Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Решение произвольных систем линейных уравнений

Брелок LED "Лампочка" классическая.
Брелок работает в двух автоматических режимах и горит в разных цветовых гаммах. Материал: металл, акрил. Для работы нужны 3 батарейки
131 руб
Раздел: Металлические брелоки
Карабин, 6x60 мм.
Размеры: 6x60 мм. Материал: металл. Упаковка: блистер.
44 руб
Раздел: Карабины для ошейников и поводков
Ручка "Помада".
Шариковая ручка в виде тюбика помады. Расцветка корпуса в ассортименте, без возможности выбора!
25 руб
Раздел: Оригинальные ручки

Дисциплина: Высшая математика Тема: Решение произвольных систем линейных уравнений 1. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассмотрены решения квадратных невырожденных систем линейных алгебраических уравнений матричным методом и методом Крамера. Однако они не пригодны в тех случаях, когда квадратная система уравнений вырождена или когда система вообще не является квадратной. В связи с этим перейдем к рассмотрению систем линейных алгебраических уравнений общего вида, когда : В данном случае матрица системы является прямоугольной, у нее нет определителя, и метод Крамера для решения системы не применим. Поэтому, прежде чем решать данную систему, рассмотрим две теоремы. Теорема 1.1. Если ранг матрицы совместной системы линейных алгебраических уравнений равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Доказательство. Если ранг матрицы системы равен , то есть числу неизвестных, то строк у матрицы должно быть тоже . Следовательно, . Итак, по условию . Но тогда любая, не входящая в базисный минор, строка расширенной матрицы является линейной комбинацией базисных строк и может быть обращена в ноль. То же самое происходит и с уравнением, соответствующим этой строке. Значит, исходная система эквивалентна уравнениям с коэффициентами из базисного минора. Остальные уравнений из системы можно убрать, так как они является линейной комбинацией оставшихся. Получаем квадратную невырожденную систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными, которая согласно правилу Крамера имеет единственное решение, что и требовалось доказать. Теорема 1.2. Если ранг матрицы совместной системы линейных алгебраических уравнений меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений. Доказательство. По условию система совместна и . Будем считать, что базисный минор расположен в левом верхнем углу расширенной матрицы системы . Если это не так, то, переставляя строки и столбцы матрицы, можно получить нужный результат. Минор будет иметь вид: . Так как любая строка матрицы , не вошедшая в базисный минор, является линейной комбинацией базисных, то ее можно обратить в ноль. Тогда, по аналогии с теоремой 1.1, из исходной системы можно убрать те уравнения, коэффициенты которых не попали в базисный минор. Следовательно, в ней останется линейных алгебраических уравнений и исходную систему можно записать в виде: или Придавая неизвестным произвольные значения , получаем систему из уравнений с неизвестными: Данная система является квадратной, ее определитель , поэтому с помощью метода Крамера находим единственное решение . Очевидно, задавая другие значения для , получим другие значения неизвестных . Так как числа могут быть заданы произвольно, то число решений системы бесконечно. Какое-то одно решение будет иметь вид: . Неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, называются базисными. Остальные неизвестные называются свободными. 2. Система однородных линейных алгебраических уравнений Важное место среди всех систем линейных алгебраических уравнений занимают однородные системы с произвольными и : Данные системы всегда совместны, так как обязательно имеют решение вида , которое называется нулевым или тривиальным.

