Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
Библиотека Рефераты Курсовые Дипломы Поиск
сделать стартовой добавить в избранное
Кефирный гриб на сайте www.za4et.net.ru

Математика Математика

Вычисление интегралов методом Монте-Карло

Совок большой.
Длина 21,5 см. Расцветка в ассортименте, без возможности выбора.
21 руб
Раздел: Совки
Совок №5.
Длина совка: 22 см. Цвет в ассортименте, без возможности выбора.
18 руб
Раздел: Совки
Мыло металлическое "Ликвидатор".
Мыло для рук «Ликвидатор» уничтожает стойкие и трудно выводимые запахи за счёт особой реакции металла с вызывающими их элементами.
197 руб
Раздел: Ванная

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ КУРСОВАЯ РАБОТА ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ МЕТОДОМ МОНТЕ - КАРЛО Выполнил: Руководитель: Саратов, 2009 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 1.1 Принцип работы метода Монте – Карло 1.2 Применение метода Монте – Карло для вычисления – мерного интеграла. 1.3 Сплайн – интерполяция 1.4 Алгоритм расчета интеграла 2. ГЕНЕРАТОР ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ 2.1 Генератор псевдослучайных чисел применительно к методу Монте – Карло. 2.2 Алгоритм генератора псевдослучайных чисел 2.3 Проверка равномерности распределения генератора псевдослучайных чисел. ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ВВЕДЕНИЕ Целью данной работы является создание программного продукта для участия в конкурсе, проводимом группой компаний «Траст» по созданию программных разработок. Для реализации было выбрано следующее технической задание: Задание 12 Вычисление интегралов методом Монте – Карло. Цель: Реализация генератора случайных чисел для метода Монте – Карло. Сравнение равномерного распределения и специально разработанного. Вычисление тестового многомерного интеграла в сложной области. Продукт: Программный код в виде функции на языке С или For ra . Тестовые примеры в виде программы, вызывающие реализованные функции. Обзор использованной литературы. Для реализации данного технического задания был выбран язык C . Код реализован в интегрированной среде разработки приложений Borla d C Builder E erprises и математически обоснован соответствующий способ вычисления интеграла. 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 1.1 Принцип работы метода Монте – Карло Датой рождения метода Монте - Карло признано считать 1949 год, когда американские ученые Н. Метрополис и С. Услам опубликовали статью под названием «Метод Монте - Карло», в которой были изложены принципы этого метода. Название метода происходит от названия города Монте – Карло, славившегося своими игорными заведениями, непременным атрибутом которых являлась рулетка – одно из простейших средств получения случайных чисел с хорошим равномерным распределением, на использовании которых основан этот метод. Метод Монте – Карло это статистический метод. Его используют при вычислении сложных интегралов, решении систем алгебраических уравнений высокого порядка, моделировании поведения элементарных частиц, в теориях передачи информации, при исследовании сложных экономических систем. Сущность метода состоит в том, что в задачу вводят случайную величину , изменяющуюся по какому то правилу . Случайную величину выбирают таким образом, чтобы искомая в задаче величина стала математическим ожидание от , то есть . Таким образом, искомая величина определяется лишь теоретически. Чтобы найти ее численно необходимо воспользоваться статистическими методами. То есть необходимо взять выборку случайных чисел объемом . Затем необходимо вычислить выборочное среднее варианта случайной величины по формуле: .(1) Вычисленное выборочное среднее принимают за приближенное значение .

