул превидения Какой знак: Ставим тот знак, который имеет функция в данной четверти. Какая функция: Если угол откладывается от горизонтального диаметра то функция не меняется.