Если , то, согласно теореме 1.1, это решение будет единственным. В частности, в случае однородной невырожденной квадратной системы ее единственное решение будет тривиальным. В случае, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то решений, согласно теореме 1.2, будет бесконечное множество. Пусть в этом случае матрицы - столбцы , ,., являются некоторыми решениями системы: , ,., . Тогда выражение будет называться их линейной комбинацией. Очевидно, что можно ввести понятие линейно зависимой и линейно независимой системы этих решений. Необходимо иметь в виду, что линейная комбинация решений системы линейных алгебраических уравнений также будет ее решением. Действительно, . Теорема. Если ранг матрицы однородной системы линейных алгебраических уравнений меньше числа неизвестных, то есть , то существует линейно независимых решений системы , ,., , а любые другие решения можно представить как их линейную комбинацию. Доказательство. Пусть ранг основной матрицы системы . Тогда базисными неизвестными будут , а остальные неизвестных будут свободными. В этом случае произвольное решение системы можно записать в виде: . Здесь – произвольные числа, а однозначно определяются из системы для выбранных . Рассмотрим следующих решений системы: , ,., . По аналогии с результатом п. 6.3 все они линейно независимы, и произвольное решение системы можно представить в виде: , что и требовалось доказать. Определение. Фундаментальной системой решений однородной системы линейных алгебраических уравнений называется совокупность всех ее линейно независимых решений. Если в фундаментальной системе решений свободные неизвестные по очереди выражаются через единицу, в то время как остальные равны нулю, то такая фундаментальная система решений называется нормированной. 3. Метод Гаусса Для решения произвольных однородных систем линейных алгебраических уравнений удобен метод Гаусса. Основан он на следующем. При вычислении ранга расширенной матрицы системы линейных алгебраических уравнений с помощью элементарных преобразований ее приводят к трапецеидальному виду: . Но если исходная матрица соответствует исходной системе уравнений, то трапецеидальная матрица будет соответствовать той же системе, но в измененном виде. Особенность трапецеидальной матрицы заключается в том, что каждая ее последующая строка имеет на один ноль больше и, соответственно, на один коэффициент не равный нулю меньше. Строки, целиком состоящие из нулей, соответствуют исчезнувшим уравнениям. В последней строке будет один коэффициент не равный нулю и, значит, одна неизвестная в уравнении для определенной системы. В случае неопределенной системы в последнем уравнении будет одна базисная переменная и несколько свободных. Находя эту базисную неизвестную из последнего уравнения, переходим затем к предпоследней строке и соответствующему ей уравнению и находим следующую базисную неизвестную. Эта операция повторяется до первой строки. После вычисления всех базисных неизвестных составляется нормированная фундаментальная система решений однородной системы линейных алгебраических уравнений. 4.

Решение неоднородных систем линейных алгебраических уравнений Выясним, чем отличается решение произвольной неоднородной системы алгебраических уравнений от решения однородной системы. Определение. Однородная система линейных алгебраических уравнений называется соответствующей неоднородной системе, если коэффициенты при неизвестных у них одинаковые, а свободные члены неоднородной системы заменены нолями. Рассмотрим произвольную совместную неоднородную систему линейных алгебраических уравнений: Пусть у нее в общем случае , то есть имеется бесконечное множество решений. Теорема 4.1. Сумма любого решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений с любым решением соответствующей ей однородной системы является решением неоднородной системы. Доказательство. Возьмем произвольное решение неоднородной системы и произвольное решение соответствующей ей однородной системы . Рассмотрим их сумму . Если данная сумма является решением неоднородной системы, то она должна превратить в тождество любое ее уравнение: что и требовалось доказать. Теорема 4.2. Разность любых двух решений неоднородной системы линейных алгебраических уравнений является решением соответствующей однородной системы. Доказательство. Возьмем два произвольных решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений: и . Составим их разность . Подставим полученную разность в любое уравнение неоднородной системы: Так как левая часть уравнения обратилась в ноль, значит, является решением однородной системы, что и требовалось доказать. Из теоремы 4.2 следует, что если , то . Иначе говоря, взяв какое-то одно решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений и прибавляя к нему разные решения соответствующей однородной системы , получим разные решения неоднородной системы, что подтверждается теоремой 4.1. Следствие. Общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений равно сумме какого-то частного ее решения и общего решения соответствующей однородной системы. Литература Краснов М. Вся высшая математика т.1 изд.2. Едиториал УРСС, 2003. – 328с. Мироненко Е. С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109с. Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003. Шипачев В. С. Высшая математика изд.7 Изд-во: ВЫСШАЯ ШКОЛА, 2005. – 479с. 14