Для получения результата приемлемой точности необходимо большое количество статистических испытаний. Теория метода Монте – Карло изучает способы выбора случайных величин для решения различных задач, а также способы уменьшения дисперсии случайных величин. 1.2 Применение метода Монте – Карло для вычисления – мерного интеграла. Рассмотрим – мерный интеграл для .(2) Будем считать, что область интегрирования , и что ограниченное множество в . Следовательно, каждая точка х множества имеет координат: . Функцию возьмем такую, что она ограничена сверху и снизу на множестве : . Воспользуемся ограниченностью множества и впишем его в некоторый – мерный параллелепипед , следующим образом: , где - минимумы и максимумы, соответственно, - ой координаты всех точек множества : . Доопределяем подынтегральную функцию таким образом, чтобы она обращалась в ноль в точках параллелепипеда , которые не принадлежат : (3) Таким образом, уравнение (2) можно записать в виде .(4) Область интегрирования представляет собой – мерный параллелепипед со сторонами параллельными осям координат. Данный параллелепипед можно однозначно задать двумя вершинами , которые имеют самые младшие и самые старшие координаты всех точек параллелепипеда. Обозначим через -мерный вектор, имеющий равномерное распределение в параллелепипеде : , где . Тогда ее плотность вероятностей будет определена следующим образом (5) Значение подынтегральной функции от случайного вектора будет случайной величиной , математическое ожидание которой является средним значением функции на множестве : .(6) Среднее значение функции на множестве равняется отношению значения искомого интеграла к объему параллелепипеда : (7) Обозначим объем параллелепипеда . Таким образом, значение искомого интеграла можно выразить как произведение математического ожидания функции и объема - мерного параллелепипеда : (8) Следовательно, необходимо найти значение математического ожидания . Его приближенное значение можно найти произведя испытаний, получив, таким образом, выборку случайных векторов, имеющих равномерное распределение на . Обозначим и . Для оценки математического ожидания воспользуемся результатом ,(9) где , , - квантиль нормального распределения, соответствующей доверительной вероятности . Умножив двойное неравенство из (9) на получим интервал для I: .(10) Обозначим точечную оценку . Получаем оценку (с надежностью ): .(11) Аналогично можно найти выражение для относительной погрешности : .(12) Если задана целевая абсолютная погрешность , из (11) можно определить объем выборки, обеспечивающий заданную точность и надежность: .(13) Если задана целевая относительная погрешность, из (12) получаем аналогичное выражение для объема выборки: .(14) 1.3 Сплайн – интерполяция. В данном программном продукте реализована возможность задавать дополнительные ограничения области интегрирования двумя двумерными сплайн – поверхностями (для подынтегральной функции размерности 3). Для задания этих поверхностей используются двумерные сплайны типа гибкой пластинки 4 . Под сплайном (от англ. spli e - планка, рейка) обычно понимают агрегатную функцию, совпадающую с функциями более простой природы на каждом элементе разбиения своей области определения.

Сплайн – функция имеет следующий вид: .(15) Исходные данные представляют собой троек точек . Коэффициенты и определяются из системы: ,(16) где , . 1.4 Алгоритм расчета интеграла Реализованный алгоритм включает следующие шаги: выбирается начальное значение , разыгрываются случайные векторы из и определяются и ; в зависимости от вида погрешности (абсолютная, относительная) определяется достигнутая погрешность; если она меньше целевой, вычисление прерывается; по формулам (13) или (14) вычисляется новый объем выборки; объем выборки увеличивается на 20% переход к шагу 1; конец. 2. ГЕНЕРАТОР ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ 2.1 Генератор псевдослучайных чисел применительно к методу Монте – Карло. В любом алгоритме использующем метод Монте – Карло генератор псевдослучайных чисел играет очень важную роль. Степень соответствия псевдослучайных чисел заданному распределению является важным фактором проведения качественных статистических испытаний. 2.2 Алгоритм генератора псевдослучайных чисел В программе реализован конгруэнтный метод генерации псевдослучайных чисел 3 : ,(17) где =8192, =67101323. Авторский код, реализующий защиту от переполнения был, реализован на С . Перед использование первые три числа последовательности удаляются. Для получении чисел из интервала (0,1) все числа делятся на . 2.3 Проверка равномерности распределения генератора псевдослучайных чисел. Проверка равномерности распределения псевдослучайных чисел проводилась с помощью стандартного критерия χ2 2 . Были использованы 3 последовательности псевдослучайных чисел, определяемых стартовыми значениями 1, 1001, 1000000 длиной 300000. Интервал (0,1) подразделялся на 50 равных интервалов и программно подсчитывались абсолютные частоты (рис. 1). Рис. 1 Результаты проверки приведены в Таблице 1. Таблица 1 стартовое значение ГСЧ 1 1001 1000000 хи-квадрат 44.0533333333333 45.007 48.618 df 50 50 50 p-значение 0.709735881642893 0.673522612551685 0.528941919633451 Следовательно, равномерность распределения не отвергается на уровне 5%. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В заключение можно сказать, что поставленная задача была полностью выполнена. То есть на языке С были разработаны генератор псевдослучайных чисел, функция рассчитывающая интеграл методом Монте – Карло (Приложение 1); был проведен расчет тестовых многомерных интегралов (Приложение 2); в интегрированной среде разработки приложений Borla d C Builder E erprises 7.0 был создан программный продукт «CarloS», реализующий описанные выше алгоритмы (Приложение 3). СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экономических систем. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 368 с. Мюллер П., Нойман П., Шторм Р. Таблицы по математической статистике. – М.: Финансы и статистика, 1982. – 278 с. Теннант-Смит Дж. Бейсик для статистиков. – М.: Мир, 1988. – 208 с. Bara ger J. A alyse umйrique. Herma , 1991. Маделунг Э. Математический аппарат физики. Справочное руководство. М.: Наука, 1968., с.287. В.Е. Гмурман Теория вероятностей и математическая статистика – М.: Высшая школа, 2003 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ЛИСТИНГИ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ Листинг 1 Функция расчета интеграла void i egral () { // вычисление интеграла методом Монте – Карло // размерность области интегрирования u sig ed d i =fu dim; //----- 3 d график // максимальное число троек u sig ed plo dim max=10000; // матрица троек pma d xyz,xyz mp; if (d i ==3) xyz= ew ma d(plo dim max,3); // индикатор относительной погрешности // целевая погрешность // номер стандартного значения доверительной вероятности (начиная с 0) i // ГСЧ u sig ed lo g b=m r g m r g-d r g,c,r,i,PSChu k; // &quo ;росток&quo ; ГСЧ pma d fu b, fu A, co b, co A, co U, co v, a i , b i , ba i , x i , xyz op, xyz bo om; u sig ed j,ii,jj,co ok; s ruc da e da ; s ruc ime im; pspl2d sp op,sp bo om; // квантили нормального распределения double omegas i ={0.9