Методы решения систем линейных уравнений средствами пакета LinearAlgebra Конечной целью большинства матричных операций является решение систем линейных уравнений. Для этого пакет LinearAlgebra предлагает ряд методов и средств их реализации. Основными методами решения являются следующие: • обращением матрицы коэффициентов уравнений и решением вида Х=А-1*В; • применением метода LU-декомпозиции (method='LU'); • применением метода QR-декомпозиции (method='QР'); • применением метода декомпозиция Холесского (method='Cholesky'); • метод обратной подстановки (method='subs'). Решение с применением обращения матрицы коэффициентов левой части системы уравнений А уже не раз рассматривалось и вполне очевидно. В связи с этим отметим особенности решения систем линейных уравнений другими методами. Любопытно отметить, что указание метода может быть сделано и без его заключения в одинарные кавычки. 6.3.4. Решение системы линейных уравнений методом LU-декомпозиции Зададим матрицу А левой части системы уравнений и вектор свободных членов В: > restart; with(LinearAlgebra): UseHardwareFloats := false: > A:=<<4|.24|-.08>,<.09|3|-.15>,<.041-.08|4>>; B:=<8, 9, 20>; Прямое решение этим методом выполняется одной из двух команд, отличающихся формой записи: > х := LinearSolve(А, В, method= 'LU'); х := LinearSolve(<А|B>, method='LU'); Проверим решение данной системы уравнений: > А.х-В; В данном случае решение точно (в пределах точности вычислений по умолчанию)

1. Лабораторная работа №2 по "Основам теории систем" (Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Варианты разрешимости задач линейного программирования)

2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

3. Итерационные методы решения систем линейных уравнений с неединственными коэффициентами

4. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта

5. Численные методы решения систем линейных уравнений

6. Методы решения систем линейных уравнений
7. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений
8. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка

9. Решение систем линейных алгебраических уравнений

10. Автоматизация решения систем линейных алгебраических уравнений

11. Разработка программы для решения систем линейных уравнений

12. Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

13. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

14. Решение нелинейного уравнения методом касательных

15. Построение приближенного решения нелинейного уравнения методом Ван-дер-Поля

16. Роль систем отображения информации в процессе принятия решений

Сменная кассета "Барьер 6", для жесткой воды, для всех типов фильтров "Барьер".
Кокосовый активированный уголь очищает от активного хлора, органических загрязнений и т.д. Обработка активированного угля серебром
354 руб
Раздел: Фильтры для воды
Защита "Карапуз" для автомобильного кресла от детских ножек, с карманами.
Во время поездки в автомобиле дети иногда могут пачкать грязью, остающейся на ботинках, заднюю сторону кресел. Защита - это
323 руб
Раздел: Автомобильные коврики
Набор мебели для каминной комнаты "Коллекция".
Красивая игрушка помогает ребенку развить свою фантазию, воспитывает художественный вкус. Кукольная мебель помогает развить
715 руб
Раздел: Гостинные

17. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

18. Метод Крамера

19. Механізм ціноутворення у системі економічних методів управління підприємством як шлях підвищення його конкурентоздатності в умовах невизначеності ринку

20. НАХОЖДЕНИЕ ВСЕХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ (БИСЕКЦИИ) И МЕТОДОМ ХОРД И КАСАТЕЛЬНЫХ С УКАЗАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ И УЧЕТОМ ВОЗМОЖНОЙ КРАТНОСТИ КОРНЕЙ

21. Нахождение корней уравнения методом простой итерации (ЛИСП-реализация)

22. Качественный метод исследования с применением индикаторов. Весовой метод измерения скорости коррозии металлов
23. Лабораторная работа №6 по "Основам теории систем" (Решение задачи о ранце методом ветвей и границ)
24. Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов

25. Решение задачи методами линейного, целочисленного, нелинейного и динамического программирования.

26. Решение задачи линейного программирования графическим методом

27. Численное решение системы линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу

28. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений

29. Решение задачи линейного программирования симплексным методом

30. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом

31. Решения задач линейного программирования геометрическим методом

32. Решение транспортной задачи методом потенциалов

Декоративная наклейка-фоторамка, арт. PH-3/3 (CO).
Материал: пластик. Размер: 50x70 см.
490 руб
Раздел: Мультирамки
Кружка фарфоровая "FIFA 2018. Забивака" (белая полоса), 480 мл.
Объем: 480 мл. Материал: фарфор.
407 руб
Раздел: Кружки, посуда
Гель Calgon "3030723", для cмягчения воды и предотвращения образования накипи, 1500 мл.
Гель для смягчения воды и предотвращения образования накипи 2 в 1. Нормативный срок годности товара 24 месяца с момента изготовления.
442 руб
Раздел: Для посудомоечных машин

33. Билеты, решения и методичка по Информатике (2.0)

34. Решение задач - методы спуска

35. Использование численных методов для решения дифуpов (2-го порядка) (, демонстрация применения интерполяции в среде MATHCAD-а)

36. Метод последовательных уступок (Теория принятия решений)

37. Методы и приемы решения задач

38. Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)
39. Решение транспортной задачи методом потенциалов
40. Составление и решение нестандартных уравнений графоаналитическим методом

41. Метод Алексея Юрьевича Виноградова для решения краевых задач

42. Система поддержки принятия маркетинговых решений в торговом предприятии на основе методов Data Mining

43. Методология и методы принятия решения

44. Сущность и методы принятия управленческих решений

45. Современные методы решения экологических проблем на предприятии (на примере ООО "Волготрансгаз" - дочерней структуры ОАО "ГАЗПРОМ")

46. Методология и методы принятия решения

47. Совершенствование методов проектирования кораблей и обоснование проектных решений

48. Метод касательных решения нелинейных уравнений

Мозаика, 654 элемента.
Магнитная мозаика - это набор простейших геометрических фигур разных цветов, который позволяет детям создавать чудесные образы. Ваш
845 руб
Раздел: Магнитная
Набор STABILO LeftRight для правшей.
В наборе: шариковая ручка, механический карандаш, грифели, ластик, точилка. STABILO LeftRight: • Созданы специально для обучения письму
482 руб
Раздел: Наборы канцелярские
Циркуль для класса, деревянный.
Циркуль классный изготовлен из твердолиственных пород древесины. Лакированная поверхность. Незаменимый помощник учителя геометрии,
966 руб
Раздел: Циркули, чертежные инструменты

49. Методы решения некорректно поставленных задач

50. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

51. Решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

52. Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

53. Методы принятия управленческого решения

54. Управленческие ситуации и методы их решения
55. Эвристические методы решения творческих задач
56. Кинезиология как Метод решения психологических проблем

57. Методы анализа управленческих решений

58. Применение новейших экономико-математических методов для решения задач

59. Решение многокритериальной задачи линейного програмирования

60. Проблемы проектирования систем инженерного обеспечения и безопасности уникальных зданий и пути их решения

61. Критерии принятия инвестиционных решений и методы оценки инвестиционных проектов

62. Выбор оптимальных сетевых решений на базе многозадачных операционных систем для построения компьютерной сети вуза

63. Создание систем поддержки принятия решений

64. Теория принятия решений: математические методы для выбора специалиста на должность администратора сети