К этим методам относятся, например, различные методы качественного анализа в химии, метод спектрального анализа в физике и химии, метод Монте-Карло, метод статистического моделирования при изучении сложных систем и т.д. Общенаучные методы характеризуют ход познания во всех науках. Их объективной основой являются общеметодологические закономерности познания, которые включают в себя и гносеологические принципы. К ним относятся: методы эксперимента и наблюдения, метод моделирования, гипотети-ко-дедуктивный метод, метод восхождения от абстрактного к конкретному и т.д. Универсальные (всеобщие) методы характеризуют человеческое мышление в целом и применимы во всех сферах познавательной деятельности человека (с учетом их специфики). Их объективной основой выступают общефилософские закономерности понимания окружающего нас мира, самого человека, его мышления и процесса познания и преобразования мира человеком. К этим методам относятся философские методы и принципы мышления, в том числе принцип диалектической противоречивости, принцип историзма и др

1. Вычисление площади сложной фигуры методом имитационного моделирования (Windows)

2. Расчет площади сложной фигуры с помощью метода имитационного моделирования

3. Вычисление интеграла фукции f (x) (методом Симпсона WinWord)

4. Вычисление интеграла с помощью метода трапеций на компьютере

5. Вычисление интеграла

6. Определение удельного электрического сопротивления горных пород методом бокового каротажа
7. Определение коэффициента вязкости прозрачной жидкости по методу Стокса
8. Расчет стоимости исследования скважины методом нейтрон нейтронного каротажа по тепловым нейтронам (ННК-Т) в условиях ОУГР ОАО "Башнефтегеофизика"

9. Приближенное вычисление определенных интегралов, которые не берутся через элементарные функции

10. Вычисление определенных интегралов. Квадратурные формулы

11. Метод Монте-Карло

12. Метод Монте-Карло и его применение

13. Метод Монте-Карло и его применение

14. Методи визначення функції витрат та аналізу ризиків. Метод Монте-Карло

15. Метод Монте-Карло

16. Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников

Набор шариковых ручек "Frixion", синие, 0,7 мм, 2 штуки.
Синяя шариковая ручка "Frixion" пиши-стирай на основе исчезающих термочернил. Письмо корректируется с помощью специальной
336 руб
Раздел: Синие
Дуга с подвесками "Забава".
Дуга с подвесками "Забава" крепится с помощью специальных прищепок к коляске, автокреслу или детской кроватке. Яркие
755 руб
Раздел: Дуги и погремушки для колясок
Шнуровка-бусы "Русалочки".
Обучающая игра для детей от 3 лет, которая развивает логическое мышление, внимание, память. В наборе: 11 фигурок, шнуровка с безопасными
345 руб
Раздел: Деревянные шнуровки

17. Вычисление определенного интеграла методом трапеций

18. Вычисление двойных интегралов методом ячеек

19. Карл Леонгард: методы диагностики личности

20. Создание функциональной модели вычисления минимума заданной функции методом парабол

21. Метод конечных элементов

22. Изучение миксомицетов среднего Урала, выращенных методом влажных камер
23. Методы исследования в цитологии
24. МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ЭВОЛЮЦИИ ЧЕЛОВЕКА

25. Методологическое значение сравнительного метода в зоологических исследованиях

26. Метод радиоавтографии в биологии

27. Виды стихийных бедствий и методы борьбы с ними

28. Статистика населения. Методы анализа динамики и численности и структуры населения

29. Гамма – каротаж. Физические основы метода

30. Метод Бокового каротажа

31. Методы выделения мономинеральных фракций

32. Основні методи боротьби з інфляцією

Степлер пластиковый №24 "Debut", на 20 листов, черный.
Материал корпуса: пластик. Размер скоб: №24. Количество листов: 20. Цвет: черный.
331 руб
Раздел: Степлеры, скобы
Набор цветных карандашей Trio, 18 цветов, утолщенные.
В наборе 18 цветных утолщенных карандашей, пластиковый футляр. Карандаши утолщенной трехгранной формы особенно удобны для детской руки,
783 руб
Раздел: 13-24 цвета
Мольберт "Ника растущий", со счетами (синий).
Двусторонний мольберт для детей прекрасно подойдет для обучения и для развлечения. Одна сторона мольберта - магнитная доска для работы с
1790 руб
Раздел: Буквы на магнитах

33. Предмет, метод, источники Административного права

34. Методы осуществления государственной власти

35. Метод гражданско правового регулирования

36. Формы и методы государственного регулирования экономики в Казахстане

37. Математические методы и модели в конституционно-правовом исследовании

38. Методы комплексной оценки хозяйственно-финансовой деятельности
39. Цикл-метод обучения. (Методика преподавания эстонского языка)
40. Специфика преподавания иностранного языка и метод проектов

41. Естественная и гуманитарная культуры. Научный метод

42. Русская здрава (методы оздоровления на Руси)

43. Методы исследования литературы

44. Метод комплексного археолого-искусствоведческого анализа могильников

45. Конвертер программы с подмножества языка Си в Паскаль с использованием LL(1) метода синтаксического анализа (выражения)

46. Методы компьютерной обработки статистических данных. Проверка однородности двух выборок

47. Методичка по Internet Explore

48. Шифрование по методу UUE

Фоторамка "Poster lux black".
Фоторамка из пластика со стеклом. Формат 30х40 см. Материал: пластик. Оформление рамки: стильная пластиковая узкая окантовка, выкрашена в
454 руб
Раздел: Размер 30x40
Трусики для девочек Moony, 9-14 кг, 44 штуки.
Дышащий материал отлично испаряет пот, а специальные рассеивающие ячейки эффективно впитывают "детские неожиданности" и
1423 руб
Раздел: Обычные
Держатель балдахина с двойным креплением (в пенале).
Крепление для балдахина состоит из двух полых трубок, которые вставляются одна в другую, верхней спирали для балдахина и двух креплений к
303 руб
Раздел: Балдахины, держатели

49. Разработка методов определения эффективности торговых интернет систем

50. Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла

51. Защита информации от несанкционированного доступа методом криптопреобразования /ГОСТ/

52. Обучение начальных курсов методам программирования на языке Turbo Pascal

53. Применение методов линейного программирования в военном деле. Симплекс-метод

54. Методы приобретения знаний в интеллектуальных системах
55. Билеты, решения и методичка по Информатике (2.0)
56. Метод Симпсона на компьютере

57. Полином Гира (экстраполяция методом Гира)

58. Компьютерные вирусы, типы вирусов, методы борьбы с вирусами

59. Анализ криптостойкости методов защиты информации в операционных системах Microsoft Window 9x

60. Парольные методы защиты информации в компьютерных системах от несанкционированного доступа

61. Лабораторная работа №7 по "Основам теории систем" (Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ)

62. Лабораторная работа №6 по "Основам теории систем" (Решение задачи о ранце методом ветвей и границ)

63. Численные методы

64. Метод Зойтендейка

Рюкзак школьный "Ever After High. Dragon Game".
Рюкзак школьный - легкий и яркий рюкзак для ученицы начальной школы. Прочная каркасная конструкция хорошо сохраняет форму, устойчиво стоит
2451 руб
Раздел: Без наполнения
Пакеты фасовочные "Paclan", 26x35 см, 1000 штук.
Производятся из пищевого полиэтилена и безвредны для человека. Сохраняют свежесть продуктов. Пакеты выпускаются разного размера, что
305 руб
Раздел: Пакеты для продуктов
Декоративная наклейка-ростомер "Ракета", арт. EZG-1001.
Размер: 40x75 см.
366 руб
Раздел: Ростомеры