Игрушка-прорезыватель силиконовый Happy Baby "Silicone teether".
Особенности: фактурная поверхность массирует дёсны; проникает в труднодоступные места ротовой полости; развивает мелкую моторику; шумовой
559 руб
Раздел: Силиконовые
Рамка пластиковая со стеклом 30x30, арт. ST31-S.
Пластиковая рамка со стеклом универсальна и для фотографий, и для картин. Она не испортится со временем и отлично подойдет для обрамления
309 руб
Раздел: Прочие
Штамп самонаборный "Printer С20-Set", 38x14 мм, синий.
Размер оттиска: 38х14 мм. 4 строк текста, без рамки. Касса шрифта с пинцетом для набора в комплекте. В комплекте: сменная подушка,
492 руб
Раздел: Штемпельная продукция, губочницы

65. Методы решения уравнений, содержащих параметр

66. Метод касательных решения нелинейных уравнений

67. Метод касательных. Решения нелинейных уравнений. Паскаль 7.0

68. Коллективные методы принятия управленческих решений

69. Феноменологическое обоснование формы линейного элемента шварцшильдова решения уравнений гравитационного поля ОТО

70. Метод программирования и схем ветвей в процессах решения задач дискретной оптимизации
71. Модели и методы принятия решения
72. Принятие решений методом анализа иерархий

73. Разработка программы поиска решения системы дифференциальных уравнений двумя методами: Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона

74. Решение задач линейного программирования

75. Решение задач методом северо-западного угла, рапределительного, минимального и максимального элемента по строке

76. Решение прикладных задач методом дихотомии

77. Решение системы линейных уравнений

78. Решение экономических задач программными методами

79. Методы принятия решений в маркетинге

80. Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решение задач на преобразование матриц

Кружка фарфоровая "FIFA 2018. Забивака" (белая полоса), 480 мл.
Объем: 480 мл. Материал: фарфор.
407 руб
Раздел: Кружки, посуда
Гель Calgon "3030723", для cмягчения воды и предотвращения образования накипи, 1500 мл.
Гель для смягчения воды и предотвращения образования накипи 2 в 1. Нормативный срок годности товара 24 месяца с момента изготовления.
442 руб
Раздел: Для посудомоечных машин
Подушка "Волк Забивака", 30x33 см.
Этот обаятельный, улыбчивый символ Чемпионата мира по футболу ещё и сувенир в память о событии мирового масштаба на всю жизнь! Уже
471 руб
Раздел: Брелоки, магниты, сувениры

81. Логические задачи и методы их решения

82. Метод замены неизвестного при решении алгебраических уравнений

83. Решение и постоптимальный анализ задачи линейного программирования

84. Решение систем дифференциальных уравнений

85. Методы приближённого решения матричных игр

86. Методы решения алгебраических уравнений
87. Методы оптимизации при решении уравнений
88. Изучение методов принятия управленческих решений для конкретной проблемы

89. Использование нормативного метода при принятии управленческого решения

90. Методы и модели принятия решений

91. Методы поиска новых идей и решений. Совершенствование методов управления в менеджменте

92. Методы принятия управленческих решений для конкретной проблемы

93. Методы разработки управленческих решений

94. Экспертные методы оценки управленческого решения

95. Методика обучения решению текстовых задач алгебраическим методом

96. Методы решения логических задач

Доска магнитно-маркерная, 90x120 см.
Размер: 90х120 см. Для письма маркерами и крепления листов при помощи магнитов. Перед началом работы удалить защитную пленку. Возможность
2107 руб
Раздел: Доски магнитно-маркерные
Соковарка алюминиевая (6 литров).
Легкая, прочная и практичная посуда, изготовлена из пищевого алюминия, имеет высокую стойкость к коррозии, равномерно нагревается за
1494 руб
Раздел: Скороварки, пароварки, мантоварки
Настольная игра "Эрудит. Сила магнита".
"Эрудит" - игра, проверенная временем! В игру Эрудит с удовольствием и азартом играют и взрослые и дети. На протяжении многих
1076 руб
Раздел: Игры на магнитах

97. Эвристические методы решения творческих задач

98. Графический метод решения химических задач

99. Графическое решение задачи линейного программирования в экономике

100. Применение методов экономической статистики при решении задач


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.