65. Метод конечных разностей или метод сеток

66. "Комплект" заданий по численным методам

67. Аксиоматический метод. Логическое строение геометрии

68. Решение нелинейного уравнения методом касательных

69. Методы корреляционного и регрессионного анализа в экономических исследованиях

70. Современные криптографические методы
71. Математические методы в организации транспортного процесса
72. Метод последовательных уступок (Теория принятия решений)

73. Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана

74. СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ В ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

75. Методы и приемы решения задач

76. Методы обучения математике в 10 -11 класах

77. Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом

78. Приближённые методы решения алгебраического уравнения

79. Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

80. Методы расчета электрических полей

Подгузники "Солнце и Луна. Нежное прикосновение", размер: 5/XL (11-25 кг), 48 штук.
Подгузники "Солнце и Луна. Нежное прикосновение" сделаны по японской технологии в сотрудничестве с японской корпорацией WATASHI
801 руб
Раздел: Более 11 кг
Увлекательная настольная игра "Зверобуквы", новая версия.
В игровом наборе маленькие карточки-буквы и большие карты-звери. Иллюстраторы поработали здесь на славу! У каждой буквы свой яркий и
632 руб
Раздел: Карточные игры
Игра магнитная "Модная девчонка".
Любая девочка, независимо от возраста, обожает заниматься украшательством, придумывать и экспериментировать. Магнитная игра "Модная
318 руб
Раздел: Бумажные куклы

81. Метод Алексея Юрьевича Виноградова для решения краевых задач

82. Решение задач на построение сечений в многогранниках методом следов

83. Электрографический метод - метод регистрации и анализа биоэлектрических процессов человека и животных

84. Механические и хирургические методы контрацепции

85. Дополнительные методы обследования легочных больных. Основные синдромы при заболеваниях легких

86. Хламидиоз. Методы определения/диагностики
87. Предмет, метод, содержание cудебной медицины
88. Методы оценки кровопотери в акушерстве

89. Метод Фолля

90. Некоторые методы лечения переломов длинных трубчатых костей

91. Ретроспективный cанитарно – эпидемиологический анализ по определению связи между заболеваемостью населения ОКИ и факторами внешней среды по эпидемиологически значимым объектам (с использованием статистического метода ранговой корреляции ) за 2000 –2002 г

92. Сравнительная характеристика методов лабораторной диагностики трихомоноза

93. Продвинутые методы Ганемана. LМ-потенции: теория и практика

94. Воспалительные заболевания женских половых органов неспецифической этиологии, клиника, диагностика, методы лечения

95. Предмет, понятие, метод и система криминологии

96. Характеристики методов расследования преступлений, связанных с квалифицированным вымогательством

Вспышка для селфи, белая, 65x35x11 мм (арт. TD 0399).
Не можете и дня прожить не сделав снимок на смартфон? Для тех кто не любит упускать удачные снимки из-за плохого освещения - съемная
462 руб
Раздел: Прочее
Канистра-бочка с навесными ручками, 30 л (диаметр горловины 215 мм).
Канистра изготовлена из прочного пищевого пластика и предназначена для транспортировки и хранения пищевых жидкостей. Изделие безопасно для
496 руб
Раздел: Баки, канистры
Кружка фарфоровая "Морская волна", 375 мл.
Кружка. Объем: 375 мл. Материал: фарфор.
342 руб
Раздел: Кружки

97. Понятие и основные методы исследовательской фотографии

98. Загрязнение водных ресурсов и методы очистки

99. Методы очистки промышленных газовых выбросов


Поиск Рефератов на сайте za4eti.ru Вы студент, и у Вас нет времени на выполнение письменных работ (рефератов, курсовых и дипломов)? Мы сможем Вам в этом помочь. Возможно, Вам подойдет что-то из ПЕРЕЧНЯ ПРЕДМЕТОВ И ДИСЦИПЛИН, ПО КОТОРЫМ ВЫПОЛНЯЮТСЯ РЕФЕРАТЫ, КУРСОВЫЕ И ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ. 
Вы можете поискать нужную Вам работу в КОЛЛЕКЦИИ ГОТОВЫХ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ, выполненных преподавателями московских ВУЗов за период более чем 10-летней работы. Эти работы Вы можете бесплатно СКАЧАТЬ.